Modelo 1 ( ) OPCIÓN A EJERCICIO 1. Se consideran las matrices A = B= a) (0.75 puntos) Efectúe la operación A.B t

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1 Instrucciones: a Duración: hora y minutos. b Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. Modelo OPCIÓN A EJERCICIO Se consideran las matrices A = B= 4 a (.75 puntos Efectúe la operación A.B t ( (.( ( b (.75 puntos Determine la matriz X tal que A + X = B!"! #! # $! # $. %&! # $! # '( " *+# &",-& #"*.# /,+ "+" ( +/# / *&# c ( punto Calcule la matriz Y, sabiendo que BY = :8 5;:8< =>=? :8 5;:8< =>@A 8<B5<C89 D :8E8 98; :8 5;:8< =>@F G8 D H I E J J K = J K =E J K =E H J 9L9BMBL?8<:5 H N H N H J A E H F O5; B<B5A D H P E I Q PE I Q PE H I = = R6EM8< 98 VL8:8 ;895WX8; :89V8Y<:5 D? WL8Z5 9L9BMBL?8<:5? 5V8;<:5 [ multiplicando por B, por la izquierda ST ST ST ST 7D H 7 7D H 7 N \D H 7 N D H 7 I I I I B @ P P= O5; B<B5A D H ]:Y^7_` H H H H :8B^7_ I = J K@ J =@ = - Página -

2 EJERCICIO Una entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R(x, en miles de euros, viene dada por la función R(x=.x +.5x +.5, x 5, donde x es la cantidad de dinero invertida en miles de euros. a ( punto Determine qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máxima rentabilidad. b (.5 puntos Qué rentabilidad se obtendría con dicha inversión? c ( punto Cuál es la cantidad de dinero para la que se obtiene menor rentabilidad? Hallemos el valor de x para el que R(x toma el valor máximo. Si x corresponde al máximo relativo de R(x, entonces R (x =,x +,5 = x = 5 Hallamos el valor de R(x en x = 5 R(5 = 65. Como el coeficiente de x es negativo, es una función cuadrática cóncava. Luego, el máximo relativo coincide con el máximo absoluto y corresponde al vértice V(5, 65 a La solución es x = 5 Se debe invertir 5 b La solución es 65 Obtendría una rentabilidad de 65 c Como R( =,999 y R(5 =,5, el valor mínimo se obtiene para x = 5. La solución es 5 EJERCICIO a ( punto Un ilusionista tiene seis cartas: cuatro ases y dos reyes. Saca una carta, la enseña al público y, sin verla, la vuelve a mezclar con las demás. A continuación saca una segunda carta que resulta ser un as. Cuál es la probabilidad de que la primera carta haya sido también un as? Sean los sucesos A = la ª carta es un as A = la ª carta es un as R = la ª carta es un rey R = la ª carta es un rey p( A A Nos piden: p( A / A = p( A p( A A = p( A. p( A / A =. = = Por el teorema de probabilidad total: p( A = p( A. p( A / A + p( R. p( A / R =. +. = Luego, p( A 9 / A = = Observación: Hay otra forma más simple de resolver este apartado: Como las extracciones se hacen con devolución, el resultado obtenido en una extracción no depende de lo obtenido en la otra. Luego, A y A son independientes y, por tanto, 4 p( A / A = p( A = = 6 - Página -

3 b (.5 puntos Si el ilusionista no devolviera la primera carta a la baraja y la segunda carta extraída fuera un as, cuál es la probabilidad de que la primera carta haya sido también un as? Sean A = la ª carta es un as A = la ª carta es un as R = la ª carta es un rey R = la ª carta es un rey p( A A Nos piden: p( A / A = p( A 4 p( A A = p( A. p( A / A =. = Por el teorema de probabilidad total: p( A = p( A. p( A / A + p( R. p( A / R =. +. = Luego, p( A 5 / A = = 5 EJERCICIO 4 (.5 puntos La talla media de los alumnos de una Universidad sigue una distribución Normal de media 7 cm y desviación típica 6 cm. Estudios recientes hacen sospechar que dicha talla media ha aumentado. Para confirmar, o no, esa sospecha se ha tomado una muestra de 64 estudiantes de esa Universidad, cuya talla media ha resultado ser de 7 cm. Con un nivel de significación del %, plantee un contraste de hipótesis (H: μ 7, determine la región crítica de ese contraste y razone si se puede concluir que la talla media poblacional ha aumentado. Contraste de hipótesis unilateral para la media, µ, de la v. a. normal X = talla de los alumnos. H H : µ 7 ( hipótesis nula : µ > 7 ( hipótesis alternativa ( µ = 7 nivel de significación : α = % =, ; nivel de confianza : n = α =,99 Re gión de aceptación : R= ( ; z Re gión crítica : R = ( z ; - Página - c α c α + nc zα cumple p( zα < Z < zα = nc φ( zα = nc φ( zα =, donde φ ( zα = p( Z < zα +,99,99 En este caso, φ( zα = = =,995. Buscamos dentro de la tabla de la N(, el valor,995 y obtenemos por int erpolación z =,575 Re gión de aceptación : R= ( ;,575 Re gión crítica : R c = (,575 ; tamaño muestral : n= 64 ; media muestral : x = 7 ; desviación típica : σ = 6 ; x µ estadístico de contraste : z= = = =,67 σ 6 6 n 64 Como z=,67 R= ( ;,575, rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa. Es decir, se puede concluir que la talla media ha aumentado Consideraciones sobre la puntuación de este ejercicio:.5 por plantear el contraste,.75 por el estadístico de contraste, punto por la región de rechazo/aceptación,.5 puntos por la conclusión. α

4 OPCIÓN B EJERCICIO a ( puntos Represente gráficamente la región factible definida por las siguientes restricciones: 4x + y 5 x + 5y x + y 6 x y y calcule sus vértices. 5 5 Para x= 4.+ y= 5 y= ; Punto (, 4 5 x+ y= 5 5 Para y= 4x+.= 5 x= ; Punto (, 4 4 Para x=.+ 5y= y= = ; Punto (, 5 x+ 5y= Para y= x+ 5.= x= = 5; Punto (5, : Para x= + y= y= ; Punto (, x+ y= 6 x+ y= Para y= x+ = x= ; Punto (, x= Recta vertical que pasa por x= Eje Y y= Recta horizontal que pasa por y= Eje X Cálculo de los vértices de la región factible 4x+ y= x+ y= 6 A= x=, y= A(, C= x=, y= C(, x+ 5y= y= x+ y= x+ y= B= x=, y= B(, D= x=, y= D(, x+ 5y= y= 4 4 Consideraciones sobre la puntuación de este apartado: Hasta región factible, por los vértices. - Página 4 -

5 b (.5 puntos Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo F(x, y = x +y en la región anterior y los puntos donde se alcanzan A(, F( A = +. = = 4,65 C(, F( C = +.= B(, F( B = +. = = 4, D(, F( D = +.= =, El valor máximo de F es 5 El valor mínimo de F es y se alcanza en el vértice D 4 Consideraciones sobre la puntuación de este apartado:.5 por el máximo,.5 por el mínimo. ( ax, si x < EJERCICIO Sea la función f ( x = x + b( x, si x - Página 5 - y se alcanza en el vértice B a (.5 puntos Halle los valores de a y b sabiendo que la función es derivable en x = Como f es derivable en x=, es continua ( o sea, lim f ( x = f ( x y además coinciden las derivadas laterales en x= ( o sea, lim f ( x = lim f ( x + x x a lim f ( x = lim (ax = ( a = x x lim f ( x = lim [ x + b( x ] = ( + b( = b + x x a f ( = b Por ser continua en x=, = b a = ( b a = 4b a+ 4b= a.a, si x<, si x< Para x, f ( x = f ( x = x+ b., si x> x+ b, si x> a a lim f ( x = lim = x x lim f ( x = lim ( x + b =.( + b= + b + x x a Por coincidir las derivadas laterales, = + b a= ( + b a= 4+ b a b= 4 a+ 4b= Por tan to, a= 8, b= 7 a b = 4 Consideraciones sobre la puntuación de este apartado: Hasta.5 planteamiento de la continuidad,.5 por el de la derivabilidad,.5 el resto b ( punto Para a = y b= obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x en el punto de abscisa x = x ( x, si x <, si x < Para a=, b=, f ( x = f ( x = x ( ( x, si x + x x+, si x La ecuación de la recta tan gente en x es : y= f ( x.( x x + f ( x, si x< En este caso, x =, f ( x = f ( = = 7. Como para x, f ( x =, f ( x = f ( = x, si x> La ecuación de la recta tan gente es : y=.( x+ 7 y= x+ 7 rtg : y= x 6

6 EJERCICIO El % de los habitantes de una ciudad lee el diario A, el % el diario B, y el 6% ambos diarios. a (.5 puntos Qué porcentaje de habitantes de esta ciudad no lee ninguno de los diarios? A= leer el diario A Sean los sucesos p( A =,, p( B =,, p( A B =,6 B = leer el diario B c c c Nos piden p( A B = p[( A B ] = p( A B = [ p( A + p( B p( A B] = (,+,,6 =,6 Luego, el 6% de los habi tantes no lee ninguno de los diarios b (.5 puntos Si se elige al azar un habitante de esta ciudad de entre los no lectores del diario B, cuál es la probabilidad de que lea el diario A? c c p( A B p( A p( A B,,6,4 Nos piden p( A / B = = = =,759= 7,59% c p( B p( B,,87 EJERCICIO 4 El tiempo en horas dedicado cada día al uso de una aplicación de mensajería instantánea por los estudiantes de bachillerato de una ciudad, es una variable aleatoria que sigue una ley Normal con desviación típica.5 horas. Se toma una muestra aleatoria de estudiantes y se obtienen los siguientes tiempos de uso en horas: a (.5 puntos Determine un intervalo de confianza al 9% para el tiempo medio diario dedicado al uso de esta aplicación por los estudiantes. X = tiempo en horas; X N( µ ;,5; desviación típica : σ =,5 ; tamaño de la muestra : n=,5+ 4,5+,5+,75+ 4,+,75+,5+,+,75+, 7 Media muestral : x= = =,7 + nc Como p( zα < Z < zα = nc φ( zα = nc φ( zα =, donde φ ( z = p( Z < z α α +,9,9 En este caso, el nivel de confianza nc =,9, luegoφ( zα = = =,95. Buscamos dentro de la tabla de la N(, el valor,95 y obtenemos por int erpolación z =, 645,5 E=,645. =,6. Por tan to, el int ervalo de confianza es I = (,7,6 ;,7+,6 I = (, 44 ;,96 α Consideraciones sobre la puntuación de este apartado:.5 por media muestral,.5 cálculo del percentil,.5 expresión del intervalo de confianza y.5 obtención del mismo. b ( punto Calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el tiempo medio diario dedicado al uso de esta aplicación, para un error de estimación no superior a. horas y mismo nivel de confianza anterior. σ,5,5 E, ; zα.,, 645.,, 645. n 8, 5 n 67, 7 n n n, Luego, el tamaño mínimo de la muestra es n= 68 - Página 6 -