Lic. Saúl Villamizar Valencia 53 SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Y ESFERA

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1 Lic. Saúl Villamizar Valencia 53 SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Y ESFERA

2 54 Actualización Permanente en el Área Matemática 1. Cilindro Definiciones Se llama superficie cilíndrica la engendrada por una recta que se desplaza en el espacio, permaneciendo siempre paralela a una recta fija, y apoyándose en una curva también fija. La recta fija se llama generatriz y la curva fija se llama directriz. Cilindro circular Es el sólido geométrico limitado por una superficie cilíndrica y dos planos paralelos que cortan todas las generatrices. Estos dos planos paralelos se llaman bases. Cilindro de revolución Cilindro de revolución o cilindro circular recto es el que está engendrado por la revolución completa de un rectángulo alrededor de sus lados. Generatriz Altura El lado sobre el cual gira el rectángulo se llama eje o altura, el lado opuesto generatriz y los otros lados que describen los círculos que son las bases del cilindro. Área lateral

3 Lic. Saúl Villamizar Valencia 55 El área lateral de un cilindro es igual a la longitud de la circunferencia de la base por la generatriz Al= 2prg Área total El área total de un cilindro es igual al área lateral mas el área de las bases. 2prg + 2pr 2 At= 2p r( g + r) Volumen El volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura. V = p r 2 h PROBLEMAS: Para los problemas 1,2,3, calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro 1. El diámetro de la base mide 12cms y la generatriz es de 30 cms. 2. La longitud de la circunferencia de la base de un cilindro mide cms y la generatriz mide 29 cms. 3. El área de la base de un cilindro es de 240,58 m 2. La altura es el doble del diámetro de la base. 4. El volumen de un cilindro es equivalente al volumen de una pirámide triangular regular, si la altura de la pirámide es de 45 cms. Cuál es el lado de la base. 5. Un recipiente cilíndrico de 13 m de altura tiene una capacidad de 700 litros. Calcular el radio de la base. 6. El área lateral de un cilindro es de 1444 m 2 y la generatriz es tres veces el radio. Calcular el radio. 7. Cuántos m 3 de agua contiene un pozo cilíndrico de 45m de profundi-dad y 6 m de diámetro, si su contenido sólo llega hasta los 3/5.

4 56 Actualización Permanente en el Área Matemática 8. Un rodillo de acero tiene 1,5 m de largo y 75 cm de diámetro. Qué área cubre al rodar dando 250 revoluciones?. 2. SUPERFICIE CÓNICA Y CONO Definiciones Se llama superficie cónica, la engendrada por una recta que se desplaza en el espacio pasando siempre por un punto fijo, llamado vértice y apoyándose en una curva fija. La recta se llama generatriz y la curva directriz. La superficie cónica se compone de dos partes, hojas o mantos, opuestos por el vértice. EL CONO Procedimiento para construirlo. Dibuje un ángulo de 90º, haciendo centro en A, y con una abertura igual a la longitud de AB, se describe el arco CEB. B E Cono circular A C Es el sólido geométrico limitado por uno de los mantos de una superficie cónica y por un plano que corta todas las generatrices, llamado base. Cono de revolución Es el sólido geométrico engendrado por la revolución completa de un triángulo rectángulo alrededor de uno de los catetos.

5 Lic. Saúl Villamizar Valencia 57 El cateto sobre el cual gira el triángulo se llama eje o altura del cono, la hipotenusa es la generatriz y el otro ateto describe el circulo de la base. Área lateral El área lateral de un cono es igual a la mitad de la longitud de la circunferencia de la base por la generatriz. Al = ½(prg) Al = p r g Área total El área total de un cono es igual al área lateral más el área de la base. At = pr g + pr 2 At = pr(g +r) Volumen El volumen de un cono es igual a la tercera parte área de la base por la altura. V = 1/3p r 2 h g h del PROBLEMAS r 1. Un cono tiene 48m 3 de volumen. Calcular el área de la base, sabiendo que la altura del cono es dos veces el radio de la base. 2. El lado de un triángulo equilátero mide 15cms. Hallar el área lateral, el área total y el volumen del cono generado al girar alrededor de la altura. 3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 24 cms. Calcular el área total, y el volumen del cono generado por dicho triángulo, si gira alrededor de uno de sus catetos. 4. Calcular el área de la superficie de una tienda construida de forma cilíndrica, rematada por un cono, sabiendo que tanto la generatriz del cono como la del cilindro y el diámetro común miden 2.5 m cada uno.

6 58 Actualización Permanente en el Área Matemática 5. La longitud de la circunferencia de la base de un cono mide 22Hm, y la altura 39m. Calcular el área lateral, el área total y el volumen. 6. Cuánto cuesta el material para construir un embudo sin tapa de 65 cms de diámetro, 80cms de alto. Si el m 2 de lámina cuesta Bs 330? 4. SUPERFICIE ESFÉRICA. ESFERA Definiciones Se llama superficie esférica a la superficie que está engendrada por la revolución completa de una semi-circunferencia alrededor de su diámetro. Esfera Es el sólido geométrico engendrado por un semi-círculo que gira alrededor del diámetro. Radio de una esfera Es el segmento de recta que une el centro con un punto cualquiera de la superficie esférica. Diámetro de una e sfera Es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos de la superficie esférica. Plano diametral Es todo plano que pasa por el centro de la esfera y la divide en dos partes iguales llamadas hemisferios.

7 Lic. Saúl Villamizar Valencia 59 Nota: Cuando un plano corta una esfera origina sobre la superficie esférica una circunferencia y sobre la esfera un círculo. Círculo máximo Es la sección que produce un plano diametral. Es el círculo de radio igual al radio de la esfera. Círculo menor Es la sección que produce un plano que no pasa por el centro. Área de la esfera Experiencia Tomamos una esfera de madera y la dividimos en dos semi-esferas, se coloca un clavo en cada semiesfera, en el punto indicado y se enrolla un hilo que cubra la superficie de la semi-esfera y otro que cubra el círculo máximo, entonces podemos observar que el hilo empleado para cubrir la superficie de la semi-esfera es el doble del largo que el empleado para cubrir el círculo máximo, lo cual nos permite obtener la siguiente conclusión: El área de una semiesfera es equivalente a la de dos círculos máximos, y por tanto el área de una esfera es equivalente al área de cuatro círculos máximos.

8 60 Actualización Permanente en el Área Matemática Sea r, el radio de la esfera, el área del círculo máximo es A = pr 2, y el área de la esfera equivalente a cuatro círculos máximos es: A = 4pr 2 Volumen de la esfera El volumen de una esfera es la tercera parte del producto de p por el radio al cubo. V = 4π Ejemplo Calcular el volumen de una esfera inscrita en un cubo de 6 cm de arista. Solución. r = 3 cm. Porqué? V = 4/3p r 3 V = 4/3(3.14)(3cm) 3 V = cm 3 PROBLEMAS 1. Calcular el costo de la pintura de un globo esférico de 28m de radio, si el metro cuadrado de pintura cuesta Bs Calcular el radio de una esfera de hierro que pesa 400 Kg. (Densidad del hierro 7.8) 3. Dos cuerdas se cortan en un círculo máximo de una esfera, la distancia del punto de intersección al centro es de 30cm y el producto de los segmentos de cada cuerda es 530. Determinar el área de la esfera. 4. Calcular el radio de la base de un cono de 99 cm de altura si su volumen es igual al de una esfera de 2m de radio. RELACIÓN ENTRE EL ÁREA DE LA ESFERA Y EL ÁREA DEL CILINDRO CIRCUNSCRITO

9 Lic. Saúl Villamizar Valencia 61 Se observa en la gráfica que el diámetro de la base del cilindro es igual al diámetro de la esfera y que la altura del cilindro es igual al diámetro de la esfera. Significa que el área lateral del cilindro es Al= 2prg Al= 2pr (2r) Al= 4pr 2 que es exactamente el área de la esfera.