ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

Transcripción

1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadístcos Aplcados a las Audtorías Socolaborales Bajo el térmno Estadístca Descrptva se engloban las técncas que nos permtrán realzar un análss elemental de las observacones expermentales observadas. Se subdvde en dos bloques : º Estadístca prmara : Obtendo un grupo de observacones expermentales, este apartado nos enseña a ordenarlas adecuadamente, de modo que se ofrezca una nformacón lo más clara posble. º Estadístca dervada o secundara : Con los datos observados realzaremos certos cálculos, obtenendo así unas meddas. Este bloque temátco nos enseña a nterpretarlas. PROCEDIMIETO A SEGUIR E U ESTUDIO ESTADÍSTICO. El proceso segudo en el estudo estadístco de una certa característca o varable, puede subdvdrse en tres pasos sucesvos : A RECOGIDA DE DATOS : Planteado el test o encuesta oportuno y recogdos los datos que correspondan, el prmer análss que realzaremos es el del tpo de varable que pretendemos estudar (Cualtatva o Cuanttatva ; Dscreta o Contnua). Esto condconará en gran medda su posteror tratamento. B C ORGAIZACIÓ DE LOS DATOS : Determnado el modo de agrupamento de las observacones, procedemos a su recuento, construyendo la tabla de frecuencas. Posterormente podremos vsualzar tales frecuencas de forma gráfca con el dagrama estadístco apropado. AÁLISIS FIAL : La obtencón de muy dversas conclusones respecto de la varable estudada, se podrá realzar con auxlo de los dferentes parámetros estadístcos (de centralzacón, poscón, dspersón, etc.) VARIABLES ESTADÍSTICAS. CLASIFICACIÓ. El aspecto que deseamos estudar (edad, sexo, peso,...) recbe el nombre de VARIABLE ESTADÍSTICA. A lo largo de esta undad observaremos, que las técncas estadístcas a segur serán dferentes según el tpo de varable objeto de estudo. La clasfcacón más tradconal de las varables estadístcas es la sguente : CUALITATIVAS Los valores de las observacones quedan expresados por característcas o atrbutos. Por ejemplo : Estado cvl ; Color preferdo ; vel de estudos ; Raza ;... Dentro de ellas podremos subdvdrlas en funcón de que puedan ser ordenadas (vel de estudos) o no tenga sentdo una determnada ordenacón que se establezca (Color preferdo, Razas,...). CUATITATIVAS Los valores de las observacones son numércos (cuantfcables) y, en consecuenca, ordenables. A su vez las varables cuanttatvas se subdvden en dos tpos : DISCRETAS : Toman valores concretos (º de hjos : 0,,,...) COTIUAS : Pueden tomar cualquer valor de un certo ntervalo (Peso ; Estatura ;...). TABLAS DE FRECUECIAS. S la varable es Cualtatva, observamos los valores dferentes de la msma. S es Cuanttatva buscaremos los valores mínmo y máxmo obtendos. En funcón del número de observacones, decdremos s se realza su estudo de forma ndvdual o agrupando en ntervalos. COSTRUCCIÓ DE ITERVALOS : Tenendo en cuenta la ampltud total de las observacones (Valor máxmo menos valor mínmo observados), tomaremos una decsón sobre el número total de ntervalos, o ben sobre la ampltud o tamaño de los msmos.

2 EJEMPLO : Supuesto : Valor máxmo 87, Valor mínmo. Luego : AMPLITUD S decdmos construr 8 ntervalos, la ampltud de cada uno será de 0 undades (valor aproxmado de 76/8). El prmer ntervalo no tene porqué ncarse en (mínmo); es más, se aconseja tomar sempre valores "vsualmente agradables" (5, 0, 5,...). Con esto los ntervalos serían : [0,0) [0,0) [0,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90] S partmos de la decsón de que los ntervalos tengan 5 undades de ampltud, smplemente ncaremos su construccón hasta llegar a un ntervalo que contenga al valor máxmo observado. [0,5) [5,40) [40,55) [55,70) [70,85) [85,90] Teórcamente se establece que el número deal de ntervalos debe ser la raíz cuadrada del número de observacones dsponbles : Para observacones : Crtero de Kaser º de ntervalos E 5 ' + '.ln( ) (E parte entera) Crtero de Sturges º de ntervalos ( ) OTACIÓ Al establecer dos ntervalos consecutvos, por ejemplo de 0 a 0 y de 0 a 0, hemos de decdr s el valor 0 (fnal de uno e nco del sguente) pertenece al prmer ntervalo o al segundo. Para ello empleamos los símbolos [ y (. [ o ] el valor stuado junto a él pertenece al ntervalo ( o ) el valor stuado junto a él no pertenece al ntervalo OTACIOES PARA REPRESETAR ITERVALOS EXTREMOS REALES EXTREMOS APARETES Desde 0 hasta menos de 0 [ 0, 0 ) De 0 a menos de 0 [ 0, 0 ) De 0 a menos de 0 [ 0, 0 ) De 0 a menos de 40 [ 0, 40 ) Desde 40 hasta 50 [ 40, 50 ] - 4 Valores :,, y 4 [ 0'5, 4'5 ) 5-8 Valores : 5, 6, 7 y 8 [ 4'5, 8'5 ) 9 - Valores : 9, 0, y [ 8'5, '5 ] RECUETO. TABLA DE FRECUECIAS ABSOLUTAS. Stuados en una tabla los valores de la varable (desde el mínmo al máxmo) o los ntervalos que los contenen, procedemos a contar las veces que se repten. Construmos así una tabla como la de la zquerda. En ella podrá observarse que, en el supuesto de datos agrupados en ntervalos, se ha ncludo una columna encabezada por x. Tal valor de x se denomna marca de clase y es el valor central de cada ntervalo. Intervalos x Recuento n [ e, e ) x /// n n [ e, e ) x ///// ///// / n n +n [ e, e + ) x ///// /// n n +n n Σn

3 FRECUECIAS. FRECUECIA ABSOLUTA (n) : Para datos no agrupados en ntervalos, es el número de veces que se presenta cada valor de la varable. S los datos se agrupan en ntervalos, es el número de observacones que pertenecen a dcho ntervalo. FRECUECIA ABSOLUTA ACUMULADA () : Para un certo valor de la varable, la frecuenca absoluta acumulada nos da el número de observacones menores o guales que dcho valor. OTRAS FRECUECIAS : FRECUECIA RELATIVA (f) : Cocente entre la frecuenca absoluta y el número total de observacones (). PROPORCIÓ o PORCETAJE (h) : Frecuenca relatva multplcada por 00 (es la expresón de las frecuencas en %). De gual modo que se defnó para las frecuencas absolutas, se defnen las FRECUECIAS RELATIVAS ACUMULADAS (F) y los PORCETAJES ACUMULADOS (H). TABLA COMPLETA DE FRECUECIAS : EJEMPLO : x n f h F H x n f n / h f. 00 n f h x n f n / h f. 00 n +n f +f h +h x n f n / h f. 00 n +n n f +f f h +h h Σn Σf Σh 00 H x n f h F 5 0'5 '5 5 0'5 '5 0 0' '75 7' ' '775 77' ' '95 9'5 6 0'075 7'5 40 ' GRÁFICOS ESTADÍSTICOS. La norma que hemos de segur en la construccón de un gráfco estadístco es sempre : "La zona que dentfca a cada valor será proporconal a su frecuenca" Los dagramas usuales son los que se descrben a contnuacón. A Dagramas de barras Para varables cualtatvas o cuanttatvas no agrupadas en ntervalos. FUDAMETO : Sobre un eje (normalmente el horzontal) marcamos los valores de la varable, dbujando sobre cada uno de ellos una barra cuya longtud sea proporconal a la frecuenca que se esté vsualzando. S la varable representada es cuanttatva, enlazando los extremos de las barras obtendremos el POLÍGOO DE FRECUECIAS, denomnado PERFIL ORTOGOAL para cualtatvas ordenables. B Hstogramas Representatvo de las varables agrupadas en ntervalos. FUDAMETO : Sobre el eje horzontal marcamos los dstntos ntervalos, dbujando sobre cada uno de ellos un rectángulo cuya área sea proporconal a la frecuenca que se esté vsualzando (S todos los ntervalos tenen la msma ampltud, nos bastará con que la altura de los rectángulos sea proporconal a las frecuencas). POLÍGOOS DE FRECUECIAS : S la frecuenca representada no es acumulada, enlazamos los puntos medos de los extremos superores de los rectángulos. Para frecuencas acumuladas, el polígono de frecuencas se obtene de la forma ndcada en el gráfco.

4 C Dagramas de sectores Utlzable en cualquer tpo de varable. FUDAMETO : Dvdmos el círculo en sectores crculares, de modo que la ampltud de cada sector, sea proporconal a la frecuenca. Junto a cada sector, se suele ndcar el valor representado. Es aconsejable la expresón de las ampltudes de los sectores en % (porcentajes p ). D Pctogramas Utlzable en todo tpo de varables, especalmente con las cualtatvas. FUDAMETO : Es el msmo que se sgue para la construccón de los dagramas de barras y hstogramas. La dferenca estrba en que, en lugar de dbujar una barra o un rectángulo, se dbuja una fgura que hace referenca al problema objeto de estudo. E Dagramas de áreas Representatvo de las varables cuanttatvas, equvale a la representacón ndependente de los polígonos de frecuencas (descrtos en los dagramas de barras y hstogramas). FUDAMETO : Indca la evolucón de los valores de la varable, consstendo en la vsualzacón del área encerrada bajo el polígono de frecuencas. Para ello, se conecta dcho polígono con el eje de la varable (el horzontal en el gráfco), tanto a la zquerda del prmer valor como a la derecha del últmo. Los dagramas de barras, hstogramas, pctogramas y de áreas, admten la representacón correspondente a sus frecuencas acumuladas. MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ. MEDIA ARITMÉTICA : n. x x MODA : + n + Mo e. n+ + n OTACIOES MEDIAA : Es el resultado de dvdr la suma de todas las observacones entre el número de ellas. a Me e +. a n Es el valor que más se repte. Será pues el valor (o valores) cuya frecuenca absoluta sea la mayor de las observadas. S los datos se encuentran agrupados en ntervalos, obtendremos el ntervalo en el que se encuentra la moda (ITERVALO MODAL). Para determnar su valor concreto, aplcamos la expresón de la zquerda. Los subíndces ndcan : ntervalo donde se encuentra la moda. - ntervalo anteror al que contene la moda. + ntervalo sguente al que contene la moda. e extremo nferor del ntervalo en el que se encuentra la moda. a ampltud del ntervalo en el que está la moda. n frecuenca absoluta. Supuestas ordenadas las observacones, MEDIAA es el valor de la varable que está en el centro de las msmas. Deja pues a la mtad (el 50%) de las observacones por debajo de dcho valor. Para obtener el valor de la medana, segumos los pasos sguentes : º Calculamos la tabla de frecuencas absolutas acumuladas. º La medana será el valor de la varable cuya frecuenca absoluta acumulada prmero guale o supere a /. S los datos se encuentran agrupados en ntervalos, el punto º nos dará el ntervalo en el que se encuentra la medana. Para determnar su valor concreto, aplcamos la expresón de la zquerda.

5 OTA : En el caso de varables contnuas no agrupadas en ntervalos, suelen consderarse prevamente los ntervalos reales que esos valores representan, procedendo a aplcar la expresón superor. Así, los valores,,,... representan a los ntervalos de valores [0'5, '5), ['5, '5), ['5, '5),... OTACIOES Los subíndces ndcan : ntervalo donde se encuentra la medana. - ntervalo anteror al que contene la medana. e extremo nferor del ntervalo en el que se encuentra la medana. a ampltud del ntervalo en el que está la medana. n frecuenca absoluta. frecuenca absoluta acumulada. OTRAS MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ. MEDIA PODERADA : Aplcable cuando a cada valor (X ) se le asgna un peso (p ) : x p p. X p MEDIDAS DE POSICIÓ. MEDIA GEOMÉTRICA : x x. x..... x G Con frecuencas f para cada x : ( Σf ) n n nn x G x. x... x n MEDIA ARMÓICA : x A x Con frecuencas f para cada x : ( Σf ) x A n x COCEPTO : Permten el cálculo del valor de la varable que ocupa una certa poscón relatva respecto del conjunto total de los valores observados. PERCETIL DE ORDE K : Es el valor de la varable que deja por debajo de él el K% de las observacones. PROCESO DE CALCULO : k. P k e a n Para obtener el valor del percentl de orden K, segumos los pasos sguentes : º Calculamos la tabla de frecuencas absolutas acumuladas. º Obtenemos el LUGAR que ocupa : Lugar. K / 00 º El percentl de orden K será el valor de la varable cuya frecuenca absoluta acumulada prmero guale o supere a dcho lugar. S los datos se encuentran agrupados en ntervalos, el punto º nos dará el ntervalo en el que se encuentra el percentl de orden K. Para determnar el valor concreto del percentl, aplcamos la expresón de la zquerda. OTA : En el caso de varables contnuas no agrupadas en ntervalos, suelen consderarse prevamente los ntervalos reales que esos valores representan, procedendo a aplcar la expresón anteror. Así, los valores,,,... representan a los ntervalos de valores [0'5, '5), ['5, '5), ['5, '5),... OTACIOES Los subíndces ndcan : ntervalo donde se encuentra el percentl. - ntervalo anteror al que contene el percentl. e extremo nferor del ntervalo en el que se encuentra el percentl. a ampltud del ntervalo en el que está el percentl. n frecuenca absoluta. frecuenca absoluta acumulada. PERCETILES ESPECIALES MEDIAA Percentl de orden 50. CUARTILES Percentles de órdenes 5 (Cuartl º), 50 (Cuartl º) y 75 (Cuartl º). DECILES Percentles de órdenes 0, 0,..., 90 (Decles º, º,..., 9º). MEDIDAS DE DISPERSIÓ. RAGO, RECORRIDO O AMPLITUD TOTAL : R Máx Mín Con el fn de medr el mayor o menor grado de separacón de las observacones, en una prmera nstanca se defne el RAGO (tambén denomnado recorrdo o ampltud total), como la dferenca exstente entre los valores máxmo y mínmo observados.

6 AMPLITUD SEMI-ITERCUARTÍLICA : Q Q Q Esta medda de dspersón se basa en meddas de poscón (Cuartles),.Su empleo tendrá sentdo en el supuesto de mposbldad de cálculo de la meda. El no tomar en consderacón a la totaldad de las observacones, hace pensar que esta medda es poco representatva. Por ello se ntenta defnr las meddas de dspersón, de modo que sean el promedo de las separacones de cada valor respecto de uno tomado como referenca (la MEDIA). DESVIACIÓ MEDIA : n x x Dx Observando la fgura aprecamos que las desvacones d antes defndas tenen como meda cero (las postvas compensan con las negatvas), lo cuál oblga a subsanar este nconvenente tomándolas en valor absoluto o elevándolas al cuadrado.. Es la meda de las desvacones o separacones de cada una de las observacones, respecto a la meda artmétca, consderadas en valor absoluto. Susttuyendo la meda por la moda o la medana, defnremos las desvacones medas respecto de la moda y de la medana. VARIAZA : ( ) n. x x n. x s σ x Es la meda de los cuadrados de las desvacones o separacones de cada una de las observacones, respecto a la meda artmétca. DESVIACIÓ TÍPICA : n. x s σ varanza x COEFICIETE DE VARIACIÓ : CV σ.00 x x Es la raíz cuadrada de la varanza. Con ello corregmos el haber tomado cuadrados de separacones en el cálculo de la varanza. Esta medda de dspersón es la más característca. Mde la representatvdad de la meda. Valores extremos del msmo nos llevarán a conclur que la meda no es representatva, es decr, exstrán valores entre las observacones que se separan sgnfcatvamente de las demás. Sólo puede ser utlzado cuando los valores de la varable toman valores "normales". Es decr, no son muy elevados n muy pequeños, ya que una meda próxma a cero o muy alta darían valores nulos o nfntos al coefcente. S la meda es representatva de las observacones (no exsten valores extremos exageradamente dstancados de la mayoría), el coefcente de varacón permte comparar la dspersón de dos seres estadístcas : mayor coefcente ndca menor homogenedad, o lo que es lo msmo, mayor dspersón o varabldad. GRÁFICO DE VARIABILIDAD : Basado en los cuartles, adopta la forma del gráfco de la derecha. En él se reflejan los cuartles º y º y la medana, junto a los extremos nferor y superor : Q Q Lnf Q. Q. Q ; Lsup Q+. Q Se consderan observacones atípcas aquellas que quedan fuera del ntervalo : ( L nf, L sup ) OTRAS MEDIDAS ESTADÍSTICAS. COEFICIETE DE ASIMETRÍA DE FISHER : Permte nterpretar la forma de la dstrbucón, respecto a ser o no smétrca. As n. ( x x) σ ITERPRETACIÓ

7 Basados en al relacón exstente entre meda, medana y moda : x Mo.( x Md) se defnen dos nuevos coefcentes de asmetría (de Pearson): x Mo As σ COEFICIETE DE CURTOSIS : As.( x Md) σ Recbe tambén el nombre de coefcente de concentracón central, mdendo el grado de aplastamento o apuntamento de la gráfca de la dstrbucón de la varable estadístca. Una mayor concentracón de datos en torno al promedo harán que la forma sea alargad, sendo tanto más plana (o aplastada) cuanto mayor sea la dspersón de los msmos. Determna la forma de la dstrbucón, en relacón con su grado de aplastamento. K ( x x) n. 4 σ 4 ITERPRETACIÓ Basados en meddas de poscón, se defnen los nuevos coefcentes : Coefcente de asmetría de Bowley-Yule, o ntercuartílco : Y Q Me + Q. Q Q Coefcente absoluto de asmetría: A Q. Me + Q σ Coefcente de curtoss de Kelley : Q K con Q Q Q P P 06 ' : 90 0 AÁLISIS COJUTO DE VARIOS GRUPOS. S dsponemos de k grupos con n elementos, medas x, y varanzas S, podemos obtener : Meda conjunta de los k grupos n. x X n S n. S n Varanza conjunta de los k grupos, o, con mayor rgor : S ( ) n n. S n. x X + n PROPIEDADES DE LAS MEDIDAS ESTADÍSTICAS. TABLA PARA CÁLCULOS : La tabla sguente nos muestra una dsposcón práctca de los cálculos necesaros para la obtencón de los parámetros estadístcos usuales: Meda, Moda, Medana, Percentles, Varanza y Desvacón típca. Intervalos x n n.x n.x F [ e, e ) x n n. x (n. x ).x n P ( / ). 00 [ e, e ) x n n. x (n. x ).x n +n P ( / ) [ e, e + ) x n n. x (n. x ).x I n +n +... P ( / ). 00 +n Σ n Σ n. x Σ n. x Cálculo de percentles A B Cálculo de meda y varanza La meda y la varanza serían el resultado de calcular :Cálculo de meda y varanza PROPIEDADES : A B x σ x A) S a todos los valores de una varable x les sumamos una cantdad constante, la meda queda ncrementada en dcha constante, mentras que la desvacón típca (y la varanza) no varía.

8 B) S multplcamos todos los valores de una varable x por una constante, la meda y la desvacón típca quedan tambén multplcadas por dcha constante (la varanza quedará multplcada por el cuadrado de la constante). EJEMPLO : CAMBIO DE VARIABLE. TIPIFICACIÓ. Hacendo uso de las propedades de las meddas estadístcas,podremos facltar y smplfcar los cálculos de parámetros estadístcos, realzando un cambo de varable. Así, s todos los valores son muy altos, podremos restarles una cantdad (normalmente la Moda) y, s poseen cfras decmales o son múltplos de un msmo número, podremos multplcarlos o dvdrlos por el valor adecuado. Una vez calculados los parámetros estadístcos, en vrtud de las propedades descrtas, obtendremos el valor fnal real de tales parámetros. Mencón especal merecen dos cambos de varables partculares : A) Dferencales : partendo de la varable ncal x (puntuacones drectas), s a todos los valores les restamos la meda, obtenemos una nueva varable d (puntuacones dferencales) cuya meda es cero (la desvacón típca no se modfca). B) Tpfcadas : S a todos los valores de la varable ncal x les restamos la meda y el resultado lo dvdmos por la desvacón típca, obtenemos una nueva varable z (puntuacones tpfcadas) cuya meda es cero, tenendo sempre como desvacón típca la undad. Este últmo cambo de varable recbe el nombre de TIPIFICACIÓ. SUMA Y DIFERECIA DE VARIABLES. Partendo de dos varables X, Y, podemos defnr las nuevas varables : S X + Y obtenda sumando cada valor de X con el correspondente de Y. D X - Y obtenda restando a cada valor de X el valor correspondente de Y. Esto supone la exstenca de tantas observacones de X como de Y, así como el emparejamento de ellas; es decr, a cada valor de X queda asocado un valor de Y. Esto constturá la base de estudo del sguente tema. Veamos como se comporta la meda de las dos nuevas varables S y D defndas. S X+ Y ( X Y X Y En efecto : + ) + X Y S + X+ Y Análogamente se verfca que : D X Y Calculemos la varanza de la suma S : ( X Y S) ( X Y X Y ) ( X X Y Y ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) + ( ) SS ( ( X X) + ( Y Y) +.( X X).( Y Y) ) ( X X) ( Y Y) ( X X).( Y Y) + +. SX + SY +. SXY ( X X).( Y Y) La expresón, representada por S XY, recbe el nombre de covaranza, justfcándose que es gual tambén a : ( X X).( Y Y) X. Y SXY XY. D X Y XY Análogamente se verfca que : S S + S. S S las varables X, Y son ndependentes, la covaranza (medda de varacón conjunta) es gual a cero.

9 Resumendo Varanzas : Medas Dependentes ( S XY 0 ) Independentes ( S XY 0 ) S X + Y S X+ Y SS SX + SY +. SXY SS SX + SY D X - Y D X Y S S + S. S S S + S MOMETOS ORDIARIOS Y CETRALES D X Y XY D X Y Momento ordnaro de orden k : n k a k. x Momento central de orden k : n k m k.( x x) Se verfca que : m 0 m a a m a. a. a+. a m a 4. a. a + 6. a. a. a Algunos parámetros estudados, pueden expresarse : µ x a σ sx m a a m m As K m 4 m 4 m m 4 σ σ ( ) MEDIDAS DE COCETRACIÓ. Estas meddas, de aplcacón económca fundamentalmente, determnan el nvel de gualdad en el reparto total de las observacones de la varable. Su determnacón se realzará a partr de la sguente tabla de cálculos : A B C D E G H x n Σ n. P (.. /).00 t n. x T Σ t. Q (T.. /T).00 P - Q x n P t T Q P - Q x n P t T Q P - Q x k n k k P k ( 00) t k T k Q k ( 00) P k - Q k ( 0) Σ n. TP Σ P T Σ n. x TD Σ (P - Q ) Sendo : A) Valores de la varable (marca de clase s está agrupada en ntervalos). B) Frecuencas absolutas ( total de observacones). C) Frecuencas absolutas acumuladas. D) Porcentajes acumulados (totalzando - TP). E) Productos de cada frecuenca por su correspondente valor (T suma total de estos productos). F) Productos anterores acumulados (de gual modo que se realza con frecuencas). G) Expresón en porcentaje del contendo de la columna anteror. H) Dferencas de los valores de las columnas D y G (totalzando - TD). MEDIALA : Su defncón tene un fundamento smlar al de la medana. Para dstrbucones dscretas (no agrupadas en ntervalos), la medala es el valor de la varable cuyo Q prmero guala o supera el 50%. Para dstrbucones contnuas (agrupadas en ntervalos), el ntervalo que contene la medala es aquel cuyo Q prmero guala o supera el 50%. De aquí obtenemos el valor de la medala del modo sguente : 50 Q Ml e +. a Q Q Los subíndces ndcan : ntervalo donde se encuentra la medala. - ntervalo anteror al que contene la medala. e extremo nferor del ntervalo en el que se encuentra la medala. a ampltud del ntervalo en el que está la medala.

10 CURVA DE LOREZ : ÍDICE DE COCETRACIÓ DE GII : Sobre un rectángulo de 00 undades de lado, se dbuja la polgonal que resulta de unr los puntos (P, Q ). Esta polgonal (curva de Lorenz) determna con la dagonal AB un recnto (sombreado en la fgura) que mde el grado de concentracón. Cuando el área sombreada es muy pequeña (la curva de Lorenz se aproxma a la dagonal AB) se presenta una baja concentracón, o lo que es lo msmo, ndca unformdad en el reparto de los valores de la varable. La mayor concentracón se producrá cuando la zona sombreada concde con el trángulo ABC. Hacendo uso de la tabla de cálculos anteror, necesara para la obtencón de la curva de Lorenz, defnremos el presente estadístco. Otros, como el índce de Dalton, el de pardad, etc., pueden ser empleados con déntca nterpretacón a la que tratamos con el de Gn, s ben omtmos su estudo. G k ( P Q ) k TD TP 00 P El índce de Gn (expresón de la zquerda) concde geométrcamente con el cocente entre el área sombreada (defnda por la curva de Lorenz) y la del trángulo ABC. Concentracón mínma : G 0 Concentracón máxma : G

11 EJERCICIOS RESUELTOS La tabla sguente nos muestra el resultado de una encuesta entre los alumnos de prmer curso, analzando el número de suspensos en la prmera evaluacón : Realcemos un estudo estadístco completo. Se trata de una varable cuanttatva dscreta. Esto condconará algunos procesos del cálculo estadístco. RECUETO Y TABLA DE FRECUECIAS x recuento n r p R P 0 ///// /// 8 0' ' 8 0' ' ///// ///// / 0'8 8' 9 0'67 '67 ///// ///// /// 0'67 '67 0'5 5' ///// ///// ///// 5 0'500 5' '78 78' 4 ///// ///// 0 0'667 6' ' '00 5 /// 0'0500 5'00 60 ' '00 Totales : 60 ' '00 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS APROPIADOS PARA ESTE TIPO DE VARIABLE DIAGRAMA DE BARRAS : Sobre el valor de cada varable dbujamos una barra con altura gual a la frecuenca que deseamos representar (en este caso las absolutas n ). POLÍGOO DE FRECUECIAS : Obtendos enlazando los extremos superores de las barras. OTA :Sendo la varable dscreta, no tene sentdo dbujar el polígono de frecuencas. DIAGRAMAS ACUMULADOS : Construdos como los anterores, son los representatvos de las dstntas frecuencas acumuladas. El ejemplo representa las frecuencas absolutas acumuladas (). El polígono de frecuencas se construría enlazando los extremos superores de las barras. PICTOGRAMAS: Con el msmo prncpo segudo para la construccón de los dagramas de barras, susttumos dchas barras por dbujos alusvos a la varable estadístca estudada. DIAGRAMAS DE SECTORES : Resultan de la dvsón de un círculo en sectores cuya ampltud es proporconal a la frecuenca. La ampltud de cada sector será : α. 60º r.60º n

12 MEDIA, VARIAZA Y DESVIACIÓ TÍPICA x n n.x n.x Este tpo de tabla faclta los cálculos Meda 7 / 60,8 6 5 Varanza (4 / 60) - meda al cuadrado ' Desvacón típca raíz cuadrada de la varanza ' n. x x 7 '8 60 s x n x. x 4 '8 60 '00 s x s ' 005 ' 46 x MODA Valor de mayor frecuenca PERCETILES Para la determnacón de meddas de poscón (percentles), podemos segur dos procedmentos de cálculo : º) Basado en las frecuencas absolutas acumuladas : Determnamos el lugar que ocupa : L k. / 00 El percentl será el valor cuya frecuenca prmero guale o supere al lugar L. º) Basado en porcentajes acumulados P : El percentl será el valor cuyo porcentaje P prmero guale o supere al orden k del percentl. Aplquemos el prmer procedmento para calcular la medana y el 9º decl : La medana (percentl 50) ocupará el lugar : L / 00 0 El 9º decl (percentl 90) ocupará el lugar : L / x n Medana º decl Aplcando el segundo procedmento descrto, determnemos los cuartles º y º, así como la ampltud semntercuartílca : H x n f h 0 8 0' ' ' 0'8 8' '67 Cuartl º (percentl 5) 0'67 '67 5' 5 0'500 5'00 78' Cuartl º (percentl 75) 4 0 0'667 6'67 95'00 5 0'0500 5'00 00'00 60 ' '00 Ampltud sem-ntercuartílca Q Q

13 Trabajamos ahora con las edades de 50 jóvenes de nuestro barro : Como en el ejemplo anteror, realcemos un estudo estadístco completo. os encontramos ante una varable estadístca cuanttatva contnua. Agruparemos o no las observacones en ntervalos en funcón de los dferentes valores observados. TABLA DE FRECUECIAS Observado el valor mínmo () y máxmo (4), decdmos agrupar los datos en ntervalos de 5 años de ampltud, empezando por 0. H Intervalos recuento n f h F [ 0, 5 ) ///// 5 0' '0 0 [ 5, 0 ) ///// ///// 0 0' '0 0 [ 0, 5 ) ///// ///// ///// / 6 0' 0'6 6 [ 5, 0 ) ///// / 6 0' 7 0'74 74 [ 0, 5 ] ///// ///// /// 0' '00 00 Totales : 50 '00 00 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS HISTOGRAMA : Sobre el valor de cada varable dbujamos una franja con altura gual a la frecuenca que deseamos representar (en este caso las absolutas n ). POLÍGOO DE FRECUECIAS : Obtendo enlazando los puntos medos de los extremos superores de las franjas. HISTOGRAMAS ACUMULADOS : Construdos como los anterores, son los representatvos de las dstntas frecuencas acumuladas. El ejemplo representa las frecuencas absolutas acumuladas ( ). En este caso, el polígono de frecuencas O se construría enlazando los puntos medos de los extremos superores de las franjas, sno como se ndca en la fgura. Cálculo de Moda, Meda, Varanza y Desvacón típca : Para el cálculo de la meda y la varanza utlzamos la tabla auxlar sguente. En ella se ncorpora la columna x, que contene la marca de clase (valor central) de cada ntervalo. La MODA (valor de mayor frecuenca) se encuentra en el ntervalo [0, 5). Determnemos su valor concreto : Mo e + n + n+ 6. a '875 + n Intervalos n x n.x n.x [ 0, 5 ) 5 '5 '5 '5 [ 5, 0 ) 0 7'5 75'0 56'50 [ 0, 5 ) 6 '5 00'0 500'00 [ 5, 0 ) 6 7'5 05'0 87'50 [ 0, 5 ] '5 9'5 658' '0 5'50

14 n. x x 685 '7 50 s x. x n x 5'5 ' s x s 4' 56 6' 54 x Utlzando las frecuencas absolutas acumuladas, calculemos el decl º y el percentl 6 : Lugar que ocupa el decl º (percentl 0) / 00 0 Lugar que ocupa el percentl / 00 Intervalos n [ 0, 5 ) 5 5 [ 5, 0 ) 0 5 Decl º (percentl 0) en [5,0) Lugar 0 [ 0, 5 ) 6 Percentl 6 en [0,5) Lugar [ 5, 0 ) 6 7 [ 0, 5 ] Determnemos sus valores concretos : 0. P e + 00 n 6. P e + 00 n a a Utlzando los porcentajes acumulados, calculemos el cuartl º y la medana : H Intervalos n f h [ 0, 5 ) 5 0'0 0 0 [ 5, 0 ) 0 0'0 0 0 Cuartl º (percentl 5) en [5,0) [ 0, 5 ) 6 0' 6 Medana (percentl 50) en [0,5) [ 5, 0 ) 6 0' 74 [ 0, 5 ] 0' '00 00 Determnemos sus valores concretos : P e a.5 n P e a.5 n '5 5 8'75 ' 5

15 x n De la presente dstrbucón, calculemos : 6 Meda, varanza y desvacón típca. 5 Moda. 4 0 Medana, Percentl 8, Cuartles y ampltud sem-ntercuartílca. 5 9 La varable establecda puede ser dscreta o contnua sn agrupar en ntervalos. Realcemos los cálculos en ambos supuestos. x n P n.x n.x ' ' Meda n. x x 4 '55 40 Varanza σ. x n x 544 ' '99 Desvacón típca σ 0' ' Moda Cuartl º (percentl 5) Medana (percentl 50) Cuartl º (percentl 75) 4 Percentl 8 5 Rango sem-ntercuartílco Q Q 4 05 ' Los valores anterores, relatvos a percentles, son váldos s la varable es DISCRETA. En el supuesto de tratarse de una varable COTIUA (con datos no agrupados), deberíamos entender que el valor dentfca el ntervalo stuado a la zquerda en la sguente tabla : Intervalo x n P ['5,'5) ['5,'5) '5 ['5,4'5) '5 [4'5,5'5] Los percentles peddos se obtendrían del modo sguente : Medana en ['5,'5) Percentl 8 en [4'5,5'5] Cuartl º en ['5,'5) Cuartl º en ['5,4'5) Me P 50 5 ' ' P 8 45 ' ' Q P5 5 ' ' Q P75 5 ' ' 400 0

16 4 Interv. n De la dstrbucón de la zquerda, calcular : [0,) 5 Meda, varanza y desvacón típca. [,4) Moda [4,6) 9 Medana, Percentl 59 y Decl º. [6,8) Desvacón meda. [8,0] 4 Coefcentes de asmetría y curtoss. Interv. n a P n.a n.a [0,) 5 5 8' [,4) 6 6' [4,6) ' [6,8) ' [8,0] ' Meda n. a x Varanza. 96 5'667 n a 45 σ x 5' '4 Desvacón típca σ 4' 46 ' 4 Moda en [6,8) Medana (percentl 50) en [4,6) Percentl 59 en [6,8) Decl º (percentl 0) Desvacón meda en [4,6) 4 Mo ' Me P ' P ' D P ' 05 9 Asmetría y 4 x x n. x x x x n.( x x) n.( x x) Curtoss 4'667 ' -4'667-88'65 657'0090 '667 4'9 -'667-8'09 90'644 0'668 5'0668-0'668-0'60 0'096 '7 6'4000 '7 09'68 89'5604 '7 4'9 '7 08'75 777'0466 0' '44 94'0765 Desvacón meda Asmetría (-0'54 < 0) Algo asmétrca haca la zquerda Curtoss (-0'5608 < 0) Lgeramente aplanada (Platcúrtca) As K n. x x D ( x x) n. σ 0'6667 ' '44 60 ' 4 ( x x) n. 4 σ 4 94' ' 4 4 0'54 0'5608

17 La dstrbucón de las estaturas en centímetros de los alumnos de un centro, expresados en porcentajes, es la sguente: Estaturas Porcentajes Menos de 50 0' De 50 a 54 '6 De 55 a 59 9'4 De 60 a 64 0'5 De 65 a 69 '5 De 70 a 74 '5 De 75 a 79 0'7 De 80 y más '5 a) Sendo abertos los ntervalos prmero y el últmo, qué valores sería razonable consderar para los límtes extremos de esos ntervalos? b) S suponemos que en el Centro hay 00 alumnos, cuáles serían las frecuencas absolutas? c) Calcular la estatura meda y la desvacón típca. d) Entre qué estaturas se encuentra la qunta parte de las estaturas centrales?. a) Al referrse a ntervalos de 5 cm. de ampltud en los restantes casos, debemos consderar que el prmer ntervalo es de 45 a menos de 50 y, el últmo, de 80 a 85. b) c) d) H Estaturas h n h. 00 / 00 n [45,50) 0' '6 4 0' 4 [50,55) '6 9' 9 '9 [55,60) 9'4 '8 ' 6 [60,65) 0' '8 8 [65,70) ' ' 760 [70,75) ' '8 00 [75,80) 0'7 8'4 8 96'5 58 [80,85) ' ' Estaturas n x n.x n.x [45,50) 4 47'5 590'0 8705'00 [50,55) 9 5'5 897' '75 [55,60) 57'5 7797'5 8006'5 [60,65) 46 6'5 9975' '50 [65,70) 78 67'5 65' '50 [70,75) 70 7' ' '50 [75,80) 8 77'5 70' '00 [80,85) 4 8'5 7665'0 9886' ' ' De aquí resulta : x 00 67' ' 95 4' 006 s x 4' 006 6' s x La qunta parte representa el 0%. Con relacón al centro (50%), cubrrán desde el 40% al 60%. Se nos pde que calculemos los percentles 40 y 60 de la dstrbucón de estaturas. La tabla de porcentajes acumulados del apartado b) nos permte deducr que : Los percentles 40 y 60 se encuentran en el ntervalo [65,70). Sus valores concretos son : P e + a '96 n P e + a '47 n 78

18 Partendo de la sguente dstrbucón de frecuencas acumuladas, determnar la meda, medana y moda de la sguente dstrbucón de edades. Analce la relacón entre ellas. Edad [0,) 4 [,4) [4,6) 4 [6,8) 4 [8,0] 40 Calculemos los parámetros peddos, con el fn de observar en qué medda se verfca la relacón x Mo. ( x Me) Para obtener las frecuencas absolutas, a partr de las acumuladas, aplcamos el concepto que defne a estas últmas. En la práctca, las frecuencas absolutas se obtenen restando la correspondente acumulada de la anteror. Edad n x n.x n.x [0,) [,4) [4,6) [6,8) [8,0] x 40 5' 5 Lugar que ocupa la medana : L / 00 0 La medana está en [4,6) : 0 Me ' 846 Comprobemos la relacón exstente entre ellas : x Mo 5'5 5' 765 0' 75. x Me. 5'5 5'845 0' ( ) ( ) 05 La moda se encuentra en [4, 6). Su valor concreto es : 0 Mo ' o se verfca la relacón esperada, s ben la dferenca no es muy grande. Esta relacón teórca sólo se verfca en stuacones deales y excepconales (por ejemplo en dstrbucones smétrcas, donde x Mo Me ).

19 Completar la tabla de frecuencas sguente : º de suspensos n º de suspensos n 0 concde con el valor de n 7 0 para que al acumular resulte 0 acumulando 8 0 para que al acumular resulte Últma acumulada 50 y n0 por dferenca con la anteror

20 Calcular la ampltud sem-ntercuartílca de la dstrbucón de las edades de 400 nños, representada a la zquerda. Conocdos los porcentajes y el total de observacones (400), podemos construr la dstrbucón de frecuencas absolutas : n p. / 00 x p n P Prmer cuartl (percentl 5) Tercer cuartl (percentl 75) 400 La ampltud o rango sem-ntercuartílco será pues : Q Q '

21 Una varable X tene por meda y desvacón típca. S elevamos todos los valores al cuadrado construmos la nueva varable Y X. Cuál es el valor de su meda artmétca?. Observemos la expresón de la varanza :. x x n s n x La prmera parte de la expresón contene los cuadrados de los valores de la varable X; es decr, los valores defndos como la nueva varable Y. Con esto : x s y x y s x y n s x x n x

22 Una varable X tene como meda 8 y varanza 4. Qué transformacón lneal hemos de realzar con ella, para obtener una nueva varable Y que tenga por meda 4 y desvacón típca 0?. Se entende por transformacón lneal a una relacón del tpo : Hemos de calcular los parámetros a y b desconocdos. Y a + b.x Hacendo uso de las propedades de la meda y la desvacón típca, resulta : Sobre la meda Ya+b.X 4 a+ b. 8 En relacón con la desvacón típca s b. s 0 b. b 5 a La transformacón realzada fue : Y + 5.X Y X

23 Las calfcacones de un alumno en dos test de conocmentos fueron 5'4 y 4. El prmer test do como meda 5 con varanza y, el segundo, meda 8 con varanza. En qué test obtuvo mejor calfcacón con relacón al grupo total de alumnos?. os encontramos con dos dstrbucones de calfcacones meddas en dstntas escalas. Para poder comparar tendremos que referr ambas seres de valores a otras equvalentes entre sí (gual meda y desvacón típca). El proceso de tpfcacón nos proporcona lo que deseamos (sempre obtendremos una dstrbucón con meda 0 y desvacón típca ). Tpfcando ambas calfcacones se obtene : 54 ' 5 ota del test º : 54 ' z 0' ota del test º z : 4 ' La nota obtenda en el segundo test es superor a la del prmero en térmnos comparatvos.

24 Estatura en cm. Alumnos [40,45) [45,50) 5 [50,55) 5 [55,60)? [60,65) 7 e) Entre qué estaturas se encuentran las 5 centrales?. f) Porcentaje de alumnos que mden más de 57 cm. a) Determnar la frecuenca desconocda, sabendo que la estatura meda es de 5 5 cm. b) Calcule la ampltud sem-ntercuartílca. c) Moda de la dstrbucón y coefcente de asmetría que la utlza. d) Percentl correspondente a una estatura de 5 cm.. Explque su sgnfcado. a) x n n.x [40,45) [45,50) [50,55) [55,60) 57 5 f 57'5.f [60,65) f '5.f La tabla de cálculos de la meda conduce a : 5787' ' 5. f 55 ' 05 + f Resolvendo deducmos que : f 0 b) n [40,45) [45,50) 5 47 [50,55) 5 98 [55,60) 0 8 [60,65) Luego : Q Q Q 0 c) º) Moda en [50,55) : Mo ' x n n.x n.x Lugar Q 5. 5 / 00 5 Q se encuentra en [45,50) 5 ' Q ' 75 5 Lugar Q / Q se encuentra en [50,55) 975 ' 47 Q ' ' 58 47' ' 8785 ' s 55 ' 5 s 50 ' x Mo As 0'064 s n [40,45) [45,50) 5 47 [50,55) 5 98 [55,60) 0 8 [60,65) d) 5 se encuentra en [50,55) 5 k. Pk Resolvendo : k e) Lugar / ; en [50,55) : P '9 5 Lugar / ; en [50,55) : Entre 50 9 y P ' 75 5

25 f) 57 se encuentra en [55,60) 5 k. Pk Resolvendo : k 84 8% (porcentaje nferores a 57) Luego, mden más de 57 cm. : 00% % 5 %

26 Edad Hombres Mujeres a a a a a 8 a) Determne el número de hombres con edades comprenddas entre los y 5 años. b) Cuál de los dos grupos de edades está más dsperso?. c) Con relacón al grupo ntegrado por los del msmo sexo, quén resulta más joven, un hombre o una mujer de 0 años?. Hombre Mujer x n n.x n.x n n.y n.y [0,) [,6) [6,9) [9,) [,5) a) pertenece al ntervalo [0,) : P 5 pertenece al ntervalo [,6) : P Entre y 5 el %. b) Calculamos las varanzas de ambos grupos : 40 k. k k 667% ' 8 40 k. k k 8% ' Luego hay : / hombres x 7' ; sx 7' 7' 9 ; sx 7' 9 4' ' 775' 5 y 7' 6 ; sy 7' 6 ' 84 ; sy ' 84 ' Sendo 7 9 > 84 Grupo hombres más dsperso de forma aboluta Pese a ser las medas práctcamente guales, debemos emplear el coefcente de varacón para estudar la varabldad relatva de ambos grupos : 4 ' CVx CVy % 49 '. ' ;. 00 0' 0% hombres más dsperso ' 7' 6 c) Tpfcamos 0 en ambos grupos : Z 0 7' 0 7' 6 0' 66 ; Z 0' 785 7' 9 ' 84 hombre mujer Como 0 66 < Hombre más joven

27 La tabla sguente nos muestra las calfcacones de 0 alumnos, en un test de cálculo matemátco, al nco del curso y al fnalzar el msmo. Alumno Inco Fnal a) Determne la meda, desvacón típca, medana y moda de las calfcacones al nco y al fnal del curso. b) Calcule la meda y desvacón típca del ncremento o mejora de la calfcacón obtenda. a) Ordenando valores : Inco x x x 7 ' ; s x 7 ' 487 ' Medana 5 Moda Fnal y y Ordenando valores : 6 4 y 6 ' ; s y 6 ' 9 ' b) Medana 6 Moda 6 Mejora d d d 6 ' ; s d 6 ' 48 ' 0 0 Meda de la dferenca : d y x 6 ' 7 ' 6 ' ( o es váldo para dspersones )

28 º Suspensos Alumnos a) Determne la meda, desvacón típca, coefcente de varacón, medana y moda del número de suspensos. b) Coefcente de asmetría de Fsher. c) Puntuacón dferencal y tpfcada correspondente a suspensos. a) De la sguente tabla de cálculos obtenemos : x 975 s CV ' ' ' ' '78% 975 ' Medana : / 40 Me Moda x n n.x n.x x x n.( x x) b) c) n.( x x) 95'7975 As 80 0'44 Lgeramente asmétrca a la derecha (o postva) s '564 x d x x 975 ' 0' 05 x x 005 ' z 006 ' s 564 '

29 Estatura ños A La altura en cm. de los nños de años, examnados durante la últma semana en la undad de crecmento del centro hosptalaro Creceben, vene representada en la tabla de la zquerda. Sabendo que la altura meda de los msmos es cm., calcular : a) La frecuenca A del tercer ntervalo. b) La smetría de la dstrbucón a partr de la comparacón de meda, medana y moda. c) El percentl correspondente a un nño que mde 4 m.. x n n.x A 4.A TOTAL +A A A a) x 47' 75 + A Resolvendo la ecuacón anteror obtenemos el valor de A : (+A) A A A 5 75.A 46 A 8 b) Calculemos la medana y la moda de la dstrbucón : Intervalos n Moda en [49 5, 54 5) : [9 5, 4 5) [4 5, 9 5) Mo 49 ' [9 5, 44 5) ' 75 [44 5, 49 5) Lugar que ocupa la medana 40/ 0 [49 5, 54 5) 6 0 [54 5, 59 5) 4 40 Medana en [44 5, 49 5) : Me 44' ' 5 x Mo.( x Me) Utlzando los coefcentes de asmetría : As As s s y sendo sempre postva la desvacón típca,concluremos que la smetría resultará del análss del sgno del numerador. x Mo 47' 75 50' 75 < 0.( x Me).( 47' 75 48' 5) ' 5 < 0 Luego es asmétrca zquerda (o negatva). c) La altura 4 m. ( 4 cm.) se encuentra en el ntervalo [9 5, 44 5) : k. 40 k Pk '. 58 '. 86 ' '. 5 5 ' '. k k ' ' Luego corresponde al percentl 5.

30 X n Dada la sguente dstrbucón de frecuencas., calcular : a) Meda y desvacón típca. b) úmero de observacones comprenddas entre las puntuacones drectas 5 y 9 5. c) Puntuacones típcas de los percentles 0 y 80. Ordenamos los ntervalos de menor a mayor, expresándolos medante sus extremos reales. Intervalos n x n.x n.x [ 0 5, 5 ) [ 5, 6 5 ) [ 6 5, 9,5 ) [ 9 5, 5 ] Totales a) x 65 ' s 6' ' s 5875 ' ' b) De la observacón drecta de la tabla se concluye que es 60 (60+00). c) Percentl 0 : Lugar 0 x 00 / (Observando ) se encuentra en [ 5, 6 5 ) P z ' '. 0' ' 44 Percentl 80 : Lugar 80 x 00 / (Observando ) se encuentra en [ 6 5, 9,5 ) ' 65 ' P80 65 ' ' z 0' 9 00 ' 44

31 x n 0 6 Hacendo uso de coefcentes basados en meddas de poscón, estude la asmetría y el apuntamento de la dstrbucón. Tales coefcentes son el de asmetría de Yule y el de curtoss de Kelley. Obtengamos los percentles que ntervenen en su cálculo a través de la columna de porcentajes acumulados (P) : x n r p P Cuartl º : (5%) Cuartl º : (75%) Medana : (50%) Percentl 0 : (0%) 0 50 Percentl 90 : (90%) Con ellos : Y Q. Me + Q. + (asmétrca a la zquerda o negatva) Q Q Q Q Q K 0' 6 0' 6 0' 6 0' 096 (lgeramente platcúrtca o aplastada) P P P P

32 Determne las medas artmétca, geométrca y armónca de la varable X que toma los valores sguentes : 5,, 5, 4, 8. x Meda artmétca : 5 x ' 5 5 Meda geométrca : x 5 5 G x x x 5 0 ' ' Meda armónca : 5 5 xa 87 ' 775 ' x

33 x n Determne las medas artmétca, geométrca y armónca de la dstrbucón. Generalzamos las expresones correspondentes al fgurar frecuencas : Meda artmétca : n. x x ' 0 0 Meda geométrca : Meda armónca : x x G A 0 n n n x. x... x n n n x ' '95 0'05 '077

34 Con el fn de estudar la edad meda y la dspersón de edades en un centro educatvo, el drector solcta estos datos a los responsables de los dstntos nveles, resultando : 00 alumnos de Prmara con meda años y varanza alumnos de Secundara con meda 4 6 años y varanza. 65 alumnos de Bachllerato con meda 7 años y varanza 0 9. Cuál es la edad meda y la varanza del colectvo total de alumnos del centro?. Meda conjunta de los grupos Varanza conjunta de los grupos n. x ' ' ' X 99 ' n S ( ) n n. S n. x X + n 00.' ' ( ' 99) + 40.( 4' 6 ' 99) + 65.( 7' ' 99) ' 46' ' ' 8'

35 De las 0 observacones de dos varables X, Y, conocemos : ΣX 4 ; ΣX 40 ; ΣY 4 ; ΣY 54 ; ΣXY 98. Determne la meda y varanza de la varable V X - Y. Calculemos la meda y varanza de X, la meda y varanza de Y, así como la covaranza. 4 X 4 0 ' Y ' S X 4 ' 04 ' S 0 Y 4 ' 84 ' 0 X. Y 98 SXY XY. 4 '. 4 ' 04 ' 0 Con ello : V X Y XY V X Y 4 ' 4 ' 8 S S + S. S 04 ' + 84 '. 04 ' ' 8

36 El estudo de las faltas de asstenca a clase de alumnos de un grupo de º de Secundara produjo los resultados sguentes : Faltas Alumno 4 s Determne la medala y estude analítca y gráfcamente el grado de concentracón de la dstrbucón. Los cálculos de la medala, índce de Gn y curva de Lorenz, se obtenen a partr de la sguente tabla auxlar: x n Σ n. P (.. /).00 t n. x T Σ t. Q (T.. /T).00 P - Q '95 4' '987 ' '675 5' '065 4' '545 0' '0 4' ' 0' TP 55 T 77 TD '8 Unendo el orgen del rectángulo (0, 0) con los sucesvos puntos (P, Q ) obtenemos la curva de Lorenz de la derecha. Las sumas TD y TP permten obtener el índce de Gn : TD 8 ' G 0' 09 TP Conclumos la presenca de una certa concentracón (lo cuál tambén se adverte con la gráfca). Medala 5 ya que el prmer valor que guala o supera a 50 en la columna Q es 54'545, el cuál corresponde a x 5.

37 Un análss del pago de mpuesto en el sector de hostelería ofrecó los resultados sguentes (mportes mensuales por pesetas) : Importe [0,) [,4) [4,6) [6,8) [8,0) [0,] Empresas Determne la medala y estude analítca y gráfcamente el grado de concentracón de la dstrbucón. Los cálculos de la medala, índce de Gn y curva de Lorenz, se obtenen a partr de la sguente tabla auxlar: x n Σ n. P (.. /).00 t n. x T Σ t. Q (T.. /T).00 P - Q [0,) 0'97 '70 [,4) '967 5'0 [4,6) '55 '745 [6,8) '798 0'0 [8,0) '840 '60 [0,] TP T 674 TD '84 Con TD y TP obtenemos el índce de Gn : TD 84 ' G 0495 ' TP Conclumos que exste una concentracón muy baja (lo cuál manfestará tambén la gráfca de Lorenz). Unendo el orgen del rectángulo (0, 0) con los sucesvos puntos (P, Q ) obtenemos la curva de Lorenz de la derecha. Medala en el ntervalo [6, 8) ya que el prmer valor que guala o supera a 50 en la columna Q es 6'798, el cuál corresponde al ntervalo ndcado. De aquí : 50 Q Ml e + Q Q. a 50 ' ' 798 ' 55 7 ' 57

38 x f Hacendo uso del cálculo de momentos ordnaros de órdenes º al 4º, determne el valor de 0 la meda, varanza, asmetría y curtoss de la dstrbucón de la zquerda Tabla de cálculo de momentos ordnaros : a a a a 4 x n n.x n.x n.x n.x Totales : k n n. x k Orden ak. x m k a ' m 0 9 a 797 ' m a a ' ' 0' a 9708 ' m a. a. a+. a... 0' a 4 7' 797 m4 a4 4. a. a+ 6. a. a. a... ' Con los momentos calculados : Meda µ x a 708 ' Varanza σ s x m 0874 ' Coefcente de asmetría m 0468 ' As 004 ' ( m ) ( 0874 ' ) Coefcente de curtoss K m 4 ' 954 0' 009 m 0874 '

39 6 Hacendo uso del coefcente de varacón, compare la dspersón o varabldad relatva de las dos varables descrtas en cada uno de los apartados sguentes : a) El peso medo de los toros de una ganadería es de 40 kg. con desvacón típca de kg. y, el peso medo de los perros de una granja es de 8 kg. con gual desvacón típca. b) Dos fábrcas producen tornllos con gual longtud meda (50 mm.), sendo la desvacón típca de la prmera de mm. y de mm. la de la segunda. a) CVT CVP ' 49% 00 5% 8. ' El peso de los perros tene mayor varabldad b) CVA CVB % 00 4% 50. Los de la ª tenen mayor varabldad

40 X n A n B La tabla muestra la comprensón lectora (X) de dos grupos de sujetos educados en nveles sococulturales altos (A) y bajos (B). S a partr de la puntuacón X9 se consdera una comprensón lectora buena, calcular : a) El porcentaje de personas en cada grupo con una buena comprensón lectora. b) Cuál de los dos grupos presenta mayor varabldad? (Razone adecuadamente su respuesta). Expresamos los ntervalos con extremos reales, obtenendo la tabla de cálculos de percentles, meda y varanza de ambos grupos. x n A A n A.x n A.x n B B n B.x n B.x [-0'5,6'5) [6'5,'5) ['5,0'5) [0'5,7'5) [7'5,4'5] a) Calculemos el orden k del percentl que es gual a 9. Este nos da el porcentaje de los que tenen menos de 9 puntos, luego, como deseamos saber el porcentaje de los superores a 9, la respuesta será su dferenca hasta 00. El valor 9 se encuentra en el ntervalo ['5,0'5) : En el grupo A : k Pk 9 5 ' k 468 ' 9 Luego el 57'% (00-4'68) tenen buena comprensón lectora en el grupo A. b) En el grupo B : k. 0 Pk 9 5 ' k 604 ' 9 Luego el 9'76% (00-60'4) tenen buena comprensón lectora en el grupo B. Mayor varabldad la presentará aquel grupo que posea mayor dspersón entre sus valores. Con mayor rgor, s la meda es representatva de las observacones (no exsten valores extremos exageradamente dstancados de la mayoría), es el coefcente de varacón el más adecuado para medr la varabldad relatva entre dos seres estadístcas (mayor coefcente ndca menor homogenedad; un menor valor ndcará menor dspersón o varabldad). S comparamos medante las varanzas : XA 9' 8 ; SA 9' 8 77' 9 ; XB 6' ; SB 6' 6 ' el grupo A presenta una mayor varabldad. S comparamos medante los coefcentes de varacón : SA 77' 9 SB ' CVA. 00. ' CVB.. ' X 9' % X % 6' A luego, conclumos que el grupo B presenta una mayor varabldad relatva (44'58 < 48'78), en contra de lo obtendo comparando varanzas. B

41 X n A n B La tabla muestra la comprensón lectora (X) de dos grupos de sujetos educados en nveles sococulturales altos (A) y bajos (B). S a partr de la puntuacón X9 se consdera una comprensón lectora buena, calcular : a) El porcentaje de personas en cada grupo con una buena comprensón lectora. b) Cuál de los dos grupos presenta mayor varabldad? (Razone adecuadamente su respuesta). Expresamos los ntervalos con extremos reales, obtenendo la tabla de cálculos de percentles, meda y varanza de ambos grupos. x n A A n A.x n A.x n B B n B.x n B.x [-0'5,6'5) [6'5,'5) ['5,0'5) [0'5,7'5) [7'5,4'5] a) Calculemos el orden k del percentl que es gual a 9. Este nos da el porcentaje de los que tenen menos de 9 puntos, luego, como deseamos saber el porcentaje de los superores a 9, la respuesta será su dferenca hasta 00. El valor 9 se encuentra en el ntervalo ['5,0'5) : En el grupo A : k Pk 9 5 ' k 468 ' 9 Luego el 57'% (00-4'68) tenen buena comprensón lectora en el grupo A. b) En el grupo B : k. 0 Pk 9 5 ' k 604 ' 9 Luego el 9'76% (00-60'4) tenen buena comprensón lectora en el grupo B. Mayor varabldad la presentará aquel grupo que posea mayor dspersón entre sus valores. Con mayor rgor, s la meda es representatva de las observacones (no exsten valores extremos exageradamente dstancados de la mayoría), es el coefcente de varacón el más adecuado para medr la varabldad relatva entre dos seres estadístcas (mayor coefcente ndca menor homogenedad; un menor valor ndcará menor dspersón o varabldad). S comparamos medante las varanzas : XA 9' 8 ; SA 9' 8 77' 9 ; XB 6' ; SB 6' 6 ' el grupo A presenta una mayor varabldad. S comparamos medante los coefcentes de varacón : SA 77' 9 SB ' CVA. 00. ' CVB.. ' X 9' % X % 6' A luego, conclumos que el grupo B presenta una mayor varabldad relatva (44'58 < 48'78), en contra de lo obtendo comparando varanzas. B

42 EJERCICIOS PROPUESTOS 4 Las edades de los alumnos que assten a clase de repaso en una academa son las sguentes a) Construr la tabla completa de frecuencas. b) Calcular la moda. c) Determnar su meda artmétca, varanza y desvacón típca. d) Obtener el valor de la medana, del percentl 9 y de la ampltud sem-ntercuartílca. La tabla sguente contene los pesos en kg. de los alumnos de un curso '5 40' ' ' '5 49' '5 45' '5 a) Agrupar los valores en ntervalos de 5 kg. de ampltud, comenzando por 5 kg., realzando un recuento de los msmos y confecconando la tabla completa de frecuencas b) Calcular la moda de dcha dstrbucón de pesos. c) Determnar su meda artmétca, varanza y desvacón típca. d) Obtener el valor de la medana, y del 8º decl. Sea la sguente dstrbucón de frecuencas: x n a) Calcular la meda de esta dstrbucón. b) S se suma a los valores de x la cantdad A, qué relacón guarda la meda de la nueva dstrbucón con la de la anteror?. Generalzar este resultado y demostrar que s en una dstrbucón de frecuencas de meda m, se susttuyen los valores x por x + A, mantenendo las frecuencas, la meda m' de la nueva dstrbucón verfca : m' A + m c) Utlzando la gualdad obtenda, cómo podría calcularse más fáclmente la meda de la dstrbucón sguente? x n Una sere famlas se han clasfcado por su número de hjos, resultando : º de hjos º de famlas Se pde: a) Calcular la tabla completa de frecuencas. b) Representacones gráfcas. c) Calcular la meda, medana y moda. d) Hallar el recorrdo, varanza y desvacón típca.

43 5 Ordenar las cuatro dstrbucones sguentes de mayor a menor dspersón Los precos de una chaqueta en once establecmentos fueron (en pts.): Calcular la desvacón meda respecto de la medana y respecto de la meda. S en una dstrbucón de frecuencas duplcamos las ampltudes de los ntervalos, qué sucederá, aproxmadamente, con los valores de las frecuencas?. Represente el hstograma correspondente a la sguente dstrbucón de edades de los trabajadores de una fábrca. Edades º de trab. de 0 a menos de 5 5 de 5 a menos de 5 0 de 5 a menos de de 45 hasta 65 4 Ponga un ejemplo sencllo de una dstrbucón de frecuencas smétrca. Calcule su moda, meda y medana, verfcando que los tres parámetros concden. A la zquerda se muestra el gráfco representatvo de las frecuencas absolutas acumuladas de la dstrbucón de edades de 40 ndvduos. a) Obtenga su meda, medana y moda. b) Cuántos tenen edades nferores a cnco años y medo?

44 Una varable X tene como meda y varanza 9. S se obtene una nueva varable Y multplcando los elementos de X por 4 y restándoles 8 undades, cuál es el valor del coefcente de varacón de Y?. Una varable X toma los valores : Realzada una transformacón lneal con ella, se generó una nueva varable de la que conocemos que su meda era 5 y que la puntuacón X se transformó en Y. Calcule las cuatro puntuacones Y desconocdas. X n Estude la smetría y el apuntamento (curtoss) de la dstrbucón de la zquerda OTA : 4 6 Obtenga los dstntos coefcentes conocdos. Compare los resultados. 5 4 ota Alumnos La tabla de la zquerda nos muestra la dstrbucón de calfcacones de los alumnos de un curso. a) Determne su meda, medana y moda. b) Qué porcentaje de observacones tenen nota nferor a 6?. c) Entre qué valores se encuentra el 70% de las notas centrales? d) Obtenga el coefcente de varacón y la ampltud sem-ntercuartílca. ota n De la dstrbucón de notas de 0 alumnos, calcular : [0, ) a) Frecuencas absolutas smples (f) y acumuladas (F) que faltan en la tabla. [, ) b) Coefcente de varacón. [, ) 5 c) Porcentaje de alumnos con notas nferores a '6. [, 4) d) Entre qué notas se encuentra el 0% de las calfcacones centrales?. [4, 5) e) Momentos ordnaros y centrales hasta el 4º orden. [5, 6) 6 f) Coefcentes de asmetría y curtoss, utlzando los momentos calculados en e). [6, 7) 9 [7, 8] Con el fn de estudar la dstrbucón de fallos en una peza de tela, se realzó un recuento de los contendos en cada metro. Los resultados fueron los sguentes : Fallos º de metros a) Estude el grado de concentracón de la dstrbucón de fallos a lo largo de la peza de tela. b) Calcule su meda y su medala. La tabla sguente muestra los fallos cometdos por alumnos en la realzacón de un test de 0 tems. Errores [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) Alumnos a) Estude el grado de concentracón de la dstrbucón de preguntas con respuesta errónea. b) Calcule su medala.

45 4 SOLUCIOES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS a) x n r p R P 0'0 0' ' ' 5 0 0' ' 6 4 0' ' ' ' ' ' ' '00 00 b) Mo 6 c) x 6' ; s '7856 ; s '6 d) Me 6 ; P 9 5 ; Q a) Intervalo n r p R P [5,40) 0'075 7'5 0'075 7'5 [40,45) 4 0'50 5'0 7 0'45 4'5 [45,50) 8 0'00 0'0 5 0'65 6'5 [50,55) 9 0'5 '5 4 0'850 85'0 [55,60] 6 0'50 5'0 40 '000 00'0 b) Mo 4'66 c) x 47'65 ; s 6'859 ; s 6'07 d) Me 46'875 ; D 8 5'889 a) x '4 b) '4 + A c) Realzando el cambo : y x 754 a) x n r p R P 0 0' 0' 0' 4 0' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '0 99 0' '0 00 '00 00 b) % 5 0% 6 4% 7 % 8 % 0 % 0 5 5% % % c) x '8 ; Me ; Mo d) R 8 ; s '4 ; s '77

46 A, D, C, B. D Me D 870 x Se dvden por dos. Las alturas deben ser proporconales al área. Dvdmos las frecuencas según sea la ampltud del ntervalo. Alturas : 5 0 (0/) 4 (48/) 6 (4/4) 9 0 x n x Me Mo a) x 4'7 ; Me 5 ; Mo 6 b) 0 CV 5'789 5, 5, 5'667, 6' smétrca). As n. ( x x) σ x Mo σ - 0'9956 lgeramente asmétrca a la zquerda As 0'06786 lgeramente asmétrca a la derecha (práctcamente.(x Md) σ As - 0'057 lgeramente asmétrca a la zquerda Los coefcentes basados en la moda y la medana hacen uso de una relacón teórca entre los parámetros de centralzacón. Generalmente no conducen a la msma conclusón, salvo dstrbucones claramente asmétrcas.

47 K n 4.( x x) 4 σ - 0'6040 lgeramente aplastada (mesocúrtca) a) 75 ; 074 ; b) % c) y 5 d) 60'9707% ; 905 a) n, 0, 4,,, 6,,,, 5, 8,, 7, 9, 0 b) 8'664 c) 7 d) 4' y 5 e) a 4'4 ; a '5 ; a '7 ; a 4 70'065 m 0 ; m 0 ; '89 ; m -'60 ; m 4 '77 f) A -0' ; K -0'459 Índce de Gn 0'6567 Meda '4 ; Medala 8 Índce de Gn 0'94 Medala 60'56

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49 REGRESIÓ Y CORRELACIÓ Métodos Estadístcos Aplcados a las Audtorías Socolaborales DISTRIBUCIOES BIVARIATES El estudo de la relacón exstente entre dos varables X e Y conduce a la consderacón smultánea de ambas varables estadístcas. Tal dstrbucón de las dos varables se denomna bvarante. La presentacón de los datos expermentalmente observados puede hacerse : a) Medante los pares (X, Y ) : (X, Y ), (X, Y ), (X, Y ),... b) Tabla smple de frecuencas : c) Tabla de frecuencas de doble entrada : X Y n Y X Y n Y Y... Y m X Y n X n n... n m X X n n... n m X n Y n n n X n n n n n... n nm Dstrbucones margnales : Son las obtendas de la dstrbucón bvarante, al consderar de forma ndependente cada una de las dos varables. De ellas obtendremos los parámetros de centralzacón y dspersón característcos : meda y desvacón típca. X, s, s, Y, s, s X X Y Y Covaranza : Este índce de varacón conjunta de X e Y se defne como : n. ( X X )(. Y Y ) n. X. Y sxy X. Y nj. ( X X )(. Y j Y ) nj. X. Y j j j s para tablas smples de frecuencas X Y XY. entrada. S s XY 0 expresará que las varables X e Y son ndependentes. RECTAS DE REGRESIÓ para tablas de frecuencas de doble Representando los pares de observacones (X,Y) como puntos en un plano cartesano, obtenemos el denomnado dagrama de dspersón o nube de puntos. Por recta de regresón o de ajuste entendemos la recta que más se aproxma a los puntos representatvos de las observacones (X,Y). El método de los mínmos cuadrados proporcona un sstema de obtencón de tales rectas, establecendo que sea mínma la suma de los cuadrados de las separacones exstentes entre cada punto y la recta. Según se consderen estas separacones en vertcal (lo representado en la fgura) o en horzontal, se obtenen, respectvamente, las rectas de regresón de Y sobre X y de X sobre Y.

50 RECTA DE REGRESIÓ DE Y SOBRE X Y' a + b.x a ordenada en el orgen b coefcente de regresón de Y sobre X pendente de la recta de regresón tangente del ángulo que forma con el eje horzontal. Y' predccones de Y para el valor X observado. Los coefcentes a y b de la recta de regresón de Y sobre X se obtenen resolvendo el sstema : a. a. f. X + + b b.. n. X n. X ny. n. X. Y sxy el cuál tene como solucón : b a Y b. X sx RECTA DE REGRESIÓ DE X SOBRE Y X' a' + b'.y a' ordenada en el orgen b' coefcente de regresón de X sobre Y pendente de la recta de regresón. X' predccones de X para el valor Y observado. Los coefcentes a' y b' de la recta de regresón de X sobre Y se obtenen gualmente al resolver : o drectamente : a'. a'. f. Y + + b b'. '. ny. ny. sxy b' a' X b'. Y s Y n. X n. X. Y Otro procedmento de cálculo smplfcado permte obtener los coefcentes de regresón del sguente modo :. b. X. Y X ( X )(. Y ) ( X ). b '. X. Y Y ( X )(. Y ) ( Y ) S utlzamos puntuacones dferencales : x X X y Y Y, las rectas de regresón perden el térmno ndependente (ordenadas en el orgen a y a' ) al ser las medas nulas, sendo su expresón : y' b.x x' b'.y COEFICIETE DE CORRELACIÓ DE PEARSO La recta de regresón es la que pasa más cerca de las observacones, pero no nos ndca s pasa muy cerca o no de ellas. Hemos de defnr una medda del grado de asocacón o relacón entre ambas varables, lo cuál, en térmnos de recta de ajuste, ndcará la bondad de la msma. Tal coefcente se denomna coefcente de correlacón, defndo por Pearson del sguente modo : sxy sxy sxy sxy sxy r b. b' ya que : r b. b'. sx. sy sx sy sx. sy sx. s Según las expresones fnales obtendas para b y b', podemos tambén calcularlo como : r. X. Y ( X )(. Y ) ( X ).. Y [. X ][ ( Y ) ] La expresón conduce a las sguentes relacones (sn más que multplcar y dvdr por s X o por s Y ) : r b s r b s X. '. s s De aquí resulta que, s se trabaja con puntuacones tpfcadas (las desvacones típcas son guales a ) : Y r b b' y las rectas de regresón son : z' Y r.z' X ; z' X r.z' Y El coefcente de correlacón toma sempre valores comprenddos entre - y : - r Y X Y

51 Interpretacón : r Asocacón de las varables Bondad del ajuste próxmo a 0 Varables ndependentes o no relaconadas Mala recta de ajuste. o pasa cerca de las lnealmente observacones. próxmo a Varables relaconadas drectamente (cuando una Buena recta de ajuste. Crecente (pendentes b aumenta la otra tambén) y b' postvas) próxmo a - Varables relaconadas nversamente (cuando una Buena recta de ajuste. Decrecente (pendentes aumenta la otra dsmnuye) b y b' negatvas) CURVA DE REGRESIÓ DE LA MEDIA Este método es aplcable cuando una de las dos varables (o las dos) contene un bajo número de valores dstntos. Curva de regresón de la meda de Y condconada a X : El procedmento consste en susttur todos los pares de observacones que tenen el msmo valor de X por un únco par que tene por componentes dcho valor de X y la meda de los valores de Y. De gual modo puede establecerse la curva de regresón de la meda de X condconada a Y. Así, por ejemplo, la fgura muestra los pares sguentes: X : (,), (,) susttudos por el par (,), al ser la meda de y. X : (,), (,4), (,5) susttudos por el par (,'), al ser ' la meda de, 4 y etc... Con los pares (,), (,'),... obtenemos la recta de regresón por el procedmento ya descrto. Razón de correlacón : n. s y η. sy Toma valores comprenddos entre 0 y y sempre verfca que η r (rcoef. de correlacón lneal). La relacón entre las varables X, Y será de tpo lneal, cuanto más próxmo sea η a r. OTROS PROCEDIMIETOS DE CÁLCULO DEL COEFICIETE DE CORRELACIÓ r Coefcente de correlacón ϕ (ph) : El sguente procedmento se puede utlzar cuando las dos varables X e Y son dcotómcas. Y 0 Asgnemos los valores 0 y a ambas varables y realcemos el recuento X a b representado en la tabla de la zquerda. 0 c d El coefcente de correlacón ϕ toma el valor : ϕ Coefcente de correlacón bseral puntual r bp : ad bc ( a + b)(. c + d )(. a + c)(. b + d ) El sguente procedmento se puede utlzar cuando una varable es contnua y la otra dcotómca. Supuesta X contnua : r bp X X 0. pq. s X Sendo : X la meda de los valores de X que se corresponden con un en Y. X 0 la meda de los valores de X que se corresponden con un 0 en Y. s X la desvacón típca de X (consderados sus valores globalmente). p la proporcón de unos en Y. q-p la proporcón de ceros en Y. Coefcente de correlacón por rangos de Spearman ρ : El sguente procedmento se puede utlzar cuando las dos varables son ordnales (reordenacones de una sere de elementos). 6. d ρ. ( ) Sendo d las dferencas entre los valores de X e Y.

52 Los coefcentes de correlacón anterores no son más que una adaptacón del coefcente de correlacón de Pearson para tpos especales de varables. En consecuenca, su valor concde con el que habríamos obtendo sguendo el procedmento de Pearson (r); por ello, su nterpretacón es la establecda para r. OTROS COEFICIETES DE CORRELACIÓ O BASADOS E EL PEARSO Coefcente de correlacón tetracórca: Puede utlzarse cuando ambas varables son contnuas, pero ambas pueden dcotomzarse artfcalmente. Y 0 Asgnemos los valores 0 y a ambas varables y realcemos el recuento que se X a b representa en la tabla de la zquerda. 0 c d A) Método abrevado (aproxmado) : º Calculamos los productos : a.d y b.c. º S a.d > b.c, calculamos el cocente : C a.d / b.c (el coefcente de correlacón será postvo) º S a.d < b.c, calculamos el cocente : C b.c / a.d (el coefcente de correlacón será negatvo) 4º Consultando la tabla de cálculo del coefcente de correlacón tetracórco, localzamos el cocente C en el ntervalo que lo contene (con extremos A y B). A su derecha encontramos el coefcente de correlacón tetracórco (r t ), como un valor numérco (n) más R. De aquí : rt n+ R con: C A R 00. ( B A) B) Método exacto : El coefcente de correlacón tetracórco r t será el resultado de resolver la sguente ecuacón : r z z r t rt rt ad. bc. t +. '. + ( z ).( z' ). + ( z z).( z' z' ). +...!! 4! n. f( z). f( z') Como es lógco, la mayor exacttud en el cálculo r t, se obtene al consderar un mayor número de sumandos del desarrollo en sere anteror. Esta dfcultad aconseja segur el método abrevado descrto anterormente. En la ecuacón que permte calcular r t : z valor de la curva normal tpfcada (0,), que deja a su derecha un área m, gual a la menor de las cantdades (a+c)/n o (b+d)/n. z' valor de la curva normal tpfcada (0,), que deja a su derecha un área m, gual a la menor de las cantdades (a+b)/n o (c+d)/n. f(z) y f(z') ordenadas de la curva normal, correspondentes a los valores z y z' anterores. Tabuladas para cada m. Coefcente de correlacón bseral r b : Puede utlzarse cuando ambas varables son contnuas, pero una de ellas puede dcotomzarse artfcalmente. Supuesta X contnua y Y dcotomzada (valores y 0), el coefcente de correlacón bseral se calcula del modo sguente : r b X X s 0. X pq. f( z) La ordenada f(z) : Sendo : X la meda de los valores de X que se corresponden con un en Y. X 0 la meda de los valores de X que se corresponden con un 0 en Y. s X la desvacón típca de X (consderados sus valores globalmente). p la proporcón de unos en Y. q-p la proporcón de ceros en Y. z el valor normal tpfcado ((0,)) que deja a su derecha (o a su zquerda) el área p. f(z) la ordenada correspondente a z en la curva normal. OTA : 4 Los cálculos de z y f(z) no es precso realzarlos ya que, para cada valor de la probabldad p (o q ndstntamente), se encuentran tabulados los valores de p.q/f(z).

53 Coefcente de correlacón τ (tau) de Kendall : Como el de rangos de Spearman, este coefcente es aplcable cuando las dos varables son ordnales (reordenacones de una sere de elementos). Procedmento de cálculo : a) Reordenamos los pares de observacones de modo que la varable X (prmer elemento del par) quede en orden ascendente. b) Comparamos cada valor de Y con los Y sguentes, contando una permanenca s Y < Y y una nversón s Y > Y. τ p n.( n ) Sendo : n el número de pares de valores (X, Y) p el número total de "permanencas" el número total de "nversones" Utlzacón e nterpretacón de los coefcentes estudados en este epígrafe: Los coefcentes tetracórco y bseral parten de varables contnuas que pueden dcotomzarse (ambas o sólo una). Para su aplcacón rgurosa es necesaro que :. la dstrbucón de la varable o varables consderadas contnuas debe ser "normal".. la relacón que suponemos exste entre ambas varables es de tpo "lneal". Sus valores no tenen porqué concdr con el del coefcente de correlacón de Pearson, s ben verfcan las msmas propedades que éste. Es decr : Los coefcentes tetracórco y τ toman valores comprenddos entre - y : - coefcente. El coefcente bseral puede ser mayor que y menor que -. En valor absoluto, será mayor que el bseral puntual. Valores próxmos a cero mplcan falta de relacón entre las varables (ndependenca). FUETES DE VARIAZA E LA CORRELACIÓ Expresemos la desvacón de Y respecto de su meda como : ( Y ') ( Y Y ) ( Y Y ') + ( Y ' Y ) Y es el error cometdo en la predccón. Representa la porcón de nformacón no asocada a X. ( Y ' Y ) representa, en consecuenca, la nformacón asocada a X. En térmnos de varanzas : ( Y Y ) ( Y Y ') + ( Y ' Y ) ( Y Y ) ( ) Y Y ' + ( Y ' Y ) Varanza total Varanza no explcada por X (varanza de los errores o resdual) Varanza explcada por X Dvdendo los sumandos anterores por la varanza de Y obtendremos la proporcón de varanza de Y no explcada y explcada por la varable X. La manpulacón de esta operacón conduce a las expresones y defncones sguentes : ( Y Y ) ( Y Y ) Varanza de las predccones Y' ( Y Y ') ( Y Y ) ( Y ' Y ) ( Y ' Y ) ( Y Y ) ( Y Y ') ( Y Y ) + + r s Y ' Proporcón de varanza de las predccones Y' s s Proporcón de varanza explcada por X r Coefcente de determnacón ( R ) Proporcón de varanza no explcada por X - r Varanza de los errores o resdual s e s Y. X Y' Y r ( Y Y ') ( Y Y ) ( Y Y '). ( Y Y ) La raíz cuadrada de la varanza resdual se denomna error típco de la predccón : s s r IMPORTATE : Observe los dferentes sgnfcados e nterpretacones de r. YX.. Y s Y ( r ).

54 FORMULARIO - RESUME DEL TEMA fx x. s x fx. x fy y. s y fy. y fxy.. sxy xy. Recta de regresón de y sobre x (puntuacones drectas) y' a+ b. x Predccones : y' y Recta de regresón de x sobre y (puntuacones drectas) x' a' + b'. y Predccones : x' x a. + b. fx. fy. a. fx. + b. fx. fxy.. a'. + b'. f. y f. x a'. fy. + b'. fy. fxy.. sxy b sx a y b. x sxy b' sy a' x b'. y Coefcente de correlacón (de Pearson y equvalentes) : Pearson Phí Bseral puntual Rangos de Spearman sxy r b. b' s. s x x r b. s b'. s s s y y x y ϕ ad bc ( a+ b).( c+ d).( a+ c).( b+ d) Coefcente de correlacón no basados en el de Pearson : r bp x x 0 pq s.. ρ 6. d x. ( ) Tetracórco Bseral Tau de Kendall (Tabulado) X X pq C A rb 0. p. τ : sx f( z) n.( n ) rt n+ R con R 00. ( B A) Puntuacones drectas (x,y) y' a+ b. x Puntuacones dferencales (d x x d y y x, y ) d 0, d 0, s s, s s, s s x y dx x dy y dxdy xy (a 0 ; b se mantene) Puntuacones tpfcadas x x y y zx zy, sx sy zx 0, zy 0 sxy szx, szy, szxzy r s. s x y sxy r s. s x y d y (a 0 ; b r) ' b. d z ' r. z x y x Relacón fundamental : Varanza de y Varanza resdual (de errores) + Varanza de las predccones. sy se + sy ' Varanza de las predccones : ( y' y) Proporcón de varanza explcada o asocada a la regresón, o proporcón de varanza de las predccones, o coefcente de determnacón : s y' s s y' y r

55 Varanza de los errores (o resdual) : ( y y' ) Error típco de la predccón (raíz de la varanza de los errores): Proporcón de varanza no explcada o no asocada a la regresón, o proporcón de varanza de los errores : Sgno de b sgno de b sgno de r sgno de la covaranza s e sy. x sy. s y.x sy. r se s r 0 absoluta ndependenca - r r o r - absoluta dependenca (drecta o 0 r nversa) y r ( r )

56 EJERCICIOS RESUELTOS La tabla sguente contene los resultados de las calfcacones en Matemátcas (X) y Lengua (Y) de un grupo de 40 alumnos de Secundara. X Y n 4 a) Obtenga la recta de regresón de Y sobre X. 5 5 b) Obtenga la recta de regresón de X sobre Y. 5 5 c) Calcule e nterprete el coefcente de correlacón lneal d) Obtenga el error típco de la predccón e) Qué proporcón de varanza de Y no queda explcada por X? Tabla de cálculos : X Y n n.x n.y n.x n.y n.x.y a) Recta de regresón de Y sobre X. 4 8 X 55 ' Y 595 ' X. Y ( X )(. Y ) b 0'7. X X ( ) a Y b. X 5' 95 0' 75. 5' 5 ' 46 b) Recta de regresón de X sobre Y.. X. Y ( X )(. Y ) b'. Y Y ( ) a' X b'. Y 5' 5 0' 96. 5' 95 0' c) Coefcente de correlacón de Pearson. Conocdos los coefcentes de regresón puede calcularse como : 0'96 Recta de regresón de Y sobre X : Y' '46 + 0'75.X Recta de regresón de X sobre Y : X' -0'85 + 0'96.Y r b. b' 0' 75. 0' 96 0' 879 Exste una elevada relacón entre las calfcacones en Matemátcas y Lengua. Dcha relacón es postva (drecta); es decr, alumnos con altas calfcacones en Matemátcas se corresponden con altas calfcacones en Lengua, y a la nversa. Podemos afrmar que las rectas de regresón obtendas son buenas rectas de ajuste. Es decr, expresan con una elevada aproxmacón la relacón matemátca (lneal) exstente entre las calfcacones en Matemátcas y Lengua. d) Error típco de la predccón. f. Y 476 Calculada la varanza de Y : sy Y 5' 95 ' syx. sy. r ' ' 879 0' 6864

57 e) Proporcón de varanza no explcada por X. La proporcona : - r - 0'879 0'46. Es decr el '46%. De la dstrbucón bvarante sguente : Y 0 X a) Obtenga la recta de regresón de Y sobre X. b) Obtenga la recta de regresón de X sobre Y. c) Calcule e nterprete el coefcente de correlacón lneal. d) Calcule su varanza resdual. e) Calcule e nterprete el coefcente de determnacón. Obtenemos las dstrbucones margnales de X y de Y totalzando las frecuencas en flas y columnas : Y 0 Σ X Σ X n n.x n.x Y n n.y n.y La suma de los productos de X por Y hemos de obtenerla drectamente de la tabla proporconada : X. Y nj. X. Y j j Como puede observarse, sólo realzamos los productos correspondentes a frecuencas y valores de varables no nulos. XY Utlcemos las medas y varanzas de X e Y, así como la covaranza, en los cálculos solctados X 4' 79 Y 0' 8696 sx 4' 79 ' 4045 sy 0' ' 548 nj. X. Y j j X. Y 58 Covaranza s X. Y X. Y 4' 79.0'8696 ' 078 XY a) Recta de regresón de Y sobre X : sxy b ' 078 0' 4607 a Y b. X 0' 8696 ( 0' 4607). 4' 79 ' 795 sx ' 4045 Y' '795-0'4607. X b) Recta de regresón de X sobre Y : sxy ' b' 078 ' 007 a' X b'. Y 4' 79 ( ' 007). 0' ' 90 sy 0' 548 X' 5'90 - '007. Y c) Coefcente de correlacón : b. b' 0'4607. '007 ± 0' Utlzando la expresón r ( )( ) 9648 podemos tener duda en cuanto al sgno del coefcente de correlacón. Este sgno es el de b y b', ya que es el que proporcona la covaranza. sxy ' 078 Calculado como r 0' 9648 no se planteará tal dfcultad. s. s ' ' 5486 X Y

58 d) Varanza resdual : s s s. r e Y. X e) Coefcente de determnacón : Y ( ) 0'548. ( ( 0'9648) ) 0' 079 Es el cuadrado del coefcente de correlacón, representando la proporcón de varanza explcada por la varable X (en el ajuste de Y sobre X). R r ( 0'9648) 0' 909 La varable X explca el 9'09% de la varanza de Y. Sólo el 6'9% no es atrbuble a X. De la sguente dstrbucón bvarante : Y [0,) [,) [,] X 6 4 a) Calcule e nterprete el valor de la covaranza. b) Obtenga la recta de regresón de Y sobre X. c) Obtenga la recta de regresón de X sobre Y. d) Calcule el coefcente de correlacón lneal y el de determnacón. e) De la varanza total de Y, determne la proporcón atrbuble a la varable X. Totalzando flas y columnas obtendremos las dstrbucones margnales de X e Y : Y 0'5 '5 '5 X X n n.x n.x Y n n.y n.y '5 5 '5 ' '5 0 5 ' '5 5 '5 ' X. Y n. X. Y..0'5 +..'5 +..'5 +..0' '5 +..' '5 +.4.'5 +.4.'5 90 a) Covaranza : j j j 60 0 X Y 0 0 nj. X. Y j j X. Y Covaranza s X. Y X. Y.'5 4'5 4'5 0 XY Interpretacón : Las varables son ndependentes. Sendo nula la covaranza, tambén los serán los coefcentes de regresón, el coefcente de correlacón y el de determnacón, dado que en sus cálculos ntervene la covaranza en el numerador. Al ser nulos los coefcentes de regresón, a concdrá con la meda de Y y a' con la de X. b) Recta de regresón de Y sobre X : sxy 0 b X X 0 a Y b. X ' 5 0. ' 5 Y' '5 s s c) Recta de regresón de X sobre Y : sxy 0 b' 0 a' X b'. Y 0. ' 5 X' s s Y Y 5 ' 90 0

59 d) Coefcente de correlacón y de determnacón : Como se ndcó en el apartado a), al ser nula la covaranza, ambos coefcentes tambén lo son : sxy 0 r b. b' r 0 R r 0 s. s s. s X Y X Y e) Proporcón de varanza explcada por X : Proporcón de varanza explcada por X r Coefcente de determnacón 0 4 Se desea estudar la relacón entre las calfcacones obtendas en un test (puntuado de 0 a 5) y el sexo del alumno que lo realza. Los resultados observados fueron : Test Sexo º de alumnos Varón Hembra Varón Hembra 4 Varón 4 Hembra 5 4 Varón 5 Hembra 5 Varón a) Mda el grado de asocacón exstente entre las dos varables medante el coefcente más adecuado. b) Calcule el coefcente de correlacón de Pearson y compare su valor con el calculado en el apartado anteror. a) Sendo dcotómca la segunda varable, calcularemos el coefcente de correlacón bseral puntual : Denomnando Y a la varable sexo (asgnamos : Hombre ; 0Mujer) y X a la varable puntuacón en el test, procederemos a los cálculos necesaros para su obtencón. Ello nos conduce a calcular las medas de los valores de X que se corresponden con un y con un 0 en Y (X y X 0 ) de forma separada, así como la desvacón típca de X. Las sguentes tablas facltan nuestras operacones : X Y n n.x n.x X n n.x X 0 n n.x q p X ' 77 X 0 ' 0909 p 05 ' q 05 ' p 64 6 X ' 909 sx ' 909 ' 8099 sx ' 8099 ' 45 X X0 ' 77 ' 0909 Con esto : rbp. pq '. ' 05 ' s ' 45 X b) Coefcente de correlacón de Pearson : El propósto de este apartado no es otro que comprobar que efectvamente concden los coefcentes de correlacón de Pearson y bseral puntual. Calculemos la meda y desvacón típca de Y, así como la covaranza:

60 X Y f f.y f.y f.x.y Y 05 ' sy 05 ' 05 ' sy 05 ' 05 ' s 0 XY r 0' 0909 ' ' 5 0' ' 5 ' 45. 0' 5 5 La sguente tabla nos muestra la dstrbucón por sexo de un grupo de 67 personas, ndcando s fuman o no. Fuma o fuma Hombre 85 Mujer 0 60 a) Calcule el coefcente de más adecuado para medr el grado de asocacón exstente entre el sexo y el ser o no fumador. b) Calcule el coefcente de correlacón de Pearson y compare su valor con el calculado en el apartado anteror. a) Las dos varables son dcotómcas. El coefcente específco para esta stuacón es el coefcente de correlacón ϕ (ph). Dspuesta la tabla como sgue (totalzando flas y columnas) obtenemos : Y (Fuma) 0 (o fuma) X (Hombre) a 85 b 97 0 (Mujer) c 0 d ϕ ad bc ( a + b)(. c + d )(. a + c)(. b + d ) b) Coefcente de correlacón de Pearson : ' X Y n n.x n.y n.x n.y n.x.y X 0' 5808 sx 0' ' 45 sx ' 45 0' Y 0' 5689 sy sy s 85 XY r 0' 786 0' ' ' ' 707 '. ' Concdente con el calculado en el apartado anteror, como era de esperar.

61 6 Doce atletas (A, B, C,..., L) partcpan en una carrera de 00 metros y en otra de lanzamento de peso. Las clasfcacones en dchas pruebas fueron : 00 metros : A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L Peso : K, I, J, L, G, H, F, D, E, B, C, A a) Determne la relacón exstente entre las dos clasfcacones en las pruebas descrtas, medante el coefcente más adecuado. b) Calcule el coefcente de correlacón de Pearson y compare su valor con el calculado en el apartado anteror. os encontramos ante dos reordenacones dstntas de los ndvduos. Calcularemos pues el coefcente de correlacón por el método de los rangos de Spearman. a) Coefcente de correlacón ρ : 6. d '90.. ρ (Ver tabla sguente) ( ) ( ) A contnuacón se ofrecen las tablas auxlares de cálculos de ρ y r, calculados para comprobar que concden. Para el cálculo de ρ Para el cálculo de r X Y d d X Y X Y X.Y b) Coefcente de correlacón de Pearson : X 65 ' sx 6' 5 ' 967 sx ' 967 ' Y 65 ' sy 6' 5 ' 967 sy ' 967 ' 45 s 74 XY r ' '. ' 08 ' 0' 90 ' 45. ' 45 En efecto concden los coefcentes de correlacón obtendos por los dos métodos. Su alto valor negatvo (próxmo a -) nos ndca que exste una fuerte relacón entre las dos clasfcacones en las pruebas atlétcas, quedando mejor clasfcados en una los peor clasfcados en la otra. 7 De los archvos de la Dreccón provncal de Tráfco se han selecconado los expedentes de 64 conductores, realzando el sguente recuento en funcón del sexo (M mujer ; H hombre) y el número de multas mpuestas durante el últmo año. Sexo M H º de multas 9 0 en el últmo año Qué conclusón puede deducrse acerca de la relacón exstente entre sexo y número de denuncas?. Utlce para ello el índce de asocacón más apropado. Al ser dcotómca la varable sexo, obtendremos el coefcente de correlacón bseral puntual :

62 Y Y Y0 M H 0 n n.x n.x n.x n.x 0 X X ' 08 X 0 5' 5 p 0' 75 q 0' 65 p X ' 9844 sx ' 9844 ' 404 sx ' 404 ' X X0 ' 08 5' 5 Con esto : rbp. pq.. 0' 75. 0' 65 0' 8 s ' 77 X Es decr exste una fuerte relacón, de sentdo nverso, entre ambas varables. Algo que podía advertrse al analzar el recuento de las observacones. 8 Para analzar s exste o no relacón entre las calfcacones en materas centífcas y las del área lterara, selecconamos ocho alumnos a los que sometemos a dos pruebas (una de cada área). Clasfcados por orden de puntuacón resultó : Alumno P. Centífca º 6º 7º º º 8º 5º 4º P. Lterara º 5º 7º 4º º 8º º 6º Utlzando el índce adecuado establezca el grado de relacón que exste entre las calfcacones de dchas áreas de conocmento. Calcularemos el coefcente de correlacón ρ (rangos de Spearman) al presentarse dos varables ordnales (dos reordenacones de los 8 alumnos). Denomnamos X e Y a las varables que proporconan, respectvamente, las clasfcacones en la prueba centífca y en la lterara. Ordenadas las prmeras, calculemos sus dferencas : X Y d d Con ello : d 6.4 ρ. ( ) 8. ( 8 ) '74 Es decr, exste una alta relacón entre las calfcacones. Generalmente un alumno con altas calfcacones en el área centífca tendrá altas calfcacones en el área de conocmentos lteraros.

63 9 Un grupo de COU ntegran 7 alumnos de Cencas y 4 de Letras. De ellos repten curso 6 de Cencas y sólo de Letras. Calcule el coefcente de correlacón más adecuado para medr el grado de asocacón exstente entre las varables descrtas. Se trata de analzar la relacón que puede exstr entre la especaldad (Cencas o Letras) y el ser repetdor o no serlo. Sendo las dos varables dcotómcas, calculamos el coefcente de correlacón ϕ (ph). Dspuesta la tabla como sgue (totalzando flas y columnas) obtenemos : Y (Repte) 0 (o repte) X (Cencas) a 6 b 7 0 (Letras) c d 4 8 ad bc 6.. ϕ 0' ( a + b)(. c + d )(. a + c)(. b + d ) alta relacón entre las varables. 0 Se somete a 0 alumnos a dos test dferentes encamnados a medr su percepcón vsual. Los resultados fueron los sguentes : Test A Test B a) Obtenga las ecuacones de las rectas de regresón del test A sobre el B, en puntuacones drectas, dferencales y típcas. b) Determne la proporcón de varanza resdual que se presenta en dcho ajuste. Denomnando Y a las puntuacones en el test A (varable dependente en el ajuste) y X a las correspondentes al text B, procedemos a realzar los cálculos necesaros : r. X. Y b. X X Y X Y X.Y ( X )(. Y ) ( X ) ' Y X 78 a Y b. X b. ' ' X. Y ( X )(. Y ) X X.. Y Y [. ( ) ] ( ) a) Rectas de regresón : [ ] ( )( ) º.- En puntuacones drectas : Y' a + b. X Y' 0'46 + '0809. X º.- En puntuacones dferencales : y' b. x y' '0809. x º.- En puntuacones tpfcadas: z y' r.z x z y' 0'986.z x b) Proporcón de varanza resdual : 0'986 Cuando se habla de proporcón sempre se refere al cocente entre la varanza total de Y; es decr, a la proporcón de varanza de Y que representa la varanza solctada.

64 Sendo la varanza de los errores (resdual) : se sy. X sy.( r ) s s ( r ). Y r s 0'986 0'077 Y. X sy Y Sólo representa un '77% de la varanza del test A (Y), sendo la proporcón de varanza no explcada por el test B (X). A partr de los ses pares de valores, correspondentes a una varable bdmensonal (X,Y), (, 4), (, 5), (, 5), (4, 6), (5, 7) a) Calcule la ecuacón de la recta de regresón de Y sobre X. b) Represente gráfcamente el dagrama de dspersón y la recta de regresón. c) Calcule e nterprete el coefcente de correlacón. Cálculos necesaros (realzados en este ejemplo a partr de las medas y varanzas de X e Y y de la covaranza) : X Y X Y X.Y X sx Y 54 ' sy 54 ' 04 ' sxy 54. ' 4 ' ' a) b 07 ' a 54 ' 07 '. ' Y ' + 0'7. X b) Para X 0 Y ' (0, ') Para X 5 Y 6'8 (5, 6'8) Enlazando los dos puntos anterores obtenemos la gráfca de la recta. Observe que el punto que tene por coordenadas las medas de X e Y (, 5'4), es un punto contendo en la recta de regresón. Aprecamos la proxmdad de los puntos a la recta de ajuste, así como que dcha recta es crecente (r > 0). 4 ' c) r 0' ' 04 Elevada relacón entre las varables y de sgno postvo. La recta de regresón es una buena funcón de ajuste, sendo crecente (r > 0). Para representar gráfcamente la recta de regresón, localzamos dos puntos cualesquera de ella : Y ' + 0'7. X

65 La recta de regresón de Y sobre X, calculada en el estudo de la relacón exstente entre dos varables, tene por ecuacón Y' 5'4-0'9. X, sendo la varanza de la varable dependente Y gual a '84. S la dstrbucón de las predccones de Y tene como meda '6 y varanza '6996, a) calcule la meda y varanza de X b) determne la ecuacón de la recta de regresón de X sobre Y c) obtenga el valor del coefcente de correlacón. Incamos aquí una sere de ejemplos que requeren para su resolucón el empleo de las dferentes relacones funconales (fórmulas para entendernos) tratadas en el tema. Resulta de utldad escrbr las expresones en las que ntervenen los datos sumnstrados, susttuyendo sus valores conocdos. Tal vez así podamos obtener los que nos pda el problema. s XY Y ' 5'4 0'9. X a Y b. X 5'4 Y + 0'9. X b 0' 9 º.- ( ) s X º.- sy ' 84 sy ' 84 ' 565 º.- Y' Y '6 s Y' '6996 Sendo '6 la meda de Y, la expresón de a nos permte obtener la meda de X : 54 ' 6 ' 54 ' Y+ 09 '. X 54 ' 6 ' + 09 '. X X 09 ' La varanza de X no puede obtenerse de momento (para extraerla del valor del coefcente de regresón b necestamos conocer antes la covaranza o el coefcente de correlacón). Partendo, por ejemplo, de la proporcón de varanza explcada (hace referenca a la varanza de las predccones) : sy' ' 6996 r 0' 8804 r 0' 8804 ± 0' 98 sy 84 ' El coefcente de correlacón será negatvo, ya que lo es el coefcente de regresón b (b -0'9), luego : r 0'98. La expresón r b s X. nos permtrá calcular la desvacón típca de X : sy r b s X sx sx 0' 98. ' ' 98 0' 9. ' 44 s X ' 44 s ' ' Y Fnalmente, calculemos la recta de ajuste de X sobre Y : s b r s XY X ' '. 0' ' 978 a' X b'. Y ( 0' 978). ' 6 5' 57 sy sy ' 565 Su ecuacón es : X' 5'57-0'978. Y La recta de regresón de Y sobre X corta a los ejes coordenados en los puntos (0'5,0) y (0,-0'4), sendo la proporcón de varanza no explcada por X del 5'58%. a) Calcule los coefcentes de correlacón y de determnacón. b) Sendo X 5, qué pronóstco dferencal corresponde a una puntuacón drecta X 4?. a) Los coefcentes de correlacón y de determnacón se obtenen drectamente de la proporcón de varanza no explcada : - r 0'558 r - 0'558 0'744 Luego : Coefcente de determnacón : R r 0'744 ' Coefcente de correlacón : r ± Para determnar s el coefcente de correlacón es postvo o negatvo se pueden segur dstntos procedmentos. Uno podría consstr en dbujar la recta de regresón (enlazando los dos puntos conocdos) observando s es crecente (b > 0 y r > 0) o decrecente (b < 0 y r < 0). Así resulta que es crecente y, por tanto, r 0'867. b) Determnemos la recta de regresón en puntuacones drectas y dferencales : S la recta de regresón Y' a + b.x pasa por (0'5,0) y (0,-0'4), sgnfca que : - para X 0'5 Y' 0 : 0 a + b.0'5 - para X 0 Y' -0'4 : -0'4 a + b.0-0'4 a 0-0'4 + b.0'5 b 0'4 / 0'5 0'8 '

66 La recta de regresón es : en puntuacones drectas : en puntuacones dferencales : Y' -0'4 + 0'8. X y' 0'8. x A la puntuacón drecta X 4, le corresponde una puntuacón dferencal : x X X 4 5 luego el pronóstco dferencal correspondente es : y' 0'8. x 0'8. (-) y' -0'8 OTA : Calculado b 0'8 > 0, concluremos que el coefcente de correlacón es tambén postvo (r 0'867), tal como se dedujo en el apartado a). 4 A las puntuacones drectas y 6 de la varable X le corresponden predccones ' y 7' respectvamente. S la proporcón de varanza asocada a X es del 70'4% y los valores de la varable dependente Y son:,, 5, 6 y a) obtenga las ecuacones de las dos rectas de regresón b) calcule el coefcente de correlacón c) un pronóstco tpfcado '868, a qué puntuacón drecta de X corresponde?. a) b) En la recta de regresón de Y sobre X : Y' a + b.x - Para X, Y' ' : ' a +.b - Para X 6, Y' 7' : 7' a + 6.b Resolvendo el sstema obtenemos : a ' b Y' ' + X Para el cálculo de la recta de regresón de X sobre Y no dsponemos de elementos sufcentes de momento. Con los valores conocdos de Y calculamos su meda, varanza y desvacón típca : Y ' sy 5' ' 6 sy ' 6 ' S la proporcón de varanza asocada es del 70'4%, deducmos que : r 0'704 y, sendo b > 0, el coefcente de correlacón r tambén será postvo. Es decr : r + 0' 704 0' 89 De la recta de regresón de Y sobre X deducmos (para las medas) : Y' Y ' + X X Y ' 5 ' ' 4 La desvacón típca de X la podemos obtener ahora de la relacón : r b s X rs. Y 0' 89. ' 705. sx ' 884 s X ' s b a bs) c) Y Estamos en condcones de calcular la recta de regresón de X sobre Y : r b s Y rs. X 0' 89. ' 884 '. b' 0' 704 sx sy ' 705 a X 0' 704. Y 4 0' ' 0' 80 La recta de regresón de X sobre Y tene por ecuacón : X' 0'80 + 0'704. Y La recta de regresón de Y sobre X en puntuacones típcas es : zy' r. zx zy' 0' 89. zx Para el pronóstco tpfcado '868 deducremos el valor tpfcado de X. Tenendo en cuenta el proceso de tpfcacón, deducremos la puntuacón drecta de X ' 868 X X X 4 zy' ' 868 zx ' 44 X ' 44. ' ' 89 s ' 884 X 5 En un grupo de 0 sujetos se han aplcado dos pruebas (X,Y). Las puntuacones obtendas en X fueron dcotomzadas por la Medana formándose dos categorías: altos (A) y bajos (B). Los resultados son los sguentes : Sujeto X B A B A A B B A A B Y Elja y calcule el índce de correlacón adecuado para medr la relacón exstente entre X e Y.

67 X n A n A.X n B n B.X X n n.x n.x XA XB X SX ; ; ; 48 ' r bp X A X S X B. pq ' 48 ' 0 0 Certa relacón entre las varables, de sgno nverso. A mayor puntuacón en la prueba Y menor nvel en X. 6 La puntuacón estmada de la varable Y para un valor 0 de la varable X es , sendo la varanza de esta varable 6 5. Sabendo que el porcentaje de varanza de la varable Y no asocada a la varacón de X es 4 545% y que la varanza del error es 0 897, hallar : a) la correlacón de Pearson entre X e Y. b) la ecuacón de regresón para pronostcar Y a partr de X. c) la varanza de las puntuacones pronostcadas. Datos : Se Y' a+ b. X ' a+ b. 0 a ' ; SX 65 ' ; r 0' ; Se 0' 897 Sy a) - r r r b) a ' 897 0' SY 7' 00 SY ' 646 SY r b S X r. SY 0' 977. ' 646. b 0' 664 Y' 0' ' 664. X S S 65 ' Y X c) SY Se + SY' SY' SY Se 7' 00 0' 897 6' Las puntuacones estmadas de la varable Y para los valores y 5 de la varable X son 4545 y 77 respectvamente. El coefcente de correlacón entre X e Y es 0 977, y la varanza de la varable X es 6 5. Con estos datos calcular : a) la ecuacón de la recta de regresón. b) la varanza de las puntuacones pronostcadas. c) la proporcón de varanza de la varable Y no asocada a la varacón de X. Datos : ' 4545 a+. b Y' a+ b. X 77 ' a+ 5. b r 0' 977 S X 65 ' a) Resolvendo el sstema anteror : a b Y X b) s y' r sy' r. sy sy r b S X '. 0' 977 0' ' 664 SY ' SY' 0' 977. ' ' 766 SY SY c) - r (4 547%)

68 8 Las puntuacones drectas obtendas por 5 sujetos en la escala LKS (Escala de Lucas) y las obtendas por esos msmos sujetos en el factor C (Control Socal) del PSI son las que fgura en la tabla fnal. a) Encuentre la puntuacón pronostcada en LKS de un sujeto cuya puntuacón drecta en C es 5. b) Encuentre la parte de la varanza de LKS asocada a la varacón de C. c) Interprete el resultado obtendo al calcular el estadístco que expresa la relacón entre LKS y C. Sujetos A B C D E LKS C Y LKS X C X Y X Y X.Y a) X 4 ; Y 40 ; SX 4 6 ; SX SY 40 6 ; SY 6 ; SXY ' b -0 4 / 6-75 a 40 - (. 75) b) r -0 4 / r 0 75 (7 5%) Y X c) Alta relacón entre las dos pruebas (r-0 85) y de sgno nverso. Es decr, un sujeto con alta puntuacón en LKS tendrá baja puntuacón en C 9 La empresa de publcdad VEDEBIE quere saber s la aceptacón o rechazo dependen del sexo. Para ello se encuesta a 00 personas de las cuáles el 50% son mujeres; 40 hombres rechazan el producto mentras que 0 mujeres lo aceptan. Elja y calcule el índce de correlacón adecuado para nterpretar estos datos. H M Aceptan a60 b0 Rechazan c40 d70 ϕ ad bc ( a + b).( c+ d).( a+ c).( b+ d) ' Escasa relacón entre la aceptacón y el sexo. De aceptarla, el mayor rechazo se produce en mujeres. 0 La ecuacón de la recta de regresón que permte pronostcar las calfcacones en Pscología Matemátca II (Y) a partr de las calfcacones en Pscología Matemátca I (X) es la sguente : Y 0 8.X Sabendo que S x (4/5).S y ; S y y que X Y 74 ', calcule : a) rxy, X, Y. b) la varanza de las puntuacones pronostcadas. c) la proporcón de varanza error cometda al pronostcar, utlzando la recta de regresón anteror.

69 Datos : 4 Y' 08 '. X 05 ' ; SX. SY ; SY ; X Y 74 ' 5 b 08 ' 4 r b S X SX S a) '. '. 064 '. ' Y a Y b. X 05 ' Y 08 '. X X X Y 745 ' 74 ' Y 57 ' b) s y' r sy' r. sy 0' 64. ' 6864 sy c) - r - 0'64 0'5904 (59'04%) La recta de regresón de Y sobre X, que permte el pronóstco en el rendmento en un trabajo manual a partr de las puntuacones en un test de destreza manual, corta al eje de ordenadas en Y 8 y al de abscsas en X -4, en puntuacones drectas. a) Calcule la ecuacón de la recta de regresón anteror en puntuacones drectas. b) Represente gráfcamente la recta de regresón anteror. c) Calcule el coefcente de correlacón entre X e Y sabendo que la varanza de los errores es la cuarta parte de la varanza de Y. a) Para X 0, Y 8 y, para X -4, Y 0 8 a a Y' a+ b. X 8 0 a 4. b b Y' 8+. X b) S SY. e 4 Se SY Se SY r r r 0866 ' 4 S S 4 c)..( ) Y Y a) Estudando la relacón entre las varables X e Y se obtuveron los sguentes datos : X 9, Y 0 ', S 0, S 0' 55, r 0' 70, n 0 x Y xy a) Elena C. obtuvo una puntuacón de 0 en X. Estme su puntuacón en Y. b) Se estmó la puntuacón 8 en la varable Y para Gonzalo S.. Cuál fue su puntuacón en la varable X?. c) Determnar el valor de S y.x y la desvacón típca de las puntuacones pronostcadas (S y ). b r s y '. 07 ' ' 085 ; a 0 ' 0' 085x9 ' 85 Y' ' 85+ 0' 085. X sx 0 Y' ' 85+ 0' ' 75 b) X X 8 48 c) S S. r 055 '. 0' 7 0' 98 YX. Y Y' Y Y. X Y' S S S 0' ' 048 ' S 0' 85

70 La sguente gráfca muestra las calfcacones obtendas por dos grupos de alumnos que han estudado con dos métodos de enseñanza dstntos (A y B). Elja, calcule e nterprete el coefcente de correlacón más adecuado para estudar la relacón entre el método de enseñanza y las calfcacones. X A X B X X Bseral puntual (r bp ). Una cuanttatva (calfcacón) y la otra dcotómca (método) XA 5 ; XB 6 ; X 56 ' ; SX 56 ' 6 ' r bp X A X S X B 5. pq ' 6 ' 0 0 r 0 05 ( 5%) Exste una relacón muy baja (del 5%) entre el método segudo y las calfcacones. De aceptarse la relacón dríamos que los alumnos que sguen el método B obtenen mejores resultados (sgno negatvo de r). 4 Sabemos que las puntuacones dferencales pronostcadas (y ) son cnco veces las puntuacones dferencales de la varable X, y que la proporcón de varanza asocada entre X e Y es gual a 0 5. Calcular : a) La pendente de la recta de regresón de Y sobre X en puntuacones drectas y dferencales. b) La pendente de la recta de regresón de Y sobre X en puntuacones típcas. c) La pendente de la recta de regresón de X sobre Y en puntuacones drectas. Datos : y 5x r sy' 05 ' s y a) b 5 b) r 0 5 r 0 5 c) b.b r 5.b 0 5 b 0 5 / Para un grupo de 00 sujetos y en dos varables X e Y, dsponemos de los sguentes datos : Σxy480 ; Σx 400 ; Σy ΣY900. Sabendo además que X e Y son dos varables cuanttatvas que mantenen una relacón lneal y que, lógcamente, Σx Σy 0 a) Cuánto valdrá el coefcente de correlacón de Pearson entre X e Y?. b) Cuánto valdrá la desvacón típca de los errores cometdos al pronostcar Y a partr de X?. c) Qué puntuacón drecta pronostcaremos en Y a un sujeto que ha obtendo una puntuacón x-?. Se sgue en el enuncado la notacón usual de representacón de puntuacones drectas (mayúscula) y dferencales (mnúscula). Recordemos que :

71 En puntuacones drectas En puntuacones dferencales f. ( X X).( Y Y) f. X. Y f. x. y SXY XY. SXY f. ( X X) f. X f. x SX X SX a) Para puntuacones dferencales : xy 480 x 400 y 900 sxy 48 ' sx sy n 00 n 00 n 00 r 4 8 / ' 0 8 b) se sy.x sy. r. 08 ' 8 ' c) En puntuacones dferencales : y b.x, con b r. s 08 '. ' sx Para x - : y. (-) - 4 Y Como : y' Y' Y Y' y' + Y y' + 4 ' ' ' 00 y 6 La empresa de publcdad VEDEBIE quere saber s exste relacón entre la duracón de un anunco en T.V. y la aceptacón o rechazo del msmo. Los resultados de la encuesta se ncluyen en la sguente tabla. Elja y calcule el índce de correlacón adecuado para nterpretar estos datos. Duracón Aceptacón Rechazo X n A n A.X n R n R.X X n n.x n.x XA 5 ' ; XR 0' 75; X 6' 5; SX 6' 5 5' XA XR ' 5 0' 75 8 rbp. pq ' SX 5974 ' 0 0 Certa relacón entre las varables, de sgno nverso. A mayor duracón mayor rechazo. 7 El gabnete de estudos sobre Malestar Socal desea conocer s exste relacón entre la consumcón de drogas y la comsón de deltos sobre la propedad. Para ello se seleccona una muestra y se comprueba que 50 ndvduos han consumdo algún tpo de droga y a la vez han estado mplcados en deltos contra la propedad. Tenendo en cuenta que un 0% de la muestra ha cometdo deltos contra la propedad, que 50 no consumen drogas n han estado mplcados en deltos contra la propedad y que la muestra constaba de 500 ndvduos, qué conclusón obtendrá el gabnete de estudos?. (Elja, calcule e nterprete el coefcente de correlacón adecuado).

72 Droga SI Droga O Delto SI a50 b50 Delto O c50 d50 ϕ ad bc ( a+ b).( c+ d).( a+ c).( b+ d) ' Escasa relacón entre consumo de drogas y comsón de deltos. De aceptarla, la mayor comsón de deltos se produce en consumdores de drogas. 8 Un grupo de hombres y mujeres responde a una prueba (X). Los datos obtendos aparecen en la sguente tabla. Elja razonadamente, calcule e nterprete el coefcente de correlacón adecuado, para estudar la relacón entre las puntuacones de la prueba y la varable sexo. X Mujeres Hombres X n M n M.X n H n H.X X n n.x n.x XM 95 ' ; XH 675 ' ; X 795 ' ; SX 795 ' 86 ' r bp X M X S X H 95 ' 675 ' 0 0. pq ' 86 ' Muy débl relacón entre las varables, de sgno drecto. De aceptarse, la mayor calfcacón se produce en mujeres. 9 Elja el coefcente de correlacón más apropado entre las varables puntuacones en un test de ntelgenca (X), y prejuco antprotestante (Y), tenendo en cuenta el cuadro adjunto. En este cuadro, fa sgnfca frecuenca con alto prejuco y fb frecuenca con bajo. Calcule el coefcente de correlacón elegdo y comente brevemente el resultado obtendo X Y f A f B X n A n A.X n B n B.X X n n.x n.x XA 85 ' ; XB 5 ' ; X 7 ' ; SX 7 ' 8 ' r bp X A X S X B 85 ' 5 ' pq ' 8 ' Elevada relacón entre las varables, de sgno drecto. A mayor puntuacón en el test mayor prejuco antprotestante.

73 0 Estudando la relacón entre las varables X e Y se obtuveron los sguentes datos : X 50, Y 6, S 6, S, r 0' 8, n 5 x Y xy a) Qué puntuacón drecta en Y pronostcaremos a un sujeto que obtuvo una puntuacón drecta en X de 5?.) b) Cuánto valen S y' y S yx.?. a) y b r. s 08 '. 0' 67 ; a 6 0' 67x50 7' 5 s 6 x Y' 75 ' '. X Y' 75 ' ' x5 654 ' Y.X Y Y' Y Y.X b) S S. r. 08 ' ' S S S 4 44 ' 56 ' Estudando una muestra de 50 alumnos de BUP se observó que una proporcón de 0 0 estaba compuesta por alumnos hjos úncos. De los 50 alumnos, una proporcón de 0 6 comían en el Colego. S sabemos que una proporcón de 0 04, con respecto al total, son hjos úncos que no comen en el Colego. Exste una relacón entre ser hjo únco o no y comer o no en el Colego?. Halle el coefcente de correlacón que corresponda e nterprete el resultado. Únco SI Únco O Comen SI a b7 Comen O c d8 ϕ ad bc ( a+ b).( c+ d).( a+ c).( b+ d) Las varables son ndependentes. o exste nngún tpo de relacón entre ser hjo únco y comer en el colego. La desvacón típca de un determnado grupo de personas en la varable ansedad (X) es gual a. Tambén conocemos para esta varable la meda de los varones (0) y la de las mujeres (5). Sabendo que el índce de asocacón entre las varables ansedad y sexo es gual a +, y que el número de varones es superor al de mujeres : a) Qué coefcente de correlacón habrá sdo utlzado?. b) Interprete el valor del coefcente de correlacón. c) Calcule la proporcón de varones que componen nuestra muestra. a) Bseral puntual (r bp ). Una cuanttatva y la otra dcotómca. b) Relacón perfecta. Los varones presentan altas puntuacones en ansedad y las mujeres bajas. c) r bp x v x s x m. pq pq. pq. 04 ' pq. 06 ' 5 p p p p p p p+ p ± 064 ' ± 06 ' 08 '.( ) 06 ' 06 ' 06 ' 0 p 0 ' La solucón es 0 8 al ndcar que hay más varones que mujeres. Y Con la presente dstrbucón bvarante obtenga : [0,0) [0,0) [0,0) [0,40] a) recta de regresón de la meda de Y condconada a X b) coefcente de correlacón de la meda de Y condconada a X X c) recta de regresón de Y sobre X d) coefcente de correlacón lneal (de Y sobre X) 0 e) razón de correlacón. Compare los resultados obtendos en los apartados a), b) con los de los apartados c), d). Interprete el sgnfcado de la razón de correlacón calculada.

74 a) b) Para cada valor de la varable X, determnamos la meda de los correspondentes valores de Y. Obtendremos tambén las varanzas de cada valor Y para calcular posterormente la razón de correlacón (apartado e). [0,0) [0,0) [0,0) [0,40] y X 0 f Σ 7 f.y Σ 575 f.y Σ 85 [0,0) [0,0) [0,0) [0,40] y X f Σ 8 f.y Σ 680 f.y Σ 700 [0,0) [0,0) [0,0) [0,40] y X f Σ 9 f.y Σ 445 f.y Σ 795 [0,0) [0,0) [0,0) [0,40] y X f 0 Σ 6 f.y Σ 70 f.y Σ 50 Con las tablas de cálculos anterores obtenemos : X Y ( * ) n X 0 y 8 ' s y X y 4' s y X y 5' s y X y 4 7 ' s y4 ' 45 0 '8 7 8' 06 4' 8 7' 8 5' 9 55' 5556 '7 6 ( * ) Medas de cada Y condconado a X Con esta dstrbucón procedemos a calcular la recta de regresón y el coefcente de correlacón (omtmos la tabla de cálculos) : Σ n.x 04 Meda de X ' Recta de regresón de la meda de Y condconada a X Σ n.x 98 Varanza de X 0'785 Y' '8998-8'989.X Σ n.y 768'9 Meda de Y ' Coefcente de correlacón de la meda de Y condconada a X Σ n.y 4565'5 Varanza de Y 55'657 r -0'9856 (r 0'974) Σ n.x.y 778'4 Covaranza -6'546 c) d) X Y n n.x n.x² n.y n.y² n.x.y

75 Meda de X ' Varanza de X 0'785 Meda de Y '5 Varanza de Y 87'9844 Covaranza -6'55 e) Conclusones : Razón de correlacón : n. s η. s Y y 80 7.' 45. Recta de regresón de Y sobre X Y' '9-8'96.X Coefcente de correlacón lneal r -0'786 (r 0'64) + 8.8' ' '5556 0'67 87'9844 Comprobamos que η toma un valor comprenddo entre 0 y y verfca que η r (0'67 0'64). Al ser muy próxmo η a r, conclumos que la relacón entre las varables X, Y es de tpo lneal. Esta últma conclusón habríamos deducdo al comprobar que las rectas de ajuste de Y sobre X y la de la meda de Y condconada a X práctcamente concden : Y' '9-8'96.X Y' '8998-8'989.X La susttucón de las observacones Y por su promedo, ha permtdo aumentar el valor del coefcente de correlacón : r -0'786 r -0'9856 ncrementando así la proporcón de varanza explcada por el ajuste : r 0'64 (6'4%) r 0'974 (97'4%) 4 a) b) De un grupo de COU, ntegrado `por 40 alumnos, conocemos sus calfcacones fnales en Matemátcas y en Flosofía. El número de aprobados en ambas ascendó a 5, suspendendo las dos materas, mentras que sólo aprobó Matemátcas el 0% de los alumnos. a) Calcule el coefcente de correlacón más adecuado para medr el grado de asocacón exstente entre las varables descrtas. b) Asumendo que las calfcacones en Matemátcas y en Flosofía se dstrbuyen normalmente, determne otro coefcente que estude el nvel de asocacón y no esté basado en el concepto de correlacón de Pearson Se trata de analzar la relacón que puede exstr entre las calfcacones en las dos materas. Sendo las dos varables dcotómcas, calculamos el coefcente de correlacón ϕ (ph). Dspuesta la tabla como sgue (totalzando flas y columnas) obtenemos : Y - Flosofía (Aprueban) 0 (Suspenden) X (Aprueban) a 5 b 4 9 Matemátcas 0 (Suspenden) c 9 d 4 6 ad bc ϕ 0' ( a + b)(. c + d )(. a + c)(. b + d ) El aprobar o suspender una matera no condcona el resultado fnal en la otra. baja relacón entre las varables. Sendo las dos varables dcotómcas (normalmente dstrbudas ncalmente), calculamos el coefcente de correlacón tetracórca (r t ). º Calculamos los productos : a.d y b.c º Como a.d > b.c, calculamos el cocente : C a.d / b.c 80 / 6 5 (r t será postvo) º Consultamos la tabla XXV, para el cálculo del coefcente de correlacón tetracórco, localzando el cocente C5 en el ntervalo (A,B) (4'805, 5'0075), al cuál corresponde un coefcente 0'56 + R. De aquí : C A 5 4'805 R 0'00958 rt 0'56 + R 0'56 + 0' ' OTA : ( B A) 00. ( 5'0075 4'805) Generalmente se verfca que el coefcente de correlacón tetracórca y el coefcente ϕ verfcan la relacón :

76 r t '5. ϕ (con mayor rgor para valores del coefcente tetracórco, menores o guales a 0'5). En nuestro caso : '5. ϕ '5. 0'679 0'5585 r t Esto permte tener una referenca sobre el ntervalo (-, ), a la hora de nterpretar el valor obtendo con el coefcente de correlacón tetracórca. Calculando el valor aproxmado de ϕ, podremos medr el grado de asocacón : r ϕ t ' 0' 797 baja relacón entre las varables 5 ' 5 ' 5 a) b) Con el fn de estudar s exste o no relacón entre las calfcacones en Matemátcas y en Flosofía de COU, selecconamos ses alumnos. Clasfcados por orden de puntuacón fnal en cada matera resultó : Alumno Matemátcas º 6º 4º º º 5º Flosofía º 5º 6º 4º º º a) Utlzando el índce adecuado, basado en el concepto de correlacón de Pearson, establezca el grado de relacón que exste entre las calfcacones de las dos asgnaturas. b) Resuelva lo solctado en el apartado anteror medante un índce que no esté basado en el concepto de correlacón de Pearson Calcularemos el coefcente de correlacón ρ (rangos de Spearman) al presentarse dos varables ordnales (dos reordenacones de los 8 alumnos). Denomnamos X e Y a las varables que proporconan, respectvamente, las clasfcacones en Matemátcas y en Flosofía. Ordenando las prmeras (X), calculamos sus dferencas con las segundas : Con ello : X Y d d ρ.. d 6. 4 ( ) 6. ( 6 ) Es decr, apenas exste relacón entre las calfcacones. 0' 4 Procede ahora el cálculo del coefcente de correlacón τ (tau) de Kendall : Reordenamos los pares de observacones de modo que la varable X (prmer elemento del par) quede en orden ascendente y comparamos cada valor de Y con los Y sguentes, contando una permanenca (P) s Y < Y y una nversón (I) s Y > Y. : X Y 4 (4,) I (4,) I (,) P 4 6 (4,6) P (,6) P (,6) P 5 (4,) I (,) P (,) I 6 5 (4,5) P (,5) P (,5) P (,5) P En total hemos encontrado 8 permanencas (P) y 4 nversones (I). Con ello : p τ 0667 ' n.( n ) 6.( 6 ) 5 Es decr, como ocurró con el coefcente ρ, exste una escasa relacón entre las calfcacones en Matemátcas y Flosofía.

77 6 a) b) 7 Con el fn de estudar s exste o no relacón entre las calfcacones en Matemátcas y en Flosofía de COU, selecconamos 0 alumnos analzando la puntuacón fnal en cada matera. Tenendo en cuenta que se nos proporconó en Flosofía solamente s el alumno aprobó (A) o suspendó, establezca el grado de relacón que exste entre las calfcacones en dchas materas. Y Flosofía A S X 5 0 Matemátcas a) utlzando el índce adecuado, basado en el concepto de correlacón de Pearson. b) medante un índce que no esté basado en el concepto de correlacón de Pearson. Al ser dcotómca la ª varable, obtendremos el coefcente de correlacón bseral puntual : Y Y Y0 A S 0 n n.x n.x n.x n.x 0 X X 4 ' X ' p 08 ' q X 4 ' sx 4 ' ' sx ' 487 ' 0 0 Con esto : r bp X X0 4 ' 48 '. pq.. 0' ' 0505 ' s 487 ' Es decr apenas exste relacón entre ambas varables. Calculemos ahora el coefcente de correlacón bseral r b : X 067 ' Tomando el menor de los valores de p y q : mn (p,q) mn (0'8, 0'67) 0'67 p. q obtenemos el valor tabulado del cocente (Tabla XXIII), que resulta ser gual a 0' f() z X Con esto : X0 pq rb s.. 4 ' 48 '.' ' 44 f( z) 487 ' X Aunque no concde su valor con el coefcente de correlacón bseral puntual, tambén podemos conclur que apenas exste relacón entre ambas varables. Hemos encontrado, utlzando el crtero de mínmos cuadrados, que las rectas de regresón de Y sobre X en puntuacones drectas y típcas son, respectvamente : Y' '. X + 4 z y' 0'8. z x Sabendo que : X 5, Y 0, S X, S Y, calcular : a) La varanza de las puntuacones pronostcadas en Y. b) La recta de regresón de Y sobre X, en puntuacones drectas, s sumamos 5 a todos los valores de X. c) La recta de regresón de Y sobre X, en puntuacones drectas, s sumamos a todos los valores de Y y multplcamos por todos los valores de X.

78 La recta de ajuste en puntuacones típcas nos proporcona el coefcente de correlacón : r 0'8 En consecuenca, sobra del enuncado el conocer una de las dos desvacones típcas. Conocdo r 0'8 ; b ' y una de las desvacones típcas (de X o de Y), la otra la habríamos calculado a partr de la relacón : r b. S S Y Su conocmento permte obtener la covaranza (cuyo cálculo tampoco resulta mprescndble) : SXY r SXY r. SX. SY 08 '.. 48 ' S. S X Y a) Varanza de los pronóstcos : S Y' Obtenda de la relacón que proporcona la proporcón de varanza explcada por el ajuste : SY' r SY' SY. r. 08 ' 576 ' S b) c) Y X S a los valores de X les sumamos 5, la nueva meda se ncrementa en 5, pero las meddas de dspersón se mantenen nalterables. Resulta así : X , Y 0, S X, S Y, S XY 4' 8 SXY Luego : b ' a Y b. X 0 '. 0 Y' + '. X SX S a los valores de Y les sumamos, la nueva meda se ncrementa en, pero las meddas de dspersón se mantenen nalterables. S los valores de X los multplcamos por, la nueva meda se multplca por, y las meddas de dspersón tambén (la varanza por el cuadrado). Resulta así : X 5. 0, Y 0 +, S X. 4, S Y, S XY 4' ' Luego : SXY. SXY b. b 06 ' SX. SX 4 a Y b. X 06 '. 0 7 Y' '. X 8 ϕ Se desea estudar s exste relacón entre `padecer dabetes y ceguera en la tercera edad. Para ello se analza una muestra de 000 personas del ISERSO encontrándose que de todas ellas un 50% presentan smultáneamente dabetes y ceguera, el 40% no presentan nnguna de ambas defcencas y el resto presentan en la msma medda sólo una u otra defcenca. Con estos datos elja, calcule e nterprete el coefcente de correlacón adecuado a dcho estudo. Se trata de analzar la relacón que puede exstr entre las dos enfermedades. Sendo las dos varables dcotómcas, calculamos el coefcente de correlacón ϕ (ph). Padecen ambas 50% de o padecen nnguna 40% de Padecen sólo dabetes La mtad de los 00 restantes 50 Padecen sólo ceguera La mtad de los 00 restantes 50 Dspuesta la tabla como sgue (totalzando flas y columnas) obtenemos : Y - Ceguera (Padece) 0 (o padece) X (Padece) a 500 b Dabetes 0 (o padece) c 50 d ad bc ( a+ b).( c+ d).( a+ c).( b+ d) ' 798 alta relacón entre las varables El padecer o no una dolenca condcona el padecer la otra.

79 EJERCICIOS PROPUESTOS X Y n De la presente dstrbucón conjunta de las dos varables (X,Y) : b) Obtener la recta de regresón de Y sobre X en puntuacones dferencales. 5 6 b) Obtener la recta de regresón de X sobre Y en puntuacones típcas.. 6 c) Calcular e nterpretar la proporcón de varanza resdual Y De la presente dstrbucón conjunta de las varables (X,Y) : a) Obtener la recta de regresón de Y sobre X b) Calcular e nterpretar el coefcente de determnacón. X c) Calcular su varanza resdual De los 0 pares de valores que se representan en el dagrama de dspersón de la zquerda, a) Calcular la recta de regresón de Y sobre X. b) Calcular e nterpretar el coefcente de correlacón lneal c) Determnar la proporcón de varanza asocada a X. d) Calcular la meda y varanza de las predccones Y' Y De la presente dstrbucón conjunta de las varables (X,Y) : 0 a) Calcular la frecuenca que falta sabendo que la me- 0 5 da de X es gual a 4. X b) Obtener la recta de regresón de Y sobre X en puntuacones dferencales. c) Calcular la proporcón de varanza resdual. Edad Hermanos n De la dstrbucón de edades y número de hermanos de 40 jóvenes : [0,5) 0 [0,5) 5 a) Obtener las rectas de regresón en puntuacones drectas, [0,5) 9 dferencales y tpfcadas. [5,0) 5 c) Calcular e nterpretar el coefcente de correlacón lneal. [5,0) 0 [0,5] [0,5] 5 Las sguentes dstrbucones bvarantes pretenden estudar el grado de relacón exstente entre las varables : a) Puntuacón en un test de agresvdad y sexo. b) Clasfcacón (de mayor a menor) según la nota meda obtenda en las asgnaturas del curso y en una prueba tendente a determnar su coefcente ntelectual. c) Ser bebedor y ser fumador. Determne y calcule en cada caso el índce adecuado que permte medr el grado de relacón entre las varables descrtas.

80 (I) Puntos Sexo (II) test Hombre Mujer Alumno [ 0,0) 0 ota meda º 4º 5º º 6º º [0,0) 5 C.I. º 4º 6º º 5º º [0,0) 9 [0,40) 0 (III) Fuman [40,50) 4 9 Sí o [50,60) 6 6 Beben Sí 4 o 4 4 La proporcón de varanza resdual, en un ajuste de Y sobre X, es del '%. a) Determne dcha recta de ajuste sabendo que a una puntuacón drecta X corresponde una predccón ' y que dcha recta corta al eje de ordenadas en el punto (0,0'). b) Calcule el coefcente de correlacón. c) Qué pronóstco dferencal corresponde a una puntuacón drecta X5, s X 0?. En el estudo de la relacón lneal exstente entre dos varables X e Y se observó que eran ndependentes. Sabendo que sus respectvas medas son guales a y, y que tenen por varanzas 0'58 y 0'654, a) calcule las ecuacones de las dos rectas de regresón b) determne el error típco de la predccón. De los cálculos realzados para estudar la relacón exstente entre las varables X e Y, se conoce que : - la recta de ajuste de Y sobre X pasa por el punto (,) - las meda de X es gual a y la de Y vale 4 - la varanza de la varable dependente es gual a '857, y la de las predccones es '9047. A la vsta de estos datos, calcule : a) Ecuacones de las dos rectas de regresón en puntuacones drectas, dferencales y típcas. b) Proporcón de varanza no asocada a X. Determnar las ecuacones en puntuacones dferencales de las rectas de regresón correspondentes a la dstrbucón bvarante (X,Y), sabendo que las varanzas de ambas varables son 4 y 9 respectvamente y que exste una relacón lneal perfecta y drecta entre ellas. En el estudo de la relacón lneal exstente entre dos varables X e Y, sabemos que a las puntuacones drectas 0 y de X le corresponden unos pronóstcos respectvos 4 y Sabendo que la proporcón de varanza asocada al ajuste es del 94 65% y que la varable dependente tene por meda 8 y varanza 5 6, calcular : a) Ecuacón de la recta de ajuste. b) Coefcente de correlacón. c) Meda y varanza de la varable X. d) Varanza resdual y de las predccones. Analzamos las edades de 8 personas que acuden a un examen para la obtencón del carnet de conducr. Sabendo que aprueban 5 con edades : 8, 4,, 45 y 0 y que los que suspenden tenen, y 7 años, determne el coefcente más adecuado para medr el grado de relacón de la edad con la superacón o no del examen. Para los sguentes pares de valores de las varables X e Y : (, 4), (0, 7), (, 5), (, 6 5), (4, ), (, 8 5), (, ), (4, 5), (0, 9), (, 7) calcular la proporcón de varanza que explca el ajuste de Y sobre X. X 0 5 Y f Determne la varanza de los errores y de las predccones, correspondentes al ajuste de Y sobre X en la dstrbucón anteror.

81 En un grupo de 0 alumnos se han obtendo las calfcacones en Anatomía, separando el ejercco teórco del práctco. El profesor encargado ordenó tales calfcacones de mayor a menor puntuacón, encontrando los resultados sguentes : Alumno Clasfcacón teoría Clasfcacón práctca Elja y calcule el índce de correlacón adecuado para medr s exste relacón o no entre las calfcacones en las dos partes del examen. Para los valores 0 y de la varable X se obtuveron unos pronóstcos de la varable dependente guales a y 4 05 respectvamente. Sabendo que la proporcón de varanza de la varable Y no asocada a la varacón de X es del 7 %, y la varanza de la varable ndependente es 975, calcular : a) la ecuacón de la recta de regresón de Y sobre X. b) la varanza de las puntuacones pronostcadas y la varanza resdual. c) el coefcente de correlacón entre X e Y Y Con la presente dstrbucón bvarante obtenga : 4 5 a) recta de regresón de la meda de Y condconada a X b) coefcente de correlacón de la meda de Y condconada a X X c) recta de regresón de Y sobre X d) coefcente de correlacón lneal (de Y sobre X) e) razón de correlacón. f) Compare los resultados obtendos en los apartados a), b) con los de los apartados c), d). Interprete el sgnfcado de la razón de correlacón calculada. Determne y calcule en cada uno de los sguoentes supuestos, el índce adecuado (no basado en el concepto de correlacón de Pearson) que permta medr el grado de asocacón entre las varables X e Y. (I) Y (II) (ordnales) X 0 X A B C D E F - 6 Y C F D E A B (III) Y 8 0 X

82 SOLUCIOES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS X 5' s X 0'7456 Y '96 s Y '584 s XY 0'8448 a) b ' y' '. x b) r 0'909 z y' 0'909. z x c) - r 0'77 La proporcón de varanza no explcada por X supone el 7'7% de la de Y. X '8 s X 0'56 Y 5' s Y '5 s XY '04 a) a '687 b '96 Y' '687 + '96. X b) R r 0'57 Representa la proporcón de varanza de Y explcada por X (el 57'%) c) s YX. '5097 X 5'5 s X 8'5 Y 4'05 s Y '85 s XY '75 a) a '9 b 0'848 Y' '9 + 0'848. X b) r 0'888 Elevada relacón entre las varables (de tpo drecto) c) R r 0'6704 d) Y' Y 4 05 s Y' '8 X 4 s X 0'574 Y '6508 s Y 0'957 s XY -0'58 a) f b) b -0'967 y' -0'967. x c) - r 0'48 X 6'75 s X 4'594 Y '55 s Y 0'994 s XY 0'4656 a 0'994 b 0'04 a' 4'597 b' '659 r 0'944 a) Y' 0' '04. X y' 0'04. x z y' 0'944. z x X' 4'597 + '659. Y x' '659.y z x' 0'944. z y b) r 0'944 Las varables no están relaconadas lnealmente (son ndependentes) (I) Coefcente bseral puntual r bp 0'089 (II) Coefcente ρ de los rangos de Spearman ρ 0'8857 (III) Coefcente ϕ ϕ - 0'654 a) Y 0' + 0'9. X b) r 0'885 c) y' 4'5 a) Y' X' b) s Y.X s Y 0'7845 a) Y' 6 -. X y' -. x z y' -0'99. z x X' '6667-0'467. Y x' -0'467.y z x' -0'99. z y b) - r 0'667 0 y' '5. x x' 0'6667. y

83 a) Y X b) c), 96 d) 0 86, r bp (o ben el 8 %) 954 ; ρ a) Y X b) 9 98 y 7 96 c) a) Y M '97 + 0'9049. X b) r M 0'994 c) Y ' '886. X d) r 0'6067 e) η (próxmo a r 0'68) (I) Coefcente bseral r b - 0'750 (II) Coefcente τ de Kendall τ - 0' (III) Coefcente tetracórco r t - 0'7744

84 Cálculo del coefcente de correlacón bseral p. q fz () La tabla proporcona, para el menor de los valores p y q, la cantdad : mn(p,q) 0'000 0'00 0'00 0'00 0'004 0'005 0'006 0'007 0'008 0'009 0'00 0'9788 0'576 0'77 0'699 0'4469 0'5 0'57 0'65 0'678 0'0 0'786 0'760 0'7994 0'86 0'87 0'9044 0'960 0'966 0'9954 0'40 0'0 0'4050 0'4076 0'404 0'457 0'449 0'47 0'4945 0'46 0'47 0'4579 0'0 0'478 0'4977 0'469 0'457 0'4540 0'470 0'4897 0' '449 0' '04 0' '4479 0' '4504 0'4595 0'4545 0'4549 0'4568 0'4578 0'459 0'05 0'4606 0'4698 0'46 0' ' '4676 0' ' '4705 0'478 0'06 0'4749 0' ' ' '4780 0'4794 0' '4859 0'4870 0'4879 0'07 0' ' ' ' ' '490 0'49 0'49 0'49 0'494 0'08 0' ' '4970 0' ' '4998 0' '5066 0'5056 0'5046 0'09 0'5045 0'505 0'506 0' '5078 0' '5095 0'506 0'50 0'50 0'0 0'584 0'565 0'5445 0'555 0'5604 0'568 0'5760 0'588 0'594 0'5990 0' 0'5066 0'54 0'55 0'589 0'56 0'545 0'5507 0'5579 0'5650 0'57 0' 0'579 0'5860 0'599 0'5998 0'5066 0'54 0'50 0'568 0'54 0'5400 0' 0'5465 0'550 0'5595 0'5659 0'57 0'5786 0'5849 0'59 0'597 0'5404 0'4 0' '5456 0'547 0'5477 0'546 0'5496 0' '545 0'5457 0'5469 0'5 0' '5474 0' ' '549 0' '550 0' '55 0'5586 0'6 0'5540 0'5594 0'5547 0' '5545 0' ' ' ' '557 0'7 0'5576 0'558 0'5586 0'559 0'5596 0'560 0' '5609 0'5657 0'5605 0'8 0'565 0'560 0'5648 0'5695 0'5644 0' '5654 0' '5666 0'5667 0'9 0'5676 0'5676 0' ' ' '5698 0'5698 0'5705 0' '57 0'0 0'5754 0'5796 0'579 0'578 0'57 0'5764 0' ' ' '5757 0' 0' ' ' ' '5776 0' ' '5784 0'5788 0'5790 0' 0' ' '5804 0'5807 0'5809 0'5846 0'588 0'589 0'5856 0'589 0' 0'588 0'5864 0'5899 0'5845 0' ' ' ' ' '5864 0'4 0' '587 0' ' '588 0' ' '5890 0'5894 0' '5 0' '5909 0'5907 0'590 0'594 0'5966 0'5997 0'598 0'5958 0'5989 0'6 0'599 0'5950 0'5980 0'5940 0'5949 0' ' '5958 0' ' '7 0'5964 0'5964 0'5967 0' '5977 0' '5978 0'598 0'5988 0' '8 0'5989 0'5999 0' '5997 0' '6005 0'6005 0' '600 0'609 0'9 0'6054 0'6080 0'6005 0'600 0'6055 0'6080 0'6004 0'609 0'605 0'6077 0'0 0'6040 0'6045 0' '6047 0' '6059 0'6054 0' ' '606 0' 0'606 0' ' ' '607 0' ' ' ' '6080 0' 0'6085 0'6087 0'6089 0'609 0'6094 0' ' ' '605 0'605 0' 0'6055 0'6074 0'6094 0'6 0'6 0'65 0'670 0'689 0'608 0'66 0'4 0'645 0'66 0'68 0'699 0'67 0'65 0'65 0'670 0'688 0'6405 0'5 0'64 0'649 0'6456 0'647 0'6489 0'6506 0'65 0'658 0'6554 0'6570 0'6 0'6586 0'660 0'668 0'66 0'6649 0'6664 0'6679 0'6694 0'6709 0'674 0'7 0'678 0'675 0'6767 0'678 0'6796 0'680 0'684 0'687 0'685 0'6865 0'8 0'6878 0'689 0'6904 0'697 0'690 0'694 0'6956 0'6969 0'698 0'699 0'9 0'6006 0'608 0'600 0'604 0'605 0'6065 0'6077 0'6088 0'6099 0'6 0'40 0'6 0'6 0'64 0'654 0'665 0'675 0'686 0'696 0'606 0'66 0'4 0'66 0'66 0'645 0'655 0'664 0'674 0'68 0'69 0'60 0'60 0'4 0'69 0'68 0'66 0'645 0'65 0'66 0'669 0'677 0'685 0'69 0'4 0'640 0'6408 0'646 0'64 0'640 0'647 0'6444 0'645 0'6458 0'6465 0'44 0'647 0'6478 0'6484 0'6490 0'6496 0'650 0'6508 0'654 0'650 0'655 0'45 0'65 0'656 0'654 0'6547 0'655 0'6556 0'656 0'6566 0'657 0'6575 0'46 0'6579 0'6584 0'6588 0'659 0'6596 0'6600 0'660 0'6607 0'66 0'664 0'47 0'667 0'660 0'66 0'666 0'669 0'66 0'665 0'667 0'6640 0'664 0'48 0'6644 0'6646 0'6648 0'6650 0'665 0'6654 0'6655 0'6657 0'6658 0'6659 0'49 0'6660 0'666 0'666 0'666 0'6664 0'6664 0'6665 0'6665 0'6665 0'6666 0'50 0'6666

85 PROBABILIDAD Métodos Estadístcos Aplcados a las Audtorías Socolaborales REPASO DE COMBIATORIA VARIACIOES ORDIARIAS Característcas : o se pueden repetr los elementos El orden de colocacón de los elementos tene nfluenca. VARIACIOES CO REPETICIÓ Característcas : Se pueden repetr los elementos El orden de colocacón de los elementos tene nfluenca. COMBIACIOES ORDIARIAS Característcas : o se pueden repetr los elementos El orden de colocacón de los elementos no nfluye. OTA : Factoral de un número n n! n.(n-).(n-) ! ! SUCESOS ALEATORIOS úmero : úmero : úmero : V n, p n, p n! ( n p)! VR n C n, p p n p n! p!.( n p)! EXPERIECIA ALEATORIA es aquella que no está sometda a una ley concreta. Su ocurrenca sólo depende del azar. ESPACIO MUESTRAL (E) es el conjunto de las posbles ocurrencas (sucesos elementales) de una experenca aleatora. SUCESO ALEATORIO es cualquer subconjunto o parte del espaco muestral. OPERACIOES : UIÓ DE SUCESOS A B A o B ITERSECCIÓ DE SUCESOS A B A y B SUCESO COTRARIO A no A SUCESOS ESPECIALES : SUCESO SEGURO E sempre se verfca SUCESO IMPOSIBLE φ nunca se verfca SUCESOS COMPATIBLES A B φ tenen algo en común SUCESOS ICOMPATIBLES A B φ no tenen nada en común EJEMPLO : Lanzar un dado es una experenca aleatora (nunca podremos asegurar el valor que se obtene al lanzarlo). El conjunto de las posbles ejecucones consttuye el espaco muestral E {,,, 4, 5, 6 }. A { salga cfra par } {, 4, 6 } B { ser múltplo de } {, 6 } C { ser múltplo de 5 } { 5 } PROBABILIDAD A B {,, 4, 6 } A B { 6 } A { salga cfra mpar } {,, 5 } A y B son compatbles A B { } φ A y C son ncompatbles A C φ DEFIICIÓ : Probabldad es una ley que asoca a cada suceso un valor numérco, sometda a las sguentes condcones : ª La probabldad sempre estará comprendda entre 0 y : 0 Pr(A) ª La probabldad del suceso seguro es gual a : Pr(E) ª Axoma de probabldades totales : S dos sucesos A y B son ncompatbles ( A B φ ), se verfca que Pr(A B) Pr(A) + Pr(B) PROPIEDADES ELEMETALES : I. Pr (A) - Pr(A ) II. La probabldad del suceso mposble es gual a 0 : Pr(φ) 0

86 REGLA DE LAPLACE : La probabldad de un suceso es el cocente entre el número de stuacones en que puede presentarse dcho suceso y el número total de stuacones posbles. TEOREMA DE PROBABILIDADES TOTALES : Pr(A B) Pr(A) + Pr(B) - Pr(A B) Generalzando : Pr( A A A...) Pr( A ) Pr( A A ) + Pr( A A A )... j j k Así, por ejemplo : Pr(A B C D) Pr(A) + Pr(B) + Pr(C) + Pr(D) - - Pr(A B) - Pr(A C) - Pr(A D) - Pr(B C) - Pr(B D) - Pr(C D) + + Pr (A B C) + Pr (A B D) + Pr(A C D) + Pr(B C D) - - Pr(A B C D) PROBABILIDAD CODICIOADA. TEOREMA DE PROBABILIDADES COMPUESTAS : B/A suceso B condconado al A ( ocurrr B habendo ocurrdo A ). Pr( A B) Pr( B/ A) Pr( A B) Pr( A).Pr( B/ A) Pr( A) Generalzando : Pr( A A A...) Pr( A ).Pr( A / A ).Pr( A / A A ).... TEOREMA DE BAYES : Sean n causas ndependentes A con probabldades Pr(A ) conocdas y sea B un suceso que puede presentarse en cada una de ellas, sendo conocdas las probabldades Pr(B/A ). Se verfca entonces que : Pr( Ak).Pr( B/ Ak) Pr( Ak / B) n Pr( A ).Pr( B/ A )

87 EJERCICIOS RESUELTOS Al extraer al azar una fcha del juego del domnó, calcular la probabldad de que sume un número de puntos múltplo de. En stuacones como la presente nos vemos oblgados a desarrollar el espaco muestral, contando, posterormente, las stuacones que se ajustan al problema (casos favorables). Probabldad de sumar múltplo de 9 / 8 0'4 Al lanzar al are cuatro monedas, calcular la probabldad de obtener al menos dos caras. En este caso podríamos contar las dstntas stuacones, s ben puede efectuarse un desarrollo prevo del espaco muestral : CCCC Se obtenen 4 caras CCC+ CC+C C+CC +CCC Se obtenen caras y cruz CC++ C+C+ C++C +CC+ +C+C ++CC Se obtenen caras y cruces C+++ +C++ ++C+ +++C Se obtenen cara y cruces ++++ Se obtenen 4 cruces Del total de 6 stuacones posbles, en de ellas se obtenen al menos dos caras. Así : Pr /6 0'6875 Sn proceder al desarrollo de todas las posbldades : a) Stuacones posbles : VR,4 4 6 b) Se obtenen cuatro caras en solo caso Se obtenen tres caras en C 4, 4 casos Se obtenen tres caras en C 4, 6 casos 4 Una caja contene ses bolas blancas, tres rojas y dos negras. Al extraer smultáneamente dos bolas de ella, calcular la probabldad de que sean : a) las dos blancas b) las dos del msmo color Pr( a ) 9 0'77 Pr( b ) 0' Una caja contene ses bolas blancas (B), tres rojas (R) y dos negras (). Al extraer sucesvamente dos bolas de ella, calcular la probabldad de que sean de dstnto color: a) supuesta la extraccón con devolucón de la bola extraída b) supuesta la extraccón sn devolucón de la bola extraída Las posbles stuacones que se ajustan al problema son : BR, B, RB, R, B, R a) Pr ' 595

88 b) Pr ' La sguente tabla nos muestra la dstrbucón del alumnado de un Centro en funcón del curso y del sexo. Hombre Mujer Selecconado un alumno al azar, calcular la probabldad º 5 5 a) de que sea mujer o estude º º 0 0 b) de que no estude º y sea hombre º 5 45 c) de que sea mujer sabendo que no es de º a) b) c) 6 Pr ' 7 Pr ' Pr ' 664 Al extraer smultáneamente tres cartas de la baraja española, calcular la probabldad de que : a) todas sean de oros b) al menos dos sean fguras c) sean del msmo palo d) sean de dstnto palo e) no sean del msmo palo 0 0 Pr a) Las tres de oros : 0' Pr b) Dos fguras o tres fguras : 0' 09 c) Las tres de oros o de copas o de espadas o de bastos : Pr 0' Antes de efectuar lo solctado en los apartados d) y e), veamos su dferenca. Ser de dstnto palo sgnfca que, por ejemplo, una sea de oros, otra de espadas y otra de bastos. o ser del msmo palo se presenta cuando, por ejemplo, dos son de oros y la otra de copas. El apartado d) se verfca al obtener : oro-copa-espada ; oro-copa-basto ; oro-espada-basto ; copa-espada-basto. El apartado e) es aconsejable resolverlo a partr del suceso contraro (ser del msmo palo) d) Pr 4. 0' e) Pr - Pr(ser del msmo palo) - 0'0486 0'954

89 7 Una rata se mueve lbremente por los compartmentos dbujados en el esquema de la zquerda. Supuesto que parte ncalmente del dentfcado con el número, calcular : a) probabldad de que alcance el compartmento 4, después de realzar tres desplazamentos. b) probabldad de que alcance un compartmento par después de realzar tres desplazamentos, sabendo que el prmer desplazamento lo hace al compartmento. a) Desplazamentos posbles Probabldad Total - ; -5 ; ; - ; ; 4-5 ; ; 4- ; -4 Pr 0'48 b) S observamos las dstntas posbldades, sempre se acaba en un compartmento par. La probabldad es pues gual a. S no se adverte tal crcunstanca, el problema se traduce en alcanzar un compartmento par, partendo del, en dos desplazamentos. Desplazamentos - ; - - ; - -5 ; 5- - ; -4 - ; -6-5 ; ; Pr La tabla nos muestra la dstrbucón fnal del alumnado de Bachllerato. a) Hallar la probabldad de que un alumno no apruebe todas las asgnaturas o sea en la actualdad de º de BUP. b) S un certo alumno debe repetr curso, calcule la probabldad de que actualmente sea de º de BUP. c) Preguntamos a los tres prmeros alumnos que salen del Centro. Hallar la probabldad de que sean del msmo curso. a) Pr ' 667 b) Pr 8 0' 486 4

90 Por las característcas del enuncado, puede pensarse en una aplcacón del Teorema de Bayes. Resuelto por este método, el suceso B es repetr curso y los sucesos A, A y A, ser de º, de º y de º respectvamente. La probabldad se calcularía : Pr( A) Pr( A) Pr( A) Pr( B/ A) Pr( B/ A) Pr( B/ A) Pr( A / B) ' c) Probabldad de ser los tres de º o de º o de º : Pr ' Una experenca consste en lanzar una bola por el labernto nclnado de la fgura. Hallar la probabldad de que : a) la bola no salga por B. b) la bola salga por C, sabendo que pasó por la bfurcacón. c) la bola pase por la bfurcacón. Indcamos a-b el paso desde el nudo o bfurcacón a a la b. a) Determnemos la probabldad del suceso contraro (salr por B). Esto se produce s la bola realza el recorrdo ( - ; -4 ; 4-B ) o ben el ( - ; -5 ; 5-B ). La probabldad pedda es : Pr( B ) Pr( B) '75 b) El camno recorrdo será ( -5 ; 5-C ). La probabldad pedda es : Pr. 05 ' c) Al salr de, la bola puede pasar por o por. La probabldad pedda es : Pr 05 ' 0 Una fábrca funcona las 4 horas del día con tres turnos de 0 trabajadores cada uno. En el prmer turno el 40 % son mujeres; en el segundo hay 8 mujeres y, en el tercero, sólo el 0 % son mujeres. a) Selecconadas al azar dos fchas de empleados de la fábrca (de forma smultánea), determne la probabldad de que pertenezcan a trabajadores del msmo turno. b) Tomamos una fcha al azar y corresponde a una mujer. Calcule la probabldad de que sea la de una de las que trabajan en el turno º. Detallemos prevamente el número de mujeres y hombres de cada turno, sabendo que en total hay 0 : Turno º Turno º Turno º Mujeres 8 Hombres 8 7 a) Probabldad de ser ambos del turno º o del º o del º :

91 Pr 0' b) os encontramos en este caso en una aplcacón del Teorema de Bayes. El suceso B que conocemos se ha presentado es B ser mujer. Tal suceso se puede dar o puede proceder del prmer turno (A ), del º (A ) o del º (A ). 0 Pr( A) Pr( A) Pr( A) 90 8 Pr( B/ A) Pr( B/ A) Pr( B/ A) La probabldad pedda es : Pr( A / B) 0 0' a) b) Dsponemos de tres urnas con la dstrbucón de bolas blancas y rojas ndcada en el gráfco de la zquerda. Extraída una bola de una de las urnas, hallar la probabldad de que sea blanca. Extraída una bola de una de las urnas resultó ser blanca, hallar la probabldad de que proceda de la ª urna. a) La pregunta es precso detallarla con mayor precsón. Se trata de elegr la ª urna y extraer bola blanca o selecconar la ª y extraer bola blanca o selecconar la ª y extraer bola blanca. Con esto, la probabldad pedda será : 4 9 Pr ' b) Aplcacón del Teorema de Bayes. El suceso B que conocemos se ha presentado es B ser blanca. Tal suceso se puede dar o puede proceder de la prmera urna (A ), de la ª (A ) o de la ª (A ). Pr( A) Pr( A) Pr( A) 4 Pr( B/ A) Pr( B/ A) Pr( B/ A) La probabldad pedda es : Pr( A / B) 5 4 0' Sería correcto, en este caso, resolver el problema en base al conocmento smple de que la bola extraída es blanca. La probabldad de que proceda de la ª urna (tenendo en cuenta que hay bolas blancas en la ª, 4 en la ª y en la ª) sería gualmente: 4 4 Pr( A / B) 0' Un arquero acerta en el centro de una dana en 7 de cada 0 lanzamentos. Calcule la probabldad de dar en el centro de la dana s dspara 6 flechas. Al realzar los 6 dsparos puede que dé en el centro de la dana,,..., 6 veces. Se trata de calcular la probabldad de dar en el centro de la dana alguna vez. Es decr, lo contraro de no dar en nnguna ocasón. La probabldad de dar en el centro de la dana, en cada dsparo, es 7/0 0'7. La de no dar : /00'. Pr( dar algunavez) Pr( nodar) ' '9997

92 En las pruebas de acceso a la Unversdad, el 45% son alumnos de la opcón A, el 0% de la B, el 0% de la C y el resto de la opcón D. Se sabe que aprueban el 80% de los alumnos de la opcón A, la mtad de los que cursaron las opcones C y D y el 60% de los de la opcón B. S un certo alumno aprobó la prueba, calcule la probabldad de haber cursado la opcón C. Ejemplo clásco de aplcacón del Teorema de Bayes. El suceso B que conocemos se ha presentado es B aprobar la prueba. Tal suceso se puede dar o puede proceder de la opcón A (A ), de la B (A ), de la C (A ) o de la D (A 4 ). Pr( A) 0' 45 Pr( A) 0' 0 Pr( A) 0' 0 Pr( A4) 0' 5 Pr( B/ A ) 080 ' Pr( B/ A ) 060 ' Pr( B/ A ) 050 ' Pr( B/ A ) 050 ' 4 4 La probabldad pedda es : '. ' 05 ' Pr( A / B) 0' 56 0' 45. 0' ' 0. 0' ' 0. 0' ' 5. 0' 50 0' 645 En un examen de Pscología Matemátca I se les proponen a los alumnos tres problemas (A, B y C), de los que han de elegr uno. La mtad de los alumnos elgen el problema A, y de éstos aprueban el 60%. El 0% elgen el B, suspendendo el 5%. Por últmo, entre los que elgen el C aprueban el 0%. a) Consderando a todos los alumnos, cuál es la probabldad de aprobar el examen?. b) Sabendo que un alumno ha aprobado, cuál es la probabldad de que haya elegdo el problema A?. c) Sabendo que un alumno suspendó, cuál es la probabldad de que haya elegdo el problema C?. El problema puede resolverse sguendo dos procedmentos: º.- Utlzando propedades del cálculo de probabldades (especalmente el Teorema de Bayes). º.- Aplcando el puro y smple sentdo común. Para ello es aconsejable exponer de forma clara los datos del problema: A B C Aprueban 60% de % de 0 5 0% de 0 6 Suspenden 40% de % de % de 0 4 TOTAL 50% 50 0% 0 0% 0 Método º : a) Pr(aprobar) Pr(elegr A y aprobar o elegr B y aprobar o elegr C y aprobar) b) Teorema de Bayes : Pr( A).Pr( aprobado / A) Pr( A / aprobado) Pr( A).Pr( aprobado / A) + Pr( B).Pr( aprobado / B) + Pr( C).Pr( aprobado / C) '. ' 00 ' 0' 58 0' 50. 0' ' 0. 0' ' 0. 0' ' c) Teorema de Bayes : Pr( C).Pr( suspenso / C) Pr( C / suspenso) Pr( A).Pr( suspenso / A) + Pr( B).Pr( suspenso / B) + Pr( C).Pr( suspenso / C) '. ' 04 ' 07 ' '. ' '. ' '. ' 0' 45 Método º : a) Pr(aprobar) (0+ 5+6) / / b) Observando sólo los aprobados (en total 58 5) : Pr(A/aprobó) 0 / c) Observando sólo los suspensos (en total 4 5) : Pr(C/suspendó) 4 / La E.M.T. de Madrd dspone de 8 líneas de autobuses para r de la cudad al campus unverstaro. Calcular de cuántas formas puede un estudante hacer el vaje de da y vuelta, s : a) Los autobuses de da y vuelta pueden ser de la msma o dferente línea. b) Los autobuses de da y vuelta han de ser de dferente línea. c) Los autobuses de da y vuelta han de ser de la msma línea. a) 8x8 64 (por cada línea de da puede tomar las ocho de vuelta) b) 8x7 56 (por cada línea de da puede tomar lsólo sete de vuelta)

93 c) 8 (las ocho líneas) 6 Sabemos que de cada 0000 mujeres 5 sufren de daltonsmo y 5 de cada 00 hombres tambén tenen la msma anomalía. Suponendo que exste gual número de hombres que de mujeres, y que elegmos aleatoramente de ésta una persona, cuál es la probabldad de que sea varón, supuesto que sufre daltonsmo?. Hombre Mujer Trabajamos sobre 0000 ndvduos Daltónco o daltónco Prob 500 / En un expermento de condconamento se stúa a una rata en el centro de un labernto como el de la fgura. En cada uno de los ensayos la rata elge sempre uno de los tres camnos (A, B, C) con gual probabldad (P(A)P(B)P(C)/). El suelo de cada uno de estos tres camnos es una rejlla eléctrca que dspensa una descarga (D) de 5V a la rata, una vez que lo ha psado, con dstnta probabldad : ¾ para A, ¼ para B y 0 para C. En un determnado ensayo la rata no recbó la descarga eléctrca. Cuál es la probabldad de que haya elegdo el camno A?. Y el B?. Y el C? Teorema de Bayes. (B O recbr descarga) P(A ) P(A) / P(B/A ) /4 P(A ) P(B) / P(B/A ) /4 P(A ) P(C) / P(B/A ).. PA ( / B) 4 05 ' PA ( / B) ' PA ( / B) 05 ' Puede resolverse sn necesdad de aplcar el Teorema de Bayes. Sobre un total de 00 saldas o movmentos de la rata, el problema plantea que sale 00 veces por cada camno (probabldad /) recbe descarga : 75 veces en A (/4 de 00) ; 5 veces en B (/4 de 00) ; 0 veces en C Descarga SI Descarga O Camno A Camno B Camno C Luego : Pr(Camno A / O descarga) 5 / 00 0'5 Pr(Camno B / O descarga) 75 / 00 0'75 Pr(Camno C / O descarga) 00 / 00 0'5 8 Dsponemos de dos métodos A y B para enseñar una certa habldad técnca. El 0% de los enseñados con el método A y el 0% de los enseñados con el método B no aprenden la menconada habldad. o obstante, el método B es más caro y se aplca sólo al 0% de las personas, mentras que el A se aplca al 70%. Una persona ha aprenddo la habldad, cuál es la probabldad de que haya segudo el método A?. A B Trabajamos sobre 00 ndvduos Aprende 56 7 o aprende 4 Prob 56 / (56+7)

94 9 0 Certo profesor tene por costumbre guardar todos los calcetnes (lmpos)en un cajón y cada mañana elge consecutvamente al azar tres de ellos. Sólo tene tres colores de calcetnes: grses (G), azules (A) y blancos (B). S en las tres prmeras extraccones los tres calcetnes son de dferente color, decde no ponérselos y se calza unas sandalas. Una mañana cualquera tene en el cajón 8 calcetnes grses, 4 azules y 6 blancos. a) Cuál es el espaco muestral de que dspone ese profesor esa mañana?. b) Cuál es la probabldad de que esa mañana salga a la calle con sandalas?. c) Es gual la probabldad de que saque dos calcetnes grses y uno azul que la de que saque dos grses y uno blanco?. Calcule ambas probabldades. a) E { (GGG), (GGA), (GGB), (GAA), (GAB), (GBB), (AAA), (AAB), (ABB), (BBB) } b) Pr(GAB o GBA o AGB o ABG o BAG o BGA) ' c) Pr(G y A) Pr(GGA o GAG o AGG) ' Pr(G y B) Pr(GGB o GBG o BGG) ' Un profesor ndecso dspone de 5 problemas, de los que utlzará sólo dos, para elaborar un examen. Los tres prmeros corresponden a la prmera parte y los dos sguentes a la segunda. Tampoco tene muy claro s dejar utlzar o no materal ddáctco a sus alumnos. Para resolver sus dudas utlza una urna que contene tres bolas rojas, numeradas del al, y dos blancas, numeradas con 4 y 5. Extrae al azar, y sn reposcón, dos bolas. a) Cuál es la probabldad de que los ejerccos sean de dstnta parte?. b) S los alumnos sólo pueden utlzar materal cuando las bolas sean del msmo color, cuál es la probabldad de que puedan utlzarlo?. a) Pr(RB o BR) /5 x /4 + /5 x /4 0 6 b) Pr(RR o BB) /5 x /4 + /5 x /4 0 4 (o ben, utlzando el apartado anteror : ) De los 50 alumnos matrculados en un determnado Centro Asocado en la asgnatura de Pscología Matemátca, 0 son varones. Para partcpar en un expermento de percepcón vsual, selecconamos sn reposcón a dos de ellos. Calcular, justfcando adecuadamente su respuesta, la probabldad de que : a) Los dos sean varones. b) Los dos sean del msmo sexo. c) Al menos uno sea mujer. OTA : Representamos el térmno "y" por el símbolo nterseccón ( ) y el térmno "o" por el de la unón ( ). a) La extraccón sn reposcón modfca el grupo en las extraccones sucesvas. 0 9 Pr( Vº Vº ) Pr( Vº y Vº ) Pr( Vº ).Pr( Vº / Vº ). 0' b) Pueden ser los dos varones o las dos mujeres : Pr (( Vº Vº ) ( Mº Mº )) Pr( Vº Vº ) + Pr ( Mº Mº ) ' c) Pueden ser un varón y una mujer o las dos mujeres : Pr ( V M ) ( M V ) ( M M ) Pr V M + Pr M V + Pr M M ( ) ( ) ( ) ( ) º º º º º º º º º º º º '

95 EJERCICIOS PROPUESTOS Sabendo que Pr(B).Pr(A), Pr(A B)0'8 y Pr(A B)0', calcule : Pr(A), Pr(B), Pr(A'), Pr(B-A) y Pr(A-B) Al extraer dos cartas smultáneamente de una baraja española, calcule la probabldad de que : a) las dos sean del msmo palo b) ambas sean fguras c) alguna sea de oros. Dsponemos de cuatro cajas con la sguente composcón de bolas blancas y negras : la ª contene bolas de cada color la ª y la 4ª contenen 5 bolas blancas y negras la ª está consttuda por bola blanca y negras. a) Selecconada una urna al azar, hallar la probabldad de extraer una bola blanca de ella. b) Se extrajo una bola de una de las urnas que resultó ser blanca. Calcule la probabldad de haberla extraído de la 4ª urna. La sguente tabla muestra la dstrbucón de los trabajadores de una empresa según su estado cvl y el ser o no fumadores. Fuman o fuman Solteros 4 6 Casados 8 5 Vudos 6 a) Selecconados trabajadores al azar, determne la probabldad de que todos fumen. b) Calcule la probabldad de que un trabajador de la empresa esté casado o fume. c) Calcule la probabldad de que un trabajador de la empresa no esté casado o fume. d) S un certo trabajador fuma, qué probabldad tene de ser soltero?. e) S un trabajador es vudo, calcule la probabldad de que no sea fumador. Una urna contene tres bolas con las letras A, A y. Otra contene las letras A, A, A, y. Selecconamos tres bolas sucesvamente y con devolucón. Qué urna ofrece mayor probabldad de obtener la palabra AA?. Un alumno sólo estudó uno de los cuatro temas de un examen. S el examen consta de dez preguntas, calcule la probabldad de que pueda contestar a alguna de ellas. º º º 4º 5º Hombres 4 40 Mujeres La tabla anteror nos muestra la dstrbucón por sexo de los alumnos de los 5 cursos de una Carrera. Selecconados al azar dos alumnos, calcule la probabldad de que : a) sean del msmo curso. b) alguno sea de º c) los dos sean hombres o estuden º. De un grupo de alumnos, la mtad son de prmero, la qunta parte de º y el resto de º. De los de º, la cuarta parte son repetdores y, de los otros cursos, la mtad repten. S un certo alumno es repetdor, calcule la probabldad de que sea de º curso.

96 9 0 Una urna contene 5 bolas blancas, rojas y negras. a) Selecconado un grupo de tres bolas, determne la probabldad de que nnguna sea negra. b) Selecconadas sucesvamente y sn reposcón tres bolas, determne la probabldad de que sean del msmo color. c) Selecconadas sucesvamente y con reposcón tres bolas, determne la probabldad de que alguna sea negra. De los 80 alumnos de tres grupos de COU de un centro, la mtad pertenecen al grupo A y el 5% al C. Sabendo que aprueban el curso el 40% de los alumnos del grupo A, 8 alumnos del grupo B y la tercera parte de los del C, determne la probabldad de que : a) un alumno de COU suspenda. b) un certo alumno pertenezca al grupo B, sabendo que aprobó. Una caja contene 6 bolas blancas, negras y 4 rojas. a) S tomamos dos bolas smultáneamente de la caja, calcule la probabldad de que sean del msmo color. b) Al tomar sucesvamente y sn reposcón tres bolas de la caja, hallar la probabldad de que todas sean blancas, sabendo que nnguna es negra. En relacón con la opcón cursada por los alumnos de COU, el 5% se matrculó en la A, el 5% en la B, concdendo los matrculados en las opcones C y D. Fnalzado el curso, aprobaron : la mtad de los alumnos de la opcón A y C, el 60% de la B y sólo un 0% de los de la opcón D. a) S un alumno selecconado aprobó, calcule la probabldad de ser de la opcón C. b) Calcule la probabldad de que un alumno suspenda, sabendo que no pertenece a la opcón A.

97 SOLUCIOES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS Pr(A) 0' Pr(B) 0'6 Pr(A') 0'7 Pr(B-A) 0'5 Pr(A-B) 0' a) 0'08 b) 0'0846 c) 0'44 a) 0'5655 b) 0'58 a) 0'099 b) 0'7875 c) 0'565 d) 0'5 e) 0'49 La prmera (0'48) más que la segunda (0'44) 0'947 a) 0'95 b) 0'5048 c) 0'685 0'4 a) 0'4667 b) 0'097 c) 0'488 a) 0'65 b) 0'857 a) 0' b) 0'666 a) 0'05 b) 0 5

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99 VARIABLES ALEATORIAS Métodos Estadístcos Aplcados a las Audtorías Socolaborales VARIABLES ALEATORIAS UIDIMESIOALES Varable aleatora, asocada a una experenca aleatora, es la ley que hace corresponder a cada suceso aleatoro un valor numérco. Así, por ejemplo, la expresón "lanzamos tres monedas observando el número de caras que se obtenen" está defnendo la varable aleatora que permte asocar al suceso Cara-Cruz-Cara el valor (dos caras). Como en el caso de las varables estadístcas, las varables aleatoras pueden ser dscretas o contnuas. os centraremos en el estudo de las prmeras. FUCIÓ DE DESIDAD O LEY DE PROBABILIDAD Es el conjunto de los valores de la varable aleatora X y sus probabldades respectvas f(x) Pr(Xx). Para el caso dscreto se suele adoptar la forma de representacón sguente : X x x x.... x.... x n f(x) p p p.... p.... p n Ante la equvalenca entre frecuencas relatvas y probabldades, se verfca que : n p FUCIÓ DE DISTRIBUCIÓ Del msmo modo que se defnían las frecuencas acumuladas, denomnamos funcón de dstrbucón a : F(x) Pr(X x) MOMETOS. ESPERAZA MATEMÁTICA, VARIAZA, ASIMETRÍA Y CURTOSIS Momento ordnaro de orden k : k α k p. x Momento central de orden k : p ( x E X ) En partcular : n n k μ k. ( ) Esperanza matemátca : Es el momento ordnaro de orden (α ), equvalente a la meda artmétca. n EX ( ) α p. x Varanza : Es el momento central de º orden. n n VX ( ) μ p. ( x EX ( )) p. x EX ( ) α α Desvacón típca : Es la raíz cuadrada de la varanza. DX ( ) VX ( ) Coefcente de asmetría : (smlar a lo estudado en el análss descrptvo de una varable) AX ( ) μ [ DX ( )] Coefcente de curtoss : (smlar a lo estudado en el análss descrptvo de una varable) μ 4 KX ( ) 4 DX ( ) [ ] Expresón de algunos momentos centrales en funcón de momentos ordnaros : 4 4 μ 0 μ α. α. α +. α 4 μ α α μ α 4. α. α + 6. α. α. α

100 OTRAS MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ Moda : es el valor de la varable aleatora que posee probabldad máxma. Medana : es el valor Md de la varable aleatora para el cuál : F(Md) 0'5 y - F(Md) < 0'5 (sendo F la funcón de dstrbucón) PROPIEDADES E(X + Y) E(X) + E(Y) E(α.X) α.e(x), para cualquer número α. S las dos varables son ndependentes, se verfca que : E(X. Y) E(X). E(Y) V(X + Y) V(X) + V(Y) TEOREMA DE TCHEBYCHEV Establece la probabldad máxma de que la varable aleatora tome valores en los alrededores de la esperanza matemátca (meda de la dstrbucón). Teorema : Gráfcamente : Para toda varable aleatora X para la que exste su esperanza y su varanza, se verfca que, para cualquer valor numérco postvo k : VX ( ) Pr ( X E( X) < k) < k La probabldad de que cualquer valor de la varable X pertenezca al ntervalo sombreado es nferor a : VX ( ) k

101 EJERCICIOS RESUELTOS Lanzadas cuatro monedas, consderemos el número de cruces obtendas. Calcular, de la varable aleatora así defnda : a) Ley de probabldad b) Funcón de dstrbucón c) Esperanza matemátca y varanza d) Medana y moda de la dstrbucón e) Determne la probabldad de obtener más de y menos de caras. Compruebe el teorema de Tchebychev. CCCC Se obtenen 0 cruces CCC+ CC+C C+CC +CCC Se obtenen caras y cruz CC++ C+C+ C++C +CC+ +C+C ++CC Se obtenen caras y cruces C+++ +C++ ++C+ +++C Se obtenen cara y cruces ++++ Se obtenen 4 cruces Ley de probabldad o funcón de densdad : Funcón de dstrbucón : X 0 4 f(x)pr(xx) /6 4/6 6/6 4/6 /6 X 0 4 f(x)pr(xx) /6 4/6 6/6 4/6 /6 F(x)Pr(X x) /6 5/6 /6 5/6 6/6 Más correctamente se expresará : Gráfcamente : Ley de probabldad F ( x) parax < 0 para0 x < para x < para x < para x < 4 parax 4 Funcón de dstrbucón Para el cálculo de la esperanza matemátca y la varanza de una varable aleatora dscreta, se aconseja construr la sguente tabla auxlar : X 0 4 Totales P /6 4/6 6/6 4/6 /6 α P.X 0 4/6 /6 /6 4/6 /6 α P.X 0 4/6 4/6 6/6 6/6 80/6 5 De aquí : E(X) α V(X) α - α 5-4

102 Defnda la desvacón típca como la raíz cuadrada de la varanza : D(X) Observando la ley de probabldad o funcón de densdad, deducmos que : Moda (al tener X la mayor probabldad (6/6) ) Observando la funcón de dstrbucón, deducmos que : Medana (al ser X el valor para el que F(X) (/6) prmero guala o supera a 0'5) Comprobemos el teorema de Tchebychev para el caso reseñado : Pr ( < X < ) Pr(X) 6/6 0'75 Sendo E(X), la esperanza se encuentra en el centro del ntervalo defndo (, ), luego su ampltud es k. Recordando que V(X), tenemos : La probabldad calculada es en efecto nferor a 0'75. Pr ( X E ( X ) < ) < 0' 75 En la extraccón smultánea de tres bolas de una urna que contene 6 bolas blancas y cuatro negras, observamos el número de bolas blancas extraídas. De la varable aleatora así defnda, calcular : a) ley de probabldad b) funcón de dstrbucón c) esperanza matemátca, varanza y desvacón típca. d) medana y moda de la dstrbucón Pr( 0 ) 6.6 blancas y ne gras 0'0 Pr( blanca yne gras) 0' Pr( ) 0 blancas y negra 0'5 Pr( blancas y0ne gras) 0' Una vez calculadas las probabldades de las dstntas stuacones posbles, obtenemos : Ley de probabldad o funcón de densdad : X 0 Prob. 0'0 0' 0'5 0'67 Funcón de dstrbucón : 0 x < 0 0'0 0 x < F(x) 0' x < 0'8 x < x Esperanza matemátca, varanza y desvacón típca : X 0 Prob. P 0'0 0' 0'5 0'67 Totales P.X 0 0' 0'5 '8 P.X 0 0' '5 '8 E(X) '8 V(X) '8 - '8 0'56 D(X) 0'56 0'748 Medana y Moda : Observando la funcón de dstrbucón, deducmos que : Medana (al ser X el valor para el que F(X) ( 0'8) prmero guala o supera a 0'5) Observando la ley de probabldad o funcón de densdad, deducmos que : Moda (al tener X la mayor probabldad (0'5) )

103 Complete la ley de probabldad sguente, sabendo que su esperanza matemátca es gual a '8 : X 0 Prob. 0' a b 0' De una parte, sabendo que se verfca que n p, resulta : 0' + a + b + 0' a + b 0'5 n Conocda la esperanza matemátca : EX ( ) p. x 00. ' +. a+. b+ 0. ' 8 ' a +.b 0'9 Resolvendo el sstema obtenemos los valores de a y b : a + b 0'5 a 0'5 - b a +.b 0'9 0'5 - b +.b 0'9 b 0'4 a 0' 4 Calcular la esperanza matemátca, varanza, asmetría y curtoss de la varable aleatora que tene como funcón de dstrbucón : F(x) 0 x < 0' x < 4 0'55 4 x < 6 0'85 6 x < 8 x 8 La ley de probabldad o funcón de densdad será : Cálculo de momentos : Luego : x p 0' 0'5 0' 0'5 α p.x 0'4 '4 '8 ' α 4'8 (Σ) α p.x 0'8 5'6 0'8 9'6 α 6'8 (Σ) α p.x '6 '4 64'8 76'8 α 65'6 (Σ) α 4 p.x 4 ' 89'6 88'8 64'4 α (Σ) esperanza matemátca : varanza : n EX ( ) p. x α 48 ' ( DX ) VX ( ) μ α α 6' 8 4' 8 ' 76 ( ) 76 ' 99 ' coefcente de asmetría : μ α. α. α +. α 656 ' 4.' ' +.' ' μ ' AX ( ) 085 ' ( Dx ( )) 99 ' coefcente de curtoss : 4 4 μ4 α4 4. α. α+ 6. α. α. α ' ' ' ' 4. ' 8 8' 787 μ4 8' 787 KX ( ) 4 4 0' 968 Dx ( ) 99 ' ( ) 5 Realzada una apuesta de 00 pts., un jugador extrae una bola de una caja que contene bolas blancas, rojas y 5 negras. S la bola extraída es negra perde lo apostado y fnalza el juego; s es roja recbe lo apostado y deja de jugar, y fnalmente, s es blanca, cobra 00 pts. s al lanzar una moneda obtene cruz y 400 pts. s sale cara. S el jugador partcpa en ocasones en dcho juego, qué benefco o pérdda tendrá?. Las stuacones posbles son :

104 6 Benefco Probabldad Extrae bola negra -00 pts. (5/0) 0'5 Extrae bola roja pts. (/0) 0' Extrae bola blanca y cruz pts. (/0).(/) 0' Extrae bola blanca y cara pts. (/0).(/) 0' La esperanza matemátca de la varable aleatora "benefco en el juego", nos ndca lo que cabe esperar que ocurra en cada jugada. Una cantdad negatva se nterpreta como la pérdda meda que el jugador tendrá en cada jugada. S la esperanza es postva ndcará que el jugador, promedando jugadas, ganará dcha cantdad. En ambos casos se dce que el juego no es equtatvo o que es njusto. Cuando la esperanza matemátca del benefco en un juego es gual a cero, dremos que dcho juego es equtatvo o justo. En nuestro caso : E(X) -00.0' ' ' ' -0 pts. Realzadas jugadas, lo más probable (lo esperado) es que haya perddo 0 pts. [. (-0) ]. Lanzando dos dados y sumando los puntos obtendos, los premos que ofrece el juego son los sguentes : - Devolucón de lo apostado : s la suma es nferor a 4 o superor a 0. - Doble de lo apostado : s se obtene 5 o 9. - Cuatro veces lo apostado : s la suma de puntos es 7 Analce s el juego es equtatvo o no. Análss de las stuacones posbles : Al apostar x pts., los benefcos o pérddas son : Stuacones º de veces Benefco Probabldad Devolucón de lo apostado,,, 6 0 6/6 Doble de lo apostado 5, 9 8 x 8/6 Cuatro veces lo apostado 7 6 x 6/6 Pérdda de lo apostado 4, 6, 8, 0 6 -x 6/6 6 Determnemos su esperanza matemátca : E(X) x +8x-6x 0 + x. + x. x.. x Sendo la esperanza matemátca postva, el juego sempre dará benefco al jugador. o es equtatvo, sendo desfavorable para la banca. Parece claro que el dueño del local de juego no tene vsta comercal o no sabe estadístca.

105 EJERCICIOS PROPUESTOS Determne la funcón de dstrbucón, esperanza matemátca, varanza y desvacón típca de las varables aleatoras defndas por las sguentes funcones de densdad : a) x 4 5 f(x) 0' 0'5 0'05 0' 0' b) x f(x) 0'05 A 0'5 A 0'.A 4 Determne la ley de probabldad, esperanza matemátca, medana, moda, varanza, desvacón típca, asmetría y curtoss de la varable aleatora que tene como funcón de dstrbucón : F(x) 0 s x < 0'5 s x < 0'5 s x < 0'5 s x < 4 0'7 s 4 x < 5 s x 5 Determne la ley de probabldad, funcón de dstrbucón, esperanza matemátca, varanza y desvacón típca de la varable aleatora defnda por el número de bolas blancas resultantes de la extraccón de dos bolas de una urna, que contene bolas blancas y dos negras, y una bola de otra urna, que posee 5 bolas de cada color. La partcpacón en un juego nos lleva a lanzar una moneda y un dado. S sale cara al lanzar la moneda perdemos lo apostado. S sale cruz, recbmos el doble de la apuesta s el número del dado es múltplo de, tres veces la apuesta s sale 5 y, lo apostado, en el resto de los casos. S un jugador partcpa 0 veces en el juego, apostando 000 pts. en cada ocasón, qué benefco obtendrá con mayor probabldad?.

106 SOLUCIOES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS a) 0 s x < 0' s x < F(x) 0'5 s x < E(X) '45 0'4 s x < 4 V(X) '9475 0'7 s 4 x < 5 D(X) '955 s x 5 b) 0 s x < - 0'05 s - x < 0 F(x) 0' s 0 x < E(X) 4'4 0'5 s x < 4 V(X) 0'4 0'5 s 4 x < 6 D(X) ' 0'7 s 6 x < 8 s x 8 x 4 5 E(X) '45 f(x) 0'5 0' 0 0'5 0' V(X) '475 D(X) '4654 Moda Medana 4 Asmetría A(X) -0'5 Curtoss K(X) -'54 Urna ª Urna ª Prob. Total x 0 0 blancas 0 blancas 0'.0'5 0'05 0 blancas f(x) 0'05 0'5 0'45 0'5 0 blancas blanca 0'.0'5 0'05 blanca blanca 0 blancas 0'6.0'5 0'0 blanca blanca blanca 0'6.0'5 0'0 blancas blancas 0 blancas 0'.0'5 0'5 blancas blancas blanca 0'.0'5 0'5 blancas 0 s x < 0 0'05 s 0 x < E(X) '7 F(x) 0'4 s x < V(X) 0'6 0'85 s x < D(X) '7 s x 4 E(X) -67 Benefco : X P Probabldad 0'5 0'5 0'67 0'08 En 0 jugadas perderá 40 pts.

107 DISTRIBUCIÓ ORMAL Métodos Estadístcos Aplcados a las Audtorías Socolaborales CURVA ORMAL Gran número de dstrbucones tenen la forma de una campana; es decr, alejándonos de la meda, a derecha e zquerda, el número de observacones decrece de forma smlar. Esto genera una curva smétrca. Se estudó su ecuacón, resultando en funcón de la meda y desvacón típca de la dstrbucón. Ante las nfntas posbles medas y desvacones, nos encontramos con una nfndad de posbles dstrbucones normales pero, el proceso de tpfcacón, permte reducrlas a una únca con meda 0 y desvacón típca. Tal dstrbucón se denomna normal tpfcada y se representa (0,). En térmnos de probabldad, defnmos gualmente la varable aleatora normal, como aquella que tene por gráfca de su funcón de densdad la representada a la zquerda. El área bajo la curva será gual a la undad y, con este crtero se confecconaron tablas estadístcas que calculan el área para un certo ntervalo de valores de la varable. Recordemos pues que la curva normal : a) es smétrca respecto a la meda b) se establece que el área bajo su gráfca es gual a. Consecuenca de ello es, por ejemplo, que el área a la derecha de la meda (o a la zquerda es 0'5) y que el área desde la meda a un valor -v concde con el área desde la meda a v. TIPIFICACIÓ. MAEJO DE TABLAS Se ha ndcado que los valores de las áreas bajo la curva normal se encuentran tabulados con referenca a la dstrbucón normal tpfcada (0,). Por ello, nos veremos oblgados a tpfcar prevamente cualquer otro tpo de dstrbucón normal que deseemos estudar. Recordemos el procedmento de tpfcacón : Suelen utlzarse dos tpos de tablas : x x,s x x s ( ) z ( 0,) x I) Proporconan el área a la zquerda de un valor. II) Ofrecen el área comprendda entre la meda (0) y un valor. x En los dos casos, la tabla fja en la prmera columna el valor de z con una cfra decmal y, la segunda cfra decmal de z condcona la columna que ha de selecconarse. En el cruce encontramos el área buscada.

108 EJERCICIOS RESUELTOS Hacendo uso de la tabla que proporcona áreas a la zquerda de cada valor z de la dstrbucón normal tpfcada, calcular las probabldades (áreas) sguentes : a) Pr(z<'5) b) Pr(z<-0'8) c) Pr(z>') d) Pr(z>-) e) Pr(-'9<z -0'44) f) Pr(-'5 z 0'897) Observe que, en el cálculo de áreas (probabldades) en varables contnuas, Pr(x a) equvale a Pr(x<a). Tendremos que referr los cálculos a probabldades del tpo Pr(z < a), estando expresado el valor a con dos cfras decmales : a) Pr(z<'5) 0'949 b) Pr(z<-0'8) Pr(z<-0'4) 0'669 c) Pr(z>') Pr(z>'0) - 0'984 0'0786 d) Pr(z>-) Pr(z>-'00) - 0'5866 0'844 e) Pr(-'9<z -0'44) - 0'997-0'086 0'477 f) Pr(-'5 z 0'897) Pr(-'5 z 0'90) - 0'8594-0'0646 0'7568 Hacendo uso de la tabla que proporcona áreas entre cada valor z y la meda 0 de la dstrbucón normal tpfcada, calcular las probabldades (áreas) sguentes : a) Pr(z 0') b) Pr(z<-'8) c) Pr(z>'009) d) Pr(z>-'6) e) Pr(-'06<z<-0'4) f) Pr(-0'0 z '7)

109 En este caso, tendremos que establecer probabldades del tpo Pr(0 < z < a), estando expresado el valor a con dos cfras decmales : a) Pr(z 0') 0'5 + 0' '58706 b) Pr(z<-'8) Pr(z<-'80) Pr(z>'80) 0'5-0' '059 c) Pr(z>'009) Pr(z>'0) 0'5-0'475 0'565 d) Pr(z>-'6) Pr(z<'6) 0'5 + 0'4460 0'9460 e) Pr(-'06<z -0'4) Pr(0'4<z<'06) - 0'4800-0'0948 0'8547 f) Pr(-0'0 z '70) Pr(-0'0<z<0) + Pr(0<z<'70) Pr(0<z<0'0) + Pr(0<z<'70) + 0' '4554 0'464 Para la dstrbucón normal tpfcada, calcular : a) Percentl b) Cuartl º c) Valores centrales entre los que quedan comprenddas la cuarta parte de las observacones. a) Hemos de calcular el valor de z que deja a su zquerda un área gual a 0' (el % del área total [ ]). S consultamos las tablas que dan el área a la zquerda, encontramos como valor más próxmo al área 0', el área 0'0897 que corresponde a la puntuacón : z -0'8

110 Utlzando las tablas de áreas comprenddas entre 0 y z, el razonamento a segur será : El área a la zquerda gual a 0' corresponde a un valor negatvo (-z) al ser menor que 0'5. Entre dcho valor z y la meda (0) hay un área gual a 0'9 (0'5-0'). Consultando las tablas encontramos el valor más próxmo a 0'9 para la puntuacón z 0'8 (área 0'90 ). El percentl es pues : z -0'8. b) Procedendo como en a), hemos de calcular el valor de z que deja a su zquerda un área gual a 0'75. Dcho valor es : z 0'67 (área 0'74857) c) La mtad de la cuarta parte (5%) es el '5%. Son los valores que dejan un '5% de las observacones a la zquerda de la meda (0) y otro '5% a su derecha. En térmnos de áreas a la zquerda, son los valores que dejan un área de ese tpo gual a 0'75 (0'5-0'5) y 0'65 (05+05) respectvamente. Consultando las tablas encontramos : z -0' (área 0'7448) z 0' (área 0'655) 4 Por la smetría de la dstrbucón, bastaría con calcular uno de tales valores, ya que el otro es su opuesto. Las calfcacones de los 500 asprantes presentados a un examen para contratacón laboral, se dstrbuye normalmente con meda 6'5 y varanza 4. a) Calcule la probabldad de que un asprante obtenga más de 8 puntos. b) Determne la proporcón de asprantes con calfcacones nferores a 5 puntos. c) Cuántos asprantes obtuveron calfcacones comprenddas entre 5 y 7'5 puntos?. os encontramos ante una dstrbucón normal ( 6'5, 4) ( 6'5,) a) 8 Tpfcamos el valor 8 : z 6' ' La probabldad pedda es el área a la derecha de z 0'75. Consultando las tablas obtenemos : 0'66 5 b) Tpfcamos el valor 5 : z 6' ' Calculemos el área (probabldad) a la zquerda de z -0'75. Consultando las tablas obtenemos : 0'66 En térmnos de porcentajes será 0'66 x 00 : el '66 %

111 c) Tpfcamos los valores 5 y 7'5 : 5 z 6' 5 75 ' 65 ' 075 ' z 05 ' El área comprendda entre ambos es, consultando las tablas : Pr(5 < X < 7'5) Pr(-0'75 < z < 0'5) 0'4648 Multplcando la probabldad por el total de asprantes, obtenemos el número de ellos que tenen calfcacones comprenddas entre 5 y 7'5 puntos : 0'4648 x 500 '45 asprantes 5 Sólo 4 de los 00 alumnos de un Centro mden menos de 50 cm.. S la estatura meda de dchos alumnos es de 64 cm., cuál es su varanza?. Sendo 4 / 00 0', sabemos que el % de los alumnos tenen estaturas nferores a 50. Consultando las tablas de la dstrbucón normal tpfcada, obtenemos el valor z que deja a su zquerda un área 0'. Dcho valor es : z -'75 (para z -'7 encontramos 0'00 y para z -'8 encontramos 0'900). x x Luego : z sx 4 ' 75 ' 95 sx ' 95 4' 965 s s ' 75 x x 6 El percentl 70 de una dstrbucón normal es gual a 88, sendo 0'7 la probabldad de que la varable tenga un valor nferor a 60. A qué dstrbucón normal nos estamos refrendo?. Se nos pde determnar la meda y desvacón típca de una dstrbucón normal que verfca las condcones del enuncado. Gráfcamente : Consultando las tablas obtenemos : a) Valor de z que deja a su zquerda un área gual a 0'70 : z 0'5 (valor más próxmo 0'69847) b) Valor de z que deja a su zquerda un área gual a 0'7 z -0'6 (valor más próxmo 0'709) Con esto : x x x z ' sx sx x 88 0' 5. sx x x x z ' sx sx x ' 6. sx Resolvendo el sstema determnaremos los valores de la meda y la desvacón típca : x 88 0'5. s x 88 0'5. sx '6. sx '. sx 8 s x 4'78 x '6. sx x 88 0'5. s 88 0'5.4'78 75' Se trata de una dstrbucón (75', 4'78). x

112 7 Las puntuacones de un examen se dstrbuyen normalmente con meda 5 puntos. La puntuacón A ha sdo superada por un % de los alumnos. La puntuacón B está stuada a 5 puntos dferencales por debajo de la meda. Entre B y la meda se encuentra el 0% de los alumnos. Calcular : a) La desvacón típca de las notas. b) Las puntuacones drectas de A y B. c) El porcentaje de alumnos entre A y B. a) La puntucón B0, deja a su zquerda un área 0 0. Consultando las tablas obtenemos un valor z De aquí : z 0 '84 s 5/( 0'85) 5'95 s s b) La puntucón A, deja a su zquerda un área 0 77 (-0 ). Consultando las tablas obtenemos un valor z De aquí : A 5 z 0 '74 A 0'74.5' ' 5'95 (El valor B0 ya se determnó) c) Observando la fgura resulta un área 0 57 ( ); es decr, el 57%. 8 Las puntuacones de 000 personas en un determnado test se dstrbuyen normalmente. Sea X la puntuacón drecta que supera el 84 % de la dstrbucón y X la puntuacón drecta que es superada por el 84 % de la dstrbucón. Sabendo que X - X 0, calcular : a) úmero de observacones comprenddas entre las puntuacones típcas 5 y -0. b) La desvacón típca de la dstrbucón. c) La ampltud sem-ntercuartíl. a) Drectamente de la tabla (0,) : Pr (-0 < z < 5) Hay 000 x observacones. b) x x + 0 x x 0 Tablas : z deja a su zquerda un área 0 84 : x x z s s 0 x ( x 0) 0 s s

113 c) Q x 067 ' Q x 67 ' 0 Q x 067 ' Q x+ 67 ' 0 La ampltud sem-ntercuartl es : ( + 67 ' ) ( 67 ' ) Q Q Q x x ' 4 67 ' 9 En un estudo realzado sobre los ngresos famlares en los que los dos cónyuges trabajan, se ha observado que el salaro mensual, en mles de pesetas, de las mujeres (X) se dstrbuye normalmente con meda 00, en tanto que el de los hombres (Y) tene la sguente transformacón Y X + 0. Sabendo además que el 5% de los hombres no superan el percentl 75 de las mujeres, se pde : a) Representar gráfcamente el enuncado del problema. b) El salaro medo de los hombres. c) La desvacón típca del salaro de los hombres y de las mujeres. a) S la meda de las mujeres es 00, la de los hombres queda defnda por la relacón Y X+0, luego es 0. Dcha transformacón (al no multplcar o dvdr por nngún valor) no modfca las desvacones típcas. En consecuenca, las desvacones de la dstrbucón de mujeres y hombres concden. En la dstrbucón correspondente a las mujeres el valor que tpfcado (Z m ) deja a su zquerda un área 0'75 (75%) concde con el de la de los hombres (Z h ) que tpfcado deja a su zquerda un área 0'5 (no supera el valor anteror). Estas conclusones se muestran a la derecha. b) Ya se justfcó anterormente que la meda de la dstrbucón de ngresos de los hombres es 0 (en mles de pesetas). c) Con la tabla de la dstrbucón normal determnamos los valores Z m y Z h, y recordando que concden X m y X h : Xm 00 Zm 067 ' Xm 0' 67. S+ 00 S Xh 0 Xm 0 Zh 04 ' Xm 04 '. S+ 0 S S 0' 67. S '. S+ 0 7 '. S 0 S 696 ' Luego las desvacones típcas concden y valen '696 (mles de pesetas).