BÁSICOS DE GEOMETRÍA: Solución a los Ejercicios Propuestos

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1 CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA: Solución a los Ejercicios Propuestos Tutor Carmen Aleisy Rodríguez Junio de 009 Solución a los Ejercicios propuestos 1. El grafico muestra las rectas paralelas m y n y la recta tranversal q. Usando la figura completa los siguientes items: a) La medida del = medida del 3, por lo tanto ellos son ángulos verticales b) La medida del 3 = medida del 6, por lo tanto ellos son ángulos alternos internos c) La medida del 6 = medida del 7, por lo tanto ellos son ángulos verticales d) Por los resultados anteriores la medida del debe ser igual a la medida del 7, lo cual demuestra que los ángulos alternos externos tienen igual medida. En los siguientes ejercicios asuma que las rectas m y n son paralelas y encuentre la medida de los ángulos indicados en cada figura 1

2 a) Estos dos ángulos son alternos internos por lo tanto sus medidas son iguales, esto indica que: x 5 = x + Solucionando esta ecuación lineal se obtiene: x x = 5 + x = 7 Es decir que cada ángulo mide: x 5 = (7) 5 = 49 b) Los ángulos indicados son consecutivos por lo que, su suma debe ser igual a 180, de lo anterior planteamos la ecuación lineal: x x 56 = 180 Cuya solución se obtiene mediante el siguiente procedimiento: 5x 55 = 180 5x = 35 x = 47 Por lo tanto la medida del primer ángulo será: x + 1 = = 48 Y la medida de su consecutivo: 4x 56 = 4(47) 56 = = El suplemento de un ángulo sumado a su complemento da un ángulo de 10. cuál es la medida del ángulo? Sea x la medida del ángulo buscado. Recordando que los ángulos suplementarios suman 180 y los complementarios suman 90, tenemos las siguientes relaciones: 180 x medida del suplemento de x. 90 x medida del complemento de x. Del enunciado del problema deducimos la ecuación lineal: (180 x) + (90 x) = 10 Resolviendo x = = x 60 = x x = 30 La medida de ángulo buscado es 30

3 4. La mitad del suplemento de un ángulo es 1 menor que dos veces el complemento del ángulo. Encuentra la medida del ángulo Sea x la medida del ángulo buscado 180 x medida del suplemento de x. 180 x mitad de la medida del suplemento de x. 90 x medida del complemento de x. Del enunciado del problema obtenemos la ecuación lineal: 180 x = (90 x) 1 Resolviendo x = 4(90 x) x = 360 4x 4 3x = 156 x = 5 La medida de ángulo buscado es 5 5. Usa la figura para encontrar la medida de los ángulos numerados. Asuma que p y q son paralelas (p q). 1 = 55 Por ser ángulos verticales 6 = 10 Por ser ángulos verticales 7 = 8 Por ser ángulos verticales (10 ) + ( 7) = ( 7) = = De donde 7 = 60 5 = 7 = 60 Por ser ángulos alternos internos = 180 Porque forman un ángulo llano, de esta ecuación obtenemos: = = 65 En resumen tenemos: 1 = 55 = 4 = 65 Por ser ángulos verticales 3 = 5 = 60 Por ser ángulos verticales 6 = 10 7 = 8 = 60 9 = 1 = 55 Por ser alternos externos 10 = 9 = 55 Por ser ángulos verticales 3

4 Polig lados N. de Suma de internos en cada Suma de internos en cada poligono I = 180 II = 360 III = 900 IV = 540 V = 70 VI = 1080 Cuadro 1: 6. Divide cada uno de los poligonos que aparecen en la figura en triángulos, dibujando todas las posibles diagonales de cada poligono, a partir del vertice A. Con las contrucciones anteriores completa el cuadro 1. Podemos ver en la grafica los diferentes poligonos con las diagonales correspondientes. (ver el cuadro completo) 7. Clasifica los siguientes triángulos como acutángulo, obtusángulo o rectángulo 4

5 I Obtusángulo: Tiene un ángulo mayor que 90 II Acutángulo: Sus ángulos son agudos I Rectángulo: Cumple con el teorema de Pitágoras: (4 ) = IV Isósceles: Dos de sus lados son iguales 8. Una escalera de 10 metros de longitud tiene su extremo inferior ubicado a 6 metros de la pared. a que altura se encuentra la escalera? La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo, tal como se indica en la figura Para encontrar la altura a la que se encuentra la escalera debemos hallar x para esto utilizaremos el teorema de Pitágoras: x = (10m) (6m) x = 100m 36m x = 64m x = 64m La altura a la que se encuentra la escalera es 8m. x = 8m 9. Encuentra el área del cuadrilatero ABCD si los ángulos A y C son rectos 5

6 Dividimos el cuadrilátero ABCD en los triángulos rectángulos I y II (ver figura). El área total del cuadrilátero será la suma de las áreas de los dos triángulos, las cuales denotaremos por A 1 y A. Como los triángulos I y II son rectángulos su base y su altura corresponden a sus catetos, por esta razón para el triánguo I, tenemos: A 1 = (6)(8) = 4 Para el triángulo II es neceseracio, en primer lugar encontrar la medida de su base la cual hemos denotado por x para esto se debe hallar la hipotenusa, la cual es común para ambos triángulos, para esto utilizamos la longitud de los catetos del I: c = (8) (6) c = c = 100 c = 100 c = 10 Teniendo la hipotenusa c ahora se hace posible encontrar la medida del cateto x x = (10) () x = x = 96 x = 96 = 16(6) x = 4 6 A = (4 6) = 4 6 Denotamos área total por A T, entonces: A T = A 1 + A = El perímetro del triángulo isósceles ABC (con AB = BC) es 180 pulgadas. La altura BD es 48 pulgadas. cuál es el área del triángulo ABC? 6

7 El perímetro del triángulo isósceles es: P = x + y = 180, despejando y, y = 180 x. Para hallar el área de este triángulo requerimos la longitud de su base, para hallarla utilizaremos el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo BDC. ( y ) = x (48) ( ) 180 x = x (48) Donde sustituimos a y de la relación anterior (90 x) = x (48) Elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes 180x = = x = = 57 8 in Por tanto: y = 180 x = 180 (57 8) = = 64 4 in. Teniendo base y altura, ahora podemos hallar el área del triángulo: A = (64 4in)(48in) = in 11. En la siguiente figura el pentágono PQRST esta formado por un cuadrado y un triángulo equilátero, tal que PQ = QR = ST = PT. El perímetro del pentágono es 80 pulgadas. Encontrar el área del pentágono Como todos los lados del pentágono son iguales tenemos: P = 5L = 80in L = 16in. El área del pentágono se puede hallar descomponiéndolo en un cuadrado y un triángulo equilátero. Denotemos por A al área del triángulo, A el área del cuadrado y A T al área del pentágono. A es hallada facilmente, del siguiente modo: A = L = 16 = 56 in 7

8 Para hallar A es necesario encontrar la altura h de triángulo, para esto apliquemos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ROS (ver figura): h = 16 8 = = 19 h = 19 = 64(3) = 8 3 in Por tanto el área del triángulo es: A = (16 in)(8 3 in) = 64 3 in Ahora hallemos el área del pentágono A T = A + A = 64 3 in + 56 in 1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es un metro mas larga que su lado mas largo, y su lado mas corto mide 7 metros. Encuentra la longitud del lado más largo. Llamemos z a la hipotenusa, x el cateto más largo y y el cateto más corto en el triángulo rectángulo. Según el enunciado del problema, tenemos las siguientes relaciones: z = 1 + x y y = 7 Para hallar el valor de x apliquemos el teorema de Pitágoras utilizando las relaciones anteriores: z = x + y (1 + x) = x + 7 Aplicando el producto notable correspondiente obtenemos 1 + x + x = x + 49 Simplificando términos semejantes x = 49 1 x = 4metros. El lado más largo mide 4 metros 13. Un lote de forma triangular es tal que el primero de sus lados es 100 pies mas largo que su lado más corto, mientras que el tercer lado es 00 pies más largo que el lado mas corto. El perímetro de este lote es 100 pies. Encuentra la longitud de los lados del lote. Llamemos z al lado más corto, y el lado más largo y x el lado restante. Según el enunciado del problema, tenemos las siguientes relaciones: x = 100 ft + z y = 00 ft + z Aplicando la definición de perímetro y las relaciones anteriores: P = x + y + z = 100 ft (100 ft + z) + (00 ft + z) + z = 100 ft Reduciendo términos semejantes: z = 100 z = 300 ft, utilizando el valor de z calculamos x y y x = 100 ft + z = 100 ft ft = 400 ft y = 00 ft + z = 00 ft ft = 500 ft Los lados del triángulo son z = 300 ft, x = 400 ft y y = 500 ft 14. La ventana de una iglesia tiene forma de cuadrado. El perímetro de la ventana es siete veces la longitud de uno de sus lados (en metros), disminuido en 1 metros. Encuentra la longitud del lado de la ventana. El perímetro de un cuadrado esta dado por P = 4L, Según el enunciado del problema, 4L = 7L 1 solucionando esta ecuación lineal obtenemos: 3L = 1 L = 4 metros El lado de la ventana mide 4 metros 15. En cada una de las siguientes figuras se indica su perímetro. Encuentra el valor de x. 8

9 a) Cuadrado: P = 4x 4x = 58 x = 9 b) Triángulo: P = x + (x + ) + (x + 7) = 4 Solucionamos esta ecuación lineal 3x + 9 = 4 3x = 33 x = 11 c) Rectángulo: P = (x 3) + (x + 1) = 38 Solucionamos esta ecuación lineal 4x 6 + x + = 38 6x 4 = 38 6x = 4 x = 7 d) Rectángulo: P = x + (5x + 1) = 78 Solucionamos esta ecuación lineal x + 10x + = 78 8x + = 78 8x = 76 x = En cada una de las siguientes figuras se indica su área. Encuentra el valor de x. 9

10 a) Cuadrado: A = x x = 6 01 x = 5 1 b) Triángulo: A = x(x+) = 15 Aplicando factorización para solucionar esta ecuación cuadrática: x + x = 30 x + x 30 = 0 (x + 6)(x 5) = 0 Aplicando la propiedad: a b = 0 a = 0 ó b = 0, tenemos: x = 6 ó x = 5, la primera solución no se tiene en cuenta ya que una longitud no puede ser negativa, por tanto la solución será x = 5 c) Rectángulo: A = x(x + 3) = 8 Aplicando factorización para solucionar esta ecuación cuadrática: x + 3x = 8 x + x 8 = 0 (x + 7)(x 4) = 0 En este caso la solución posible es x = 4 d) Trapecio: A = 3(x+x+4) = 30 Solucionamos esta ecuación lineal 3(x + 4) = 60 x + 4 = 0 x = 16 x = Encuentra el área de las siguientes figuras planas descomponiendolas en figuras con área conocida. a) La primera figura se encuentra formada por un triángulo (denotamos por A ) y un paralelogramo (denotamos por A 1 ) el área total de la figura será la suma de estas dos áreas: A T = A 1 + A A 1 = (10)(6) = 60, A = (10)(4) = 0 A T = A 1 + A = = 80 b) La segunda figura se encuentra formada por un triángulo (denotamos por A 1 ), un rectángulo (denotamos por A ) y un paralelogramo (denotamos por A 3 ), el área total de la figura será: A T = A 1 +A +A 3 A 1 = (10)(4) = 0, A = (10)(9) = 90 y A 3 = (3)(10) = 30 A T = A 1 + A + A 3 = = En las siguientes figuras encuentra el área de la parte sombreada. 10

11 a) En el primer caso el área de la parte sombreada (denotamos por A s ) se halla restando el área del triángulo (denotamos por A ) del área del trapecio (denotamos por A T ) A s = A T A A T = 1(18+11) = 6(9) = 174 ft A = (1)(7) = 4 ft A s = A T A = 174 ft 4 ft = 13 ft b) En el segundo caso el área de la parte sombreada (denotamos por A s ) se halla restando el área del triángulo (denotamos por A ) del área del trapecio (denotamos por A T ) A T = 4( ) = 1(85) = 100 ft A = (19)(16) = 15 ft A s = A T A = 100 ft 15 ft = 868 ft c) En el tercer caso el área de la parte sombreada (denotamos por A s ) se halla restando el área de los dos triángulos -los cuales tiene área igual- del área del rectángulo (denotamos por A R ). Denotamos por A el área común de los triángulos A s = A R A A R = (96m)(74m) = 7104 cm A = (48)(36) = 864 cm A = 178 cm A s = A R A = 7104 cm 178 cm = 5376 cm 11