Prueba de asociación de dos variables cualitativas

Transcripción

1 Pruba d asociación d dos variabls cualitativas Dscripción Esta pruba s aplica n disños d invstigación n los qu s studia a un único grupo d individuos dond a cada uno d llos s han mdido simultánamnt dos variabls cualitativas. El rsultado dl rcunto d ambas variabls s vacía n las cldillas d una tabla compusta por rnglons y columnas a la qu s llama tabla d contingncia o d dobl ntrada. La pruba compara la distribución d frcuncias obsrvada n las cldillas (Fo) con una distribución tórica llamada distribución d frcuncias sprada (F) El procdiminto d la pruba incluy l cálculo d la distribución d frcuncias tórica o sprada (F). Esta distribución rprsnta la forma n qu qudarían rpartidas las frcuncias n las cldillas d la tabla d contingncia, bajo la suposición d qu ambas variabls no s asocian. El propósito d la pruba s avriguar si xistn difrncias stadísticamnt significativas ntr la distribución obsrvada (Fo) y la distribución sprada (F). En la pruba s plantan las siguints hipótsis stadísticas: Hipótsis stadística nula: Hipótsis stadística altrna: Ho: Fo = F Ha: Fo F El procdiminto d la pruba incluy l cálculo d la mdida d rsumn llamada Chi cuadrada. El rchazo d la Ho ocurr cuando l valor calculado con los datos rsulta mayor qu l valor crítico d dicha mdida contnido n una tabla llamada Valors Críticos d Chi cuadrada. En l caso d qu s haya podido rchazar a la Ho, s dic qu xist asociación ntr las dos variabls mdidas al grupo d individuos. En l caso d qu l valor d Chi cuadrada calculada sa igual o mnor al d Chi cuadrada crítica s dic qu no s rchaza a la Ho y, por tanto, s concluy qu la Fo s smjant a la F. Por lo antrior, s concluy qu no parc xistir asociación ntr las dos variabls studiadas n l grupo d individuos. Ejmplo dsarrollado A un grupo d 90 studiants d studiants d licnciatura l furon mdidas simultánamnt dos variabls cualitativas: orintación política d sus padrs y tipo d ducación primaria rcibida. A las variabls corrspondiron las siguints scalas d modalidads: Orintación política d los padrs Consrvadora Modrada Libral Tipo d ducación primaria rcibida Rígida Modrada Flxibl 91

2 A continuación s mustra un listado parcial d la bas d datos: Estudiant No. Orintación política d los padrs Tipo d ducación primaria rcibida 1 Consrvadora Rígida Consrvadora Rígida 3 Libral Rígida 4 Modrada Libral Libral Flxibl 88 Modrada Modrada A partir d la bas d datos s contaron los casos y s acomodaron n una tabla como la siguint: Frcuncias obsrvadas (Fo) Orintación Tipo d ducación primaria rcibida política d los padrs Rígida Modrada Flxibl Totals Consrvadora Modrada Libral Totals Por contar con trs rnglons y trs columnas para los datos, la tabla tuvo nuv cldillas para anotar la distribución obsrvada d los casos (Fo). En la tabla s ncontró qu ntr los studiants cuyos padrs tnían orintación política consrvadora hubo prdominio d ducación primaria d tipo rígida; por otro lado, ntr los studiants cuyos padrs tnían orintación política libral prdominó la ducación d tipo flxibl; finalmnt, s obsrvó qu no había prdominio d algún tipo d ducación primaria ntr los studiants cuyos padrs tnían orintación política d tipo modrada. En términos coloquials podría dcirs qu a orintación política consrvadora corrspondió ducación rígida y qu a orintación política libral corrspondió ducación flxibl. S supuso qu, n l caso d qu no xistira ninguna asociación ntr la orintación política d los padrs y l tipo d ducación primaria rcibida por los studiants, la distribución d los alumnos no habría mostrado la tndncia rcién dscrita. 9

3 Para fctuar un contrast ntr la distribución obsrvada (Fo) y la distribución sprada bajo la suposición d qu no xistira asociación (F) s fctuó l cálculo d sta última distribución. A continuación s mustran los rsultados dl cálculo d la F: Frcuncias spradas bajo la suposición d no asociación (F) Orintación Tipo d ducación primaria rcibida política d los padrs Rígida Modrada Flxibl Totals Consrvadora Modrada Libral Totals El cálculo d la frcuncia sprada para cada una d las cldillas s hizo con la siguint fórmula: = ( tmr )(tmc) tt dond: = frcuncia sprada para una cldilla dtrminada tmr = total marginal dl rnglón d dicha cldilla tmc = total marginal d la columna d la misma cldilla tt = total d casos d toda la tabla Obsérvs cómo s fctuó l cálculo d la frcuncia sprada () para la cldilla suprior izquirda qu, d momnto, solo contin a la frcuncia obsrvada (o): tmr d la cldilla = 3; tmc d la cldilla = 30 tt o gran total = 90 para la cldilla = ( tmr) ( tmc) ( tt) ( 3) ( 30) ( 90) = =

4 D la misma manra s procdió a calcular las frcuncias spradas para cada una d las dmás cldillas. Las frcuncias spradas s anotaron ntr paréntsis junto a la corrspondint frcuncia obsrvada d la siguint manra: (11) (11) (3) (30) (9) (9) (8) 30 (30) 9 (9) 31 (31) 90 Al comparar, cldilla por cldilla, las frcuncias o con las frcuncias s ncontró qu algunas vcs había notabls difrncias. Con l propósito d disponr d una mdida d rsumn qu pudira sinttizar n una sola cifra las difrncias ncontradas, s calculó l valor d la mdida llamada Chi cuadrada o también Ji cuadrada, qu s simboliza d la siguint manra χ, y cuya fórmula s la siguint: Dond: ( ) o χ =Σ Σ : Ltra griga sigma qu indica sumar todas las xprsions dl siguint tipo o : Cada frcuncia obsrvada : cada frcuncia sprada para l caso qu s stá jmplificando, los cálculos furon como sigu: ( 15 11) ( 10 10) ( 7 11) ( 10 10) ( ) ( ) ( 5 9) ( 9 9) ( 14 10) Así, l rsultado dl cálculo fu: ( o ) χ =Σ =

5 S ddujo qu si cada una d las frcuncias obsrvadas o hubira sido idéntica a su corrspondint frcuncia sprada, ntoncs cada difrncia hubira valido 0 (cro). Si llo hubira ocurrido, cada difrncia lvada al cuadrado también hubira valido cro, por tanto cada xprsión ( o ) también hubira valido cro y, finalmnt, l valor d su suma, s dcir, l valor d Chi cuadrada hubira sido cro. El valor calculado no fu cro, sino 6.3; por lo tanto s dcidió qu dbía buscars un valor crítico qu, al sr rbasado, indicaría qu la sri complta d frcuncias obsrvadas Fo y la sri complta d frcuncias spradas F ran significativamnt difrnts ntr sí. Para llo s rcurrió a un libro n dond localizó una tabla d la qu s mustra un fragmnto n sguida: Fragmnto d la tabla d valors críticos d χ Grados d librtad Valors críticos al nivl d significancia d En l mismo libro, s ncontró qu l rnglón d la columna llamada Grados d librtad n dond dbía localizars l valor crítico por rbasar corrspondía a la opración siguint: Grados d librtad (G.L.) = (Columnas -1) (Rnglons 1) En vista d qu la tabla d contingncia con los datos tnía trs rnglons y trs columnas, l rsultado d la opración fu l siguint: Grados d librtad (G.L.) = (3-1) (3 1) = () () = 4 Al ncontrar qu l valor calculado d Chi cuadrada (6.3) no rbasaba al valor crítico d Chi cuadrada (qu ra d 9.49) s concluyó qu no había una difrncia stadísticamnt significativa ntr la distribución d frcuncias obsrvadas con la distribución d frcuncias spradas; s dcir; qu la ida d qu Fo ra igual a F (Fo = F) no podría rchazars. En toda pruba d análisis stadístico la suposición d igualdad s llama hipótsis stadística nula, qu n st caso s simbolizó d la siguint forma: Ho: Fo = F; por otra part, la suposición d difrncia s llama hipótsis stadística altrna, qu n st caso s simbolizó así: Ha: Fo F. Rcordando qu la distribución sprada Fo rprsnta la suposición d qu ambas variabls no stán asociadas y, considrando qu no s pudo rchazar a la Ho: Fo = F, s concluyó qu no parcía habr 95

6 asociación ntr la orintación política d los padrs y l tipo d ducación primaria qu rcibiron los studiants. La antrior conclusión fu rdactada así: No s rchazó a la Ho (p > 0.05). Procdiminto 1. Confirmar qu l propósito dl studio consist n valuar la asociación ntr dos variabls cualitativas mdidas a un grupo d individuos.. Lugo d fctuar l rcunto d los datos, disponr la distribución d frcuncias obsrvadas (Fo) n una tabla d contingncia. ( ) tmr (tmc) 3. Mdiant la fórmula = aplicada cldilla por cldilla, calcular la distribución tt sprada bajo la suposición d no asociación (F) y anotar los rsultados d los cálculos n la misma tabla d contingncia. Las sumas horizontals y vrticals d las distribucions Fo y F dbn sr idénticas. 4. Mdiant la fórmula ( ) o χ =Σ dtrminar l valor d Chi cuadrada calculada. 5. Comparar l valor d Chi cuadrada calculada con l valor d Chi cuadrada crítica, usando una tabla d valors críticos. Idntificar l rnglón d los grados d librtad (G.L.) corrspondints al númro d columnas y d rnglons d la tabla d contingncia mdiant la fórmula G.L. = (C 1) (R 1), dond C corrspond al númro d columnas y R al númro d rnglons. 6. En caso d qu l valor d Chi cuadrada calculada rbas al valor crítico d la tabla, rchazar a la hipótsis stadística nula Ho sñalando qu l nivl d significancia fu d 0.05; usualmnt s acostumbra rdactar lo antrior d la siguint forma: s rchazó Ho con una p < 0.05; n caso d qu l valor calculado haya sido igual o no hubira rbasado al valor crítico s sñala qu no fu posibl rchazar la Ho. 7. D acurdo al paso antrior, stablcr la conclusión rfrnt a si ambas variabls parcn tnr una asociación significativa o no. Problma rsulto Los siguints datos furon rcogidos por un invstigador: Casos d dsmpño scolar dficint sgún xposición crónica al plomo Exposición Dsmpño dficint crónica SI NO SI NO

7 El invstigador obsrvó qu d los 53 individuos xpustos crónicamnt al plomo 4 (79%) prsntaron dsmpño scolar dficint, mintras qu d los 51 no xpustos solo 13 (6%) tuviron dsmpño scolar dficint; a su juicio, lo antrior parcía dmostrar qu xistía una intnsa asociación ntr ambas variabls Con l propósito d imaginar cuál hubira sido la distribución d los datos suponindo qu no xistira ninguna asociación ntr las variabls, dcidió calcular la distribución d frcuncias qu s spraría ( tmr )(tmc) ncontrar bajo dicha suposición. Para llo usó la fórmula = n todas y cada una d las tt cldillas d la tabla d contingncia y anotó sus rsultados ntr paréntsis n la siguint tabla Exposición Dsmpño dficint Crónica SI NO SI 4 (8.088) 11 (4.971) 53 (53) NO 13 (6.971) 38 (4.088) 51 (51) 55 (55) 49 (49) 104 Al obsrvar qu la distribución qu obsrvó no ra d ninguna manra smjant a la qu s spraría bajo la suposición d no asociación dcidió dtrminar l valor d Chi cuadrada calculada mdiant la siguint fórmula: Sus cálculos produjron l siguint rsultado: ( ) o χ =Σ ( ) ( ) ( ) ( ) = Aunqu l valor d Chi cuadrada calculada l parció suficintmnt grand, l invstigador optó por compararlo con un valor crítico qu, si ra rbasado por l valor calculado, l prmitiría concluir qu la distribución obsrvada (Fo) no ra smjant a la distribución sprada (F) En ralidad, lo qu l invstigador staba hacindo ra probar las siguints hipótsis stadísticas: Hipótsis stadística nula: Hipótsis stadística altrna: Ho: Fo = F Ha: Fo F 97

8 El invstigador ncontró la siguint tabla d valors críticos: Fragmnto d la tabla d valors críticos d χ Grados d librtad Valors críticos al nivl d significancia d Para ubicar l rnglón corrspondint a los grados d librtad d su tabla d contingncia usó la siguint fórmula: Grados d librtad (G.L.) = (Columnas -1) (Rnglons 1) = ( -1 ) ( -1 ) = 1 En virtud d qu l valor crítico d Chi cuadrada corrspondint a un grado d librtad ra 3.84 y d qu dicho valor ra ampliamnt rbasado por l valor d Chi cuadrada calculada (30.14), l invstigador concluyó qu podría rchazar a la hipótsis stadística nula. En l rport d su studio, l invstigador scribió lo siguint: para los 104 individuos studiados, s ncontró asociación stadísticamnt significativa ntr la xposición crónica al plomo y l dsmpño scolar dficint (p < 0.05). El símbolo ntr paréntsis s rfir a qu xist un risgo d quivocars al asgurar qu xist dicha asociación d un tamaño mnor a 0.05 (o, n porcntaj, mnor al 5%). Problmas a rsolvr Problma 1 S asocian ambas variabls? Lvantadors d psas sgún régimn d ntrnaminto y capacidad aróbica Capacidad aróbica Régimn d ntrnaminto Mínima Rgular Suficint Ligro Modrado Intnso

9 Problma Cuál alimnto s asoció con la diarra? Ingstión Prsntación d diarra d sopa NO SI Totals NO SI Ingstión Prsntación d diarra d arroz NO SI Totals NO SI Ingstión Prsntación d diarra d Mol NO SI Totals NO SI