H Integración Numérica

Transcripción

1 ESCUELA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS H Itegrció Numéric Ojetivo: El lumo hrá de dquirir coocimieto de diversos métodos de itegrció de fucioes. Pero demás deerá trtr los priciples métodos uméricos que se utiliz pr el cálculo proximdo de itegrles defiids. Idepedietemete de que e l práctic se utilice medios iformáticos pr oteer el resultdo de ests itegrles. Itroducció: E l myorí de los cálculos de Igeierí o es ecesrio oteer el resultdo excto de ls itegrles defiids, es suficiete u ue proximció de ells. Esto se puede coseguir por medio de l sum de los productos de los vlores que tom l fució itegrr e ciertos putos predetermidos, y de uos coeficietes. Hy dos clses de métodos que dee distiguirse: I. Los métodos de tipo iterpoltorio, que os coducirá ls Fórmuls de Newto-Cotes; II. Los métodos sdos e l cudrtur gussi. H. Métodos de tipo iterpoltorio. Se u fució f(x), que pr simplificr l cosiderremos cotiu e el itervlo [,], l itegrl defiid f ( x) represet el áre compredid etre l curv y = f(x) y el eje OX, co su respectivo sigo (positivo, pr ls regioes e ls que l curv se hlle por ecim de OX, y egtivo, pr ls regioes e ls que l curv se hlle por dejo de OX).

2 Apoyádose e est defiició, l proximció uméric de u itegrl defiid es u tre muy simple. E u primer proximció, podemos tomr u puto itermedio c e el iterior del itervlo [, ], tl como se preci e l figur: Etoces el vlor de l itegrl podrí proximrse l sum de ls áres de los dos rectágulos: f ( x) f ( ) c f ( ) c Es u proximció muy urd, si emrgo l importci está e l estructur de l fórmul de proximció. Pues ie, u form más geerl, llmd fórmul geerl de proximció uméric, oteid l tomr o uo sio vrios putos itermedios del itervlo [, ], es l siguiete: f ( x) i. f ( xi ) E( f ) {} i0 Siedo x 0 =, x =, los dos extremos, y siedo i l distci etre el i-ésimo puto itermedio y el terior. E cuto E(f ) represet el error cometido e est proximció, que hrá que itetr que se el meor posile. Teiedo e cuet que l fució f(x) puede proximrse por medio de u poliomio iterpoltorio p(x) co u error de ε(x): f(x) = p(x) + ε(x) E cocreto, si utilizmos el poliomio de iterpolció de Lgrge: p( x) f ( xi ). Li ( x) i0 co L ( x) i x x x j0 i j ji Siedo L i (x) el multiplicdor i-ésimo del poliomio de Lgrge, etoces podremos expresr l itegrl defiid de l siguiete mer: j x

3 f ( x) p( x) ( x) f ( x ). L ( x) ( x) i0 i f ( x ) L ( x) ( x) i i i0 i Que si lo comprmos co l fórmul geerl de proximció {}, llegmos l coclusió siguiete: f ( x) i. f ( xi ) E( f) i0 i Li ( x) ; E( f ) ( x) De dode se otiee ls fórmuls de itegrció uméric de tipo iterpoltorio. Ests fórmuls depede del úmero de putos del soporte de itegrció, por ejemplo: A) Soporte de itegrció uitrio. E cso de tomr u solo puto, {x 0 }, como soporte de itegrció, el poliomio de iterpolció es de grdo 0, o se: p(x) = f(x 0 ) Como cso especil, si tommos como úico puto del soporte l puto medio del itervlo x 0 = ( + )/, oteemos l llmd fórmul del puto medio: f ( x) f ( ) /.( ) Que gráficmete equivle : 3

4 B) Soporte de itegrció irio. E cso de tomr dos putos, {x 0, x }, como soporte de itegrció, el poliomio de iterpolció vedrá expresdo por: p( x) f ( x ) f x, x.( x x ) (Hemos expresdo el poliomio de Newto pr myor clridd). Etoces l fórmul de itegrció qued: f ( x) f ( x ) f x, x.( x x ) E( f ) ( x0 ) ( x0) f ( x0)( ) f x0, x E( f) Como cso prticulr, podemos tomr los dos putos coicidetes co los extremos del soporte, es decir {x 0 =, x =}, etoces teemos l fórmul: f ( x) f ( ) f ( ).( ) Coocid como l fórmul del trpecio, cuy iterpretció gráfic se ve e l figur de jo.

5 H. Fórmuls de Newto-Cotes E ls fórmuls de tipo iterpoltorio, si tommos los putos x i igulmete espcidos lo lrgo del soporte [, ], oteemos ls llmds fórmuls de Newto-Cotes. Es decir, dividimos el segmeto [, ] e prtes igules, cd u co u logitud de h = ( )/, etoces los putos se ecotrrá e x i = + i.h. Aquí hy que hcer u distició etre: * Fórmuls cerrds de Newto-Cotes * Fórmuls ierts de Newto-Cotes Fórmuls cerrds de Newto-Cotes: E ells se icluye etre los putos x i los dos putos extremos y. De tl modo que el soporte de putos qued: S xi i. h, h, i 0,,,..., Por ejemplo, pr u soporte de 3 putos, tedrímos: x0, x, x El lumo puede compror por sí mismo (itegrdo el poliomio iterpoltorio) que e este cso l fórmul de Newto-Cotes qued de l form: f ( x) f ( ) f f ( ) 6 Que es l deomid fórmul de Simpso. Fórmuls ierts de Newto-Cotes: E ells se excluye los putos extremos y del soporte de putos x i. De tl modo que éste qued: S xi i. h, h, i,,..., Por ejemplo, pr u soporte de putos, tedrímos:, x x 3 3 El lumo puede compror por sí mismo (itegrdo el poliomio iterpoltorio) que e este cso l fórmul de Newto-Cotes qued de l form: 5

6 f ( x) f ( ) f 3 3 Grdo de precisió: Ls fórmuls de Newto-Cotes reotiee l itegrr los poliomios iterpoldores de Lgrge de grdo, cuy fució de error cotiee l derivd (+) de l fució itegrdo. Por cosiguiete, ests fórmuls tiee u grdo de precisió de, l meos,. Por ejemplo, el error pr l fórmul de Simpso es: k ( ) E( f) 80m 5 siedo m el úmero de putos del soporte (m=3), y k es l cot superior de los vlores f iv) (x) pr los x i e el itervlo (, ). Icoveiete: El icoveiete de ls fórmuls de Newto-Cotes es que ecesitmos coocer el vlor que tom l fució itegrdo, f(x), e cd uo de los putos x i del soporte. Esto está muy ie si l fució f(x) es ie coocid, pero o siempre es este el cso. Además, depediedo de l form de f(x), pr cierts fucioes co picos proucidos, etc, tomr los x i igulmete espcidos puede o ser l mejor elecció. H3. Fórmuls de cudrtur gussi. Ls fórmuls de cudrtur gussi o tom los putos x i del soporte igulmete espcidos, sio que se escoge de tl mer que el error E se el míimo posile, y por lo geerl los putos o está igulmete espcidos. Pr estlecerls se prte de l y coocid fórmul {} de proximció uméric: f ( x). f ( x ) E( f ) i0 i i Siedo: L ( x) ; E( f ) ( x) i i Y hor cosidermos los putos xi escogidos de tl form que E(f ) se míimo. Puede comprorse que l codició de míimo pr E(f ) se d e l solució del siguiete sistem: 6

7 k ( x) x 0, ( k 0,,,..., ) {} Co ( x) ( x x ) Osérvese que {} represet u sistem de ecucioes, por ejemplo pr el cso de tres putos x 0, x, x, result el sistem de tres ecucioes: i0 i {3} ( x x0 ) ( x x ) ( x x) 0 ( x x0 ) ( x x ) ( x x) x 0 ( x x0 ) ( x x) ( x x) x 0 El icoveiete de resolver u sistem de ecucioes de este tipo está e que los térmios de l izquierd so poliomios de grdo curto, etoces l resolució o es secill. Si emrgo, l vetj está e que siempre que tomemos el cso de 3 putos os ecotrmos co el mismo sistem de ecucioes expresdo e {3}, (oservemos que es idepediete de l fució f(x) ), lo úico que cmi de u cso otro so los extremos y. Hy más de u form de proceder, osotros quí seguiremos el método de Guss- Legedre que cosiste e relizr u trsformció del itervlo de itegrció, de tl mer que: [, ] [-, +] {} Y posteriormete resolver el sistem {3} pr putos e [-, +]. A cotiució se estlece e u tl tto los vlores x i del soporte como los de los coeficietes i de {}, pr distits posiiliddes (=, 3,, ). Es tl os servirá pr siempre, segú el que escojmos, los vlores de l fórmul {} los copiremos de l tl (ver pági siguiete). Previmete deemos relizr l trsformció {}, lo cul se hce co el siguiete cmio: U vez relizdo el cmio, se tiee: ( ) t x dt 7

8 ( ) t f ( x) f dt Y es hor cudo cosultremos l tl de jo pr oteer el resultdo de l itegrl f ( t ) dt. Putos x i Coeficietes i Ejemplo de plicció: Cudro de solucioes cudrtur gussi pr f ( t) dt Como u ejemplo de plicció vmos clculr por este método l siguiete itegrl: 3/ e x Primero, medite u soporte de putos, o se =. Hcemos el cmio idicdo: t 5 x, dt L trsformció {} correspodiete es:.5 ( t 5) x 6 e e dt ( ) ( ) e e

9 E segudo lugr, utilizremos u soporte co =3 pr oteer u mejor proximció..5 ( t5) x 6 e e dt ( ) (05) 6 6 [ e e ( ) e Este último resultdo tiee y u exctitud de 6 decimles, stte ceptle e l myorí de los csos. 9