GUIA DE MATERIAL BASICO PARA TRABAJAR CON POTENCIAS. POTENCIAS: CONTENIDOS Y EJERCICIOS

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1 GUIA DE MATERIAL BASICO PARA TRABAJAR CON POTENCIAS. POTENCIAS: CONTENIDOS Y EJERCICIOS 1

2 POTENCIAS. Definición: Potencia: es un producto de factores iguales a n = a a a a... Ejemplo: 2 4 = = 16 Desarrollo Valor a 1 = a a 0 = 1 1 n = 1 Completar el siguiente cuadro.- Potencia Base Exponente Desarrollo Valor ) Calcula el cubo de 5 = 2) Calcula el cuadrado de 10 = 3) Si a la cuarta potencia de 2 le agregas el cuadrado de 4 obtienes 4) El cuociente entre la 3ª potencia de 10 y la 2ª potencia de 10 es 5) El producto entre el cubo de 10 y la 5ª potencia de 2 es Si elevas un número a la 2ª potencia, se dice que está elevado al cuadrado. 2

3 Ejemplo: 5 2 se dice 5 al cuadrado; 8 2 se dice 8 al cuadrado etc Si elevas un número a la 3ª potencia, se dice que está elevado al cubo. Ejemplo: 2 3 se dice 2 al cubo; 9 3 se dice 9 al cubo y así para todos los casos. Encuentra el producto.- 1) = 2) = 3) = Resumiendo: cada vez que tengas que multiplicar potencias de igual base, mantener la base y elevarla a la suma de los exponentes. a n a m = a n + m 1) = 2) = 3) = 4) = 5) = Encuentra los cuocientes: a) 2 4 : 2 3 = b) 3 4 : 3 2 = c) ( 10 5 : 10 3 ) : 10 2 = Para dividir potencias de igual base, se eleva la base a la diferencia de los exponentes. a n : a m = a n - m 1) Escribir en forma de potencia = 3

4 2) = 3) = 4) = 5) 4 = Desarrollar las potencias: 1) 6 4 = 2) 7 3 = 3) 2 4 = 4) 5 2 = Calcular: 1) = 2) = 3) = 4) = Calcula y compara: Aquí. Responde 1) 2 3 y 3 2 2) 5 3 y 3 5 3) 2 4 y 4 2 Cuál es la diferencia entre ( ) 2 y 16 2? Recuerda que para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.- Calcular sólo expresando el resultado como potencia.- 1) = 4

5 2) = 3) = 4) = 5) = Recuerda que para dividir potencias de igual base, se eleva la base a la diferencia de los exponentes.- Calcular: 1) 5 5 : 5 3 = 2) 5 28 : 5 25 = 3) 2 11 : 2 9 = 4) : 10 8 = Recuerda la ley de precedencia: primero se resuelven los paréntesis, luego las multiplicaciones y divisiones y en seguida las sumas y las restas.- Calcular: 1) ( ) = 2) : = 3) 2 6 : ( ) = 4) = Más ejercicios del Colegio: Ejemplo: 1) ( 10 8 : 10 6 ) : 10 0 = : 10 0 = = 10 2 = 100 En la misma forma realiza los siguientes ejercicios: 2) ( 4 5 : 4 3 ) 4 6 = 5

6 3) ( ) : 2 5 = 4) ( ) : 4 5 = Usa potencias de 10 para abreviar las cantidades: Ejemplo: = = = = ) = 2) = 3) = 4) = 5) = 6) 700 = 7) 80 = 8) = 9) = 10) = Descubre el Número: Ejemplo: 1) = = ) =

7 3) = 4) = 5) = 6) = 7) = 8) = 9) = 10) = 11) = 12) = 13) = 14) = 15) = Ejercicios de varias clases ( repaso ) Abrevia usando potencias de 10: 1) = 7

8 2) = 3) = 4) = Descubre el número: 1) = 2) = 3) = 4) = Notación ampliada usando potencias de 10. Ejemplo: = ) = 2) = 3) = 4) = 5) = 6) = 8

9 PRUEBA. 1) Escribe una potencia cuyo exponente sea 4 y su base el primer número compuesto. 2) Encuentra la suma entre la 3ª potencia de 2 y la 2ª potencia de 5. 3) Escribe como potencia el cuociente que obtengas al dividir 2 5 y ) Qué número representa esta notación ampliada? = 5) Escribe usando Notación ampliada el número: = 6) Qué número representa cada notación siguiente? a) = b) = 7) Qué número representa cada factorización prima? a) = b) = 8) Encuentra la factorización prima de cada número. a) 64 b) 24 9) Encuentra por extensión el conjunto pedido. A = { x / x N, 1 x números primos < 2 } A = { 9

10 Solucionario. 10

11 POTENCIAS.- ( básicas ). Definición: Potencia: es un producto de factores iguales a n = a a a a... Ejemplo: 2 4 = = 16 Desarrollo Valor a 1 = a a 0 = 1 1 n = 1 Completar el siguiente cuadro.- Potencia Base Exponente Desarrollo Valor ) Calcula el cubo de 5 = 5 3 = 125 2) Calcula el cuadrado de 10 = 10 2 = = 100 3) Si a la cuarta potencia de 2 le agregas el cuadrado de 4 obtienes = = 32 4 )El cuociente entre la 3ª potencia de 10 y la 2ª potencia de 10 es = = )El producto entre el cubo de 10 y la 5ª potencia de 2 es = = Si elevas un número a la 2ª potencia, se dice que está elevado al cuadrado. 11

12 Ejemplo: 5 2 se dice 5 al cuadrado; 8 2 se dice 8 al cuadrado etc Si elevas un número a la 3ª potencia, se dice que está elevado al cubo. Ejemplo: 2 3 se dice 2 al cubo; 9 3 se dice 9 al cubo y así para todos los casos. Encuentra el producto.- 1) = = = ) = = 64 = 2 6 3) = = 3 4 Resumiendo: cada vez que tengas que multiplicar potencias de igual base, mantener la base y elevarla a la suma de los exponentes. a n a m = a n + m 1) = 8 6 2) = ) = 2 9 4) = 5 6 5) = 10 6 Encuentra los cuocientes: a) 2 4 : 2 3 = = 2 1 = 2 b) 3 4 : 3 2 = = 3 2 = c) ( 10 5 : 10 3 ) : 10 2 = : 10 2 = 10 2 = Para dividir potencias de igual base, se eleva la base a la diferencia de los exponentes. a n : a m = a n - m 1) Escribir en forma de potencia = 3 5 2) =

13 3) = 2 4 4) = ) 4 = 4 1 Desarrollar las potencias: 1) 6 4 = ) 7 3 = ) 2 4 = ) 5 2 = 5 5 Calcular: 1) = 9 8 = 1 2) = = 128 3) = = 38 4) = = 2 Calcula y compara: Aquí. Responde 1) 2 3 y y 9 2) 5 3 y y 241 3) 2 4 y y 16 Cuál es la diferencia entre ( ) 2 y 16 2? 20 2 y y 256 Recuerda que para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.- Calcular sólo expresando el resultado como potencia.- 1) = 2 7 2) =

14 3) = 5 5 4) = ) = 2 15 Recuerda que para dividir potencias de igual base, se eleva la base a la diferencia de los exponentes.- Calcular: 1) 5 5 : 5 3 = 5 2 2) 5 28 : 5 25 = 5 3 3) 2 11 : 2 9 = 2 2 4) : 10 8 = 10 4 Recuerda la ley de precedencia: primero se resuelven los paréntesis, luego las multiplicaciones y divisiones y en seguida las sumas y las restas.- Calcular: 1) ( ) = ( 25-9 ) ) : = ) 2 6 : ( ) = ( ) ) = Más ejercicios.- Ejemplo: 1) ( 10 8 : 10 6 ) : 10 0 = : 10 0 = = 10 2 = 100 En la misma forma realiza los siguientes ejercicios: 2) ( 4 5 : 4 3 ) 4 6 = = = = 4 8 3) ( ) : 2 5 = : 2 5 = = 14

15 4) ( ) : 4 5 = : 4 5 = = 4 4 Usa potencias de 10 para abreviar las cantidades: Ejemplo: = = = = ) = = ) = = ) = = ) = = ) = = ) 700 = = ) 80 = 8 10 = ) = = ) = = ) = = Descubre el Número: Ejemplo: 1) = = ) = ) = 10 6 = ) = =

16 5) = = = ) = = = ) = = = ) = = ) = = ) = = ) = = = ) = = = ) = = = ) = = = ) = = = Ejercicios de varias clases ( repaso ) Abrevia usando potencias de 10: 1) = = ) = = ) = = = ) = =

17 Descubre el número: 1) = = ) = = = ) = = = ) = = 10 9 = Notación ampliada usando potencias de 10. Ejemplo: = ) = ) = no se pone 3) = ) = ) = ) = También debes saber que existen las potencias de exponente negativo, que conocerás más adelante. La más importante es: 10-1 = 1 =

18 PRUEBA. 4) Escribe una potencia cuyo exponente sea 4 y su base el primer número compuesto ) Encuentra la suma entre la 3ª potencia de 2 y la 2ª potencia de = = 33 6) Escribe como potencia el cuociente que obtengas al dividir 2 5 y : 2 3 = = 2 2 4) Qué número representa esta notación ampliada? = = = ) Escribe usando Notación ampliada el número: = ) Qué número representa cada notación siguiente? a) = = b) = = ) Qué número representa cada factorización prima? a) = 4 y 9 b) = 25 y 8 Atención! Para efectuar el siguiente ejercicio, tendrías que conocer los NUMEROS PRIMOS. 10) Encuentra la factorización prima de cada número. a) 64 = 2 6 b) 24 =

19 Ejercicios de repaso de la materia de 7º año. POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO. Toda potencia de exponente negativo es igual al valor recíproco de la base elevado al exponente positivo. Recuerda que el valor recíproco de una cantidad, es igual a la unidad dividida por la cantidad. Ejemplo: El valor recíproco de 4 es 1. 4 b -n = 1 = 1 n b n b a) 2-3 = k) ( 0,25 ) -3 = b) 3-4 = l) 10 4 : 10 4 = c) 5-2 = m) 5 2 : 5 2 = d) 6-3 = n) 8 0 = e) 2-2 = ñ) 0º = f) 1-2 = Calcular el valor de los 5 ej. siguientes 2 o) ( -2) 4 = g) 2-3 = p) ( -3 ) 5 3 h) 3 4 i) = q) ( -1 ) 125 = = r) ( -4 ) 5 = j) ( 0,8 ) -2 = s) ( -10 ) 5 = 19

20 Solucionario a) 2-3 = 2 3 k) ( 0,25 ) -3 = (0,25) 3 1 b) 3-4 = 3 4 l) 10 4 : 10 4 = 1 1 c) 5-2 = 5 2 m) 5 2 : 5 2 = 1 1 d) 6-3 = 6 3 n) 8 0 = 1 1 e) 2-2 = 2 2 ñ) 0º = 0 f) 1-2 = 2 2 Calcular el valor de los 5 ej. Siguientes 2 1 o) ( -2) 4 = 16 h) 2-3 = p) ( -3 ) h) 3 = q) ( -1 ) 125 = i) 3 = 5 3 r) ( -4 ) 5 = j) ( 0,8 ) -2 = (0,8) 2 s) ( -10 )

21 Potencias II parte.- Correspondiente a 8º (Materia Básica). POTENCIAS.- Definición: POTENCIA es un producto de factores iguales. Ejemplos: a a a a se escribe abreviadamente a b b b b b...( n veces) se escribe b n se lee b elevado a n o enésima potencia. En toda potencia debemos distinguir la base, que es el factor que se repite y el exponente que es el número que indica las veces que se repite la base como factor. Ejemplo n exponente b base con n N 0 Observación: El exponente 1 es el único que no se escribe. Calcular: 1) 2 5 = 2) 3 3 = 3) 5 4 = 4) ( 0,3) 2 = 5) 10 6 = 6) = 7) = 8) = 9) Es cierto que = 2 7?... 10) ( 0,2 ) 3 = 21

22 Ejemplo: MULTIPLICAR POTENCIAS DE IGUAL BASE. Se conserva la base y se suman los exponentes. Al multiplicar a 3 a 2 se obtiene a a a a a = a 5 En general b m b n = b m + n 1) c 4 c 5 = 2) d 9 d = 3) = 4) a -5 a 6 = 5) a 2 b 3 c a b 4 c 2 = 6) b 0 b 2 = 7) a c b a 1 5 = 8) m 2x + y m x 3y = 9) a x y a y x = 10) x 3n + 1 x 6 2n = 11) b m n b n = 12) a -2 a 3 a -4 = DIVIDIR POTENCIAS DE IGUAL BASE. Se conserva la base y se restan los exponentes. ( el exponente del dividendo menos el exponente del divisor). Ejemplo: Al dividir b m : b n se obtiene: b m b n = b m - n 1) 2 9 : 2 6 = 2) b x : b = 3) c 2n + 2 : c = 4) d 3a 5b : d a 3b = 5) a 4 = 6) c 6 = a 7 c 2 22

23 SIGNOS DE UNA POTENCIA. I Las potencias de números positivos son positivas. Ejemplo: ( + 5 ) 2 = ( + 5 ) ( + 5 ) = + 25 ( + 5 ) 3 = ( + 5 ) ( + 5 ) ( + 5 ) = 125 II En las potencias de números negativos, pueden presentarse dos casos. A) Las que tienen exponente par, son siempre positivas. Ejemplos: ( -7 ) 2 = ( -7 ) ( -7 ) = + 49 ( -3 ) 4 = ( -3 ) ( -3 ) ( -3 ) ( -3 ) = + 81 B) Las que tienen exponente impar, son siempre negativas. Ejemplos: ( -2 ) 5 = ( -2 ) ( -2 ) ( -2 ) ( -2 ) ( -2 ) = -32 ( -4 ) 3 = ( -4 ) ( -4 ) ( -4 ) = -64 Calcular 1) ( -2 ) 1 + ( -2 ) 2 + (-2 ) 3 + ( -2 ) 4 + ( -2 ) 5 = 2) ( -0,5 ) 3 + ( -0,25 ) 2 = 3) ( -4 ) 3 ( -0,25 ) 2 = 4) Si x = -1, calcula el valor de la expresión 10x 5 + 9x 4 + 8x 3 + 7x 2 + 6x + 5 = 5) Lo mismo si x = -3 23

24 POTENCIAS DE EXPONENTE CERO.- Toda potencia de exponente 0, vale 1. b 0 = 1 1) = 2) a n-1 b 3-n a 1-n b n-3 = 3) ( a + b ) 0 = 4) 3( x + 2y ) 2 5(7x + 4y ) = MULTIPLICAR POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE. Se multiplican las bases y se conserva el exponente. a n b n = ( ab ) n 1) = 2) 4 8 ( 0,25 ) 8 = 3) 8 5 ( 0,125 ) 5 = 4) = 3 4 5) ( x + y ) 2 ( x y ) 2 = 6) ( 2 a ) 3 b 4ª 3 24

25 ELEVAR A POTENCIA UN PRODUCTO. Se eleva cada factor al exponente común y recíprocamente. ( a b ) n = a n b n 1) ( 2 a ) 3 = 2) 8( a b ) 2 = 3) ( 5x ) 3 ( 2ab ) 3 = ( 100 bx ) 5 4) 22 2 = ( 11 2 ) 2 = = 484 Calcula del mismo modo 24 2 ; 36 2 ; DIVIDIR POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE. Se dividen las bases y se conserva el exponente. a n = a n b n b 1) 48 4 : 16 4 = 2) 50 6 : 25 6 = 3) : ( 66 2 ) 3 = 3 4) ( 12,5 ) 2 : ( 2½ ) 2 = 5) ( ¾ ) 2 : ( ¼ ) 2 = 25

26 ELEVAR A POTENCIA UN CUOCIENTE. Se eleva cada uno de sus términos al exponente común. a n b = a n b n 1) = 2) = 3 3) ( -0,75 ) 4 = 4) ( -2,5 ) 2 = 5) ( 0,5 ) 6 + ( 0,25 ) 3 + ( 0,125 ) 2 = 3 6) 6x -4y 8y 3x = 4 POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO. Toda potencia de exponente negativo es igual al valor recíproco de la base elevado al exponente positivo. Recuerda que el valor recíproco de una cantidad, es igual a la unidad dividida por la cantidad. Ejemplo: El valor recíproco de 4 es 1. 4 b -n = 1 = 1 n b n b 26

27 1) 2-3 = 2) ( 0,5 ) -4 + ( 0,4 ) -2 = 3) = 4) ( 0,5 ) -4 + ( 0,25 ) -3 + ( 0,125 ) -3 = 5) ( 0,75 ) -3 ( 11 ) 3 = 3 6) 1 : ( 0,375 ) -2 = 7) ( 0,0375 ) -3 = 8) ( 0,75 ) -3 : ( 11 ) 3 = 3 27

28 Potencias II parte.- Correspondiente a 8º (Materia Básica). POTENCIAS.- Definición: POTENCIA es un producto de factores iguales. Ejemplos: a a a a se escribe abreviadamente a b b b b b...( n veces) se escribe b n se lee b elevado a n o enésima potencia. En toda potencia debemos distinguir la base, que es el factor que se repite y el exponente que es el número que indica las veces que se repite la base como factor. Ejemplo n exponente b base con n N 0 Observación: El exponente 1 es el único que no se escribe. Calcular: 1) 2 5 = 32 2) 3 3 = 27 3) 5 4 = 625 4) ( 0,3) 2 = 0,09 5) 10 6 = ) = 32 7) = 8) 3 = 3 2 = ) Es cierto que = 2 7? Si porque 2 7 = ) ( 0,2 ) 3 = 0, =

29 MULTIPLICAR POTENCIAS DE IGUAL BASE. Se conserva la base y se suman los exponentes. ( para continuar los ejercicios, es indispensable conocer las operaciones con Números Negativos ( Conjunto Z ) Ejemplo: Al multiplicar a 3 a 2 se obtiene a a a a a = a 5 En general b m b n = b m + n 1) c 4 c 5 = c 9 2) d 9 d = d 10 3) = 2 7 4) a -5 a 6 = a 1 = a 5) a 2 b 3 c a b 4 c 2 = a 3 b 7 c 3 6) b 0 b 2 = b 2 7) a c b a 1 5 = a cb + 5 8) m 2x + y m x 3y = m 3x 2y 9) a x y a y x = a 0 = 1 10) x 3n + 1 x 6 2n = x n ) b m n b n = b m 12) a -2 a 3 a -4 = a -3 DIVIDIR POTENCIAS DE IGUAL BASE. Se conserva la base y se restan los exponentes.( el exponente del dividendo menos el exponente del divisor). Ejemplo: Al dividir b m : b n se obtiene: b m b n = b m - n 1) 2 9 : 2 6 = 2 3 2) b x : b = bx - 1 3) c 2n + 2 : c = c 2n + 1 4) d 3a 5b : d a 3b = d 2a 2b 5) a 4 = a -3 6) c 6 = c 4 a 7 29

30 SIGNOS DE UNA POTENCIA. I Las potencias de números positivos son positivas. Ejemplo: ( + 5 ) 2 = ( + 5 ) ( + 5 ) = + 25 ( + 5 ) 3 = ( + 5 ) ( + 5 ) ( + 5 ) = 125 II En las potencias de números negativos, pueden presentarse dos casos. C) Las que tienen exponente par, son siempre positivas. Ejemplos: ( -7 ) 2 = ( -7 ) ( -7 ) = + 49 ( -3 ) 4 = ( -3 ) ( -3 ) ( -3 ) ( -3 ) = + 81 D) Las que tienen exponente impar, son siempre negativas. Ejemplos: ( -2 ) 5 = ( -2 ) ( -2 ) ( -2 ) ( -2 ) ( -2 ) = -32 ( -4 ) 3 = ( -4 ) ( -4 ) ( -4 ) = -64 Calcular 1) ( -2 ) 1 + ( -2 ) 2 + (-2 ) 3 + ( -2 ) 4 + ( -2 ) 5 = = -22 2) ( -0,5 ) 3 + ( -0,25 ) 2 = - 0, ,0625 = -0,0625 3) ( -4 ) 3 ( -0,25 ) 2 = ,0625 = - 4 4) Si x = -1, calcula el valor de la expresión 10x 5 + 9x 4 + 8x 3 + 7x 2 + 6x + 5 = 10(-1) 5 + 9(-1) 4 + 8(-1) 3 + 7(-1) 2 + 6(-1) + 5 5) Lo mismo si x = = 5) Repetir lo mismo si x =

31 POTENCIAS DE EXPONENTE CERO.- Toda potencia de exponente 0, vale 1. b 0 = 1 1) = = 3 2) a n-1 b 3-n a 1-n b n-3 = aº bº = 1 1 = 1 3) ( a + b ) 0 = 1 4) 3( x + 2y ) 2 5(7x + 4y ) = 1 MULTIPLICAR POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE. Se multiplican las bases y se conserva el exponente. a n b n = ( ab ) n 1) = ( 2 5 ) 3 = 10 3 = ) 4 8 ( 0,25 ) 8 = ( 4 0,25 ) 8 = ( 1 ) 8 = 1 3) 8 5 ( 0,125 ) 5 = ( 8 0,125) 5 = ( 1 ) 1 2 4) = = 1 4 = ) ( x + y ) 2 ( x y ) 2 = [ (x + y)(x y)] 2 = [ x 2 - y 2 ] 2 3 6) ( 2 a ) 3 b = 2a b 3 = b 4a 4ª

32 ELEVAR A POTENCIA UN PRODUCTO. Se eleva cada factor al exponente común y recíprocamente. ( a b ) n = a n b n 1) ( 2 a ) 3 = 2 3 a 3 = 8a 3 2) 8( a b ) 2 = 8 2 (a b) 2 3) ( 5x ) 3 ( 2ab ) 3 = 5 5 x a 3 b 3 ( 100 bx ) b 5 x 5 4) 22 2 = ( 11 2 ) 2 = = 484 Calcula del mismo modo 24 2 ; 36 2 ; = ( 12 2 ) 2 = = = ( 12 3 ) 2 = = = ( 22 2 ) 2 = = DIVIDIR POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE. Se dividen las bases y se conserva el exponente. a n = a n b n b 1) 48 4 : 16 4 = (48 : 16) 4 = 3 4 = 81 2) 50 6 : 25 6 = (50 : 25) 6 = ) : ( 66 2 ) 3 = 400 : = ) ( 12,5 ) 2 : ( 2½ ) 2 = ( 12,5 : 2,5 ) 2 = 5 2 = 25 3 = 6 3 = 216 5) ( ¾ ) 2 : ( ¼ ) 2 = ( 0,75 : 0,25 ) 2 = ( 3 ) 2 = 9 32

33 ELEVAR A POTENCIA UN CUOCIENTE. Se eleva cada uno de sus términos al exponente común. a n b = a n b n 1) 5 3 = ) = ) ( -0,75 ) 4 = = ) ( -2,5 ) 2 = = ) ( 0,5 ) 6 + ( 0,25 ) 3 + ( 0,125 ) 2 = = ) 6x -4y 6 3 x y 4 8y 3x = 8 3 y x 4 POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO. Toda potencia de exponente negativo es igual al valor recíproco de la base elevado al exponente positivo. Recuerda que el valor recíproco de una cantidad, es igual a la unidad dividida por la cantidad. Ejemplo: El valor recíproco de 4 es 1. 4 b -n = 1 = 1 n b n b 33

34 1 1) 2-3 = = = ,25 = 22,25 2) ( 0,5 ) -4 + ( 0,4 ) -2 = (0,5) 4 (0,4) 2 0,0625 0, = = 0, = 3) = , ) ( 0,5 ) -4 + ( 0,25 ) -3 + ( 0,125 ) -3 = (0,5) 4 (0,25) 3 (0,125) 3 5 ( 0,75 ) -3 ( 11 ) 3 = = = 64 = 64 3 (0,75) 3 3 (0,75) (0,75 3) 3 (2,25) 3 6) 1 : ( 0,375 ) -2 = 1 = 1 = 7, (0,375) 2 0, ) ( 0,0375 ) -3 = 1. (0,0375) 3 34