MATRICES ELEMENTALES. Profesores Omar Darío Saldarriaga Ortíz. Hernán Giraldo

Transcripción

1 MATRICES ELEMENTALES Profesores Omar Darío Saldarriaga Ortíz Ivan Darío Gómez Hernán Giraldo 2009

2 Definición Sea E una matriz de tamaño n n, decimos que E es una matriz elemental si E se obtiene de la identidad al aplicar una operación elemental de fila. Ejemplo Las siguientes matrices son matrices elementales: A = 1 0 0, B = C =

3 Definición Sea E una matriz de tamaño n n, decimos que E es una matriz elemental si E se obtiene de la identidad al aplicar una operación elemental de fila. Ejemplo Las siguientes matrices son matrices elementales: A = 1 0 0, B = C =

4 Observaciones Como hay tres tipos diferentes de operaciones elementales, hay un número igual de tipos de matrices elementales entonces usaremos la siguiente notación. E ij denotará la matriz elemental que se obtiene al intercambiar las filas i y j de la matriz identidad. E ij(c) denotará la matriz que se obtiene al sumar c veces la fila i a la fila j de la matriz identidad. E i(c) la matriz que se obtiene al multiplicar por la constante c la fila i de la matriz identidad. Ejemplo En el ejemplo anterior tenemos que A = E 12, B = E 21(2) y C = E 2( 3).

5 Observaciones Como hay tres tipos diferentes de operaciones elementales, hay un número igual de tipos de matrices elementales entonces usaremos la siguiente notación. E ij denotará la matriz elemental que se obtiene al intercambiar las filas i y j de la matriz identidad. E ij(c) denotará la matriz que se obtiene al sumar c veces la fila i a la fila j de la matriz identidad. E i(c) la matriz que se obtiene al multiplicar por la constante c la fila i de la matriz identidad. Ejemplo En el ejemplo anterior tenemos que A = E 12, B = E 21(2) y C = E 2( 3).

6 Ejemplo Para ilustrar la invertibilidad de las operaciones elementales consideremos la matriz A = Teorema Toda matriz elemental es invertible y las inversas estan dadas por ( ) E 1 ij = E ij, E ij(c) 1 = E ij( c) y E i(c) 1 1 = E i. c

7 Ejemplo Para ilustrar la invertibilidad de las operaciones elementales consideremos la matriz A = Teorema Toda matriz elemental es invertible y las inversas estan dadas por ( ) E 1 ij = E ij, E ij(c) 1 = E ij( c) y E i(c) 1 1 = E i. c Teorema Sea A una matriz de tamaño m n y E una matriz elemental de tamaño m m asociada a una operación elemental de fila, el producto EA es la matriz que se obtiene la aplicar la operación elemental de fila a la matriz A.

8 Ejemplo Para ilustrar la invertibilidad de las operaciones elementales consideremos la matriz A = Teorema Toda matriz elemental es invertible y las inversas estan dadas por ( ) E 1 ij = E ij, E ij(c) 1 = E ij( c) y E i(c) 1 1 = E i. c Teorema Sea A una matriz de tamaño m n y E una matriz elemental de tamaño m m asociada a una operación elemental de fila, el producto EA es la matriz que se obtiene la aplicar la operación elemental de fila a la matriz A.

9 Corolario Toda matriz se puede expresar como el producto de un número finito de matrices elementales por una matriz en forma escalonada reducida. Mas concretamente, si A una matriz de tamaño m n, existen matrices elementales E 1,..., E k todas de tamaño m m y una matriz escalonada reducida A tal que A = E 1 E k A. Ejemplo Expresar la matriz A = como un producto de matrices elementales por una matriz en forma escalonada reducida.

10 Corolario Toda matriz se puede expresar como el producto de un número finito de matrices elementales por una matriz en forma escalonada reducida. Mas concretamente, si A una matriz de tamaño m n, existen matrices elementales E 1,..., E k todas de tamaño m m y una matriz escalonada reducida A tal que A = E 1 E k A. Ejemplo Expresar la matriz A = como un producto de matrices elementales por una matriz en forma escalonada reducida.

11 Inplementación al Matlab Consideremos las siguientes matrices elementales: >> E1=[1 0 0;1 1 0;0 0 1]; E2=[1 0 0;0 1 0;2 0 1]; E3=[1 0 0;0 2 0;0 0 1]; E4=[1 0 0;0 1 0;0 2 1] La matriz escalonada >> A =[1 1 0;00 1;0 0 0] >> A = E1 E2 E3 E4 A. Obtendremos la matriz de el ejemplo anterior. Lema Sea A una matriz de tamaño n n en forma escalonada reducida, entonces A es invertible si y solo si A = I.

12 Inplementación al Matlab Consideremos las siguientes matrices elementales: >> E1=[1 0 0;1 1 0;0 0 1]; E2=[1 0 0;0 1 0;2 0 1]; E3=[1 0 0;0 2 0;0 0 1]; E4=[1 0 0;0 1 0;0 2 1] La matriz escalonada >> A =[1 1 0;00 1;0 0 0] >> A = E1 E2 E3 E4 A. Obtendremos la matriz de el ejemplo anterior. Lema Sea A una matriz de tamaño n n en forma escalonada reducida, entonces A es invertible si y solo si A = I. Teorema Sea A una matriz de tamaño n n, entonces A es invertible si y solo si A se puede escribir como un producto de matrices elementales.

13 Inplementación al Matlab Consideremos las siguientes matrices elementales: >> E1=[1 0 0;1 1 0;0 0 1]; E2=[1 0 0;0 1 0;2 0 1]; E3=[1 0 0;0 2 0;0 0 1]; E4=[1 0 0;0 1 0;0 2 1] La matriz escalonada >> A =[1 1 0;00 1;0 0 0] >> A = E1 E2 E3 E4 A. Obtendremos la matriz de el ejemplo anterior. Lema Sea A una matriz de tamaño n n en forma escalonada reducida, entonces A es invertible si y solo si A = I. Teorema Sea A una matriz de tamaño n n, entonces A es invertible si y solo si A se puede escribir como un producto de matrices elementales.

14 Ejemplo Expresar la matriz A = y su inversa como un producto de matrices elementales. Teorema (Algoritmo para calcular A 1 ) Sea A una matriz invertible de tamaño n n, al aplicar reducción Gauss-Jordan a la matriz aunmentada [ A I ] obtenemos la matriz [ ] I A 1. Más aún, si B es una matriz de tamaño n q, al aplicar reducción Gauss-Jordan a la matriz aumentada [ A matriz [ I A 1 B ]. B ] obtenemos la

15 Ejemplo Expresar la matriz A = y su inversa como un producto de matrices elementales. Teorema (Algoritmo para calcular A 1 ) Sea A una matriz invertible de tamaño n n, al aplicar reducción Gauss-Jordan a la matriz aunmentada [ A I ] obtenemos la matriz [ ] I A 1. Más aún, si B es una matriz de tamaño n q, al aplicar reducción Gauss-Jordan a la matriz aumentada [ A matriz [ I A 1 B ]. B ] obtenemos la

16 Inplementación al Matlab Sea A = calcular A 1. Para hallar la inversa de la matriz A en el Matlab se da por: >> AI = [ ; ; ]; rref(ai) Inplementación al Matlab Sean A = y B = 2 3, calcular A 1 B. Inplementando en Matlab : >> AB = [ ; ; ]; rref(ab)

17 Inplementación al Matlab Sea A = calcular A 1. Para hallar la inversa de la matriz A en el Matlab se da por: >> AI = [ ; ; ]; rref(ai) Inplementación al Matlab Sean A = y B = 2 3, calcular A 1 B. Inplementando en Matlab : >> AB = [ ; ; ]; rref(ab)

18 Observaciones Si en el teorema anterior las columnas de la matriz B son los vectores b 1,..., b q, entonces al aplicar reducción Gauss-Jordan a la matriz aumentada [ A B ] = [ A b 1 b q ] obtenemos la matriz la matriz A 1 B = [ A 1 b 1 A 1 b q ], obteniendo soluciones simultaneas a los sistemas Ax = b 1,..., Ax = b q. Ejemplo Usar la observación anterior para resolver los sistemas x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 1 2x 2 2x 3 = 0 y x 2 + 2x 3 = 2 x 1 + x 2 + x 3 = 3. x 1 2x 2 2x 3 = 1

19 Observaciones Si en el teorema anterior las columnas de la matriz B son los vectores b 1,..., b q, entonces al aplicar reducción Gauss-Jordan a la matriz aumentada [ A B ] = [ A b 1 b q ] obtenemos la matriz la matriz A 1 B = [ A 1 b 1 A 1 b q ], obteniendo soluciones simultaneas a los sistemas Ax = b 1,..., Ax = b q. Ejemplo Usar la observación anterior para resolver los sistemas x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 1 2x 2 2x 3 = 0 y x 2 + 2x 3 = 2 x 1 + x 2 + x 3 = 3. x 1 2x 2 2x 3 = 1

20 Definición Sea A una matriz de tamaño m n, 1. decimos que A tiene inversa a la izquierda si existe una matriz L de tamaño n m tal que LA = I n, 2. decimos que A tiene inversa a la derecha si existe una matriz R de tamaño n m tal que AR = I m. Teorema Sea A una matriz de tamaño m n, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A tiene inversa a la derecha. 2. El sistema Ax = b tiene solución para cada b R m. 3. rango(a) = m = # de filas de A, 4. La función T A : R n R m definida por T A(x) = Ax es sobreyectiva.

21 Definición Sea A una matriz de tamaño m n, 1. decimos que A tiene inversa a la izquierda si existe una matriz L de tamaño n m tal que LA = I n, 2. decimos que A tiene inversa a la derecha si existe una matriz R de tamaño n m tal que AR = I m. Teorema Sea A una matriz de tamaño m n, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A tiene inversa a la derecha. 2. El sistema Ax = b tiene solución para cada b R m. 3. rango(a) = m = # de filas de A, 4. La función T A : R n R m definida por T A(x) = Ax es sobreyectiva.

22 Ejemplo [ ] Determine si la matriz A = tiene inversa a la derecha y en caso afirmativo calcular una inversa a la derecha de A. Teorema Sea A una matriz de tamaño m n, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A tiene inversa a la izquierda. 2. El sistema Ax = b tiene a lo sumo una solución para cada b R m. 3. La función T A : R n R m definida por T A(x) = Ax es inyectiva. 4. El sistema Ax = θ n tiene solución única. 5. rango(a) = n = # de columnas de A.

23 Ejemplo [ ] Determine si la matriz A = tiene inversa a la derecha y en caso afirmativo calcular una inversa a la derecha de A. Teorema Sea A una matriz de tamaño m n, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A tiene inversa a la izquierda. 2. El sistema Ax = b tiene a lo sumo una solución para cada b R m. 3. La función T A : R n R m definida por T A(x) = Ax es inyectiva. 4. El sistema Ax = θ n tiene solución única. 5. rango(a) = n = # de columnas de A.

24 Observaciones El teorema provee un algorimo para calcular dicha matriz, el cual describimos a continuación 1. Se aplica reducción Gauss-Jordan a la matriz 2. Se calculan las matrices elementales E 1,..., E k asociadas a cada una de las operaciones elementales aplicadas en el paso Se calcula el producto E k E La matriz L formada por las primeras n filas de la matriz E k E 1 es la inversa a la izquierda. Inplementación al Matlab Determine si las matrices tienen inversa a la izquierda y encuentrela en caso afirmativo. 2 1 [ ] 1 1 a. A = b. B = c. C =

25 Observaciones El teorema provee un algorimo para calcular dicha matriz, el cual describimos a continuación 1. Se aplica reducción Gauss-Jordan a la matriz 2. Se calculan las matrices elementales E 1,..., E k asociadas a cada una de las operaciones elementales aplicadas en el paso Se calcula el producto E k E La matriz L formada por las primeras n filas de la matriz E k E 1 es la inversa a la izquierda. Inplementación al Matlab Determine si las matrices tienen inversa a la izquierda y encuentrela en caso afirmativo. 2 1 [ ] 1 1 a. A = b. B = c. C =

26 Inplementación al Matlab 1 1 Calcular una inversa a la izquierda de C = >> C t = [1, 0, 2; 1, 1, 1], e1 = [1; 0], e2 = [0; 1], r1 = Ae1, r2 = Ae2

27 Corollary (Caracterización de una matriz invertible) Sea A una matriz cuadrada de tamaño n n, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A es invertible. 2. A tiene inversa a la izquierda. 3. El sistema Ax = b tiene a lo sumo una solución para cada b R m. 4. La función T A : R n R m definida por T A(x) = Ax es inyectiva. 5. El sistema Ax = θ n tiene solución única. 6. rango(a) = n = # de columnas de A=# de filas dea. 7. A tiene inversa a la derecha. 8. El sistema Ax = b tiene solución para cada b R m. 9. rango(a) = m = # de filas de A, 10. La función T A : R n R m definida por T A(x) = Ax es sobreyectiva. 11. La función T A : R n R n definida por T A(x) = Ax es biyectiva. 12. A t es invertible. 13. A es un producto de matrices elementales.