PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Y TEORIA DE LA CARTERA: UNA APLICACIÓN CON MAPLE. Eva Mª del Pozo García Mª Jesús Segovia Vargas Zuleyka Díaz Martínez

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Hugo Ramírez Villalba
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1 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Y TEORIA DE LA CARTERA: UNA APLICACIÓN CON MAPLE Eva Mª del Pozo García Mª Jesús Segova Vargas Zuleyka Díaz Martíez Departameto de Ecoomía Facera y Cotabldad I Uversdad Complutese de Madrd Resume Be es sabdo que la programacó matemátca ha evolucoado otablemete e los últmos años, debdo fudametalmete a la gra capacdad de estas téccas para la modelzacó de ua ampla varedad de problemas e dversos campos y al espectacular desarrollo de la formátca, que posblta la aplcacó práctca de los algortmos. E el presete trabao se platea la programacó y resolucó de u problema típco de optmzacó matemátca aplcado a la Teoría de la Cartera utlzado para ello el programa Maple. Palabras clave: optmzacó matemátca, programacó, Teoría de la Cartera, Maple.

2 Como es sobradamete coocdo, la Teoría de carteras y la cosguete teoría del equlbro e el mercado de captales acó e 95 co u trabao de Markowtz y desarrollada a partr de etoces co u gra úmero de aportacoes debdas a prestgosos vestgadores como Tob, Sharpe, Lter etc. Nos referremos, al modelo basado e la teoría de formacó y seleccó de carteras, etededo por cartera ua determada combacó de actvos faceros. Cuado el versor forma su cartera trata de combar u couto de actvos dvduales de forma que el couto de todos ellos le garatce ua retabldad, segurdad y lqudez aceptables, obetvos que so, e certa medda, compatbles etre sí. Las dos característcas prcpales de los modelos meda-varaza so:.- El redmeto de u título o cartera se mde medate la meda o esperaza matemátca de la varable aleatora r, descrta aterormete y como medda del resgo se acepta la varaza de dcha varable..- Los versores prefere las carteras que sea Pareto-óptmas respecto a la meda y a la varaza, es decr, dadas dos carteras co el msmo redmeto esperado va a preferr aquella co meos resgo y dadas dos carteras co la msma varaza preferrá aquella co mayor redmeto esperado. E cualquer caso, co la dversfcacó se puede dsmur la varaza mateedo la msma retabldad esperada sobre todo cuado las retabldades de varos actvos esté egatvamete correlacoadas. Está claro, por lo tato, que el decsor elegrá ua cartera be dversfcada.

3 Dados x x x títulos cuyas retabldades os vee dadas por la varable aleatora Se trata de calcular la proporcó de cada título que debe coteer la cartera, para ello, deotaremos dchas proporcoes como: ω, ω, ω ( ) ( ) E = E x X σ = Var x σ = Cov x x (, ) =,,, Retabldad de la Cartera C = xω + xω + + xω ω+ ω + + ω = La Esperaza Matemátca de la cartera será: y la Varaza: ( ) ( ) E = E c = E xω + + x ω = Eω + + E ω ( ) ( ) Var c = σ = Var x ω + + x ω = σ ω + + σ ω + ωω σ ( ) c ω σ σ σ ω t ω ω σ σ σ ω ω σ σ σ ω = = = t Al ser Var( C) 0 sempre, está claro que ω ω 0 ω 0 t Así pues ω ω es ua forma cuadrátca semdefda postva y por tato la fucó es covexa Matemátcamete, las carteras óptmas so las solucoes del sguete programa multobetvo: 3

4 M Max = = σωω E ω Sueto a : ω = = ( I ) o utlzado el método de las restrccoes, resolvedo el sguete programa se demuestra que los óptmos de Pareto (sobre todo cuado el programa es covexo, como lo es e este caso) se puede obteer fado la seguda restrccó y varado E 0. Calcularemos las carteras de míma varaza. M σ ω + σωω = = Sueto a : E ω = E = = ω = 0 sedo el úmero total de valores, E y σ las esperazas matemátcas y las varazas de sus retabldades y ω la proporcó de captal vertda e el actvo Al ser u programa covexo los óptmos que se obtee so globales. L E E y resolvemos el sstema: ( ωλ, ) = σω + σωω + λ ω 0 + ω = = = = = = E =,..., = σω + σω + λ + = 0 Eω 0 = 0 ω = 0 E Las solucoes ( ω,..., ω ) del programa ( I ) so los óptmos de Pareto 4

5 Eemplo Veamos u eemplo que resolvemos para tres actvos M,3,4,8 0,93 0,6 0, ω + ω + ω3 + ωω + ωω 3+ ωω 3 Sueto a : 5,ω +,5ω + 4, 7ω = E 3 0 ω + ω + ω = 3 dode sus respectvas esperazas matemátcas y varazas so las sguetes: E = 5, E =,5 E = 4, 7 3 σ =,3 σ =, 4 σ =,8 3 σ = 0,93 σ = 0, 6 σ = 0, 3 3 formamos la fucó Lagragaa: L( ω, ω, ω, λ, λ ) =,3ω +,4ω +,8ω + 0,93ωω + 0,6ωω + 0,ω ω λ (5,ω +,5ω + 4, 7 ω E ) + λ ( ω + ω + ω ) hacemos las dervadas parcales de la lagragaa = 4, 6ω+ 0,93ω + 0, 6ω3+ 5,λ+ =,8ω + 0,93ω+ 0, ω3+,5λ+ = 3, 6ω 3 + 0, 6ω+ 0, ω + 4, 7λ+ 3 y resolvemos el sstema 4, 6ω+ 0,93ω + 0, 6ω3+ 5,λ+ = 0,8ω + 0,93ω+ 0, ω3+,5λ+ = 0 3, 6ω3 + 0, 6ω+ 0, ω + 4, 7λ+ = 0 5,ω+,5ω + 4,7ω3 E0 = 0 ω + ω + ω = 0 3 5

6 las solucoes del msmo será los óptmos de Pareto y su mage por la fucó: f ω ω = Eω σωω = = (,..., ) (, ) es la deomada frotera efcete. 6

7 Eemplo E este caso resolveremos de uevo u programa para tres actvos, de los cuales uo de ellos es u actvo lbre de resgo M, 4ω +,8 ω + 0, ω ω 3 Sueto a : 7ω +,5ω + 4,7ω = E dode 3 ω + ω + ω = E = 7 E =,5 E = 4, 7 3 σ = 0 σ =,4 σ =,8 3 σ = 0 σ = 0 σ = 0, 3 3 formamos la fucó Lagragaa: L( ω, ω, ω, λ, λ ) =,4ω +,8ω + 0,ω ω λ (7ω +,5ω + 4, 7 ω E ) + λ ( ω + ω + ω )

8 hacemos las dervadas parcales de la lagragaa = 7λ+ =,8ω + 0, ω3+,5λ+ = 3, 6ω 3 + 0, ω + 4, 7λ+ 3 y resolvemos el sstema 7λ+ = 0,8ω + 0, ω3 +,5λ+ = 0 3, 6ω3 + 0, ω + 4, 7λ+ = 0 7ω+,5ω + 4, 7ω3 E0 = 0 ω + ω + ω = 0 3 y obteemos de uevo los óptmos de pareto y su mage por la fucó: 8

9 f ω ω = Eω σωω = = (,..., ) (, ) es uevamete la frotera efcete. La eleccó de ua etre todas las carteras óptmas (detro de la frotera efcete) la realzará el decsor escogedo aquella que maxmza su utldad. 9

10 BIBLIOGRAFÍA. ALEGRE, P., BADIA, C. ORTI, F., RODON, C. SAEZ, J. SANCHO, T., TARRIO, J. y TERCEÑO, A. (99) Eerccos resueltos de matemátcas empresarales. Tomo, AC.. BALBÁS, A. y GIL, J. A. (990) Programacó Matemátca. AC. 3. BARBOLLA, R. CERDÁ, E. SANZ, P. (99) Optmzacó Matemátca: teoría, eemplos y cotraeemplos. Espasa-Calpe. 4. CABALLERO, R. E., CALDERÓN, S., GALACHE, T. PL, GONZÁLEZ, A. C., REY, Mª. L., RUIZ, F. (993) Matemátcas aplcadas a la ecoomía y a la empresa. Prámde. 5. CABALLERO, R. E., GONZÁLEZ, A. C. y TRIGUERO, S. A. (99) Métodos matemátcos para la ecoomía. Mc Graw Hll. 6. CHIANG, A. C. (99) Elemets of Dyamc Optmzato. Mc Graw Hll. 7. COSTA REPARAZ, E. (989) Matemátcas para ecoomstas. Prámde. 8. COSTA REPARAZ, E. (99) Problemas y cuestoes de matemátcas para ecoomstas. Prámde. 9. GUERRERO CASAS, F. M. (994) Curso de optmzacó. Programacó matemátca. Arel Ecoomía. 0. HERAS, A., GUTIERREZ, A., BALBÁS, A. GIL, J.A. y VILAR, J.L. (990) Programacó matemátca y modelos ecoómcos: U efoque teórco-práctco. A.C.. SYDSAETER, K. y HAMMOND, P. J. (996) Matemátcas para el aálss ecoómco. Petce-Hall. 0

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