Fracción: Una fracción consta de dos números enteros dispuestos de esta forma:

Transcripción

1 TEMAS 3 Y 4: FRACCIONES Y DECIMALES Fracción: Una fracción consta de dos números enteros dispuestos de esta forma: a es el numerador e indica las partes que se toman. b es el denominador e indica las partes en que se divide la unidad (b distinto de cero). Así, por ejemplo, en la fracción el denominador, 4, indica que la unidad se divide en 4 partes iguales y de ellas se toman las que indica el numerador, 3. Significados de una fracción: a) Como una parte de la unidad: Se divide a la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y se toman las partes que indique el numerador. b) Como una división: El numerador es el dividendo y el denominador es el divisor. c) Como un operador: Cuando hay que hallar la fracción de un número, se multiplica la fracción por el número (se multiplica el numerador por el número y se divide el resultado entre el denominador).

2 Clases de fracciones: b): a) PROPIA: Si el numerador es menor que el denominador (a < b): b) IMPROPIA: Si el numerador es mayor que el denominador (a > (Las calculadoras suelen representar este tipo de fracciones como un número mixto que consta de parte entera el resultado entero de dividir el numerador entre el denominador- y una fracción cuyo numerador es el resto de la división anterior y el denominador es el mismo de la fracción). c) UNIDAD: Si el numerador es igual que el denominador (a = b):

3 Signo de una fracción: Como la fracción es una división, a) Si los dos términos tienen el mismo signo, el resultado es positivo. b) Si los dos términos tienen distinto signo, el resultado es negativo. Si una fracción es negativa, el signo menos se escribe delante de la fracción y nunca en el numerador ni mucho menos en el denominador. Fracciones equivalentes: Son las que tienen el mismo valor. Cómo saber si dos fracciones son equivalentes: a) Si al dividir el numerador entre el denominador el resultado es igual en ambas fracciones. b) Comparando si son iguales los productos cruzados. (Nota: dos fracciones iguales constituyen una proporción, por lo que podríamos haber enunciado el apartado b) de la siguiente manera: dos fracciones son equivalentes si el producto de extremos es igual al producto de medios) [(Otras formas de saber si dos fracciones son equivalentes: - Si al multiplicar una por la inversa de la otra, el resultado es 1. - Si al reducirlas a común denominador, son iguales. - Si ambas tienen la misma fracción irreducible (porque, en realidad, son el mismo nº racional)]

4 Cómo obtener fracciones equivalentes. a) Por amplificación: Multiplicando a los dos términos de la fracción por un mismo número. b) Por simplificación: Dividiendo, si se puede, a los dos términos de la fracción por un mismo número. Si una fracción no se puede simplificar se llama IRREDUCIBLE. Para obtener una fracción irreducible se dividen el numerador y el denominador por el mcd de ambos. [Propiedad fundamental: si a los dos términos de una fracción se les multiplica o divide por un mismo número resulta una fracción equivalente]. Reducir fracciones a común denominador: Se trata de obtener fracciones equivalentes a las dadas, cuyosdenominadores sean el mínimo común múltiplo de los denominadores primeros y los numeradores se obtengan dividiendo el denominador común entre cada denominador inicial y multiplicando el resultado por su correspondiente numerador. EJEMPLO: Reduce estas fracciones a otras dos con el mismo denominador:

5 La reducción de fracciones a común denominador se utiliza para comparar fracciones y para sumarlas y restarlas.

6 Comparar fracciones: a) Fracciones con el mismo denominador: Es mayor la que tenga mayor numerador. b) Fracciones con el mismo numerador: Es mayor la que tenga menor denominador. c) Fracciones con distinto denominador: Se reducen a común denominador y será mayor aquélla cuya fracción equivalente tenga mayor numerador.

7 Sumar y restar fracciones: Para sumar o restar fracciones se reducen a común denominador, hallando el mcm de los denominadores, dividiendo éste (el mcm) entre los denominadores iniciales y multiplicando cada cociente por el correspondiente numerador. El resultado es una fracción cuyo numerador es la suma o resta de los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas y cuyo denominador es el mcm de los denominadores que ya habíamos calculado. El resultado final siempre se simplifica, si se puede dividir al numerador y al denominador por un mismo número hasta obtener la fracción irreducible. (Recuerda que la forma elegante, matemáticamente hablando, de obtener la fracción irreducible es dividiendo al numerador y al denominador por el mcd de ambos). Si hay que sumar o restar una fracción con un entero, se considera al entero como una fracción con denominador 1.

8 Producto de fracciones: Es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. División de fracciones: Para dividir fracciones se multiplica la primera (dividendo) por la inversa de la segunda (divisor). El resultado final siempre se simplifica si se puede dividir al numerador y al denominador por un mismo número.

9 Problemas aritméticos con fracciones Se pueden presentar varios casos: a) La fracción de un número. Para calcular la fracción de un número se multiplica la fracción por el número. EJEMPLO: Ángel se gasta el sábado las 2/3 partes de su paga semanal, que es de 30. Cuánto se ha gastado? 2/3 de 30 = 2/3 30 = 20 b) Calcular el total sabiendo cuánto es una parte. EJEMPLO: Pepa se ha gastado durante el fin de semana 32, que constituyen las 2/5 partes de su paga mensual. A cuánto asciende su paga mensual? Hasta que no sepamos ecuaciones, lo más apropiado es resolverlo de la siguiente manera: Como 2/5 son 32, si yo divido 32:2 obtendré cuánto es 1/5, o sea, 16. Para saber el total, que son 5/5, bastará con multiplicar una parte, un quinto, que son 16, por las partes que hay, que son 5 (5/5): 16 5 = 80. c) Cálculo de la fracción restante. Cuando te facilitan en forma de fracción lo utilizado y te preguntan por la fracción que resta, hay que proceder de la siguiente manera: a la unidad, que sería el total y se representa con una fracción con el mismo numerador y denominador que el denominador de la fracción utilizada, se le resta la fracción que te han dado. EJEMPLO: Si Pepe se ha comido los 2/7 de una tarta, qué fracción de tarta queda? A la unidad, que es el total y en este caso serían 7/7, se le resta 2/7 y obtenemos que quedan 5/7. 7/7-2/7 = 5/7

10 d) Fracción de una fracción restante. EJEMPLO: Ana se gasta el sábado 1/5 de su paga mensual y el domingo se gasta 2/3 de lo que le quedaba. Si aún tiene 16, cuál era su paga mensual? Primero hay que calcular qué fracción le queda el sábado. Para ello restamos el total, 5/5, menos lo gastado: 5/5 1/5 = 4/5. 5/5-1/5 = 4/5 También calculamos lo gastado el domingo, que serán 2/3 de 4/5, multiplicando 2/3 4/5, lo que nos da 8/15. 2/3 4/5 = 8/15 OJO! Ahora hay que calcular, en forma de fracción, cuánto suma lo gastado el sábado y el domingo: 1/5 + 8/15 = 11/15. 1/5 + 8/15 = 11/15 Como el problema nos dice lo que le queda, que son 16, habremos de hallar qué fracción le queda, restándole al total, 15/15, lo gastado: 15/15 11/15 = 4/15. 15/15-11/15 = 4/15 Si 4/15, que es lo que le queda, nos dice el enunciado del problema que son 16, dividiendo 16:4 sabremos cuánto es 1/15, o sea, : 4 = 15 El total, esto es 15/15, lo obtendremos multiplicando lo que es una parte, 1/15, que hemos calculado que es 4, por las partes que hay, que son 15 (15/15) 4 15 = 60.