4 M. a) La(s) ecuación(es) diferencial(es) del movimiento del sistema a partir de las ecuaciones de movimiento lineal y angular.

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1 Un si-disco unifor d radio asa, ruda sin dslizar sor una suprfici orizontal. Una partícula d asa s ncuntra conctada al disco n su iso plano, por dos varillas rígidas, d asa dprcial, coo s ustra n la figura. Suponindo qu l sista s antin n un plano vrtical único n todo instant, dtrin: a) a(s) cuación(s) difrncial(s) dl oviinto dl sista a partir d las cuacions d oviinto linal angular. ) pita (a) utilizando cuacions d agrang c) Dtrin las condicions ajo las cuals l sista rspondría n un oviinto arónico sipl ajo una condición d dsplazainto inicial. SOUON a.) inática Grados d lirtad Sista d un grado d lirtad: rotación sor la as orizontal. oordnada gnralizada: otación dl sista En la figura s ustra, l punto d rfrncia O l sista d coordnadas - Posición dl dl sista: El cntro d asa D dl si-disco stá n l radio cntral, a distancia 4/3π dl punto. O D r El cntro d asa dl sista d star n la lína qu un con D. Si s la distancia dsd a, ntoncs: 4 dond Nóts qu si pud sr positivo o ngativo. En l prir caso, quda uicado n l si-disco. Enn l sgundo, stá fura dl disco, n la lína ntr.

2 oviinto dl dl sista: Dada la gotría dl sista, El punto s uv a lo largo d una lína orizontal a altura sor la as: v a r El oviinto d s pud dtrinar usando oviinto rlativo: O v v v / ( cos) sin a a a / r ( cos) sin) ( sin cos) a.) Ecuacions d oviinto inal Furzas En l D d la figura s ustra las furzas actuants sor l sista, qu inclun: pso total g n l furzas d contacto con la suprfici H. F H ( g) g r Ecuacions d oviinto inal O F : H ( cos) sin) H : g ( sin cos) ( g ( sin cos )

3 a.3) Ecuación d oviinto ngular orqu c/r a τ H ( cos ) sin onto ngular c/r a H disco 4 4 ( ) Ecuación d oviinto ngular n torno a τ H H ( cos) sin a.4) Ecuación Difrncial dl oviinto dl Sista plazando H n la cuación d oviinto angular: ( cos) sin)( cos) g ( sin cos) sin ( cos) sin ( cos) [ sin sincos] g sin 0 Ordnando s otin la ED dl sista cos sin g sin 0

4 ) Ecuacions d agrang.) Enrgia intica plazando:.) Enrgía potncial S considra g 0 a nivl d la suprfici d apoo..3) Ecuación d agrang agrangiano: Ω cos g g r O D [ ] cos g cos [ ] [ ] cos cos g cos 0 dt d [ ] cos cos

5 d dt [ ( cos) ] sin sin g sin [ ( cos) ] sin ( sin g sin) [ ( cos) ] sin g sin 0 0 S otin la isa cuación qu n (a) c) Sista n rspusta arónica sipl c.) Discusión concptual i) a rspusta arónica sipl ocurr para dsplazaintos n torno a una posición d quilirio stático stal. En st caso, la posición d quilirio stático corrspond al caso n qu los psos dl si-disco d la partícula stán alinados n la isa vrtical. El quilirio stático srá stal si l al ovr l sista fura d la posición d quilirio, ést tind a volvr a la posición original. En st caso, ésto ocurr si l dl sista stá n una posición tal qu l pso total uicado n gnra un torqu qu tind a ovr l sista acia la posición d quilirio stal, coo ocurr n la figura dl lado izquirdo, cuando stá n l si-dico. En la figura dl lado drco, para l caso qu stá fura dl si-disco, s tin la situación contraria. D D D D

6 a condición nunciada quda dfinida por l signo d qu rsulta d la cuación: 4 a posición d quilirio stático srá stal si s positivo, s dcir, si: 4 > 0 < 4 3π ii) En sgundo lugar, la rspusta dl sista srá posil n la dida qu la furza d roc sa suficint para antnr la condición d no dslizainto. Esta condición dfin l valor ínio dl coficint d roc µ rqurido. c.) spusta arónica Supóngas qu l sista rspond con pquños dsplazaintos n torno a la posición d quilirio stático. El ángulo s apropiado para dir stos dsplazaintos. ponindo la condición pquño n la ED s tin: << ó ( ) ( ) Esta cuación corrspond a un oscilador sipl d frcuncia angular: g sin g 0 0 cos 0 ω g ( ) Nóts qu la rspusta srá oscilatoria sólo si s positivo, rsultado qu coincid con l análisis prvio.

7 spusta dl sista para un dsplazainto inicial o: ( t) o cosωt plazando n las prsions para H, con la cosidración d pquños dsplazaintos, s tin: H ( cos) sin ) ( ) ( ω sinωt) ( g ( sin cos ) g o ponindo la condición d roc: H a F r a µ ( ) ω µ g o plazando s otin l valor ínio ncsario dl coficint d roc: µ ( ) o ( )

8 Puntaj Prola E PUNJE áio signado a.) inática i) Dfinición sistas d rfrncia d coordnadas 0 ii) dntificación dl grado d lirtad, dfinición d la coordnada gnralizada 0 iii) Dtrinación posición dl 03 iv) locidad aclración dl 04 0 a.) Ecuacions d oviinto linal dl sista i) dntificación furzas sor sista D 03 ii) Ecuacions d oviinto linal a.3) Ecuación d oviinto angular i) álculo torqu c/r a 03 ii) álculo onto d inrcia dl sista c/r a 03 iii) Ecuación d oviinto angular 0 08 a.4) ED i) Uso d las trs cuacions antriors para otnr la ED ) Ecuacions d agrang.) álculo nrgía cinética 03.) álculo nrgía potncial 0.3) Otnción d la ED c) Sista n rspusta arónica c.) Plantainto concptual i) dntificación dtrinación posición d quilirio stal n torno a la cual oscila l sita 0 ii) dntificación caso a rsolvr: pquños dsplazaintos n torno a posición quilirio stal 0 iii) dntificación rquriinto d coficint d roc ínio 0 06 c.) Solución para rspusta arónica i) Solución ED para caso pquños dsplazaintos, con dsplazainto inicial 03 ii) Solución analítica rquriinto d posición para qu aa solución 03 iii) Solución analítica para valor ínio d coficint d roc O 50 50

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