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1 Cálculo 2-25 Series de potencias. Serie de potencias. Definición Si ta n u es una sucesión de números C tiene sentido la definición de límite dada en el capítulo anterior, o sea: lím a n L ą, Dn P N tal que si n ě n ñ a n L ă ε Proposición Sea ta n u tα n ` iβ n u una sucesión de números C con α n, β n P R entonces a n sii α n Ñ α y β n Ñ β. Ñ α ` iβ dem: ðq a n L α n ` iβ n α iβ ď α n α ` β n β ă ε 2 ` ε 2 si n ě n ñq Si n ě n, α n α Re pa n Lq ď a n L ă ε y β n β Im pa n Lq ď a n L ă ε. Definición 2 Una serie de la forma 8 a n pz aq n es llamada una serie de potencias de z a. Los números a, z y los coeficientes a n son C. Cada serie de potencias tiene asociado un círculo de convergencia, tal que la serie converge absolutamente para todo z interior al mismo, y diverge para todo z exterior. El centro del círculo es a y su radio r se llama radio de convergencia. Nota En casos extremos, el círculo se reduce a un punto, a, y su radio es r, o es todo el plano complejo, en cuyo caso decimos r 8. Veremos luego la existencia del círculo de convergencia. El comportamiento de la serie en la frontera del círculo no puede predecirse, habrá ejemplos donde puede haber convergencia en ninguno, en alguno o en todos los puntos de la frontera. Para simplificar los cálculos y la notación continuaremos con series de potencias de z, es decir a. En la mayoría de los casos el radio de convergencia puede encontrarse mediante el criterio del cociente o el de la raíz, como: Ejemplo Consideramos la serie de potencias de z, dada por 8 n 2 3 n z n, veamos para qué z converge. Consideremos la serie de los módulos, 8 n 2 3 n z n, esta es una serie de números reales a términos positivos, (si z obviamente converge) si z usamos el criterio del cociente pn ` q 2 3 n` z n` n 2 3 n z n ˆn ` luego la serie 8 n 2 3 n z n converge absolutamente si z ă 3. n 2 3 z ÝÑ 3 z ă si z ă 3 Si z 3 la serie 8 n 2 3 n z n 8 n 2 diverge, en efecto si fuese convergente para algún z tal que z 3 sería lím n2 3 n z n para dicho z. Ahora a n Ñ si a n Ñ. O sea lím n 2 3 n z n lím n 2 absurdo. Análogamente si z ą 3. Por lo tanto, el radio de convergencia es 3. Ejemplo 2 La serie de potencias 8 z n converge en C.

2 Series de potencias Cálculo 2-25 Consideremos la serie de los módulos, cociente luego la serie 8 8 z n` pn ` q! z n z n, si z converge, si z usamos el criterio del z n ` ÝÑ z n converge P C. Luego el radio de convergencia es `8. Observación Como el término general de una serie convergente debe tender a cero, el resultado anterior muestra que z n lím para todo z complejo. Esto es crece más rápido que la potencia n ésima de cualquier número complejo z cuando n Ñ 8. Ejemplo 3 Las series 8 z n n y 8 z n tienen radio de convergencia r. n2 Ambas convergen en el interior del círculo de convergencia Cp, q tz : z ă u y divergen en el exterior, o sea tz : z ą u. Para estudiar qué sucede en la frontera, sea z tal que z, la primera diverge sólo si z, pero converge en los demás, la segunda converge en todo punto frontera pues está dominada por 8 n 2. Teorema Si 8 a n z n converge en z entonces: aq la serie converge tal que z ă z bq la serie converge uniformemente en todo círculo de radio R ă z. dem: Como 8 a n z n converge entonces a nz n ÝÑ ñ a n zn ÝÑ luego existe n tal que a n zn ă si n ě n. Sea ă R ă z, ahora si z es tal que z ď R ă z resulta que Luego 8 a n z n a n zn z n loomoon ă zn ď ă a n z n está dominada por z n 8 z n Rn z n Tn si n ě n T n que converge pues es una serie geométrica de razón ă T ă. Por criterio M de Weierstrass, la serie 8 a n z n converge uniformemente en tz : z ď Ru. Esto prueba b) y por tanto a). Corolario Si 8 a n z n diverge en z 2 entonces la serie tal que z ą z 2. Teorema 2 (Existencia de un círculo de convergencia) Sea 8 a n z n una serie tal que D z donde converge y z 2 donde diverge. Entonces Dr ą tal que la serie converge absolutamente en D r tz : z ă ru y diverge en W r tz : z ą ru. Este r se llama radio de convergencia. 2

3 Cálculo 2-25 Series de potencias dem: Por corolario anterior z ă z 2. Defino A t z : 8 a n z n es convergente en zu, A Ă R, A pues z P A y es acotado superiormente por z 2 por lo tanto existe sup A. Sea r sup A, es r ą ya que r ą z y z P A. Sea z tal que z ă r, como r es sup A, para ese z, la 8 a n z n converge absolutamente por teorema anterior (a). Si z ą r, la 8 a n z n diverge pues si fuera convergente, r no sería supremo. Observación 2 La serie a n z n converge absolutamente si z ă r, a n z n diverge si z ą r, a n z n si z r hay que estudiarla en particular. Observemos que valen análogos teoremas para series de potencias de z a... Propiedades de continuidad, derivabilidad e integrabilidad de series de potencia reales. Nos restringimos a x P R habitualmente será llamada serie de potencia real, hablaremos de radio de convergencia y de intervalo de convergencia (en lugar de círculo), si no existe x 2 donde 8 a n x n diverge diremos que el radio de convergencia es infinito. El intervalo de convergencia de radio r de la serie 8 a n x n es p r, rq y si consideramos la serie 8 a n px aq n el intervalo de convergencia será pa r, a ` rq. Cada serie de potencias define una función real suma cuyo valor en cada x P pa r, a ` rq viene dado por f pxq a n px aq n Se dice que la serie representa a la función suma f en el intervalo de convergencia y se denomina el desarrollo de f en serie de potencias de x a. Cabe preguntarse: a) Dada la serie, hallar propiedades de la función suma f. b) Dada una función f, podrá ser representada por una serie de potencias?. Sólo algunas funciones poseen desarrollo en serie de potencias, sin embargo la clase de estas funciones contiene a la mayor parte de los ejemplos presentados hasta el momento. Dejaremos para la próxima sección la discusión del apartado b). Volvamos a la discusión de a). Observación 3 El teorema nos dice que la serie de potencias converge absolutamente en el intervalo de convergencia de radio r, es decir en pa r, a ` rq y converge uniformemente en ra R, a ` Rs para todo ă R ă r. Como cada término en la serie de potencias f n pxq a n px aq n es continuo en R por teorema?? resulta f continua en todo intervalo cerrado ra R, a`rs y por lo tanto en todo intervalo abierto pa r, a`rq, asimismo por teorema?? podemos integrar término a término en todo intervalo cerrado, como veremos en el siguiente teorema ppara simplificar consideramos a q: Teorema 3 Si f pxq 8 a n x n en p r, rq, entonces f es continua en p r, rq y su integral en cualquier subintervalo ra, bs Ă p r, rq se calcula integrando término a término. En particular: ż n x f ptq dt a n t dt a n t n a n dt P p r, rq n ` 3

4 Series de potencias Cálculo 2-25 dem: Sea x P p r, rq, veamos que f es continua en x P r ρ, ρs Ă p r, rq para cierto ρ. Por teorema la serie converge uniforme en r ρ, ρs y entonces la suma de la serie f es continua en r ρ, ρs en particular en x. Luego es integrable en cualquier ra, bs Ă p r, rq. Por lo tanto el radio de convergencia de la serie integrada es por lo menos igual al de la serie original. Demostraremos que ambas series tienen el mismo radio de convergencia, primero veremos que una serie de potencias puede derivarse término a término en el interior de su intervalo de convergencia. Teorema 4 Sea f pxq 8 a n x n en p r, rq, entonces la serie de derivadas 8 na n x n converge en p r, rq y su suma es f pxq. dem: Sea s arbitrariamente cercano a r y tal que ă s ă r. La serie 8 a n s n converge absolutamente en p r, rq, luego a n s n ď c ñ an s n c ď Sea ă q ă y sea x tal que s x ď qs. Consideramos la serie de derivadas en este x : nan x n ď n an q n s n ď nq n M () Por otro lado, la serie 8 nq n pn ` q qn` converge pues nq n n ` q Ñ q ă. El criterio M de n Weierstrass en pq nos dice que la serie 8 na n x n es absoluta y uniformemente convergente en r qs, qss y vale la observación, luego es f es derivable en r qs, qss y la derivada es la serie de las derivadas f pxq 8 na n x P r qs, qss. Finalmente, notemos que todo x P p r, rq es tal que pertenece a algún r qs, qss para adecuados s, q. Teorema 5 Sea f pxq 8 a n x n en p r, rq, entonces el radio de convergencia de la serie integrada término a término es r, al igual que el de la serie derivada término a término. En particular, f es C 8 p r, rq. dem: El teorema 3 asegura que la serie integrada término a término converge en p r, rq. Entonces su radio de convergencia r podría ser mayor que r. Pero el teorema 4 asegura que el radio de convergencia de la serie derivada, llamado r 2, es a lo sumo igual al de la serie original o sea r ď r ă r 2 ď r, de donde r r r 2. Observación 4 Estos teoremas justifican las manipulaciones formales de las series estudiadas en los ejemplos?? y?? del capítulo de series numéricas, es decir establecen la validez de los desarrollos de las funciones lnp ` xq y arctan x obtenidas por derivación o integración de ` x y respectivamente, es decir ` x2 p q n x n` lnp ` xq n ` p q n x 2n` arctan x 2n ` si x P p, q. 4

5 Cálculo 2-25 Series de potencias.2. Principio de identidad. Otra consecuencia inmediata, la función suma f de una serie de potencias 8 a n px aq n tiene derivadas de todo orden. Y más aún, pueden ser calculadas por derivación reiterada término a término de la serie de potencias. Si f pxq 8 a n px aq n y derivamos k veces y la calculamos en x a, tenemos f pkq paq k!a k con lo que el coeficiente k-ésimo a k viene dado por la fórmula a k f pkq paq k! para k ě Así, pues el desarrollo de f en serie de potencias de px aq tiene la forma f pxq f pnq paq px aq n (2) Esta propiedad puede enunciarse como un teorema de unicidad para los desarrollos en serie de potencias. Teorema 6 pteorema de unicidad o principio de identidadq Si dos series 8 a n px aq n, 8 b n px aq n tienen la misma suma en un entorno de a, entonces a n b n f pnq ě. dem: Sea f pxq la función suma de ambas series, f pxq a ` a px aq ` a 2 px aq 2 ` b ` b px aq `... para todo x P N paq. En a tenemos a b f paq. Derivando término a término, f pxq a ` 2a 2 px aq `.... b ` 2b 2 px aq P N paq. En a tenemos a b f paq y entonces para todo n ě es a n b n f pnq paq. 2. Serie de Taylor de una función C 8. La igualdad (2) demuestra también que las sumas parciales de una serie de potencias son los Polinomios de Taylor de f alrededor de a. Si una función f es representable por una serie de potencias en pa r, a ` rq entonces la sucesión de polinomios de Taylor tt n p f, xqpaqu converge puntualmente en ese intervalo a la función suma f. Además la convergencia es uniforme en todo subintervalo cerrado del intervalo de convergencia. Estamos en condiciones de responder a la segunda pregunta que quedara planteada, dada una función f, cuándo es, o no, desarrollable en serie de potencias. Definición 3 Sea f P C 8 pa r, a ` rq, ponemos a n f pnq paq para n,, 2,... y consideramos la serie de potencias 8 a n px aq n ésta es llamada la serie de Taylor generada por f alrededor de a. Nos preguntamos: Converge esa serie para cualquier otro x distinto de a? Si converge, su suma es f pxq? Observemos que para x a la serie converge (consta de sólo un sumando) a f paq. La respuesta no es afirmativa en general, la función f pxq e {x2 si x y f pq es C 8 prq, la serie de Taylor de f alrededor de converge en todo el eje real pero representa a f solo en el origen. 5

6 Series de potencias Cálculo Teorema de convergencia. Teorema 7 La serie de Taylor generada por f alrededor de a converge en el punto x a f pxq si y sólo si R n Ñ cuando n Ñ 8 donde R n R n p f, xqpaq es el resto de orden n de la fórmula de Taylor de f alrededor de a. dem: nÿ f pkq paq f pxq px aq k ` R n p f, xqpaq k! looooooooooomooooooooooon k T n p f,aqpxq T n p f, aq pxq es la suma n ésima de la serie luego f pxq T n p f, xqpaq looooooooooomooooooooooon Ó R n p f, xqpaq. Ó Ejemplo 4 A partir de la igualdad ` x ` x 2 `.... x n x si x ă Derivando e integrando respectivamente se obtienen nx n x n` 8 n ` ÿ n px n q x ż ż x n dx 8 ÿ ż x n dx ˆ x p xq 2 si x ă dx ln x si x ă x Teorema 8 pcondición suficiente de convergencia de la serie de Taylorq Si f P C 8 pa r, a ` rq y existe una constante A ą tal P pa r, a ` rq y todo n, 2,... f pnq pxq ă A n (3) entonces la serie de Taylor generada por f alrededor de a converge a f pxq en pa r, a ` rq. dem: Sea R n p f, xqpaq f pn`q pcq pn ` q! ď R n p f, xqpaq px aq n` con c entre x y a. Entonces, usando la desigualdad (3) f pn`q pcq pn ` q! px aq n` ă An` r n` pn ` q! pues parqn Ñ para todo B Ar, el teorema anterior asegura la convergencia de la serie de Taylor a f pxq. Ñ Ejemplo 5 e x 8 x n k, P R si x ă r, f pnq pxq e x ă e r, basta tomar A e r. sen x 8 p q n x 2n` y cos x 8 p q n x 2n pues la desigualdad (3) es válida si A, las funciones trigonométricas tienen derivadas de todo orden acotadas por. k p2n ` q! k p2nq! 6

7 Cálculo 2-25 Series de potencias Otra condición suficiente demostrada por Bernstein: Teorema 9 Si f tiene derivadas de todo orden en r, rs y es tal que f pxq ě y f pnq pxq ě para todo x P r, rs todo n P N Entonces la serie de Taylor generada por f alrededor de converge a f pxq para todo x P r, rq. Ejemplo 6 La serie de Taylor de lnp ` xq. La fórmula de Taylor es ln p ` xq xż x2 dt x ` t 2 ` x3 3 ` ` p qn x n n ` p qn t n ` t dt looooooooomooooooooon R n Como $ R n t n p qn ` t dt & ď % ş x tn dt xn` n ` x n` p ` xq pn ` q luego ln p ` xq x x2 2 ` x3 3 ` ` p qn x n n `... o sea ln p ` xq p q k` x k k k Ñ si ă x ď Ñ si ă x ă si ă x ď (4) Por ejemplo, ln 2 2 ` 3 4 `... Ejemplo 7 La serie de Taylor de arctan x. Recordemos que f pxq arctan x f pxq T 2n` p f, q pxq R 2n` pxq R 2n` pxq ď ż x ` t 2 dt n k p q n` t 2n`2 ` t 2 dt ď t 2n`2 dt x 2n`3 2n ` 3 p q k x 2k` 2k` ` şx p qn` t 2n`2 dt, luego ` t2 ż x Ñ t 2n`2 ` t 2 dt Por lo tanto, Por ejemplo, arctan x p q k x 2k` k 2k ` π 4 3 ` 5 7 `... si x ď Ejemplo 8 La series del seno y del coseno. 7

8 Series de potencias Cálculo 2-25 Sea f pxq sen x n p q k x 2k` p2k ` q! ` f p2n`2q pξq x2n`2, luego f pxq T 2n` R 2n` pxq p2n ` 2q! k sen ξ ď R 2n` pxq f p2n`2q pξq x2n`2 x 2n`2 p2n ` 2q! ď p2n ` 2q! P R (5) Por lo tanto Análogamente, P R, sen P R, cos x p q k x 2k` p2k ` q! k p q k x 2k p2kq! k Observación: Para justificar p5q, recordemos criterio del A ą, la serie 8 es conver- gente pues pn ` q! A n A n` A n ` Ñ entonces (condición necesaria de convergencia) lím Por ejemplo, tenemos también las series trigonométricas hiperbólicas A n A n. cosh x k x 2k p2kq! y senh x k x 2k` p2k ` q! Referencias [] Tom M. Apostol, Calculus Volumen I: Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al Álgebra Lineal, Editorial Reverté. [2] Tom M. Apostol, Calculus Volumen II: Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades, Editorial Reverté. [3] Tom M. Apostol, Análisis Matemático, Editorial Reverté. [4] Richard Courant - Fritz John, Introducción al cálculo y al análisis matemático Vol. 2, Editorial Limusa. [5] Murray H. Protter, Basic Elements of Real Analysis, Springer. [6] George F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Históricas, Editorial Mc-Graw Hill. [7] Michael Spivak, Calculus, Editorial Reverté. [8] James Stewart, Calculus 5th Edition, Brooks-Cole. [9] James Stewart, Cálculo de una variable 6th Edition, Cengage Learning. 8

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