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1 Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS Ejercicios tipo test de las lecciones 1 y El vector e = ( 1, 0, λ) está en el plano generado por los vectores u = (1, 2, 1) y v = (1, 3, 0) (a) Si λ = 3 (b) Para cualquier valor de λ (c) En ningún caso. 2. Sea E el subespacio de R 3 generado por los vectores (2, 1, 0) y (1, 0, 2). Sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa: (a) E = (2, 1, 0), (1, 0, 2) (b) E = (2, 1, 0), (1, 1, 2) (c) E = {(x, y, z) R 3 : 2x 4y + 3z = 0} (d) E = {(2λ + µ, λ, 2µ) R 3 : λ, µ R} 3. Los valores de α y β para los que el vector (α, 1, 5, β) R 4 pertenece al subespacio generado por los vectores (1, 0, 2, 1) y (2, 1, 1, 0) son: (a) α = β = 5 (b) α = 5, β = 3 (c) α = 3, β = 5 4. Dados los vectores u = (2, 1, 1) y v = (1, 1, 1) de R 3, sólo una de las afirmaciones siguientes (a) Un suplementario de u, v es el subespacio (1, 0, 0). (b) Los vectores e 1 = (1, 0, 0), u y v forman una base de R 3. (c) Un suplementario de u, v es el subespacio (0, 0, 1) Dadas las matrices,,,, sólo una de las afirmaciones siguientes (a) Son linealmente independientes. (b) Generan un subespacio de M(2 2, R) de dimensión 3. (c) Forman una base de M(2 2, R). 6. Los valores de λ y µ para los que las matrices λ µ y no son lineal mente independientes son: (a) λ = 2, µ = 3 (b) λ = 4, µ = 6 (c) λ = µ = 3 {( 2a 3b a + b 7. Sea V = a + b 3b 2a (a) V es un subespacio de M(2 2, R) de dimensión 4. (b) V es un subespacio de M(2 2, R) de dimensión 2. (c) V es un subespacio de M(2 2, R) de dimensión 3. 1 ) }, con a, b R. Sólo una de las afirmaciones siguientes

2 8. Sea V el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que 3 que son divisibles por x 1. Sólo una de las afirmaciones siguientes (a) V no tiene estructura lineal. (b) V es un subespacio vectorial de E = 1, x, x 2, x 3 de dimensión 2. (c) V es un subespacio vectorial de E = 1, x, x 2, x 3 de dimensión Sea E un espacio vectorial de dimensión n y sean E 1, E 2 subespacios de E de dimensiones n 1 y n 2 respectivamente. Es cierto que: (a) Si E = E 1 + E 2, se verifica E 1 E 2 = {0} (b) Si n = n 1 + n 2, entonces E = E 1 E 2 (c) Si E = E 1 + E 2, se verifica n = n 1 + n 2 (d) Si E = E 1 + E 2, se verifica n n 1 + n Sea E = 1, x, x 2 el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 y sea E = {p(x) E : p(1) = p(2)}. Solamente una de las afirmaciones siguientes (a) E no es un subespacio vectorial de E. (b) E = 1, x 2 3x (c) E es un subespacio vectorial de E de dimensión 1. (d) E es un subespacio de dimensión 2 de E y está generado por los polinomios {1, 2x}. 11. En R 3 considérense el subespacio E = (1, 2, 1), (1, 3, 2) y el vector e = (a + 2b, b, a). Sólo una de las afirmaciones siguientes (a) e E si y sólo si a = 11 y b = 8 (b) e E para todos los valores reales de a y b tales que 8a + 11b = 0. (c) e E si a = 8 y b = 11 (d) e E cualesquiera que sean los valores reales de a y b. 12. Dados los vectores u = (3, 0, 1, 2), v = (1, 1, 1, 2) y w = (0, 1, 0, 3), cuyas coordenadas están referidas a la base {e 1, e 2, e 3, e 4 } de R 4, indica cuál de las siguientes afirmaciones es falsa: (a) Los vectores {u, e 2, e 3, e 4 } forman una base de R 4. (b) El subespacio u, v es un suplementario del subespacio e 3, e 4. (c) El subespacio u, v, w es un suplementario del subespacio e 4. (d) El subespacio e 1, e 2 es un suplementario del subespacio u, v. { } a b 13. Sea E = M(2 2, R) : b = c. Decide cuál de las siguientes afirmaciones c d (a) E es un espacio vectorial de dimensión 2. ; (b) E no tiene estructura lineal. (c) E es un espacio vectorial de dimensión 3. ; (d) E es un espacio vectorial de dimensión Dados los vectores u 1 = (1, 1, 0), u 2 = (2, 1, 0), u 3 = (0, 1, 1) de R 3, indica cuál de las siguientes afirmaciones (a) Los vectores {u 1, u 2, u 3 } forman una base de R 3. En esta base las coordenadas del vector v = (3, 2, 2) son v = (1, 1, 2). (b) No forman base. (c) Los vectores {u 1, u 2, u 3 } forman una base de R 3. En esta base las coordenadas del vector v = (3, 2, 2) son v = (1, 1, 2).

3 15. Considérense los siguientes subespacios de R 3 : E 1 = {(x, y, z) R 3 : x + y = 0, x + 2y + z = 0} ; E 2 = (2, 1, 1), (0, 1, 1) Es cierto que: (a) R 3 = E 1 + E 2 ; (b) dim E 1 = dim E 2 = 2 (c) E 1 E 2 = (1, 1, 1) (d) E 1 y E 2 son subespacios suplementarios. 16. Dadas las matrices A, B M(n n, R), si det B 0 el determinante de la matriz B 1 A B es igual a: (a) det A 1 (b) det A (c) det A det B 17. Las coordenadas del vector e = (1, 2, 3) R 3 respecto de la base u 1 = (0, 1, 1), u 2 = ( 1, 0, 1), u 3 = (1, 1, 1) son: (a) (0, 1, 2) (b) (0, 2, 1) (c) (1, 0, 2) La expresión de la matriz respecto de la base { A 1 = = = de M(2 2, R) es: (a) 2A 1 + 3A 2 A 3 + A 4 (b) 2A 1 A 2 + 3A 3 + A 4 (c) Las matrices A no forman base = } En la base {(1, 0, 1), (0, 1, 1), ( 1, 0, 2)} las coordenadas del vector e son (1, 2, 3). Cuáles son sus coordenadas en la base {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 0)}? (a) ( 9, 4, 2) (b) (9, 4, 2) (c) (9, 4, 2) 20. Considérense los subespacios de R 3 : E 1 = (1, 0, 1), E 2 = {(x, y, z) : x + y + z = 0} Sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa: (a) E 1 E 2 = R 3. (b) Un suplementario de E 2 es el subespacio generado por el vector (1, 0, 0). (c) E 1 y E 2 no son subespacios suplementarios. (d) E 1 es una recta que corta al plano E 2 en el origen. 21. Considérense los subespacios de R 4 : E 1 = (1, 1, 0, 1), E 2 = ( 1, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 1) Sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa: (a) E 1 E 2 = {(0, 0, 0, 0)} (b) E 1 + E 2 = E 2 (c) E 1 E 2 (d) Una base de E 1 + E 2 es la formada por los vectores (1, 1, 0, 1) y (3, 1, 1, 1).

4 22. Sea A M(n n, R) tal que A A t = I. Sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa: (a) A es invertible. (b) det A = ±1. (c) A 1 = A t (d) A no es invertible. 23. Sea S el subconjunto de M(2 2, R) formado por las matrices simétricas (A = A t ). Sólo una de las afirmaciones siguientes { } 0 0 (a) S es un espacio vectorial de dimensión 2 y una base de S es, (b) S es un espacio vectorial de dimensión 3 y una base de S es { } ,, (c) S es un espacio vectorial de dimensión 3 y una base de S es { } ,, (d) S no es un espacio vectorial. 24. En el espacio vectorial M(2 2, ( R), considérese ) el( subespacio ) vectorial V generado por las matrices A 1 = y A 2 =. Si A =, sólo una de las afirmaciones 0 4 siguientes (a) dim V = 1 ; b) A / V (b) A V y sus coordenadas respecto de la base {A 1 2 } de V son (4, 4). (c) A = 2A 1 + 2A 2, es decir V y sus coordenadas en la base {A 1 2 } de V son (2, 2) Dada la matriz, para n > 1 se verifica: 3 4 (a) A n = 2 n A (b) A n = 2 n 1 A (c) A n = ( 2) n A (d) A n = ( 2) n 1 A 26. Dadas las matrices A = , B = Sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa: (a) A es simétrica y B es hemisimétrica. (b) A es simétrica pero B no es hemisimétrica. (c) A es simétrica y A A t es hemisimétrica. (d) B no es hemisimétrica y B + B t es simétrica. 27. Sea λ R y A = λ λ + 1 λ 1. Sólo una de las afirmaciones siguientes (a) A es invertible para λ R {1}. (b) A no tiene inversa, independientemente del valor que tome λ. (c) A es invertible si λ 0.

5 28. Si A = , su potencia n-ésima es: (a) A n = n 0 n n 0 n (b) No se puede calcular. (c) A n = 2n n 1 (d) A n = 2n n n n Dada la ecuación matricial AX + B = C con A =, B = C =. Sólo una de las afirmaciones siguientes 3 (a) No tiene solución. 1 (b) Tiene solución y es la matriz (c) Tiene solución y es. 1 (d) Tiene infinitas soluciones. 0, 1 2 1

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