Tema 1: Transformada de Laplace. Contenidos Transformada de Laplace
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- Gerardo Aguilera Iglesias
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1 Tema Traformada de aplace Traformada de aplace Traformada vera de aplace Coedo Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace.. Traformada de aplace Se defe la raformada de aplace de ua fucó F : R + alafucó f() deermada por F () f() empre que dca egral exa. Z e F ()d! R yedeoapor F () Ejemplo. Calcular la raformada de aplace de la fucó F (). Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga 2
2 Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace Solucó: Z >< e u d ĺım! e 8 egracó por pare >: du d e 2 2 (empre que >) > dv e d v e ĺım! e 9 >; ĺım! e e 2 ++e 2 Z e d Obérvee que ea codcó e eceara para que la egral ea covergee. Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace Traformada de aplace de la fucoe elemeale > e a a >a! > x (x + ) + x+ x> ; > e(a) a > co(a) 2 + a a 2 > e(a) a > a co(a) 2 a 2 2 a 2 > a Ejemplo.2 Demorar que e yque a a. Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga 4
3 Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace Solucó: Z e e d ĺım! ĺım e e! (empre que >) e a Z e e a d a Z e ( (empre que >a) a) d ĺım! e ( a) ( a) ĺım! a e ( a) e Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga 5 Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace Propedade de la raformada de aplace Sea f() F () y g() G(). af()+bg() af()+bg() e u operador leal, e decr, F ( a) >a Tralacó: H() eoce <a Cambo de ecala: F (a) a f 8 a> a Traformada de la dervada: F () f() F () H() e a f() y, geeralzado para dervada de orde : F () () f() F () 2 F () F ( 2) () F ( ) () Z Traformada de la egral: F (u)du f() Mulplcacó por poeca de : F () ( ) d d f() Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga 6
4 Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace Dvó por : F () ĺım! + exe (6 ), eoce Mulplcacó por expoecale: 2 R, eoce Covolucó: F G Z Z F () f(u)du e F () f ( ) F (u)g( u)du eoce F G f() g() Ejemplo. Calcular: (a) (d) e co(5) co(2) (b) (e) Z e 7 28 co (5)d (c) 2 e(2) Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga 7 Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace Solucó: (a) e co(5) (b) Z co (5)d e 2 +2 co(5) co (5) (c) 2 e(2) ( ) 2 d2 d ( 2 +4) e(2)! ( 2 +4) 2 Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga 8
5 Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace (d) co(2) ĺım! + co(2) Z ĺım l u! H 2 e(2) ĺım exe. Por lo ao,! + Z u co(2) du ĺım l p! l u2 +4 l du u u 2 +4 u ĺım l p! u 2 +4 p p 2 +4 l p 2 +4 l 2 +4 (e) Como 28 28!, eoce e ! 29 ( 7) 29 Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga 9 Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace Cálculo de egrale mpropa Teedo e cuea la propedade de la egrale depedee de u parámero, F () e ua fucó coua (o poee u úmero umerable de dcoudade) y f() F (), e edrá que Z Z F ()d ĺım e F ()d ĺımf()!! ya que ĺım! e F () F (). Obervacó: la raformada f() exe para >, el ĺıme aeror ólo edrá edo calcularlo por la dereca de. Eo e: Z F ()d ĺım! + Z e F ()d ĺım! + f() Ejemplo.4 Calcular Z e d. Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga
6 Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace Solucó: e ĺım! + e Z H co ĺım exe! + e du ĺım arcg! Z u 2 + arcg arcg 2 du ĺım arcg u! Por lo ao, Z e d ĺım! + e ĺım! + 2 arcg 2 arcg 2 2 Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace Teorema obre raformada de aplace S f() F () e ee que: Comporameo e el fo: ĺım f()! Teorema del valor cal: S ĺım F () exe, eoce ĺım F () ĺımf()! +! +! Teorema del valor fal: S ĺım! F () exe, eoce ĺım! F () ĺım! + f() Ejemplo.5 Demorar que o exe gua fucó F () al que F () Solucó: ĺım 6 y, por lo ao, o puede er la raformada de aplace de gua! fucó, ya que o e verfca el eorema de comporameo e el fo. Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga 2
7 Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace.2. Traformada vera de aplace E la prácca, ede val mporaca el poder recuperar F () aparrdeuraformadade aplace f() F (). Para ello, e defe la raformada vera de aplace yedeoa por f(), alafucó F () al que F () f(). Traformada vera de aplace de la fucoe elemeale > a ea >a a 2! e(a) a e(a) 2 a 2 a > x+ x (x + ) > co(a) > 2 + a 2 > a x> ; > co(a) > a 2 a 2 Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace Propedade de la raformada vera de aplace Sea F () f() y G() g(). e u operador leal, e decr, af()+bg() af()+bg() F ( Tralacó: e a f() H() edo H() Cambo de ecala: f(a) a F a Traformada de la egral: Mulplcacó por poeca de : f() Z Dvó por : f(u)du Z F (u)du d f() d ( ) F () F () a) >a <a Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga 4
8 Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace Mulplcacó por expoecale: S 2 R, eoce f ( ) e F () Covolucó: S F G Z F (u)g( u)du eoce f() g() F G Ejemplo.6 Calcular: (a) 2 +4 (d) Z u (b) ( 2 +9) du (e) ( 2) (c) l Solucó: (a) co(2) 5e7 Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga 5 Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace (b) ( 2 +9) Z du Z e(u) du co(u) 9 co() co co() 9 Ora forma: ( 2 +9) +9 2 Z 2 +9 e(u) du co() 9 e() (c) Teemo + l l( + ) l + y, aí, Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga 6
9 Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace y, por lo ao, " # + + l ( ) l + l + + e l + l Z (d) u 2 6 du u 2 6 (e) ( 2) 2 +9 e e e (6) 6 e2 e() e (6) 6 Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga 7 Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace Cálculo de la raformada vera de aplace de fucoe racoale S f() P () (cocee de polomo), debdo al eorema del comporameo e el Q() fo, la raformada vera exrá empre que el grado del polomo del umerador P () ea meor que el grado del deomador Q(), ylaformadecalculardcaraformadavera corá e decompoer e fraccoe mple f(), para poerormee, ulzado la lealdad de, obeer f() como uma de la raformada vera de cada fraccó mple. Ejemplo Calcular la raformada vera de aplace de f() ( 2)( ) 2 ( 2 +4)( ) dejado dcado lo coefcee de la decompocó e fraccoe mple. Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga 8
10 Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace Solucó: f() A 2 + B + C ( ) + D + E F+ G A 2 + B + C ( ) 2 + D + E F+ G ( 2) 2 +4 A 2 + B + C ( ) + D + E F ( 2) + G +2F ( 2) 2 +4 A 2 + B + C ( ) 2 + D E F 2 ( 2) (G +2F ) ( 2) 2 +4 Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga 9 Amplacó de Cálculo 2/. Ecuela Polécca Superor Tema : Traformada de aplace Aí, f() A e 2 + B e + Ce + D co(2)+ E 2 e(2)+f e2 co(2) + G +2F 2 e 2 e(2) Grupo EDUMATICUS. Deparameo de Maemáca Aplcada. Uverdad de Málaga 2
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