1: El producto escalar de un vector consigo mismo coincide con el cuadrado de su módulo

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María Rosario González Rico
hace 6 años
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1 UNIDAD : Geometrí eclíde. Prodcto esclr. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES LIBRES Definición: Se llm prodcto esclr de los ectores y y se not por l nº rel qe se obtiene de l sigiente form: = es decir el prodcto de los módlos por el eno del ánglo qe formn dichos ectores. Propieddes del prodcto esclr: : El prodcto esclr de n ector consigo mismo coincide con el cdrdo de s módlo = 0 : El prodcto esclr es conmttio 3: El prodcto esclr es distribtio respecto l sm de ectores w w 4: Se cmple qe pr clqier nº rel qe: 5: = 0 0 6: Desigldd de Cchy-Schwrz 7: Desigldd de Minkowski Proyección ortogonl de n ector sobre otro: Consideremos dos ectores y qe formn entre si n ánglo. Tenemos el ector proyección ortogonl de sobre p como se preci en el dibjo: UNIDAD : Geometrí eclíde. Prodcto esclr

2 Podemos clclr el módlo de p plicndo l definición de eno de l triánglo de l figr: p Ahor bien por l definición de prodcto esclr tenemos: = sstityendo en l expresión nterior nos qed: p p Expresión nlític del prodcto esclr B c y es fácil er qe los prodctos Considerndo l bse cnónic i 00 j 00 k 00 esclres entre ellos son: Si tenemos dos ectores ( = i b j c k y ( ' ' i j k entonces: = i b j c k ' i j k = plicmos l propieddes del prodcto esclr ' i i i j i k b ' j i b j j b j k c ' k i c k j c k k = ' b c Por tnto = ' b c Ejemplo: Ddos los ectores ( 0 y ( 5 entonces = (- + (- ( = -3. APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR : Módlo de n ector libre: Si ( = i b j c k b c b: Vectores nitrios de l mism dirección qe no ddo: Si ( podemos obtener dos ectores nitrios y en l mism dirección qe él obimente de sentido opesto. Estos son: b c ( b c b c b c UNIDAD : Geometrí eclíde. Prodcto esclr

3 ( b c b b c c b c c: Ánglo entre dos ectores Si tenemos dos ectores ( y ( ' entonces el ánglo entre ellos: b ' b c c c ' d: Vectores ortogonles (perpendiclres entre si Dos ectores ( y ( ' son ortogonles y se not es 0 ' b c 0 si y sólo si s prodcto esclr e: Vector norml n plno Como y sbemos del tem nterior ddo n plno en form implícit Ax By Cz D 0 el ector norml ese plno es n ( A B C 3. ÁNGULOS ENTRE ELEMENTOS DEL ESPACIO : Ánglo entre dos rects Vmos prtir de qe de ls dos rects podemos conocer ss ectores directores y tmbién como es obio n pnto por donde psn. Así sen ls rects: Ps por P( x y z Ps por Q( x y z r s Vector director: ( Vector director: ( ' El ánglo qe formn ls rects es el mismo qe el qe formn ss ectores directores es decir: r s ' b c c = b c ' A prtir de est expresión dedcimos qe: r s 0 r s t es decir los ectores directores son proporcionles b: Ánglo entre dos plnos Dos plnos formn dos ánglos y 80 º nosotros siempre nos mos qedr con qél qe se gdo. Además el ánglo qe formn dos plnos enir ddo por el ánglo qe formn ss ectores normles pero teniendo en cent qe el ánglo será gdo. Sen dos plnos y con ectores normles respectios n y n entonces: n n n n = n n A A A' B B' C C' B C A' B' C' 3 UNIDAD : Geometrí eclíde. Prodcto esclr

Así tenemos qe: n n n n 0 n n n t n (es decir los ectores normles son proporcionles c: Ánglo entre rect y plno Vmos clclr este ánglo en fnción del ector director de l rect y del ector norml del plno.

Como demás y sen r n n = n son complementrios tenemos qe: b A b B c C c A B C es el ánglo qe form l rect con el ector A prtir de est expresión es fácil er qe: r n n 0 r n t n (es decir el ector

4 Así tenemos qe: n n n n 0 n n n t n (es decir los ectores normles son proporcionles c: Ánglo entre rect y plno Vmos clclr este ánglo en fnción del ector director de l rect y del ector norml del plno. Por tnto se n rect r de ector director ( y n plno cyo ector norml es n ( A B C. Como emos en el dibjo el ánglo es el pedido. Y el ánglo norml. Como demás y sen r n n = n son complementrios tenemos qe: b A b B c C c A B C es el ánglo qe form l rect con el ector A prtir de est expresión es fácil er qe: r n n 0 r n t n (es decir el ector director de l rect y el norml del plno son proporcionles 4. PROYECCIONES : Proyección de n pnto sobre n plno Ddo n pnto P y n plno como el de l figr se trt de conocer l proyección ortogonl de P sobre P El procedimiento nlítico es el sigiente: 4 UNIDAD : Geometrí eclíde. Prodcto esclr

- Hllmos l rect r qe ps por P y es perpendiclr l plno es decir s ector director es el norml del plno - El pnto P es l intersección de l rect hlld y el plno b: Proyección de n pnto sobre n rect Ddo n

5 - Hllmos l rect r qe ps por P y es perpendiclr l plno es decir s ector director es el norml del plno - El pnto P es l intersección de l rect hlld y el plno b: Proyección de n pnto sobre n rect Ddo n pnto P y n rect r como en l figr se trt de conocer l proyección ortogonl de P sobre r Q. El procedimiento nlítico es el sigiente: - Constrimos el plno qe ps por P y es perpendiclr r (el ector director de l rect es el ector norml del plno - El pnto Q pedido es l intersección del plno hlldo y l rect dd r b: Proyección de n rect sobre n plno Dd n rect r y n plno se trt de proyectr ortogonlmente l rect sobre el plno dndo como resltdo l rect s El procedimiento nlítico es el sigiente: - Hllmos el plno ' qe contiene r y es perpendiclr (n pnto de ' es clqier pnto de r y ss ectores directores serán el director de r y el norml de - L rect proyección s es l intersección de los plnos y ' 5. ELEMENTOS SIMÉTRICOS : Simétrico de n pnto respecto de n plno 5 UNIDAD : Geometrí eclíde. Prodcto esclr

6 Como emos en el dibjo nos dn n pnto P y n plno y nos piden clclr el simétrico de P respecto de. El proceso es el sigiente: - Clclmos l rect r qe ps por P y es perpendiclr (el ector norml de es el ector director de r - Intersectmos l rect r con el plno pr obtener el pnto M - Clclmos P sndo qe M es el pnto medio del segmento PP ' b: Simétrico de n pnto respecto de n rect Nos dn como dtos n pnto P y n rect r y nos piden clclr P. El procedimiento es el sigiente: - Clclmos el plno qe contiene P y es perpendiclr r (el ector director de l rect r es el norml del plno - Intersectmos el plno y l rect r pr obtener el pnto M - Clclmos P sndo qe M es el pnto medio del segmento PP ' c: Simétrico de n pnto respecto de otro pnto - Este cso es bstnte fácil y bst clclr P sndo qe M es el pnto medio del segmento PP ' 6. RECTAS QUE SE APOYAN SOBRE OTRAS DOS RECTAS DADAS : Rect qe se poy en dos rects dds y ps por n pnto determindo 6 UNIDAD : Geometrí eclíde. Prodcto esclr

7 Se nos pide clclr n rect s qe se poy en dos rects r y r y ps por n pnto P. El procedimiento nlítico es el sigiente: - Hllmos el plno qe contiene l rect r y ps por el pnto P - Hllmos el plno qe contiene l rect r y ps por el pnto P - L rect s pedid es l intersección de y ( s b: Rect qe se poy en dos rects dds y es prlel n dd Se nos pide clclr n rect s qe se poy en dos rects r y r y es prlel n rect r. El procedimiento nlítico es el sigiente: - Hllmos el plno qe contiene l rect r y es prlelo l rect r - Hllmos el plno qe contiene l rect r y es prlelo l rect r - L rect s pedid es l intersección de y ( s 7. DISTANCIAS EN EL PLANO : Distnci entre dos pntos Ddos dos pntos A ( x y z y B ( x' y' el ector libre qe determinn es AB ( x' x y' y z. Se define l distnci entre los pntos A ( x y z y B ( x' y' como el módlo del ector AB ( x' x y' y z qe determinn y se represent como d A B = AB = x' x y' y z ' z b: Distnci de n pnto n plno Nos dn n pnto x y z P y n plno Ax By Cz D 0 como emos en el dibjo Hy dos forms de clclr l distnci o longitd qe sepr l pnto del plno ª form: Clclndo el pnto Q de form nálog como se clclb el pnto M en el simétrico de n pnto respecto de n plno. Un ez obtenido Q tenemos qe: d P dp Q Este método es más lrgo qe el sigiente pero es rzondo. Ax0 By0 Cz 0 D ª form: Aplicndo l fórml dp A B C c: Distnci entre dos plnos prlelos Ddos dos plnos prlelos Ax By Cz D 0 y Ax By Cz D' 0 ( ojo! Obserd qe son prlelos y qe tienen los mismos coeficientes en ls ribles. Tmbién tenemos dos forms de clclr l distnci entre ellos: ª form: Tomr n pnto de no de ellos y clclr l distnci de ese pnto l otro plno ª form: Aplicr l fórml d A D D' B C 7 UNIDAD : Geometrí eclíde. Prodcto esclr

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