Algunos Algoritmos Sobre Gráficas

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1 Arturo Díz Pérz Algunos Algoritmos Sor Gráis Arturo Díz Pérz Sión Computión Dprtmnto Ingnirí Elétri CINVESTAV-IPN A. Instituto Politénio Nionl No. 08 Col. Sn Pro Ztno Méxio, D. F. CP 0700 Tl. () Ext. 7 -mil: GrphAlg- Contnio Gráis Dirigis Rorrio n Prouni (Dpth-irst srh) Gráis Dirigis Aílis (DAG) Pru Aili Componnts Furtmnt Conts Orn Topológio Los Cminos más Cortos s un Orign Los Cminos más Cortos ntr C Pr Vértis El Cntro un Gro Gráis No Dirigis Arols Gnrors Costo Mínimo Algoritmo Prim GrphAlg- Análisis y Complji Algoritmos

2 Arturo Díz Pérz Gros Dirigios Un grái irigi o igro s un strutur (V, A) on V s un onjunto lmntos llmos értis, y A s un onjunto prs ornos (,w) llmos ros o rists. S (,w) un ro un igro G, ést s xprs runtmnt por w y s iuj omo: w S i qu l ro w, y qu w s ynt. GrphAlg- Gros Dirigios Un mino n un igro s un suni értis,,..., n, tl qu, (, ), (, ),..., ( n-, n ) son ros. Est mino n y ps por,,..., y n-. L longitu un mino s l númro ros n él. Un mino qu onst un sólo érti s un mino longitu 0. Un mino s simpl si toos sus értis, xpto posilmnt l primro y l último, son irnts. Un ilo simpl s un mino simpl longitu myor o igul y qu inii y trmin n l mismo érti. Un igro tiquto s un igro n l ul sus értis y/o rists tinn soi un tiqut. Un tiqut s un lor ulquir tipo. GrphAlg-4 Análisis y Complji Algoritmos

3 Arturo Díz Pérz Ejmplo V V V V V4 G = (V,A) V = { V,V,V,V 4,V A = { (V,V ), (V,V ), (V,V 4 ), (V,V ), (V,V ), (V,V 4 ), (V,V ), (V,V ) Cminos Longitu C = V, V, V, V 4 simpl C = V, V, V,, V, V, V no simpl C = V, V simpl C 4 = V, V, V,V ilo simpl GrphAlg- Mtris Ayni V V V V V4 V M[, w] = 0 V V V V 4 V 0 0 V V V V si xist un ro (, w) n soontrrio V V V V V 4 V V V V 4 V GrphAlg-6 Análisis y Complji Algoritmos

4 Arturo Díz Pérz Lists Ayni V V V V V4 L ={ w V (, w) A 4 4 GrphAlg-7 Rorrio n Prouni Supong qu s tin un gro irigio G n l ul toos los értis s mrn iniilmnt omo no isitos. El rorrio n prouni slion un érti G omo érti iniil; y s mr omo isito. C érti ynt no isito s isit n turno, usno l rorrio n prouni rursimnt. Un z qu toos los értis qu s lnzn s hn sio isitos, l rorrio s s h trmino. Si lgunos értis G prmnn omo no isitos, s slion un érti no isito omo nuo érti iniil. S rpit l proso hst qu toos los értis G hn sio isitos. GrphAlg-8 Análisis y Complji Algoritmos 4

5 Arturo Díz Pérz Rorrio n Prouni Supongmos qu pr érti xist un list értis ynts, L[]. Supongmos más qu n un rrglo Mr s ini si un érti h sio isito o no isito. GRAFO.h: typ... VERTICE; typ... LISTA_ADYACENTES; typ... GRAFO;.. DFS.C: #inlu "GRAFO.h" #in VISITADO... #in NO_VISITADO... #in MAX_VERTICE... int Mr[MAX_VERTICE]; GrphAlg-9 Rorrio n Prouni oi DFS( VERTICE V ) { VERTICE W; Mr[V] = VISITADO; or( érti w n L[V] ) i( Mr[W] == NO_VISITADO ) DFS(W); min() {. or( érti l gro ) Mr[V] = NO_VISITADO; or( rti l gro ) i( Mr[V] = NO_VISITADO ) DFS(V);. GrphAlg-0 Análisis y Complji Algoritmos

6 Arturo Díz Pérz Rorrio n Prouni oi DFS( VERTICE V ) { VERTICE W; Mr[V] = VISITANDO; or( érti W n L[V] ) { i( Mr[W] == NO_VISITADO ) { List snints W <- W; DFS(W); El rho (V,W) s árol; Agrg l list snints W l V; ls i( Mr[W] == VISITANDO ) El rho (V,W) s hi trás; ls i( W n l list snints V ) El rho (V,W) s hi lnt; ls El rho (V,W) s ruzo; Mr[V] = VISITADO; GrphAlg- DFS: Ejmplo F B A E G D C Rorrio n prouni: A B C D E F G C Bosqu xpnsión l rorrio n prouni A E B 6 7 F G 4 D GrphAlg- Análisis y Complji Algoritmos 6

7 Arturo Díz Pérz DFS: Ejmplo F B A E C G D C A E B 6 7 F G 4 D Un ro árol s un ro qu ll un érti no isito. Un ro hi trás ll un snint un nstro propio. Un ro hi lnt ll un nstro un snint propio Un ro ruzo s un ro qu ntr értis qu ni son snints ni nstros uno l otro. GrphAlg- Rorrio n Prouni int tim = 0; min() {. or( érti l gro ) { Mr[V] = NO_VISITADO; Ini[V] = α; or( rti l gro ) i( Mr[V] = NO_VISITADO ) DFS(V);. GrphAlg-4 Análisis y Complji Algoritmos 7

8 Arturo Díz Pérz Rorrio n Prouni oi DFS( VERTICE V ) { VERTICE W; Mr[V] = VISITANDO; tim = tim + ; Ini[V] = tim; or( érti W n L[V] ) { i( Mr[W] == NO_VISITADO ) { DFS(W); El rho (V,W) s árol; ls i( Mr[W] == VISITANDO ) El rho (V,W) s hi trás; ls i( Ini[V] < Ini[W]) El rho (V,W) s hi lnt; ls El rho (V,W) s ruzo; Mr[V] = VISITADO; GrphAlg- Gro Dirigios Aílios Un gro irigio ílio (DAG) s un gro irigio n l qu no xistn ilos. Los gros irigios ílios son más gnrls qu los árols pro mnos gnrls qu los gros irigios ritrrios. Ejmplo Rprsntión l strutur sintáti xprsions ritmétis on xprsions omúns ( ( + ) * + ( ( + ) + ) * ( + ) ) * ( ( + ) * ) GrphAlg-6 Análisis y Complji Algoritmos 8

9 Arturo Díz Pérz DAG Ejmplo ( ( + ) * + ( ( + ) + ) * ( + ) ) * ( ( + ) * ) * + * * GrphAlg-7 Pru Aili S G = (V, A) un gro irigio. G tin un ilo, si y solo si, s nuntr un ro hi trás n l rorrio n prouni. Clrmnt, si s nuntr un ro hi trás n l rorrio n prouni, G tin un ilo. u GrphAlg-8 Análisis y Complji Algoritmos 9

10 Arturo Díz Pérz Pru Aili Supongmos qu G s ílio. Supongmos qu l hr l rorrio n prouni G, los értis s n numrno onsutimnt onorm llos s n mrno. S l érti on l numrión más pquñ los értis qu prn n un ilo G. Y qu stá n un ilo, onsir un ro (u, ), n l ilo. u str n l ilo tmién y tnr un numrión myor. Por lo tnto, u sr un snint n l osqu xpnsión l rorrio n prouni. El ro (u, ) no pu sr un ro árol ni un ro hi lnt. Tmpoo pu sr un ro ruzo. Por lo tnto, (u, ) sr un ro hi trás. u GrphAlg-9 Componnts Furtmnt Conts S G = (V, A) un gro irigio. S in l rlión R, tl qu, (, ) R, si y solo si, xist un mino y xist un mino. R s un rlión quilni inu un prtiión sor V. Sn V i, i =,..., k ls lss quilni. S inn los onjuntos A i = { (, ) A, V i, sto s, los ros qu sln y llgn mimros l mism ls quilni. Los gros G i = (V i, A i ), i =,..., k s llmn ls omponnts urtmnt onts G. Sn V R = {V i i =,..., k y A R = { (V i, V j ) V i y V j tls qu (, ) A A G R = (V R, A R ) s l llm l gro ruio G. GrphAlg-0 Análisis y Complji Algoritmos 0

11 Arturo Díz Pérz Componnts Furtmnt Conts Gro irigio Componnts urtmnt onts,, Gro Ruio GrphAlg- Componnts Furtmnt Conts S G = (V, A) un gro irigio. Ejutr l rorrio n prouni G y numrr los értis n l orn n qu s ompltn sus llmos rursios. Construir un nuo gro G r inirtino l irión ro G, sto s, G r = ( V, A r ), on A r = { (, ) (, ) A Ejutr l rorrio n prouni G r mpzno n l érti on l numrión más lt otni n l primr pso. C árol n l osqu xpnsión l rorrio n prouni G r s un omponnt urt G. GrphAlg- Análisis y Complji Algoritmos

12 Arturo Díz Pérz Componnts Furtmnt Conts 4 G r 4 GrphAlg- Orn Topológio S G = (V, A) un gro irigio ílio. El orn topológio s l proso signr un ornminto linl los értis G, tl qu, si (i, j) A, ntons, i pr nts qu j, n l ornminto linl. Un orn topológio s pu otnr, n orm inrti, listno érti uno l rorrio n prouni sus snints h trmino. GrphAlg-4 Análisis y Complji Algoritmos

13 Arturo Díz Pérz Orn Topológio oi topsort ( VERTICE V ) { VERTICE W; Mr[V] = VISITADO; or( C érti W n L[V] ) { i( Mr [W] == NO_VISITADO ) topsort( W) print("....", V); C C C C C C C4 C C4 - C C C C4 C - C C4 C C C C C C C C4 C GrphAlg- Los Cminos Más Cortos Ds Un Orign S G = (V,A) un gro n l ul ro tin soi un tiqut l ul s un lor no ngtio nomino osto. En l gro xist un érti qu s ono omo l orign. El osto un mino n l gro s in omo l sum los ostos n sus ros. El prolm s nontrr los minos más ortos ( mnor osto) s l orign ulquir otro érti l gro. GrphAlg-6 Análisis y Complji Algoritmos

14 Arturo Díz Pérz Algoritmo Dijkstr Supongmos qu G = (V,A) s tl qu V = {,..., n n on s l orign y C s tl qu C[i,j] s l osto l ro qu i j. En pso l lgoritmo s mntin un onjunto értis, S, uy istni más ort s l orign y s ono. En pso, s grg S uno los értis rstnts,, uy istni s l orign s tn ort omo s posil. El lgoritmo nuntr l mino más orto l orign qu ps únimnt por értis n S. Trmin uno S inluy toos los értis. GrphAlg-7 Algoritmo Dijkstr oi Dijkstr( oi ) { s = {; or( i = ; i <= n; i++ ) D[i] = C[,i]; or( i = ; i <= n-; i++ ) { lgir l érti w n V-S, tl qu, D[w] s mínimo grgr w S; or( érti n V-S ) D[] = min( D[], D[w] + C[w,] ) GrphAlg-8 Análisis y Complji Algoritmos 4

15 Arturo Díz Pérz Algoritmo Dijkstr Itrión S w D[] D[] D[4] D[] P[] P[] P[4] P[] { {, {,, {,,4, {,,4,, GrphAlg-9 Los Cminos Más Cortos Entr C Pr S G = (V,A) un igro n l ul ro tin soio un osto no ngtio. El prolm s hllr pr ulquir pr értis (,w) l mino más orto w. 8 GrphAlg-0 Análisis y Complji Algoritmos

16 Arturo Díz Pérz Algoritmo Floy G = (V,A), V = {,..., n, y C[i,j] s l osto l ro qu i j. El lgoritmo álul l sri mtris 0 si i = j A o ( i, j) = C[ i, j] si i j. A k [i,j] = min( A k- [i,j], A k- [i,k] + A k- [k,j] ) A k [i,j] signii l osto l mino más orto qu i j y qu no ps por lgún érti myor qu k. i A k- [i,j] j A k- [i,k] A [k,j] k- k GrphAlg- Algoritmo Floy A k [i,j] = min( A k- [i,j], A k- [i,k] + A k- [k,j] ) Signii l mino más orto qu i j sin psr (ntrr y slir) por un érti on númrión myor qu k. El ojtio s lulr A n [i,j] GrphAlg- Análisis y Complji Algoritmos 6

17 Arturo Díz Pérz Algoritmo Floy: Ejmplo 8 A α α 0 A A α 0 A GrphAlg- Ruprión Cminos 8 A α α 0 A α 0 A A P P P P GrphAlg-4 Análisis y Complji Algoritmos 7

18 Arturo Díz Pérz El Cntro un Gro S G = (V,A) un gro irigio on mtriz ostos C. S V un érti l igro. L xntrii s in omo máx( l W longitu l mino más orto w ) El ntro un gro s l érti on l mínim xntrii. GrphAlg- El Cntro un Gro Enontrr l ntro un igro s pu rlizr plino los psos siguints: Aplir l lgoritmo Floy pr nontrr l longitu los minos más ortos ntr ulsquir pr értis. El rsulto s rprsnt n l mtriz A. Hllr l osto máximo n olumn i. Esto proporion l xntrii l érti i. Hllr l érti on l mínim xntrii. Esto proporion l ntro G. GrphAlg-6 Análisis y Complji Algoritmos 8

19 Arturo Díz Pérz El Cntro un Gro A mx l ntro l gro s GrphAlg-7 Gros No Dirigios Un gro no irigio s un strutur (V, A), on, V s un onjunto inito lmntos llmos értis, y A VxV s un onjunto prs ornos (u, ) llmos ros o rists qu umpl on l propi simtrí, sto s, Si (u, ) A (, u) A GrphAlg-8 Análisis y Complji Algoritmos 9

20 Arturo Díz Pérz Gros No Dirigios: Rprsntión Mtriz yni Lists yni GrphAlg-9 Arols Gnrors S G = (V, A) un gro onto n l ul ro (u, ) tin soio un osto (u, ). Un árol lir A s un sugro G qu s ílio. Un árol gnror pr G s un árol lir qu ont toos los értis n V. El osto un árol gnror s l sum los ostos ros n l árol. Un prolm intrsnt s nontrr l árol gnror un grái osto mínimo. GrphAlg-40 Análisis y Complji Algoritmos 0

21 Arturo Díz Pérz Arols Gnrors Gro no irigio Arol gnror osto mínimo GrphAlg-4 Arols Costo Mínimo: Propi S G = (V, A) un gro inio omo nts. S U lgún suonjunto propio l onjunto értis V. Propi: Si (u, ) s l ro mnor osto tl qu u U y V-U, ntons, xist un árol gnror osto mínimo qu inluy (u, ) omo ro. GrphAlg-4 Análisis y Complji Algoritmos

22 Arturo Díz Pérz Arols Costo Mínimo: Propi Dmostrión Supong qu no xist árol gnror osto mínimo lguno pr G qu inluy (u, ) omo ro. (u, ) l ro mnor osto S T ulquir árol gnror osto mínimo pr G. El grgr (u, ) T introuir un ilo y qu T s un árol lir. Est ilo inolur l ro (u, ). Así xistir otro ro (u', ') tl qu u U y ' V-U Al orrr l ro (u', ') s romp l ilo y prou un árol gnror T' uyo osto no s myor qu l osto T y qu s supuso qu (u, ) <= (u', '). Así, T' ontri l suposiión qu no xist árol gnror osto mínimo qu inluy (u, ). GrphAlg-4 Arols Costo Mínimo u u' T ' U V-U GrphAlg-44 Análisis y Complji Algoritmos

23 Arturo Díz Pérz Algoritmo Prim Inii on l onjunto U onsistino un solo érti, ulquir. Construy un árol gnror, un ro n pso. En pso nuntr l ro osto mnor (u, ) qu ont U y V-U Agrg, l érti n V-U, U. S rpit l suni psos hst qu U=V. GrphAlg-4 Algoritmo Prim oi Prim( GRAFO G, CONJUNTO T ) { CONJUNTO_V U; VERTICE ; T = ; U = { ulquir érti G ; whil( U!= V ) { S (u,) s l ro mnor osto tl qu u U y V-U; T = T { (u,) ; U = U { ; L omplji n timpo l lgoritmo Prim s O(n ), on, n s l númro értis l gro. GrphAlg-46 Análisis y Complji Algoritmos

24 Arturo Díz Pérz Algoritmo Prim: Ejmplo Gro originl ) ) ) ) ) GrphAlg-47 Algoritmo Kruskl Inii on un osqu árols onsistino un érti uno. Construy un árol gnror, un ro n pso. En pso nuntr l ro osto mnor (u, ) qu ont un árol on otro. Mzl los árols u y n uno solo Agrg (u, ) l árol gnror S rpit l suni psos hst qu l osqu onsist un solo árol. GrphAlg-48 Análisis y Complji Algoritmos 4

25 Arturo Díz Pérz Algoritmo Kruskl oi Kruskl( GRAFO G, CONJUNTO T ) { CONJUNTO_V U; VERTICE ; T = ; or( érti G ) onstruy un árol on ; Orn los ros G n orn no rint; whil( Hy más un árol ) { S (u,) s l ro mnor osto tl qu l árol u s irnt l árol ; Mzl los árols u y n uno solo; T = T { (u,) ; GrphAlg-49 Algoritmo Kruskl: Ejmplo Gro originl ) ) 4 4 ) ) ) GrphAlg-0 Análisis y Complji Algoritmos

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