MOF - COMPETENCIA 1 FUNDAMENTOS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS

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3 MOF - OMPETENIA FUNDAMENTOS DE LAS OPERAIONES FINANIERAS apalzacó ompuesa. apalzacó Smple. Acualzacó ompuesa y Smple. Equvalecas Faceras. Aplcacoes de la apalzacó y del Descueo. Valores Medos: Ufcacó de apales.

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5 APITALIZAIÓN OMPUESTA > ÁLULO DEL MONTANTE = ce = + = (+ ) = + = (+ ) = ( ) + = + = (+ ) = ( ) Luego el valor del moae a lo largo de años es: = ( ) + Los ereses obedos so I = = [( + ) ] > LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN OMPUESTA Nº deermado de años: L ( ) (+ ) = sedo = ce Fechas: y x = duracó de la operacó ( y > x ) L( x;y ) = (+ ) y x > ASO VARIABLE... = + = (+ ) = (+ ) (+ )... = (+ ) (+ )...( ) El moae obedo es = (+ ) + Los ereses obedos so I = j= j - -

6 EJEMPLO RESUELTO Averguar el empo que permaecó verdo u capal de 8. u.m. al % de erés efecvo aual s se sabe que proporcoó u moae de ,5 u.m. Daos: = , 5 = 8. =, Se pde: Resolucó: + ( ) = ,5 = 8.( +,) = 5 años EJEMPLO RESUELTO Ua persoa mpoe e ua cuea bacara 5. u.m.. y ee la ecó de rerar dcho capal juo co los ereses al cabo de año y medo. Sabedo que se aplca la ley de capalzacó compuesa, averguar el po de erés efecvo aual de esa cuea s el moae obedo fue de 58.78,37 u.m. Daos: = 5. = 58.78, 37 =, 5 Se pde: Resolucó: + ( ) = 58.78,37 = 5.(+ ) =, 5,5 EJEMPLO RESUELTO 3 U capal de 74. u.m. se covró e.49.73,676 u.m. al cabo de cuaro años, sedo los aos de los res úlmos años el 9%, 9,5% y %, respecvamee. Averguar cuál fue el.. del prmer año. = 74. =.49.73, 676 =? =,9 3=,95 4=, = (+ ) (+ ) ( + 3 ) (+ 4 ).49.73,676 = 74. ( + ) (+,9) (+,95) ( +,) =,8 = 8% - -

7 EJEMPLO RESUELTO 4 Hace 3 años se ha verdo u capal de 5. u.m. durae 5 años segú la ley facera de capalzacó L () = (+,3) Debdo a la coyuura ecoómca acual, el deudor quere devolver el dero y para ello os sugere que le señalemos las codcoes e las cuales esaríamos de acuerdo e la devolucó. Se raa, pues, de calcular lo que le exgríamos e cocepo de deuda y e cocepo de demzacó por la cacelacó acpada, sabedo que el dero que os aboa sólo se puede verr ahora al %. = 5. 5 = (+,3) 5 = 5. (,3) 5 = 9.7,6 =, = 5. ( +,3) = 3 H 7.448,5 El deudor ee que eregar ua cadad complemeara H que cumpla: 3 ) ( +,) 5 ( H + = (H ,5), H = ,36 u.m. = 9.7,6 EJEMPLO RESUELTO 5 Ua persoa desea cubrr las ecesdades fuuras de sus hjos y para ello al acmeo de su prmer hjo deposa. u.m., e ua carlla de ahorro que le proporcoa u 9% aual de erés compueso. Al cabo de 5 años, esa persoa ee oro hjo y por al movo, dvde el moae obedo e la carlla, de la sguee maera: los 3/5 para el hjo acdo e prmer lugar y la pare resae para el segudo hjo. Averguar el moae que obedrá cada hermao al cumplr los años, supoedo que vere sus capales al po de erés del 9%. apalzacó compuesa, luego 5 = ( ) + 5 = ( + ) =. ( +,9) = ,67 5 para el er 3 hjo: 5 para el º hjo: 5 ' 5 =.78,9 = 5 '' 5 = ,9 = 5 er ' ' 5 6 Para el hjo = ( + ) =.78,9 ( +,9) , u.m. 5 = ' ' '' = 5 ( + ) = ,9 ( +,9) = Para el º hjo 45.59,3 u.m

8 EJEMPLO RESUELTO 6 Ua operacó facera esa defda por ua presacó de capales (5.; x + ), (6.; x + 3), (8.; x + 6) y por ua corapresacó (; x + ), (7.; x + 7).Sabedo que =% y que la ley facera de capalzacó es: equvaleca facera e y = x+9. L(x, y) y x = ( + ). Averguar la cuaía del capal plaeado ua Represeamos los capales e ua líea emporal: =, x+ x+ x+3 x+6 x+7 y = x+9 Presacó de capales: ( 5.; x + ) (6.; x + 3) (8.; x + 6) orapresacó: ( ; X + ) (7.; X + 7) Equvaleca facera e y = x + 9 : Igualamos la presacó y la corapresacó valoradas e el msmo momeo de empo segú la ley facera de capalzacó y x compuesa L(x; y) = ( + ) ( +,) + 6. ( +,) + 8. ( +,) = ( +,) + 7. ( +,) =.69,

9 APITALIZAIÓN SIMPLE > ÁLULO DEL MONTANTE = ce... = + = (+ )... = + = ( + ) + = (+ ) [ + ( ) ] + = ( ) = + = + Luego el valor del moae a lo largo de años es: = ( + ) Los ereses obedos so I = o = > LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE Nº deermado de años: L ( ) = + ( > ) sedo = ce Fechas: L ( x; y ) = + (y x) (y > x) > ASO VARIABLE - = (+ ) = (+ ) + = (+ + )... = ( ) + = + j j= - 5 -

10 EJEMPLO RESUELTO 7 Hace 4 años ua persoa presó a su amgo. u.m. al 8% de erés smple aual. Averguar el capal que deberá devolver el amgo e el momeo presee. =. 4 =,8 4 = ( + ) 4 =.( + 4,8) = 58.4 u.m. EJEMPLO RESUELTO 8 Se ha verdo u capal de 6. u.m. al 9% de erés smple aual durae 3 años. alcular el erés producdo al fal de la operacó = 6. =,9 3 I = 3 = ( + 3) = 3 = 6. 3,9 = 7. u.m. EJEMPLO RESUELTO 9 alcular el capal verdo hace 3 años al 9% de erés smple aual s e el momeo acual represea u moae de 7. u.m. =? 3 = 7. =,9 3 + = ( ) = ( + 3 ) 3 7. = ( + 3.9) =. u.m

11 EJEMPLO RESUELTO El baco X cocede u présamo de 4. u.m. al 9,5% de erés smple aual. El capal a devolver por pare del presaaro es de 354. u.m.. SE PIDE: Averguar durae cuáo empo permaecó presado dcho capal. = 4. = 354. =,95 =? = ( + ) + = = Luego, = = = 5 años 4.,95 EJEMPLO RESUELTO Ua persoa vere dos capales e dos egocos dsos. El prmer capal lo vere al 8% de erés smple aual y el segudo al 7%. El prmer capal es feror al segudo e 4. u.m. y s embargo, sus ereses suma. u.m. más que los del segudo. Sabedo que esa versó esá referda a u año averguar la cuaía de ambos capales. =,8 =,7 I + + = 4. () = I.,8 =,7. () + Resolvedo el ssema: =.98. u.m. = 3.. u.m

12 ATUALIZAIÓN OMPUESTA Y SIMPLE Descueo = dfereca ere la cadad a pagar e fecha fuura y su valor e u momeo aeror. D = = Valor Descoado = Valor Nomal >ATUALIZAIÓN OMPUESTA O DESUENTO RAIONAL OMPUESTO = D rc () Valor Descoado: = (+ ) Descueo: Drc = = ( + ) = [ ( + ] ) Ley facera: A() = ( + ) = L() o be A(x;y) = (+ ) (y x) >DESUENTO OMERIAL OMPUESTO = D (d = ao de descueo) Valor Descoado: = Facor de Acualzacó = ( d) ( d) Descueo: D = = ( d) = [ ( d ] cc ) y x Ley facera: A() = ( d) o be A(x; y) = ( d) RELAIÓN ENTRE EL TANTO DE INTERÉS Y EL TANTO DE DESUENTO d PARA QUE EXISTA EQUIVALENIA ENTRE EL D R Y EL D : Igualado los descueos: D = ( V ) = [ ( d ] rc D cc V = ( d) ) V = ( d) V = d = d + d = d d =

13 >ATUALIZAIÓN SIMPLE O DESUENTO RAIONAL SIMPLE = D rs () Valor Descoado = Descueo D rs = = Facor de Acualzacó = + = = + + = (+ ) + Ley facera A() = (+ ) o be A(x; y) = [ + (y x) ] >DESUENTO OMERIAL SIMPLE = D cs (d) Valor Descoado = = ( d) Facor de Acualzacó: d Descueo = D = = ( d) d cs = Ley facera A() = d o be A(x; y) = (y x) d RELAIÓN ENTRE Y d PARA QUE EXISTA EQUIVALENIA ENTRE D cs Y EL D cs D rs = D cs = d + d = + d = d - 9 -

14 EJEMPLO RESUELTO alcular el valor efecvo que se obee de descoar ua lera cuyo omal es de 35. u.m. al % de descueo compueso aual durae u año. Averguar ambé el descueo comercal compueso. =? 35. = ( d) = 35.(,) = 3.5 u.m. [ ( d) ] = 35.[ (,) ] Dcc = = d =, EJEMPLO RESUELTO 3 Hallar el valor acual de u capal sabedo que colocado al % de erés smple aual durae años alcazó u moae de 7. u.m. Averguar ambé el descueo racoal smple. =? = 7. D =, 7. = = = + + +, = 7., = = + +, rs = 6. u.m.. u.m EJEMPLO RESUELTO 4 Ua edad bacara cocede a u clee u crédo de 9. u.m. medae lera a 9 días, descoada ai % aual, co ua comsó de,5 por ceo y uos mbres de.5 u.m.. SE PIDE: Averguar el líqudo de esa lera. 9. d =, 9 36 = ( d) OMISIÓN TIMBRES,5 = ( d) 5 S susumos: = 9. 9 = 36 y d =, = u.m. es el valor líqudo. - -

15 EJEMPLO RESUELTO 5 Averguar cuál fue el capal verdo hace años s e el momeo presee el moae (capal más erés) ascede a 3.5 u.m. y la operacó se realzó al % de erés compueso aual. =? ( + ) =, = = = ( + ) = 3.5 ( +,) 5. u. m EJEMPLO RESUELTO 6 Hallar el valor acual de u capal 3 = 58.,6 que esuvo verdo al 9% de erés compueso aual durae 3 años. Averguar ambé el descueo racoal compueso de la operacó. =? 3 =,9 3 = ( + ) 3 3 = 3 ( + ) = 58.,6 ( +,9) = 4. u.m. D rc = ( V ) 3 3 [ ( + ) ] = [ ( + ) ] = 58.,6 [ ( +,9) ] 8.',6 u. m Drc = 3 = EJEMPLO RESUELTO 7 alcular el valor descoado de ua lera s vece al cabo de 6 días cuyo omal es de 5. u.m. y se aplca u ao de descueo comercal smple del %. Averguar ambé el descueo comercal smple realzado d =, 6 = ( d) = 5. (,) 49. u.m. = 36 D 36 6 cs = d = 5., =. u.m. - -

16 EQUIVALENIAS FINANIERAS > TANTO EFETIVO ANUAL () Y EL TANTO EFETIVO FRAIONADO ( K ) ASO APITALIZAIÓN OMPUESTA: = + = k k ( + k ) ( + ) k El perodo dvddo e k pares guales = h h ( + h ) ( + ) h El perodo dvddo e h pares guales Tpos de erés equvalees: Aplcados al msmo capal cal, durae el msmo perodo de empo, produce gual moae. RELAIONES ENTRE TANTOS EQUIVALENTES EN APITALIZAIÓN OMPUESTA TANTO ANUAL TANTO FRAIONADO k = (+ k ) k (+ ) = (+ k ) NO SON PROPORIONALES k k = (+ ) TANTO FRAIONADO k TANTO FRAIONADO h k h k ) = ( h ) + NO SON PROPORIONALES ( + - -

17 RELAIONES ENTRE TANTOS EQUIVALENTES EN APITALIZAIÓN SIMPLE TANTO ANUAL TANTO FRAIONADO + = + k k k k = SON PROPORIONALES TANTO FRAIONADO k + k = + h k h h k h TANTO FRAIONADO h k = SON PROPORIONALES >TANTO NOMINAL ANUAL = j k Se defe el ao omal aual capalzable k-esmalmee como u po de erés aual proporcoal al fraccoado. j k = k k RELAIONES ENTRE TANTOS NOMINALES Y EFETIVOS EN APITALIZAIÓN OMPUESTA j k k = k = k ( + ) k > TANTO ANUAL PREPAGABLE (*) ( *) Sea u capal que se presa e el momeo cal, a u ao aual prepagable * (los ereses se aboa al prcpo del perodo). Duracó de la operacó: perodo Los ereses que se aboa al prcpo so: *, luego el capal eo presado al prcpo es: * = ( *), y el capal a devolver por el deudor al fal del perodo es. Se edrá que verfcar que ( *) ( + ) = * =

18 EJEMPLO RESUELTO 8 Sabedo que u íulo de rea fja devega u erés del 8% pagadero semesralmee se quere calcular el ao efecvo de erés. Dao: j =, 8 Se pde: jk k j,8 Relacó: = ( + ) = ( + ) = ( + ) =, 86 k EJEMPLO RESUELTO 9 Se coloca u capal de u.m. a erés compueso, que capalzado semesralmee cosuye al cabo de años u moae de cuaía 3. SE PIDE:. alcular el ao efecvo aual.. alcular el ao omal aual. 3. alcular el ao semesral equvalee. = = ( ) + 3 = ( + ) 3 = ( + ) =, 6. j = ( + ) = ( +,6) =, 93 () j 3. = =, 5647 EJEMPLO RESUELTO U depóso a u año ofrece u po de erés del % prepagable. alcular el po de erés a vecmeo equvalee. Ulzamos la fórmula * = para * =, y obeemos +, = =, =,% + Es decr, u po de erés del % prepagable es equvalee a u,% a vecmeo

19 EJEMPLO RESUELTO Ua persoa desea verr u capal de mlloes de u.m. y puede elegr ere las sguees posbldades: a) olocar el capal al % omal aual capalzable por semesres. b) olocar el capal al % omal aual acumulable por rmesres. c) olocar al % de erés efecvo aual compueso. d) olocar al % de erés efecvo aual smple. alcular el moae obedo e cada ua de las posbldades aerores al cabo de años. a) = () j, () 4 j =, = = =, 6 = ( + ) = u.m. b) = (4) j4, (4) 8 j 4 =, = = =, 3 = ( + ) = , u.m. 4 4 c) = =, = ( + ).58.8 u.m. = d) = =, = ( + ).48. u.m. = - 5 -

20 RITERIO LINEAL RITERIO EXPONENIAL ONVENIOS ulzados e la prácca para obeer u capal fal cuado la duracó de la operacó o es u úmero eero de perodos. >RITERIO EXPONENIAL c.c c.c X x X ( ) = dode + Luego, x θ +θ X = ( + ) h x + k = ( = º eero de perodos) El crero expoecal cosse e capalzar usado capalzacó compuesa durae el úmero eero de perodos y capalzar el resulado obedo e capalzacó compuesa por la fraccó de perodo resae. >RITERIO LINEAL Ese crero cosse e capalzar a u erés compueso el úmero eero de perodos y después, capalzar ese resulado a u erés smple por la fraccó de perodo que resae. c.c c.s X X x = θ ( + ) ( + θ) El moae obedo segú el crero leal será mayor que el obedo segú el crero expoecal

21 >MÉTODO DEL DIVISOR FIJO S se expresa e AÑOS: I = deomado D = (D =dvsor fjo) I = deomado = N ( = º comercal) D N I = D S se expresa e MESES: D = 36 S se expresa e DÍAS: D = NOTA: S el po de erés esá expresado e porceaje, eoces D =. D = 36. D = D =... d El razoameo es el msmo para el aálss e el descueo smple - 7 -

22 EJEMPLO RESUELTO Averguar el moae obedo de ua versó de 5. u.m. s se ha verdo a u erés del 8% durae 4 años y meses. Ulícese para el cálculo del crero leal. = 5. c.c c.s X 4 4 años y meses X = (+ ) (+ θ) 4 alculamos prmero: = ( + ) = 5. ( +,8) 68.44, 48 X = Luego: X = ( + θ) = 68.44,48 ( +,8) = , 4 EJEMPLO RESUELTO 3 U capal de. u.m. se vere durae u empo X, a u po de erés del 8% proporcoado u moae de 5.85 u.m. SE PIDE: Deermar el valor de X s e el cálculo se uvo e cuea el crero leal. =. c.c c.s X = X = ( + ) x ( + θ ) 5.85 =. ( + ) ( + θ ),585 = ( + ) ( + θ ) ( e TABLAS ) Luego x es 5 años y uos meses = 5,585 = ( +,8) θ =,33 años 5 ( + θ,8) Luego x = 5 años, 3 meses y 9 días

23 VALORES MEDIOS. UNIFIAIÓN DE APITALES. >APITALES MEDIOS NOTA: E ese ejemplo los / esá asocados a los capales. x x... x r r x r Fechas de vecmeos ( ;x) colocado a ( ;x ) colocado a... ( r;x r ) colocado a r x m x m x... m x r ( m;x) colocado a ( m;x ) colocado a... ;x ) colocado a r ( m r APITAL MEDIO ( m ) : Se raa de susur la sere de capales,,... r por oros de cuaía uforme y cuyos vecmeos cocda co los aerores. >TANTOS MEDIOS x x... x r ( ;x) colocado a r ( ;x ) colocado a... ( r;x r ) colocado a r x r m m... ( ;x) colocado a m m ( ;x ) colocado a m r... ( r;x r ) colocado a m x x x x r TANTO MEDIO ( m ) es u ao de erés al que aplcado a u cojuo de capales dado, por sus respecvos empos, proporcoa gual cuaía oal de ereses que el que se hubera obedo de aplcar a cada capal su respecvo po de erés. Es decr, r j= I r j ( j ) = Ij(m ) j= - 9 -

24 > APITAL ÚNIO Y VENIMIENTO OMÚN x x... x r r x r ( ;x) colocado a ( ;x ) colocado a... ( r;x r ) colocado a r x x x r ( ;x ) colocado a Sedo: = APTAL ÚNIO x = VENIMIENTO OMÚN Dado u cojuo de capales ( ;x), ( ;x )... ( r ;x r ) verdos a los pos de erés,,... r ; se raa de deermar el capal úco equvalee ( ;x ) al ao. >VENIMIENTO MEDIO VENIMIENTO MEDIO: Momeo e el que vece u úco capal que susuye a los aerores co la codcó de que se verfque que =. r j j= aso parcular: o la ley de Descueo omercal Smple, el vecmeo medo se calcula usado m = r j= r j= j j j - -

25 EJEMPLO RESUELTO 4 Se quere susur dos capales y por oro capal úco. Sabedo que = 5. u.m., =. u.m. y = 5. u.m. que vece al cabo de 6, 8 y años respecvamee. y que el po de erés compueso es =,8. alcular el vecmeo que debe de eer el capal a susur para que la operacó resule equvalee. = 5. =. = EQUVALENIA FINANIERA EN = 6 8 ( + ) + ( + ) = ( + ) 5. (,8) 6,837 = (,8) l, (,8) 8 = 5. (,8) = l,8 =, 739, es decr, años 8 meses y 4 días. EJEMPLO RESUELTO 5 U comercae ee e su carera 4 capales por mpores, 5, 3 y 4 5, odos co vecmeo a años y al pos de erés del 5%, 5 5%, 6% y 7% respecvamee. alcular el ao medo aual e régme de capalzacó compuesa y calcular el ao omal aual equvalee al ao medo aual aeror. TANTO MEDIO: 4 4 I j (j) = Ij(m ), dode I = = ( + ) = [ ( + ) ] j= j= [,5 ] +,5 [,55 ] + 3 [,6 ] + 4,5 [,7 ]= [( + ) ] +,5 [( + ) ] + 3 [( + ) ] + 4,5 [( + ) ] m m =,67748 m m m alculamos el ao omal aual equvalee: ( + m ) = ( + () ) () =, j () = () =,

26 EJEMPLO RESUELTO 6 Ua socedad ee pedees de pago 4 leras comercales de cuaía, 9., 4. y. a 4,, 8 y días.. alcular el capal medo segú la ley de descueo racoal smple al 5%.. alcular el vecmeo medo segú la ley de descueo comercal smple.. apal medo m m m m Equvaleca facera e = : = 4 8 +,5 +,5 +,5 +, = m +, m +, m +, m,5 365 m = 6.34,7739. Vecmeo medo = 4 j= j = 5 m 4 j j 4 j= 3.7. m = = = 48 días, = 5 5. j = j= 4 j= j - -

27 EJEMPLO RESUELTO 7 U comercae debe a su proveedor 4 leras comercales, de omales:. co vecmeo a 3 meses, 4. co vecmeo a 4 meses, 3. co vecmeo a 5 meses, y. co vecmeo a 6 meses. Sedo ésa su suacó orgal. a) El comercae ras aalzar la propuesa de su proveedor, le eresa coocer oras opcoes, y para ello se pregua sempre respeco a su suacó orgal: a.) cual es el vecmeo medo (e meses y días) correspodee a dchas leras y cuáo edrá que pagar e dcho momeo, co la ley de descueo comercal smple. a.) cual es el capal úco equvalee co vecmeo a 4meses, co la ley de descueo racoal compueso (a u ao efecvo semesral del,5%). b) Falmee, el comercae elge la opcó del vecmeo medo (la opcó a.); y el proveedor lo lleva al descueo al baco. El baco le presea la sguee arfa: ao de descueo, 7%; comsó de cobraza,,5%; Tmbre: 33,66 euros; Gasos de correo:,3 euros. alcule el líqudo que recbrá el proveedor. a.) = =. j j j m = = j = 4 meses y 8 días. 4,6meses a.).,5 + 4.,5 + 3.,5 +.,5 =, = 9.975,49 38 b) =. (,7).,5 33,66, 3 = 9.647,77 L

28 EJEMPLO RESUELTO 8 Se vere 3. euros e capalzacó compuesa durae años a u ao omal aual pagadero por mesualdades. El moae al fal de años es 9.9,6 euros. Y se sabe que los ereses correspodees al úlmo mes ha sdo 98,3 euros. alcule razoadamee: ) El ao efecvo mesual; el ao omal aual pagadero mesualmee; y el ao efecvo aual al que se ha realzado la operacó. ) El úmero de años que ha durado la operacó. E el caso de que los 3. euros se hubera verdo durae 8 meses e capalzacó smple, y el moae obedo fuera 3.45 euros, calcule: 3) El po de erés efecvo aual, y el po de erés efecvo mesual, al que esuvo verdo la operacó. 4) Los ereses correspodees al úlmo mes ,6 ) S los ereses correspodees al úlmo mes ha sdo 98,3, el capal acumulado hasa el úlmo mes será 9.9,6 98,3 = 9.83,3, y capalzado el úlmo mes obeemos el moae fal () j 9.83,3 ( + ) = 9.9,6 () () j j () =, = =, = (+ ) =,685 () () j ) 3. ( + ) = 9.9, 6 3., = 9.9, 6 = años 8 () 3). ( + ) = =, = =, ) = 3., = 5 I - 4 -

29 EJEMPLO RESUELTO 9 Ua persoa gresó 5. euros e u depóso a plazo: durae 3 años y 3 meses (crero expoecal), que le proporcoó u ao aual capalzable rmesralmee del 3%. Trascurrdo dcho plazo, el moae obedo lo vró e oro depóso, durae años y meses (crero leal), que le proporcoó u ao efecvo aual equvalee al del depóso aeror más u puo. Trascurrdo dcho plazo, compró u auomóvl valorado e 33. euros, que lo pagó ua pare co el moae obedo e los depósos (redodeados a mles de euros), y el reso frmó 4 leras de omal (suma arméca): N, N, N, N co vecmeo a 3, 4, 5 y 6 meses. Pero ua vez pagada la prmera lera, que cocde que es el de marzo de 9, egoca co el cocesoaro las leras pedees de pago. Y ése le presea dos propuesas: ) pagar ua sola lera co vecmeo e el vecmeo medo (valorada co la ley de descueo comercal smple). ) pagar ua sola lera co vecmeo dero de meses (valorada al ao efecvo aual del 6% co la ley racoal smple). El comprador elge la propuesa a) (la del vecmeo medo); y el cocesoaro lleva al descueo dcha lera al baco, el cual le presea la lqudacó coforme a la sguee arfa: u ao de descueo aual del 6%, ua comsó de cobraza del 7 por ml, y u mbre de 6,83 euros. Se pde: a) alcule el moae obedo e el prmer depóso (crero expoecal); así como, el moae obedo e el segudo depóso (crero leal). b) alcule el omal de las uevas leras e cada ua de las dos propuesas, así como el vecmeo medo e la propuesa a). c) alcule el líqudo que cobra el cocesoaro. d) alcule el ao de redmeo que el baco obee e esa operacó ulzado la ley de capalzacó smple. a) Prmer depóso: ( 4 ) j 4 x = 5. ( + ) 3 = 7.55,6 Tpo de erés efecvo aual = ( + ) =, Segudo depóso: Tpo de erés efecvo aual = +, =, = 7.55,54 (+ ) (+ ) = 3.8,696 x ( 4 ) j

30 b) Faca 3., luego N + N + N + N = 3. N = 5 Vecmeo medo: j j m =, meses = meses.5 = j y 6 días ) apal que vece e el vecmeo medo: = j =.5 ) Valoramos odos los capales e = usado la ley de DRS: 5 (+ 3,6). (,6). (,6) (,6 ) = + =.497, c) L =.5 (,6).5,7 6, 83 =.438,7 36 d) El baco adelaa al cocesoaro la cadad de.455, y recbe.5 al cabo de 66 días. El cocesoaro sólo recbe.438,7 ya que ee que pagar el mbre. 66 = ( + r).5 r =, 37 r =,37% - 6 -

31 MOF - OMPETENIA ESTUDIO Y VALORAIÓN DE FLUJOS DE APITALES Defcoes - lasfcacó de las Reas - Noacoes. Reas Auales Dscreas de Térmos osaes. Reas Auales Dscreas de Térmos Varables. Reas cuya Perodcdad o es Aual: - Reas Fraccoadas o co Perodcdad Iferor a u año. - Reas Plurauales o co Perodcdad Superor a u año.

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33 INTRODUIÓN A LA TEORÍA DE RENTAS > DEFINIIONES RENTA: U cojuo de capales (M ; x ) (M ; x )... (M ; x ) co vecmeos equdsaes M M M 3 M x x x x 3 x - x Luego x - x = x 3 - x = = x - x - TERMINO DE LA RENTA: es cada uo de los capales que la cosuye. ORIGEN DE LA RENTA: es el momeo e el que comeza la operacó = x. FINAL DE LA RENTA: es el momeo e el que se exgue la operacó = x. DURAION DE LA RENTA: x - x VALOR ATUAL: apal equvalee al prcpo de la operacó al cojuo de cobros o pagos fuuros. VALOR FINAL: apal equvalee al fal de la operacó al cojuo de cobros o pagos fuuros. > LASIFIAION DE LAS RENTAS. Segú la auraleza de la cualdad de los érmos eras: Aleaoras: So aquéllas e las que odos sus érmos represea a capales deermados y los vecmeos esá fjados. So aquéllas e las que be alguo de los érmos de la rea o alguo de sus vecmeos vee represeado por ua varable aleaora. U ejemplo de rea aleaora la cosuye la rea valca e la que su duracó depede de la supervveca de ua persoa.. Segú la medda de los períodos Dscreas: ouas: So aquellas e las que la amplud de sus ervalos es fa. So aquellas e las que la amplud de sus ervalos es fesmal. 3. Segú el úmero de érmos de que cosa las reas Temporales: So aquellas reas que cosa de u úmero fo de érmos. Perpeuas: So aquellas reas que cosa de u úmero lmado de érmos. U ejemplo de rea perpeua lo represea la pesó de jublacó de ua persoa

34 4. Segú el momeo de la valoracó de la rea Imedaas: So aquéllas e las que la valoracó acual de la rea ee lugar e el prmer período e el que la duracó de la rea se ecuera dvddo y la valoracó fal ee lugar e el úlmo de los perodos. V.acual M M M V. fal Dferdas: So aquéllas e las que la valoracó acual de la rea ee lugar e u úmero deermado de períodos aes del vecmeo del prmer érmo de la rea. Ese úmero, que lo dcaremos por d, recbe el ombre de período de dfermeo. V.Acual M M M d d+ d+ d+ Acpadas: So aquéllas e las que la valoracó de la rea ee lugar e u úmero deermado de períodos después del vecmeo del úlmo érmo de la rea. Ese úmero, que lo dcaremos por f, recbe el ombre de período de acpacó. M M M V. fal +f 5. Segú la cuaía de los érmos osaes: So aquéllas cuyos érmos so odos de gual cuaía. uado los érmos de la rea so cosaes e guales a la udad de capal, se dce que la rea es uara M M M Varables e progresó geomérca: ada érmo es gual al érmo aeror mulplcado por u úmero al que llamamos razó de la progresó, es decr = M q dode q es la razó. M M M q M q - 8 -

35 Varables e progresó arméca: ada érmo es gual al érmo aeror más u úmero fjo al que llamaremos razó de la progresó, es decr M + π dode π es la razó. = M M M π + ( ) π + M 6. Segú el vecmeo de los érmos de la rea Prepagables: So aquéllas e las que cada érmo vece e el exremo feror del correspodee período. M M M Pospagables: So aquéllas e las que cada érmo vece e el exremo superor del correspodee período. M M M A las reas prepagables alguos auores las deoma co pago acpado, y las pospagables, reas co pago por vecdo. 7. Segú la amplud del período de la rea Eera: uado el perodo de la rea cocde co el período de capalzacó o de acualzacó del ao de erés. S el período de la rea es de u año, se dce que la rea es aual. M M M (aual) Pluraual: uado el período es superor a u año, se dce que la rea es pluraual o be, que se raa de ua rea co perodcdad superor a u año. La rea es plurperodal sempre que el período de la rea sea superor a la del ao. M M M M (aual)

36 Fraccoada: Tomado como refereca la rea eera (aual), s el período de ora es feror a u año, se dce que la ueva rea es fraccoada o be, que se raa de ua rea co perodcdad feror a u año. FRAIONADA DE TÉRMINOS ONSTANTES: (k) (k) M M M (k) (k) (k) M M M (k) (k) (k) M M M (k) (aual) FRAIONADA DE TÉRMINOS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRIA: M (k) q M (k) q (k) M q M (k) q M (k) q M (k) q (aual) FRAIONADA DE TÉRMINOS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTIA: (k) (k) M M M (k) (k) (k) M + π M + π M + ( ) π M + ( ) π (k) (k) (aual) - 3 -

37 FÓRMULAS DE RENTAS Rea de refereca Valor acual Valor fal Rea aual, de érmos cosaes, pospagable, medaa y emporal ( + ) ( Va) = M = M a (+ ) ( Vs) = M = M s Rea aual, de érmo varables e progresó geomérca, pospagable, medaa y emporal A(M ;q) q (+ ) M + q = M (+ ) s s q + q = + S(M ;q) (+ ) q M + q = M (+ ) s s q + q = + Rea aual, de érmo varables e progresó arméca, pospagable, medaa y emporal A(M ; π ) π = (M + ) a π (+ ) S(M ; π ) π = (M + ) S π Rea pluraual de érmos cosaes, pospagable, medaa y emporal [ h] (Va) = M a S [ h] (Vs) = M S S h h h h

38 RELAIONES ENTRE RENTAS Valor Acual y Valor Fal Valor fal Valor acual ( + ) = úmero de perodos de la rea Reas fraccoadas k = úmero de perodos e los que se dvde el año Fraccoada rea eera asocada (k) j k k M = érmo aual de la rea eera Reas prepagables Prepagable Pospagable ( + ) s es aual k k = úmero de perodos e los que se dvde el año ( + ) s es fraccoada h = úmero de años ere dos érmos cosecuvos h ( + ) s es pluraual Reas dferdas Reas acpadas Reas perpeuas d Dferda Imedaa (+ ) El dfermeo o afeca al valor fal d = úmero de perodos aes del prmer perodo de la rea f Acpada Imedaa ( + ) La acpacó o afeca al valor acual f = úmero de perodos después del ulmo érmo de la rea (Va) = M Perpeuas A(M ;q) = M s q < + + q No ee sedo calcular el valor fal π A(M ; π) = (M + ) a

39 EJEMPLO RESUELTO 3 alcular el valor acual y valor fal de ua rea aual, de érmos cosaes guales a. durae años, pospagable, valorada al po de erés aual del 8%. ( Va) =. a,, 8,,8 = ( Vs) =. S,, 8,,8 = 6.7' '56 EJEMPLO RESUELTO 3 alcular el valor acual de ua rea aual de érmos, sedo el prmero de. y el reso aumeado aualmee e u %. Tpo de erés efecvo aual del 5%.,,5 = A(M =.;q = ') ' '5 =. '5 '.846'657 EJEMPLO RESUELTO 3 alcular el valor acual de ua rea de érmos auales, duracó =, prmer érmo M =., y el reso aumeado aualmee u % sobre la cuaía del prmer érmo. Tpo de erés de valoracó del 6%. '6 A (M =. ; π =,. ),, 6 = (. + ) a '6 =.9'965 '6 '6 EJEMPLO RESUELTO 33 alcular el valor acual y valor fal de ua rea de 5 mesuales, duracó = años, medaa y pospagable. Tpo de erés efecvo aual del 8%. () Va),,8 = 5 a (),, j = 4.76'95 () Vs),,8 = 5 S (),, j = 9.6'36 ( 8 ( 8 EJEMPLO RESUELTO 34 alcular el valor acual de la rea salaros, que edremos que empezar a pagar dero de u año, sedo ésos de mesualdades de., más dos pagas exras e juo y dcembre de la msma cuaía que la mesualdad, aumeado aualmee u 3% sobre el año aeror (ao el salaro mesual como las pagas exras) y co ua duracó de años. Tpo de erés efecvo aual del 3%. (),,3 '3 A(M =. ; q =,3) + '3 A(M =. ; q =,3) = '3. '3 + '3. '3 () () j j = , '55 = '93 (),,3-33 -

40 EJEMPLO RESUELTO 35 El drecor écco de ua empresa esá esudado esablecerse e u deermado mucpo co u proyeco de versó que presea los sguees pagos y cobros: PAGOS Maquara: 8. rmesralmee durae años. Maera prma:. al prcpo de cada rmesre el prmer año, co u cremeo aual del % sobre la aualdad del prmer año. Mao de Obra: 3. mesuales co pagas exras e juo y dcembre de gual cuaía a la mesualdad cremeádose aualmee de forma acumulava e u 4%. Maemeo: 9. cada 3 años. INGRESOS Veas: El prmer año espera uas veas de 75. mesuales que se cremeará aualmee e u 6% sobre las veas del año aeror. S el po de erés es del 6% aual y la duracó del proyeco es de años, calcular el beefco o pérdda acualzada. PAGOS (4) P = (Va),,6 = 4 8. a (4),, 6 j = ,8454 = 4 P (4) A(M =. 4; π =,. 4),,6 =.6 A(M (4) = 8.; π = 8.),,6 = ,9986 j () () 3 = A(M = 3. ;q =,4),,6 + A(M = 3. ;q,4),,6 P = = , , 59 = ,43 [ h 3 P = ] 4 (Va) = 9. a9,,6 S = 3,,6 3,,6 = 9.83,457 INGRESOS I = A(M = 75. ;q =,6) (),,6 = j () 75.,6 = 8.7.6,4 BENEFIIOS 4 B( = ) = I( = ) Pj( = ) = ,9 j=

41 EJEMPLO RESUELTO 36 Ua empresa auxlar de auomocó decde mplaar ua líea de yeccó de alumo para sumsrar bloques de moor para u auomóvl. Para calcular el preco de vea, se ee e cuea los sguees daos: - Se compra y acodcoa u pabelló, pagádose mlloes de u.m. al coado, y el reso medae 4 leras de gual omal de mlloes de u.m. cada ua, co vecmeo a 3, 6, 9 y meses. - Se ecarga el desarrollo del proyeco a ua geería que cobra mlló de u.m. mesuales durae los ses meses de esudo, mas 5 mlloes de u.m. e el momeo de puesa e marcha de la salacó. Tras la elaboracó del proyeco, comeza la ejecucó del msmo que se prologa por espaco de 6 meses. Se curre e los sguees gasos: - ompra de u horo de reverbero, de cose 3 mlloes de u.m., a pagar el 5% al coado, y el reso el día de puesa e marcha. - Maquara de yeccó y dversa, pagádose e res leras de 5 mlloes de u.m. cada ua co vecmeos a 6, y 8 meses. Tras la ejecucó y puesa e marcha, comeza la produccó de bloques, que se va a maeer durae años. Supoe los sguees gasos: - Maemeo: mlló de u.m. al año, más la reovacó complea del refracaro del horo cada res años, que supoe mlloes de u.m.. - Maeras prmas: mesualmee mlloes de u.m al prcpo de cada mes., co u cremeo aual del 4% sobre el prmer año. - Eergía: mlloes de u.m. cada dos meses, cremeádose cada año u 3% respeco al aeror. - Mao de obra: mlloes de u.m. mesuales, más dos pagas exra e juo y dcembre de gual cuaía, co u cremeo aual por coveo del 3%. Se oma para odos los cálculos u ao de valoracó del % aual. Se desea calcular el preco de vea uaro e el prmer año de produccó y e el úlmo, sabedo que el úmero de udades veddas es cada mes durae el prmer año, que se cremea u 5% cada año respeco al aeror, que el preco de vea a sólo se cremea u % cada año respeco al aeror, y que se desea obeer u beefco del % sobre el preco de cose ESTUDIO DEL PROYETO EJEUION DEL PROYETO AÑOS DE PRODUION MESES MESES AÑOS OMIENZO DE LA EJEUION DEL PROYETO PUESTA EN MARHA DE LA INSTALAION

42 ÁLULO DE LOS GASTOS ATUALIZADOS:. Pabelló: G ) 4 = a ( ,66 u.m. ( = ( + ) =,43689) = 4,. Proyeco: G =.. a ) 6, ( ( + ) = (4) ,58 u.m. () ( = ( + ) =,79744) 3. Horo: G = 5.. =... = , 47 u.m. 3 a, j 4. Maquara: () G ) 3, 4 = ( + ) 5.. a ( =... = 5. Maemeo: 3..66,8 u.m. G5 = ( + ).. a, + (+ ).. a9, S 3, =... = ,8 u.m. 6. Maeras prmas: G 6 = / Ä(M =.., π = 4. ) (), = ( + ) A(M =.., π = 4.8.) =... = ,34 u.m. j V 7. Eergía: G = (6) 7 = / A(M =.. 6,,3), = V A(M..,,3),, j6 =... = ,34 u.m. 8. Mao de obra: G () () 8 = / A(M =..,,3), + / A(M =..,,3), =... = , ,4 = ,9 u.m. 8 GT acualzados = G = u.m. =