Apuntes sobre la capacitancia del diodo

Transcripción

1 Apuntes sobre la capacitancia del diodo Considérese un material de silicio dopado tipo N que posee aproimadamente N D electrones libres/cm moviéndose en forma aleatoria en la capa de conducción en diferentes direcciones como resultado de la energía térmica. Si se une el material tipo n con un material tipo p (y N D = N A ) se obtiene un diodo como el mostrado en la figura. Algunos de los electrones del material N que están cerca de la unión moviéndose en forma aleatoria terminan pasando al otro lado de la unión hacia el material P (también algunos electrones del material P en la banda de valencia pasan la unión hacia el material N), pero pasaran más electrones de N a P que de P a N en la banda de conducción. Al pasar los electrones de N a P, algunos átomos que están cerca de la unión en el lado del material N pierden estos electrones y se vuelven iones positivos y del otro lado de la unión, los átomos que ganan estos electrones se vuelven iones negativos. Se dice que se forma una zona de agotamiento de cargas libres y con ello se tiene una densidad de carga positiva en el lado N y una densidad de carga negativa en el lado P. Si N D = N A entonces podemos suponer que la densidad de carga ρ n en el material es de la misma magnitud que la densidad de carga ρ p en el material P como se muestra en la siguiente figura: P N A N D N d/ d/ ρ n = N D q ρ p = N A q = N Dq ( d ) = N Dq ( d ) = N Dq d d 8 () = N Dq d 8 = N Dq d 4 = N Dq d 8 N Dq d

2 Como N D = N A entonces ρ n = N D q y ρ p = N D q. sta densidad de carga produce un campo eléctrico en la zona de agotamiento. l comportamiento de este campo, lo deducimos usando Poisson: d = ρ d, y Mawell: = = d d ρ d. l campo producido por ρ p será entonces: d = = ρ p d = d d N Dq d = N Dq ( d ) A su vez, el campo producido por ρ n será entonces: N D qd d = N Dq = N Dq d = ρ n N Dq d = N Dq ( d ) Retomando Mawell: = d d d = N Dq d = N Dq l Potencial () producido por el campo en el material P será entonces: = d d = = N Dq ( d ) d d = N Dq [( d ) (d d )] 8 4 () = N Dq d d 8 n =, () = N Dq d 8 n =d/, ( d ) = l Potencial () producido por el campo en el material N será entonces: = d () = N Dq d N Dq 8 N D qd 8 n =, () = N Dq d 8 n =d/, ( d ) = N Dq d 4 d ( d ) = N Dq d = 8 N Dq ( d ) d = N Dq ( d ) De lo anterior, se puede deducir que la diferencia de potencial que se da en la zona de agotamiento o la unión, será j = ( d ) ( d ) = N Dq d. 4

3 La carga total positiva Q n en el material N será igual a la densidad de carga ρ n multiplicada por el volumen total que ocupa. Sea A el área transversal del diodo, entonces Q n = ρ n A d. Pero ρ n = N D q y Q n = N D q A d. De la misma forma Q p = N D q A d. Si se define C T = dq n entonces la variación de la carga en función de d será Q n d j d j = N Dq d d y C T = dq n A = d j d = N Dq A y ntonces la zona de agotamiento de distancia d, se comporta como una capacitancia C T con placas de área transversal A. ariación de la capacitancia C T (en la zona de agotamiento o transición) en función de un voltaje eterno aplicado f. Si no hay ningún voltaje eterno aplicado, el voltaje de la unión j es igual al voltaje de la barrera de potencial formada en la unión, la cual varía únicamente con la temperatura y el dopado. n el documento ecuación del diodo se calculó su valor como = η T ln N DN A n i Si el diodo se polariza a favor, el voltaje de la unión j se reduce al restarle al valor constante de la barrera de potencial el voltaje eterno aplicado f. ntonces j = f (observe que si f = entonces j = ). Como j = N Dq d, entonces una reducción de 4 j reduce también la distancia d (zona de agotamiento) y con ello se aumenta C T = A d en una relación cuadrática. Comportamiento de la capacitancia en polarización en contra. Sea R = f.ntonces j = f = R (el voltaje de la unión aumenta). De lo anterior R = j con j = N Dq d y 4 = N Dq d donde d 4 es el valor de la distancia d cuando no se aplica un voltaje eterno f. Sea C T = A d y C = R = j = N Dq d 4 N Dq d 4 = N Dq 4 (d d ) A d, entonces R = N Dq 4 (d d ) = N Dq 4 A C A T C = N Dq A 4 1 C T 1 C

4 R = N Dq A 4 C C T C T C = N Dq A C C T = N Dqd 4C C T 4 C C T C T Pero = N Dq d y 4 R = ( C C T ) o C C T = C T Finalmente C T = C. (1 1 R ) 1 R Si se hace un dopado con átomos pentavalentes y trivalentes de una parte en.71 1 átomos de silicio y al considerar que en un cristal de silicio hay 51 átomos/cm, entonces la concentración de portadores mayoritarios tanto en el material N como en el material P, será N D = N A =.1 1 electrones/cm, = 51 ln (.11 ) ( ) 1. Para el cálculo anterior hay que considerar que n i es constante y para el caso de la temperatura ambiente su valor es electrones/cm. Con ello C T = C (1 R ) 1 Sea C C la capacitancia del encapsulado del diodo entonces C T = C C C (1 R ) 1 sto quiere decir que los valores de la capacitancia cuando se polariza a favor son mayores que A cuando se polariza en contra. Como C = y d = N Dq N D =.1 1 electrones/cm entonces C 4 pf. d 4. Si al área transversal A es de 1 mm y sta fórmula indica claramente como la capacitancia varía en función del voltaje inverso aplicado R. sta es una propiedad eplotada en un tipo de diodo especial llamado varactor o varicap que funciona aplicando el voltaje de polarización en contra. Se puede demostrar que C T = C (1 1 R ) si la densidad de carga cerca de la unión tiene la siguiente forma (variación conforme a la función identidad f()=), lo cual hace que la capacitancia varié menos abruptamente con el voltaje aplicado: P N A N D N d/ d/ ρ n = N D q ρ p = N A q

5 Demostración: Puesto que N D = N A entonces la densidad de carga ρ n en el material es de la misma magnitud que la densidad de carga ρ p en el material P. Sin embargo esta vez la densidad varia en forma lineal en función de la distancia, con la altura y=f()=. l ancho es constante (no se muestra en la figura pero es el eje z). Por Mawell: = d d = ρ d. l campo producido por ρ p será entonces: d d = = ρ p dyd = N Dq d d = N Dq ( d ) 8 A su vez, el campo producido por ρ n será entonces: N D qd 8 d = N Dq N Dq d = N Dq d = 8 ρ n 8 = N Dq Retomando Mawell: = d d ( d 8 ) dyd = N Dq d = N Dq l Potencial () producido por el campo en el material P será entonces: = d () = N Dq [( 6 d 8 n =, () = N Dq d 4 d = = N Dq ) (d 4 )] n =d/, ( d ) = N Dq [( d d 48 d ( d ) 8 ) 16 (d)] = 4 d = N Dq [( d 6 8 l Potencial () producido por el campo en el material N será entonces: = d () = N Dq d N Dq 4 N D qd 4 n =, () = N Dq d 4 n =d/, ( d ) = N Dq d d ( 6 d 8 ) N Dq 4 = N Dq d (d 48 d = 4 N Dq ) = N Dq 16 d 1 ( d ) 8 ) ( d 48 d 16 )] d = N Dq ( d ) 6 8

6 De lo anterior, se puede deducir que la diferencia de potencial que se da en la zona de agotamiento o la unión, será j = ( d ) ( d ) = N Dq d. 1 Comportamiento de la capacitancia en polarización en contra. Sea R = f.ntonces j = f = R (el voltaje de la unión aumenta). De lo anterior R = j con j = N Dq d y 1 = N Dq d donde d 1 es el valor de la distancia d cuando no se aplica un voltaje eterno f. Sea C T = A d y C = R = j = N Dq d 1 N Dq d 1 = N Dq 1 (d d ) A d, entonces R = N Dq 1 (d d ) = N Dq 1 A C A T C = N Dq A 1 1 C 1 T C R = N Dq A 1 C C T C T C = N Dq A C C T = N Dqd 1C C T 1 C C T C T Pero = N Dq d y 1 R = ( C C T ) o C C T = C T Finalmente C T = C (1 1 R ). eqd. 1 R