LógicaS Modales. Ricardo Oscar Rodríguez Departamento de Computación, Fac. Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, Argentina.

Transcripción

1 Departamento de Computación, Fac. Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, Argentina. Segunda Clase. 1er. Cuatrimestre, 2016

2 Outline 1 Repaso clase anterior Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales 2 Suplementados Cerrados por intersecciones Quasi-filtros Aumentados 3

3 Lógicas Modales: Sintáxis. 1 Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales Alfabeto: Un conjunto de variables proposicionales: V ar = {p 1, p 2,..., p n,...}. Un conjunto de símbolos lógicos primitivos: (implicación), (absurdo), y (necesidad). Un conjunto de símbolos lógicos definibles: (conjunción), (disyunción), (negación), (tautología), y (posibilidad). Un conjunto de símbolos auxiliares: (, ), {,}, etc. Fórmulas bien formadas (fbf): Toda variable proposicional es una fbf. es una fbf. If ϕ 1 y ϕ 2 son fbf s, entonces ( ϕ 1 ) y (ϕ 1 ϕ 2 ) son fbf s. Las anteriores son la únicas fbf s.

4 Lógicas Modales: Sintáxis. 2 Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales Definiciones: 1 ϕ = ϕ. 2 =. 3 ϕ = ϕ. 4 ϕ 1 ϕ 2 = ϕ 1 ϕ 2. 5 ϕ 1 ϕ 2 = (ϕ 1 ϕ 2 ). 6 ϕ 1 ϕ 2 = (ϕ 1 ϕ 2 ) (ϕ 2 ϕ 1 ).

5 Lógica Proposicional. 1 Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales Definición: Sea S es un conjunto de fórmulas. Diremos que S es: Cerrado por Modus Ponens: Si ϕ 1 y (ϕ 1 ϕ 2 ) S entonces ϕ 2 S. Cerrado por Sustitución: Si ϕ 1 S y σ es una fórmula cualquiera, entonces ϕ 1 (σ) S donde ϕ 1 (σ) es el resultado de reemplazar una variable proposicional de ϕ 1 por σ.

6 Lógica Proposicional. 2 Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales En nuestro enfoque la Lógica Proposicional constituirá el sublenguaje de las Lógicas Modales. Recordemos que la Lógica Proposicional es el conjunto de fórmulas que contiene los siguientes axiomas: (A1) ϕ (ψ ϕ). (A2) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)). (A3) ((ψ ) (ϕ )) (ϕ ψ). Y es cerrado por Modus Ponens y Sustitución. Notaremos con P L a este conjunto de fórmulas.

7 Noción de prueba Repaso clase anterior Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales Definición: Una fórmula ψ se dice que es deribable en una lógica S si existe una secuencia de fórmulas ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n tal que ϕ n = ψ tal que para todo 1 i n, ϕ i es un axioma de S o es obtenida por aplicar una regla de inferencia a sus fórmulas precedentes en la secuencia. A la secuencia se la suele llamar también prueba de ψ y n es llamada su longitud. En símbolos S ψ. Teorema: (Herbrand, 1930) Si Γ es un conjunto de fórmulas, ϕ y ψ son fórmulas, tal que Γ, ϕ ψ. Entonces, Γ (ϕ ψ). En particular, si ϕ ψ, entonces (ϕ ψ)

8 Ejemplo de prueba. 1 Repaso clase anterior Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales Es sencillo demostrar que ϕ ϕ para toda fórmula ϕ a partir de los axiomas y reglas anteriores: (1) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) (A2) (2) (ϕ ((ϕ ϕ) ϕ)) ((ϕ (ϕ ϕ)) (ϕ ϕ)) (Sust. (1) (3) ϕ (ψ ϕ) (A1) (4) ϕ ((ϕ ϕ) ϕ) (Sust. (3)) (5) (ϕ (ϕ ϕ)) (ϕ ϕ) (MP (2)-(4)) (6) ϕ (ϕ ϕ) (Sust.(3)) (7) ϕ ϕ (MP (5)-(6)

9 Ejemplo de prueba. 2 Repaso clase anterior Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales ((ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ))) P L.

10 Ejemplo de prueba. 2 Repaso clase anterior Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales ((ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ))) P L. Porque usando el teorema de deducción de: ϕ, (ϕ ψ), (ψ χ) χ resulta (ϕ ψ), (ψ χ) (ϕ χ), (ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ))...

11 Ejemplo de prueba. 2 Repaso clase anterior Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales ((ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ))) P L. Porque usando el teorema de deducción de: ϕ, (ϕ ψ), (ψ χ) χ resulta (ϕ ψ), (ψ χ) (ϕ χ), (ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ))... (((ϕ ψ) χ) (ψ χ)) P L.

12 Ejemplo de prueba. 2 Repaso clase anterior Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales ((ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ))) P L. Porque usando el teorema de deducción de: ϕ, (ϕ ψ), (ψ χ) χ resulta (ϕ ψ), (ψ χ) (ϕ χ), (ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ))... (((ϕ ψ) χ) (ψ χ)) P L. Porque de ψ, (ψ (ϕ ψ)), ((ϕ ψ) χ) χ resulta (ψ (ϕ ψ)), ((ϕ ψ) χ) (ψ χ)...

13 Ejemplo de prueba. 2 Repaso clase anterior Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales ((ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ))) P L. Porque usando el teorema de deducción de: ϕ, (ϕ ψ), (ψ χ) χ resulta (ϕ ψ), (ψ χ) (ϕ χ), (ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ))... (((ϕ ψ) χ) (ψ χ)) P L. Porque de ψ, (ψ (ϕ ψ)), ((ϕ ψ) χ) χ resulta (ψ (ϕ ψ)), ((ϕ ψ) χ) (ψ χ)... ((ϕ (ψ χ)) (ψ (ϕ χ))) P L

14 Ejemplo de prueba. 2 Repaso clase anterior Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales ((ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ))) P L. Porque usando el teorema de deducción de: ϕ, (ϕ ψ), (ψ χ) χ resulta (ϕ ψ), (ψ χ) (ϕ χ), (ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ))... (((ϕ ψ) χ) (ψ χ)) P L. Porque de ψ, (ψ (ϕ ψ)), ((ϕ ψ) χ) χ resulta (ψ (ϕ ψ)), ((ϕ ψ) χ) (ψ χ)... ((ϕ (ψ χ)) (ψ (ϕ χ))) P L Porque ((ϕ (ψ χ)), (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) (ψ (ϕ χ)).

15 Lógicas Modales Autocongruentes. Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales Definición: Sea S es un conjunto de fórmulas modales. Diremos que S es una Lógica Modal Autocongruente si contiene los axiomas de la Lógica Proposicional, es cerrado por Modus Pones, por Sustituciones y por Congruencia, i.e.: Si ϕ 1 ϕ 2 S entonces ϕ 1 ϕ 2 S Definición: La Lógica Modal Autocongruente más pequeña será llamada C.

16 Lógicas Modales Regulares. 1 Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales Definición: Una lógica autocongruente S es llamada regular si (ϕ 1 ϕ 2 ) ϕ 1 ϕ 2 S. La lógica regular más pequeña se denominará R. Definición: Un conjunto de fórmulas S es cerrado por Monotonía si para toda fórmulas ϕ 1, ϕ 2 se tiene: Si (ϕ 1 ϕ 2 ) S, entonces ( ϕ 1 ϕ 2 ) S Observación: Toda lógica regular es cerrada por Monotonía.

17 Lógicas Modales Regulares. 2 Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales Los siguientes son tesis de cualquier lógica modal regular. (ϕ 1 ϕ 2 ) ( ϕ 1 ϕ 2 ). (ϕ 1 ϕ 2 ) ( ϕ 1 ϕ 2 ). (ϕ 1 ϕ 2 ) ( ϕ 1 ϕ 2 ). (ϕ 1 ϕ 2 ) ( ϕ 1 ϕ 2 ). (ϕ 1 ϕ 2 ) ( ϕ 1 ϕ 2 ). (ϕ 1 ϕ 2 ) ( ϕ 1 ϕ 2 ). ( ϕ 1 ϕ 2 ) (ϕ 1 ϕ 2 ). Prueba: Vamos a probar que (ϕ 1 ϕ 2 ) ( ϕ 1 ϕ 2 ) R

18 Lógicas Modales Normales. 1 Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales Una subclase importante de lógicas autocongruentes corresponde a la siguiente: Definición: Una Lógica Modal Regular S es llamada Normal si (p p) S. La lógica modal Normal más pequeña es denotada como K.

19 Lógicas Modales Normales. 1 Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales Una subclase importante de lógicas autocongruentes corresponde a la siguiente: Definición: Una Lógica Modal Regular S es llamada Normal si (p p) S. La lógica modal Normal más pequeña es denotada como K. Definición: Un conjunto de fórmulas S es cerrado por Necesitación: Si ϕ S entonces ϕ S

20 Lógicas Modales Normales. 2 Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales Observación: Si S es una lógica modal regular, entonces S es Normal si y solamente si S es cerrada por Necesitación. Prueba:

21 Lógicas Modales Normales. 2 Sintáxis Lógicas Modales Autocongruentes Lógicas Modales Regulares Lógicas Modales Normales Observación: Si S es una lógica modal regular, entonces S es Normal si y solamente si S es cerrada por Necesitación. Prueba: Observación: La lógica normal K puede ser axiomatizada tomando los axiomas de la lógica proposicional, la fórmula (ϕ 1 ϕ 2 ) ( ϕ 1 ϕ 2 ), y como reglas de derivación: Modus Ponens, Sustitución y Necesitación. Prueba:

22 de Vecindad (Neighbourhood). 1 Un modelo de vecindad es una tripla W, N, e donde W es llamado el conjunto de mundos, e : W V ar {0, 1} es una valuación, y N : W ( (W )), i.e. N : W 2 2W es la función de vecindad. Decimos que en un mundo w W vale p V ar, en símbolos w = p, si y sólo si e(w, p) = 1. La interpretación de formulas complejas se define como sigue: w =. w = (ϕ ψ) sii w = ϕ ó w = ψ. w = ϕ sii {v W v = ϕ} N(w).

23 de Vecindad (Neighbourhood). 1 Un modelo de vecindad es una tripla W, N, e donde W es llamado el conjunto de mundos, e : W V ar {0, 1} es una valuación, y N : W ( (W )), i.e. N : W 2 2W es la función de vecindad. Decimos que en un mundo w W vale p V ar, en símbolos w = p, si y sólo si e(w, p) = 1. La interpretación de formulas complejas se define como sigue: w =. w = (ϕ ψ) sii w = ϕ ó w = ψ. w = ϕ sii {v W v = ϕ} N(w). Observación: En Chellas estos modelos son denominados minimales (Cap.7).

24 de Vecindad (Neighbourhood). 2 w = ϕ sii w = ϕ. w = ϕ sii {v W v = ϕ} N(w). w = ϕ 1 ϕ 2 sii w = ϕ 1 ó w = ψ. w = ϕ 1 ϕ 2 sii w = ϕ 1 y w = ψ. w = ϕ 1 ϕ 2 sii w = (ϕ 1 ϕ 2 ) y w = (ϕ 2 ϕ 1 ).

25 de Vecindad (Neighbourhood). 2 w = ϕ sii w = ϕ. w = ϕ sii {v W v = ϕ} N(w). w = ϕ 1 ϕ 2 sii w = ϕ 1 ó w = ψ. w = ϕ 1 ϕ 2 sii w = ϕ 1 y w = ψ. w = ϕ 1 ϕ 2 sii w = (ϕ 1 ϕ 2 ) y w = (ϕ 2 ϕ 1 ). Bajo que condiciones será el caso que: w =?

26 Validez. 1 Dada la noción de verdad en un mundo podemos introducir nociones más fuertes de veracidad: Definición: Dado un modelos de vecindad N = W, N, e y una fórmula modal ϕ, decimos que ϕ es válida en N, en símbolos = N ϕ, si: w W : w = ϕ Además, si C es una clase de modelos de vecindad, diremos que una fórmula ϕ es válida en C, = C ϕ, si: N C : = N ϕ

27 Validez. 2 Teorema: Sea C es una clase de modelos de vecindad. Entonces: Si = C ϕ ψ entonces = C ϕ ψ

28 Validez. 2 Teorema: Sea C es una clase de modelos de vecindad. Entonces: Si = C ϕ ψ entonces = C ϕ ψ Prueba: Supongamos que C es una clase de modelos vecinales tal que = C ϕ ψ. Eso quiere decir que para todo N C : {v W v = ϕ} = {v W v = ψ}. Por lo tanto para todo w N C : w = ϕ sii w = ψ. Por lo cual queda probado que = C ϕ ψ.

29 Validez. 2 Teorema: Sea C es una clase de modelos de vecindad. Entonces: Si = C ϕ ψ entonces = C ϕ ψ Prueba: Supongamos que C es una clase de modelos vecinales tal que = C ϕ ψ. Eso quiere decir que para todo N C : {v W v = ϕ} = {v W v = ψ}. Por lo tanto para todo w N C : w = ϕ sii w = ψ. Por lo cual queda probado que = C ϕ ψ. Observación: Esto quiere decir que cualquier clase de modelos de vecindad define una lógica autocongruente.

30 No validez. Veamos que existen modelos vecinales que no validan las siguientes fórmulas: (Ejercicio) M. (ϕ ψ) ( ϕ ψ). C. ( ϕ ψ) (ϕ ψ). N..

31 No validez. Veamos que existen modelos vecinales que no validan las siguientes fórmulas: (Ejercicio) M. (ϕ ψ) ( ϕ ψ). C. ( ϕ ψ) (ϕ ψ). N.. Observación: En las lógicas modales hay una especie de slogan que refiere a la permiabilidad de la semántica para formar clases particulares (e interesantes) a partir de satisfacer un determinado conjunto de fórmulas.

32 Jerarquía de lógicas EMCN EMC EMN ECN EM EC EN E

33 Condiciones especiales. 1 Si denotamos N w en lugar de N(w) podemos considerar las siguientes condiciones sobre la función de vecindad: (m). Si X Y N w, entonces X N w y Y N w. (c). Si X N w y Y N w, entonces X Y N w. (n). W N w. (m ). Si X Y y X N w, entonces Y N w.

34 Condiciones especiales. 1 Si denotamos N w en lugar de N(w) podemos considerar las siguientes condiciones sobre la función de vecindad: (m). Si X Y N w, entonces X N w y Y N w. (c). Si X N w y Y N w, entonces X Y N w. (n). W N w. (m ). Si X Y y X N w, entonces Y N w. Observación: Las condiciones (m) y (m ) son equivalente.

35 Condiciones especiales. 1 Si denotamos N w en lugar de N(w) podemos considerar las siguientes condiciones sobre la función de vecindad: (m). Si X Y N w, entonces X N w y Y N w. (c). Si X N w y Y N w, entonces X Y N w. (n). W N w. (m ). Si X Y y X N w, entonces Y N w. Observación: Las condiciones (m) y (m ) son equivalente. Prueba: Supongamos que X Y N w. Como X Y X entonces X N w por (m ). Idem con Y. En el otro sentido, supongamos que X Y y X N w. Entonces X = X Y N w. Luego por (m) tenemos que Y N w.

36 Condiciones especiales. 2 De acuerdo a que condiciones (m), (c) ó (n) satisface la función de vecindad N decimos que el modelo es suplementado, cerrada por intersección ó contiene la unidad. Cuando N satisface las dos primeras condiciones se dice que el modelo es un quasi-filtro y si satisface las tres decimos que es un filtro. Teorema: Los siguientes esquemas son válidos en las respectivas clases de modelos: M en los suplementados. C en los cerrados por intersección. N en los que contienen la unidad.

37 Extensiones de un modelo. 1 Definición: Sea N = W, N, e un modelo de vecindad. El modelo suplementado de N es el modelo de vecindad N + = W, N +, e tal que w W : N + w es cerrado por superconjuntos, i.e. X W : X N + w sii Y N w : Y X

38 Extensiones de un modelo. 1 Definición: Sea N = W, N, e un modelo de vecindad. El modelo suplementado de N es el modelo de vecindad N + = W, N +, e tal que w W : N + w es cerrado por superconjuntos, i.e. X W : X N + w sii Y N w : Y X Definición: Sea N = W, N, e un modelo de vecindad. El modelo cerrado por intersección de N es el modelo de vecindad N = W, N, e tal que w W y X W : X N + w sii Y 1,..., Y n N w tal que X = Y 1 Y n

39 Extensiones de un modelo. 2 Observación: Notar que w W : N w N + w y N w N w. Porqué?

40 Extensiones de un modelo. 2 Observación: Notar que w W : N w N + w y N w N w. Porqué? Además los modelos N + y N + son los mismos. Eso da sentido a la siguiente:

41 Extensiones de un modelo. 2 Observación: Notar que w W : N w N + w y N w N w. Porqué? Además los modelos N + y N + son los mismos. Eso da sentido a la siguiente: Definición: Sea N = W, N, e un modelo de vecindad. El modelo quasi-filtro de N es el modelo de vecindad N ± = W, N ±, e, donde N ± = N + = N +.

42 Ejercicios Ejercicios: 1 SeaN = W, N, e un modelo de vecindad suplementado. Probar que para todo w W : N w si y sólo si W N w. 2 SeaN = W, N, e un modelo de vecindad suplementado. Probar que todo w W : w = ϕ si y sólo si X N w : X {v W v = ϕ}. 3 Encuentre un modelo de vecidad donde el axioma K no es válido.

43 Modelos aumentados. 1 Definición: Un modelo de vecindad N = W, N, e es aumentado, si es suplementado y w W resulta que: Nw N w o equivalentemente X N w sii Nw X

44 Modelos aumentados. 1 Definición: Un modelo de vecindad N = W, N, e es aumentado, si es suplementado y w W resulta que: Nw N w o equivalentemente X N w sii Nw X Observación: Es importante resaltar que la noción de aumentado involucra el hecho que sea cerrado por arbitraria intersecciones. En distinción al axioma C que en principio se refiere a finitas intersecciones. En este sentido todo modelo aumentado en un filtro pero la inversa no es necesariamente cierta. Ejemplo: Consideremos el modelo aumentado N = R, N, e donde R es el conjunto de los números reales y para cada r R : N r = {X R (r, s) X con s R y r < s}.

45 Modelos aumentados. 2 Definición: Sea N = W, N, e un modelo de vecindad. El modelo aumentado de N es el modelo de vecindad N! = W, N!, e tal que para todo w W : N! w = {X W : N w X}

46 Modelos aumentados. 2 Definición: Sea N = W, N, e un modelo de vecindad. El modelo aumentado de N es el modelo de vecindad N! = W, N!, e tal que para todo w W : N! w = {X W : N w X} Observación: Si V ar es infinito y W representa todas las valuaciones posibles de ese lenguaje. Entonces eliminar de N! w una cantidad arbitraria de subconjuntos finitos de W tiene efecto inocuo respecto de la satisfacibilidad de una fórmula en w.

47 Modelos aumentados. 3 Definición: Un modelo de Kripke es una tripla M = W, R, e donde W y e son como antes y R W W una relación de accesibilidad. La interpretación de un fórmula modal es com sigue: w = ϕ sii w W : R(w, w ) w = ϕ

48 Modelos aumentados. 3 Definición: Un modelo de Kripke es una tripla M = W, R, e donde W y e son como antes y R W W una relación de accesibilidad. La interpretación de un fórmula modal es com sigue: w = ϕ sii w W : R(w, w ) w = ϕ Teorema: Para todo modelo de Kripke M = W, R, e existe un modelo de vecidad aumentado N = W, N, e que es equivalente y viceversa, i.e. para toda fórmula ϕ y w W : (M, w) = ϕ sii (N, w) = ϕ

49 Los esquemas D, T, B, 4 y 5. 1 D. ϕ ϕ. T. ϕ ϕ. B. ϕ ϕ. 4. ϕ ϕ. 5. ϕ ϕ. Ninguno de estos esquemas es válido en la clase de todos los modelos minimales. Pero cada uno de ellos puede ser identificado con una subclase que los valida de la siguiente forma:

50 Los esquemas D, T, B, 4 y 5. 2 Sea N = W, N, e un modelo de vecindad: (d). Si X N w, entonces X c N w. (t). Si X N w, entonces w X. (b). Si w X, entonces {w W : X c N w } N w. (iv). Si X N w, entonces {w W : X N w } N w.. (v). Si X N w, entonces {w W : X N w } N w.

51 Los esquemas D, T, B, 4 y 5. 2 Sea N = W, N, e un modelo de vecindad: (d). Si X N w, entonces X c N w. (t). Si X N w, entonces w X. (b). Si w X, entonces {w W : X c N w } N w. (iv). Si X N w, entonces {w W : X N w } N w.. (v). Si X N w, entonces {w W : X N w } N w. Teorema: Los siguientes esquemas son válidos en la clase de modelos: D: la condición (d). T: la condición (t). B: la condición (b). 4: la condición (iv). 5: la condición (v).