Tema 6 Puntos, rectas y planos en el espacio

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1 Tema 6 Puntos, ectas planos en el espacio. Punto medio. Los puntos A (,, ) B (-,, -) son vétices de un paalelogamo cuo cento es el punto M (,, ). Halla Los otos dos vétices las ecuaciones del lado AB. A B son vétices consecutivos a que el punto medio de AB no es M. A B M es el punto medio de AA,, (,,) M Luego A = (,, ) B (,, ) A (,, ) M es el punto medio de BB,, (,,),, B (,,) Ecuación del lado AB vecto diección AB (, ); punto A (,,), ecuación vectoial,, (,,) (,, ) Ecuaciones paaméticas.. En este ejecicio tenemos que esolve tes ecuaciones, paa obtene el punto B. Haemos la coespondiente a la coodenada paa ve el pocedimiento. Después lo haemos con de igual manea. Pimeo pinchamos en la pestaña Opeaciones, después en Resolve Ecuación (también podemos escibi diectamente esolve). A continuación ellenaemos los huecos pulsaemos el botón de igual, obteniendo el esultado paa. Figua.

2 Matemáticas II Tema 6.. Ahoa haemos lo mismo con, obteniendo el punto Figua.. Puntos de división. Halla las coodenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tes pates iguales, siendo A (,, ) B (-,, -). Pimeo se hallaá en punto P después se hallaá el punto Q, paa ello A P Q OP OA AP OA AB OP,, ; (,,),, B,, P,, ; O Q es el punto medio de PB ( ) 8 Q,, ; Q,,. Resolveemos el vecto P el Q intoduciéndolos en Wiis como cochetes esolviéndolos como opeaciones

3 Educando con Wiis. Solucionaio de Poblemas de Matemáticas paa Segundo de Bachilleato Figua. *Paa pone los cochetes tenemos dos opciones una es con el teclado, la ota, pinchando en Opeaciones, posteiomente, en el símbolo en el que apaecen dos cochetes a los lados de un ectángulo. * Paa escibi las facciones, nos quedamos dento de la pestaña Opeaciones, pinchamos sobe el símbolo epesentado po la baa faccionaia con un ectángulo en el numeado oto en el denominado.. Ecuaciones implícitas en una ecta. Compueba que los planos se cotan halla las ecuaciones paaméticas de la ecta que deteminan. Como n (,,) n (,, ) no son popocionales, se cotan en una ecta. Las ecuaciones paaméticas de se obtienen esolviendo el sistema que foman También podemos obtene las ecuaciones paaméticas hallando el vecto diección un punto de Vecto diección de n n (,,). Tomamos (,, ). Obtenemos un punto de, haciendo po ejemplo, = d en las ecuaciones de los planos esolviendo el sistema que esulta. Obtenemos P (, -, ). Con d P escibimos las ecuaciones paaméticas de.

4 Matemáticas II Tema 6.. En este ejecicio, esolveemos el sistema. Con Wiis la solución del sistema sale en función de en ve de sali en función del paámeto, peo es la misma solución. Figua. Recodamos que paa esolve un sistema pinchamos en la pestaña Opeaciones, después en esolve sistema, indicamos en la ventana emegente cuántas ecuaciones tendá nuesto sistema ellenamos los huecos. Después pulsamos en el botón igual obtenemos la solución.. Posición de dos ectas. Estudia la posición elativa de las ectas s s 6 p (,,) ps (,,) ; s ; PP(,,) ; an( d, d s ) an d (,,) d s (,, 6) 6 s tienen distinta diección. 6 an( d, d s PP ) an 6 s se cuan. Calculamos el ango de ambas matices. Paa ello, pinchamos en la pestaña Matices, luego en el símbolo de matices, ellenamos con los datos escibimos ango, paa luego pulsa el botón igual obtene el esultado. Además, epesentaemos las dos ectas con los dos puntos que tenemos de ambas

5 Educando con Wiis. Solucionaio de Poblemas de Matemáticas paa Segundo de Bachilleato Figua. Figua 6.. Rectas que se cotan. a) Compueba que las ectas s se cotan paa cualquie valo de m. b) Halla el punto de intesección paa el caso m = 6. m m s

6 Matemáticas II Tema 6. a) an paa cualquie valo de m, a que P P(,,) ; m an m paa cualquie valo de m, s se cotan. m. Calculaemos el ango de la mati (paa hacelo pinchamos en la pestaña Matices, luego en el símbolo paa inseta una mati, indicamos cuántas filas columnas tiene, ellenamos cada hueco hasta obtene la mati tal como la vemos; po último pulsamos igual) Figua 7.. Después calculaemos el deteminante de la pimea la tecea columna (paa ello, pinchamos en la pestaña Matices, luego en el símbolo paa inseta un deteminante, escibimos cuántas filas columnas queemos que tenga, ellenamos los huecos, pulsando igual paa obtene el esultado) Figua 8.. Po último, calculamos el ango de la segunda mati, de la misma foma que la pimea 6

7 Educando con Wiis. Solucionaio de Poblemas de Matemáticas paa Segundo de Bachilleato 7 Figua 9.. Obtenemos el punto ; b) ; 6 s 6 de intesección haciendo en las ecuaciones de, o en las de s. El punto es el (,, ).. Este apatado lo esolveemos como uno de los anteioes, obteniendo la solución al sistema de ecuaciones. Figua.

8 Matemáticas II Tema 6. *Recodamos que paa esolve un sistema, pinchamos en la pestaña Opeaciones luego en esolve sistema. Escibimos que tiene tes ecuaciones, ellenamos los espacios pinchamos igual paa obtene el esultado. ** Paa inseta las letas del alfabeto giego, pinchamos como vemos en la imagen supeio en la pestaña Giego. Una ve en ella, seleccionamos la leta que queamos, automáticamente se inseta donde tengamos el cuso. 6. Posición de dos ectas que dependen de un paámeto. Estudia en función de a la posición elativa de las ectas at l at l t a d t ( a, a,); P(,, ) l ; Buscamos el vecto diecto un punto de l d l (,,) (,, a) ( a, a, ) 7 a a Paa Z = obtenemos Q,, an( d, dl ) an a a No eiste ningún valo de a paa el cual d l l ; d l sean paalelos. a a an( d, dl PQ) ana a 6a a 6 l ;. Si a 6, an( d, d PQ) l l Si a 6, an( d, d PQ) l l l lse cotan. l lse cuan. En pime luga calculamos el deteminante de la mati (paa ello escibimos la mati a continuación la seleccionamos pulsamos en el botón deteminante que se encuenta dento de la pestaña Matices ). Después, igualamos el esultado a lo esolvemos como una ecuación. 8

9 Educando con Wiis. Solucionaio de Poblemas de Matemáticas paa Segundo de Bachilleato Figua.. Po último, paa a igual a /6, el ango es mientas que paa cualquie oto es. Paa los pimeos se cotan, mientas que paa los segundos se cuan. De esta foma, lo compobamos calculando el ango de ambas matices Figua. 7. Puntos coplanaios. Se considean los cinco puntos cuas coodenadas son P (,,), P (,,), P (,, ), P (,,), P (,,). Foman pate de un mismo plano? Hallamos la ecuación del plano deteminado po P, P P P P (,,) P P (,,) Ecuación implícita del plano P (,,) 9

10 Matemáticas II Tema 6. Compobamos si los puntos P P petenecen a ese plano P (,,) ; P (,,) Los puntos P P,, P no están en un mismo plano., P P. Calculamos el deteminante e igualamos el esultado a como en el ejecicio 6 Figua. 8. Plano dado po dos ectas paalelas. Halla la ecuación del plano que contiene a las ectas siguientes Estudiamos la posición elativa de s an, an s son paalelas. Tomamos como vectoes del plano el vecto diecto de el vecto P P(,,). Con estos vectoes un punto de o s, escibimos la ecuación del plano s s P P(,,) P(,,) P 6 7

11 Educando con Wiis. Solucionaio de Poblemas de Matemáticas paa Segundo de Bachilleato. Calculamos el ango de la mati (pinchamos en la pestaña Matices, luego en el símbolo de Matices, ellenamos los huecos, escibimos delante de la mati ango, pulsamos el botón de igual tenemos el ango) Figua.. Calculamos el oto deteminante de la misma foma que el pimeo. Figua.. Po último, esolveemos el deteminante de la misma foma que en ejecicios anteioes (pinchamos en Matices, luego en el símbolo de Deteminantes, a continuación ellenamos cada hueco, paa luego pulsa igual obtene el esultado)

12 Matemáticas II Tema 6. Figua Plano dado po dos ectas secantes. Compueba que las siguientes ectas deteminan un plano halla su ecuación. tienen distinta diección como, se cotan. Tomamos como vectoes diectoes de un punto cualquiea de o P(,, ). Ecuación del plano. Calculamos el valo del deteminante tal como lo hemos hecho antes

13 Educando con Wiis. Solucionaio de Poblemas de Matemáticas paa Segundo de Bachilleato Figua 7.. Paa sabe el valo de,, calculamos el deteminante Figua 8.. Posición de ecta plano. a) Detemina a b paa que el plano a b contenga a la ecta b) Paa que valoes de a b es paalela a? c) Paa que valoes cota a? Halla el punto de cote en el caso a = b = 7. a) El vecto nomal del plano el vecto diecto de la ecta deben se pependiculaes n (,, a) d (,,),,,,

14 Matemáticas II Tema 6. n d 6 a a Un punto cualquiea de tiene que petenece a. Hacemos = paa obtene un punto b b P (,,) P b) seá paalela a si a b. c) cotaá a si a b toma cualquie valo. Paa halla el punto de cote, epesamos en paaméticas El punto que buscamos es de la foma Q (,, ) Hacemos que Q con a = b = 7 ( ) 7 Sustituimos en Q (,, ) Paa esolve este poblema no es necesaio usa Wiis, peo se ha incluido poque puede se útil paa el estudiante.. Posición de tes planos. a Indica los valoes de a paa que los tes planos a a a a) Se coten en un punto. b) Se coten en una ecta. c) No se coten. En pime luga se va a calcula el deteminante de la mati A A a a ; A a, a a) Se cotan en un punto si a a, a que, en ese caso, el sistema es compatible deteminado an( A) an( A). b) Se cotan en una ecta si a, a que an (A) an ( A). c) Si a, an ( A) an( A). El sistema es incompatible. Po tanto, los planos no tienen ningún punto en común.

15 Educando con Wiis. Solucionaio de Poblemas de Matemáticas paa Segundo de Bachilleato. En pime luga, escibimos la mati A la nombamos, a continuación igualamos el deteminante de la mati a. Después, calculamos el ango de la mati Figua 9.. Po último, escibimos la mati ampliada la nombamos, a continuación, calculamos su ango de la misma manea que en la figua anteio Figua. *Paa esolve la ecuación de segundo gado, pinchamos en la pestaña Opeaciones, luego en Resolve ecuación. Entonces, ellenamos con los datos de la ecuación que queemos esolve, pulsamos el botón igual paa obtene la solución. ** Recodamos que paa escibi una potencia, pulsamos el botón de Potencia (epesentado po un ectángulo con un cuadado en el supeíndice).

16 Matemáticas II Tema 6.. Deteminación de un plano. Dada la ecta el plano halla un plano que contenga a la ecta cote al plano en una ecta paalela al plano OXY. Llamaemos al plano buscado. Epesamos en paamética. El vecto diecto de, d (,,), es un vecto de. Un punto cualquiea de, P(,,), es un punto de. Sea s la ecta intesección de. Como s está contenida en, su vecto diecto es otogonal a n (,, ); po se paalela a OXY, es también otogonal al vecto nomal de OXY, n (,,). Po tanto, d (,,) (,,) (,,) es un vecto de. s Ecuación del plano.. De nuevo, paa esolve este ejecicio, calculaemos el deteminante Figua.. Recta que cota a otas dos. Encuenta la ecta que pasa po P (,,-) cota a las ectas l de ecuaciones l 6

17 Educando con Wiis. Solucionaio de Poblemas de Matemáticas paa Segundo de Bachilleato 7 l l l t t t l Pasamos a paamética, estudiamos la posición elativa de l, 7 9 l ),, ( l PP d d an se cuan. l Sea ),, ( c b a v el vecto diecto de la ecta buscada,, que pasa po P cota a Este vecto debe cumpli l. l 8 7 c b a c b a c a c b a Resolviendo el sistema obtenemos infinitas soluciones, que son los vectoes diectoes de c a c b a,, Tomamos uno cualquiea de ellos, con el punto P, escibimos las ecuaciones paaméticas de. Como en los ejecicios anteioes, intoduciemos los datos en la mati deteminante pulsamos el botón igual con ambas matices Figua.

18 Matemáticas II Tema 6. 8 Figua.. Po último, esolvemos el sistema de ecuaciones como en otos ejecicios anteioes Figua. Ota foma de esolve el poblema. La ecta esta deteminada po los siguientes planos Contiene a la ecta al punto P l 8 7 contiene a la ecta al punto P l Así

19 Educando con Wiis. Solucionaio de Poblemas de Matemáticas paa Segundo de Bachilleato. La ota manea de esolve este ejecicio es calcula los deteminantes e iguala el esultado a Figua. 9

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