bc (b) a b + c d = ad+bc a b = b a

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1 1 Cojutos 1 Describa los elemetos de los siguietes cojutos A = { x x 1 = 0 } D = { x x 3 x + x = } B = { x x 1 = 0 } E = { x x + 8 = 9 } C = {x x + 8 = 9} F = { x x + 16x = 17 } Para los cojutos del ejercicio aterior, observe que B A Citar todas las relacioes de iclusió que so válidas etre los cojutos 3 Sea A = {1}, B = {1, } Discutir la validez de las afirmacioes siguietes probar que uas so ciertas y explicar por qué las otras so falsas a A B d 1 A b A B e 1 A c A B f 1 B 4 Resolver el problema aterior pero si A = {1} y B = {{1}, 1} 5 Dado u cojuto arbitarrio A y el cojuto vacio φ Es cierto que φ A? Es decir, es cierto que el cojuto vacio es siempre u subcojuto de cualquier cojuto? 6 Dado el cojuto S = {1,, 3, 4} Expresar todos los subcojutos de S Note que e total hay 16 7 Dados los cuatro cojutos siguietes A = {1, }, B = {{1}, {}}, C = {{1}, {1, }}, D = {1}, {}, {1, }}, discutir la validez de las afirmacioes siguietes a A = B d A C g B D b A B e A D h B D c A C f B C i A D 8 demostrar las propiedades siguietes de la igualdad de cojutos a {a, a} = {a} b {a, b} = {b, a} c {a} = {b, c} si y sólo si a = b = c 9 Demostrar las siguietes relacioes etre cojutos a A B=B A, A B = B A b A B C = A B C, A B C = A B C c A B C = A B A C, A B C = A B A C

2 Propiedades Algebraicas de R 10 Demuestre las siguietes afirmacioes a Si ax = a para algú úmero a 0, etoces x = 1 b x y = x yx + y c Si x = y, etoces x = y o x = y d x 3 y 3 = x yx + xy + y e x y = x yx 1 + x y + + xy + y 1 f Sea N, etoces x 1 = x 1 g x 3 + y 3 = x + yx xy + y h Sea N, co impar x + y = x + y? 11 Demuestre las siguietes igualdades a a b = ac bc, si b, c 0 b a b + c d = ad+bc bd, si b, d 0 c ab 1 = a 1 b 1, si b, d 0 d a c b d = ac bd, si b, d 0 e a b c d = ad bc, si b, c, d 0 f Si b, d 0, etoces a b = c d si y solo si ad = bc Determiar tambié cuado es: a b = b a 1 Ecotrar todos los úmeros x para los que: a 4 x < 3 x b 5 x < 8 c 5 x < d x 1x 3 > 0 e x x + > 0 f x + x + 1 > g x x + 10 > 16 h x + x + 1 > 0 i 1 x x > 0 j x 1 x+1 > 0 13 Demostrar lo siguiete: a Si a < b y c < d, etoces a + c < b + d b Si a < b, etoces b < a c Si a < b y c > d, etoces a c < b d d Si a < b y c > 0, etoces ac < bc e Si a < b y c < 0, etoces ac > bc f Si a > 1, etoces a > a g Si 0 < a < 1, etoces a < a h Si 0 a < b y 0 c < d, etoces ac < bd i Si 0 a < b, etoces a < b j Si a, b 0 y a < b, etoces a < b 14 a Demostrar que si 0 x < y, etoces x < y b Demostrar que si x < y y es impar, etoces x < y c Demostrar que si x = y y es impar, etoces x = y d Demostrar que si x = y y es par, etoces x = y o x = y

3 3 15 Expresar lo siguiete prescidiedo de sigos de valor absoluto, tratado por separado distitos casos cuado sea ecesario a a + b b b x + 1 c x x d a a a 16 Ecotrar todos los úmeros x para los que se cumple: a x 3 = 8 b x 3 < 8 c x + 4 < d x 1 + x > 1 e x 1 + x + 1 < f x 1 + x + 1 < 1 g x 1 x + 1 = 0 h x 1 x + = 3 17 El máximo de dos úmeros x e y se deota por maxx, y y el míimo de x e y se deota por mix, y Demostrar que: maxx, y = mix, y = x + y + y x x + y y x Derivar además ua fórmula para maxx, y, z y mix, y, z 18 Demostrar que si x e y o so ambos cero, etoces: x + xy + y > 0 x 4 + x 3 y + x y + xy 3 + y 4 > 0 19 Supoga que x es u úmero real que satisface la propiedad: 0 x < h para todo úmero real h > 0 Demuestre que etoces x = 0 0 a Demostrar que si x x 0 < ɛ, y y 0 < ɛ etoces: 1 Demostrar que si x + y x 0 + y 0 < ɛ x y x 0 y 0 < ɛ ɛ x x 0 < mi y 0 + 1, 1

4 4 y etoces: y y 0 < ɛ x 0 + 1, xy x 0 y 0 < ɛ Demostrar que si y 0 0 y además y y 0 < mi y 0, ɛ y 0, etoces y 0 y además: 1 y 1 y 0 < ɛ

5 5 3 Ecotrar ua fórmula para i i=1 i 1 = ii i=1 i 1 = Si 0 k, se defie el coeficiete biomial por k si k 0,, y como: k =! 1 k + 1 = k! k! k! 0 = = 1 a Demostrar que: + 1 k = k 1 + k b Demuestre el teorema del biomio: a+b = a + a 1 b+ a b c Demuestre que: d d e 5 a Demostrar que k=0 k j j=0 1 j j j=0 l impar l l l par m l k = = 0 = 1 = 1 + m = l Sugerecia Aplicar el teorema del biomio a 1 + x 1 + x m b Demuestre que: = k k=0 ab 1 +b = j=0 j a j b j

6 6 6 Demuestre que 3 es irracioal Sugerecia aplíquese el hecho de que todo etero es de la forma 3 o o Demuestre que + 3 es irracioal 8 Demostrar la desigualdad de Beroulli: Si h > 1, etoces: 9 Demuestre que si 0 < a < b, etoces: 1 + h 1 + h a < ab < a + b < b 30 Si a 1, a,, a 0, etoces la media aritmética es: y la media geométrica es: A = a a G = a 1 a a a Haciedo uso del hecho de ser G A cuado =, demostrar por iducció sobre K, que G A para = k b Para u geeral, sea m > Aplíquese la parte a a los m úmeros: para demostrar que G A a 1,, a, A, A }{{} m veces 31 Sea 1 el meor etero positivo para el que la desigualdad 1+x > 1+x+x es cierta para todo x > 0 Calcular 1, y demostrar que la desigualdad es cierta para todos los eteros 1 3 Dados úmeros positivos a 1, a, a 3,, tales que a ca 1 para todo, dode c es u úmero positivo fijo, aplíquese el método por iducció para demostrar que a a 1 c 1 para cada 1

7 7 Sucesioes y Series 33 Cosidere dos sucesioes covergetes {a } N y {b } N Sea las sucesioes: M = Maxa, b, m = mia, b Demuestre que estas sucesioes so covergetes y calcule sus ites 34 Tome ua sucesió {a } N tal que a3 = l 3, co l 0 Demuestre que: a l a 3 l 3 y cocluya que a = l Puede mateerse el resultado si l = 0?, Puede mateerse el resultado si e lugar de cubos se tuviera cuadrados? 35 Cosidere la sucesió {a } N defiida recursivamete como: a 1 = 0 y a +1 = 3a+1 a +3 para 1 Es la sucesió covergete?, e caso afirmativo calcule el valor ite 3 4 l 36 Cosidere la sucesió {a } N defiida recursivamete como: a 1 = y a +1 = a+3 a + para 1 Es la sucesió covergete?, e caso afirmativo calcule el valor ite 37 Cosidere la sucesió {a } N defiida recursivamete como: a 1 = y a +1 = + a para 1 Es la sucesió covergete?, e caso afirmativo calcule el valor ite 38 Demuestre que la sucesió: coverge y calcule su ite,,, 39 Sea 0 < a 1 < b 1 y defiamos las sucesioes recursivamete como: a +1 = a b, b +1 = a + b Muestre que las dos sucesioes coverge y que coverge al mismo valor 40 Supoga ua sucesió {a } N tal que a 0 para todo N y que además a = l Demuestre que: 1 l 0 m a = m l co m N 41 Supoga que {a } N es ua sucesió acotada y que {b } N es ua sucesió que coverge a cero Demuestre que etoces la sucesió {a b } N coverge a cero

8 8 4 Las siguietes sucesioes so covergetes Por tato, para cada ɛ > 0 prefijado existe u atural N N, tal que a L < ɛ si N siedo L = a Determiar e cada caso el valor N que correspode a los siguietes valores de ɛ y las siguietes sucesioes: ɛ = 1; 0,1; 0,01; 0,001 a = 1 a = +1 a = 1+1 a = 1! a = 3 +1 a = Compruebese los siguietes limites + 1 = = = 0! = 0 Sugerecia:! = 1 k! para k <, e particular, para k < a = 1, a > 0 = 1 + = 1 a + b = maximoa, b α = 0, dode α es el úmero de úmeros primos que divide a Sugerecia: El hecho de que todo úmero primo es proporcioa ua estimació muy secilaa de lo pequeño que debe ser α

9 9 k=1 k p p+1 = 1 p = 0, si p > 0 y p Q p l a b = 0 para todo a > 0, b > 0 y a, b Q 1 + a = e a para todo a Q 44 Calcule los siguietes ites a + b a b a + b k c, co c < 1, k N! 1 se + 1 a, dode a 1 = 0, a = 3, y para todo 3 tome a = 1 a 1 + a Sugerecia: demuestre por iducció que a = Ivestigue si las siguietes sucesioes so covergetes a = e+ e + + e a = e+ e + + e a = a =

10 10 a = a = Cosidere la sucesió: Supoga valida la siguiete desigualdad: a = l < l + 1 l < 1 Demuestre que etoces la sucesió {a } N es decreciete y que cada a 0 de lo cual cocluya que la sucesió es covergete 47 Supoga que a = l, demuestre que etoces: a a = l 48 Súpogase que a > 0 para todo N y que a = l a +1 a = l Demuestre que 49 Demuestre que las sucesioes a = 1 y b = so sucesioes de Cauchy 50 Supoga ua sucesió {a } N tal que para todo N satisface la desigualdad: a +1 a c a a 1, dode 0 < c < 1 Demuestre que etoces la sucesió {a } N es de Cauchy Puede mateerse el resultado si c = 1? 51 Supoga ua sucesió {a } N tal que para todo N satisface la desigualdad: a +1 a c, dode 0 < c < 1 Demuestre que etoces la sucesió {a } N es de Cauchy 5 Tome {a } N ua sucesió de Cauchy tal que a = l Muestre que si N N es tal que a a m < ɛ para todo, m > N, etoces a l ɛ para todo > N 53 Tome {a } N la sucesió defiida recursivamete como: a 1 = a = 1, y a = a 1 + a para 3 Tome b = a+1 a Demuestre que: b b 1 = b 1 + para

11 11 b = 1 + b 1 para b +1 b < 3 b b 1 para Cocluya que la sucesió {b } N es covergete y calcule su limite 54 Calcule el supa y if a para cada ua de las siguietes sucesioes: a = 1 a = 1 1 a = a =

12 1 Fucioes y Limites de fucioes 55 Defiimos las catidades: x = supremo { Z : x} x = ifimo { Z : x} Bosqueje la grafica de las fucioes defiidas por las reglas de asigacio: a f 1 x = x b f x = x c f 3 x = x x d f 4 x = x x e f 5 x = x x 56 E cada caso ecuetre el domiio de f g y ua formula para f gx a fx = x 3 x R, gx = x x [0, b fx = 4 x x [, ], gx = 1 x 3 1 x R 1 c domf { = domg = [0, +, y 1 fx = q si x Q y se expresa como p q co p, q = 1 { 0 si x es irracioal 1 si x es racioal gx = 0 si x es irracioal 57 Dadas tres fucioes, sera cierto que f g + h y f g + f h represeta a la misma fucio E caso afirmativo demuestrelo, e caso egativo muestre u ejemplo para el cual o se cumpla 58 Tome q, r fucioes racioales Muestre que: q + r, qr, q r so todas fucioes racioales, dedusca ademas que la composicio de dos fucioes racioales es ua fucio racioal 59 Tome las fucioes i, f, g, h defiidas para x 0 por: ix = x, fx = x, gx = 1 x, hx = 1 x Muestre que la composicio de las fucioes puede ser resumida e la tabla: i f g h i i f g h f f i h g g g h i f h h g f i

13 13 60 Costruya ua tabla similar para las fucioes defiidas para x R {0, 1} por: ix = x, fx = 1 1 x, gx = 1 1 x px = 1 x x, qx = 1 x, rx = x 1

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