GUÍA DE EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS 3 CON SOLUCIONES

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1 UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR MATEMÁTICAS GUÍA DE EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS 3 CON SOLUCIONES La presente guía representa una herramienta para el estudiante para que practique los temas dictados en matemáticas 3. Tenga presente que algunos ejercicios se escapan de la dificultad del curso sin embargo son importante para ampliar más el conocimiento de los temas. Los temas que se aprecian en la guía son:. Matrices. Operaciones con matrices. Ejemplos. 2. Sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Operaciones elementales de fila. Matriz escalonada, escalonada reducida. Métodos de Gauss y Gauss-Jordán 3. Sistemas con una solución, con infinitas soluciones e inconsistentes; Sistemas homogéneos y no homogéneos. 4. Matriz identidad. Matriz invertible. Cálculo de la inversa de una matriz; Matrices equivalentes por fila. Matriz transpuesta, matriz simétrica. 5. Determinantes. Propiedades. Determinantes de A -. Adjunta de una matriz. Cálculo de la matriz inversa usando la adjunta. 6. Coordenadas cartesianas en el plano y en el espacio. Vectores en el plano y en el espacio. 7. Producto escalar. Proyecciones ortogonales. Producto vectorial. 8. Rectas y planos en el espacio. 9. Espacios vectoriales. Subespacios.. Combinación lineal y espacio generado. Independencia lineal.. Base y dimensión. Rango, nulidad. Espacio fila y espacio columna. 2. Proyección ortogonal. Bases ortonormales. Algoritmo de Gram-Schmidt. 3. Producto interno (definiciones y ejemplos). 4. Transformaciones lineales. Imagen y núcleo. 5. Matriz asociada a la base canónica. 6. Autovalores y autovectores. 7. Matrices similares. Diagonalización. 8. Matrices reales simétricas. Diagonalización ortogonal. 9. Formas cuadráticas y secciones cónicas. La guía consta con más 33 ejercicios. Elaborada por: Miguel Alejandro Guzmán Tortolero Ing. Mecánica 6 Actualizada: MARZO 26

2 GUIA DE EJERCICIOS ALGEBRA LINEAL. INDICE. TEMA Primera Parte SISTEMAS DE ECUACIONES, MATRICES E INVERSA 3 DETERMINANTES, COFACTORES 4 MAS EJERCICIOS 5 EJERCICIOS DE PARCIALES 6 CLASE DE REPASO PRIMER PARCIAL 7 Segunda Parte VECTORES EN EL ESPACIO, RECTAS, PROYECCIONES Y PLANOS ESPACIO VECTORIALES, SUBESPACIO 3 COMBINACIÓN LINEAL. 6 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL 8 BASE Y DIMENSIÓN 9 REPASO SEGUNDO PARCIAL 2 Tercera Parte ESPACIO NULO, IMAGEN, NULIDAD Y RANGO 24 PRODUCTO INTERNO 25 GRAM-SCHMIDT 27 PROYECCIÓN ORTOGONAL Y COMPLEMENTO ORTOGONAL 28 TRANSFORMACIÓN LINEAL 29 AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 33 DIAGONALIZACION DE MATRICES 34 REPASO TERCER PARCIAL. 36 PÁG. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS 4 2

3 SISTEMAS DE ECUACIONES, MATRICES E INVERSAS..- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones Determine los valores de las constantes para que el sistema sea; a.- Inconsistente.!"# $ %" b.- Consistente () 26& 6. 2'& 2 2'& * 3.- Realice los cálculos pedidos Sea +, ; /, 3 5- ', /. 2+/2. 42/3+. 3+!. 3+3/ $. 2/3+ 3

4 4.- Determine los productos , 6-, , -, Determine si las matrices son invertibles, en caso afirmativo halle la inversa , 5-., 2-., , 2 3-! DETERMINANTES, COFACTORES, ADJUNTA. 6.- Halle los determinantes de las siguientes matrices a.-, 2 4- b.-, c.-, d.-, e.-, 2- f.-, g Para qué valores de > la matriz A no tiene inversa? > > >+ +=, > >+3 >+7 4

5 8.- Halle la matriz de cofactores de las siguientes matrices. 2 a.-, - b.-, De las matrices anteriores halle la Adjunta Determine los determinantes de las matrices Halle la matriz inversa. MÁS EJERCICIOS. 9.- Determine si la matriz es invertible, si es afirmativo hállela. 6 2., Sea la matriz A, determine la adjunta , Sea la matriz B, determine la inversa de la matriz. 2 3 /, Sea la matriz +?, halle: (a) determinante de A (b)el cofactor + 3 +?

6 3.- Dada la matriz A, calcule: a.- El de la matriz. b.- El valor del determinante de A. c.- El cofactor + d.- Cuál es el elemento de la matriz Adjunta? EJERCICIOS DE PARCIALES. 4.- Sea la matriz B, determine a.- Para que valores de t la matriz B no tiene inversa b.- Calcule /? para % c.- Halle el det(/? ) para % 5.- Considere la matriz W, a.- Encuentre!%(B). /, %- 2% 2 b.- Sea A y C dos matrices 4 x 4. Si!%(+) CDE(F) ' (+B? ) G? #, calcule det () B Sean A y B matrices de n x n. Pruebe que la matriz +/ G /+ G es simétrica. 6

7 *Extra: Indique si es Cierta o Falsa. a.- Si B es invertible, entonces (/ )? (/? ) b.- Sea A y B matrices 3 x 3. Si det(+)det()2, entonces det(2/+ G )8 c.- Todo sistema lineal no homogéneo con m ecuaciones y n incógnitas ([ \ ) tiene infinitas soluciones. CLASE DE REPASO PARA EL PRIMER PARCIAL. 7.- Sea A una matriz 3 x 3 con det(+)2. Halle: a.- det (+ ) b.- det (4+) c.- det (++) d.- det (+ G ) e.- det (+? ) f.-det (+`) 8.- Sea A una matriz invertible tal que + +# demuestre que a.- +? +# b # 9.- Sean A,B y C matrices 4 x 4 con det(+) a.- Halle det(c) b.- Si (+/? ) G #. Halle det(/) Halle los valores de > ' c tal que el sistema Sea: a.- Sea inconsistente 2'2&d 2 36'3&3>d c '2&2d 2 (>)d 3c b.- Soluciones Infinitas. c.- Solución Única. 7

8 2.- Para qué valores de > ' c el sistema tiene: a.- Infinita soluciones b.- Finitas soluciones c.- Inconsistente Sea +, a.- Halle +? 36'9&6 34'& 2+4'6& > 2+3'c& 2 b.- Halle la solución del sistema + con, Sea A y B matrices de n x n. (Verdadero o Falso) i.. Si BA=B entonces (+/) =+/ ii.- ((+/)? ) G =(/? ) G (+? ) G iii.- Si AB= entonces A= o B= 24.- Halle el valor de K para que + G +=# 4 +=*, Halle el det () si C es la matriz que se obtiene de la matriz B aplicando las siguientes operaciones de filas. Con det(/)=. l l. l l 4l. l (27)l 8

9 26.- Sea A una matriz n x n. Supongamos que + +# o. Pruebe que A es invertible y que +? +# o Sea + 2, /= ' p 3 q 2 Halle los valores de a y p para que se cumpla que +p=p/ 28.- A es simétrica y det(+) => +? es simétrica? 29.- A es no singular y ++ G + \ det(+)= 3.- u es simetrica si y solo si u u? =7 3.- Dado el sistema lineal = = a.- Halle los valores de a para los cuales el sistema es consistente. b.- Halle la solución general del sistema c.- Halle una solución particular al sistema dado y la solución general del sistema homogéneo asociado Determine para que valores de las constantes a y b el siguiente sistema: a.- Tiene solución única. De la solución. 2 2 = 2 = = (+) = b.- Tiene infinitas soluciones y describa las soluciones. c.- Sea inconsistente. 9

10 33.- Para cada una de las siguientes proposiciones, indique si es cierto o falso. a.- + G esta definida solo si A es una matriz cuadrada. b.- Todo sistema no lineal no homogéneo con m ecuaciones y n incógnitas (m>n) tiene infinitas soluciones. c.- Sea A y B matrices 3 x 3. Si det(+)=det(/)=2 entonces det(3+/ G )= Sea la matriz a.- Diga cuál es el determinante de /? b.- El cofactor + de la matriz /? 2 2 /

11 SEGUNDA PARTE. VECTORES EN EL ESPACIO, RECTAS. PROYECCIONES Y PLANOS Sea los vectores. z {2, 4, 2} ; ~z (,2,) ;z3* ; z 36* Determine: a.- z~zz c.- ~z(zz) b.- z.z~z.z d.- zzz e.- z.zz.z Halle el vector UNITARIO a cada uno de los vectores dado en el problema Determine el producto cruz para el par de los vectores dados a continuación. a.- ~z=3 2+* b.- ~z 2 3+5* c.- ~z * d.- ~z +7 3* z 73* z 3* z * z 34 3* 37.- Determine dos vectores unitarios ortogonales a ~z=23 y z 4+3* 38.- Determine el valor del seno del ángulo entre los vectores ~z=2* z=3 2+4*

12 39.- Calcule el volumen generado por los vectores ~z=(2,,) z (,,4) d~~z (,3,2) 2 3 Y sea +, 4 5- calcule ahora el volumen generado por los vectores +~z,+ z.+d~~z Encuentre la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y las simétricas de las rectas indicadas.. +(4,,3) ' /(2,,4). +(7,,3) ' /(,2,3).+(2,2,) y es paralela a 2*. +(2,3,2 ) y es ortogonal a la recta 37* 4.- Encuentre una recta L ortogonal a las dos rectas dadas y que pase por el punto pedido ' & %. ' 43% & 75% ; 24" ; ' 32" & 3" 3 7 '2 2 &8 3 ; p(2,3,4) ; p(,3,2) 42.- Calcule la distancia que separa a las siguientes rectas '5 2 & '7 4 &2 4 ' 7 & 3 ; ; ; ' 4 &2 3 '2 & 4 '2 2 & Encuentre la ecuación del plano.. p(4,7,5) ~z 34*. p(3,,2) ~z 7*4. %!! +(2,3,2)/(4,,) (3,,2). %!! +(7,,) /(2,,3) (4,,6) 2

13 44.- Encuentre la ecuación de la recta que resulta al interceptar los planos.. : '& 2 :23'4&=7. : 2'7& 4 2'& 7. : 2'& 3 : '& Determine la distancia del punto dado al plano de ecuación.. +(3,,2) : 3'5&=. +(7,2,) : 28& 5. +(4,,) : 2'8& Calcule q ' Š.. ~z 42* ; z. ~z25 ; z37. ~z24* ; z23*. ~z325* ; z24* ESPACIO VECTORIALES, SUBESPACIO Diga si el conjunto V es un espacio vectorial con la suma y el producto definido por: (,)(,)(,) *(,)(,*) 48.- Seal con la suma usual y con el producto por un escalar como se indica en cada caso. Pruebe si es un espacio vectorial, en caso negativo justifique.. *(,',&)(*,*',&). *(,',&)(,,).*(,',&)(3*,3*',3*&) 3

14 49.- Sea el conjunto l se define la operación suma y multiplicación por un escalar como: (,')(&,d)(&,'d) *(,')(*,*'*) Diga si l es un espacio vectorial. 5.- Sea el conjunto de matrices de la forma 2 con las operaciones de matrices de suma y multiplicación por un escalar usual, diga si es un espacio vectorial. 5.- Sea el conjunto de l con la suma y la multiplicación por un escalar definida por: (,')(&,d) (&,'d) *(,')(**,**') Diga si es un espacio vectorial Sea l y considere las siguientes operaciones de suma y multiplicación por un escalar. Diga si es un espacio vectorial. (,')(&,d)(&,'d) *(,')(*,*') 53.- Sea Œ (,'):,' l. Demuestre que V es un espacio vectorial donde se define la suma y la multiplicación por un escalar tal que: (,')(&,d)(&,'d) *(,')(`,'`) 54.- Sea l y considere las siguientes operaciones Diga si es un espacio vectorial (,')(&,d)(,) *(,')(*,*') 4

15 SUBESPACIO Sea l un espacio vectorial, entonces se define. Es W un subespacio vectorial de l? B= (,,) l, == 56.- Decida si W es un subespacio de l en cada uno de los casos..b (,,): 2, l. B (,,):. B (,,): 57.- Si W,U son subespacios vectoriales de V entonces B es un subespacio también Sea B q()() Demuestre que W es un subespacio vectorial de p () Decida si el conjunto dado en cada caso es un subespacio vectorial.. + / (,',&): &2'=2 l 6.- Sea B q() 2+=. Demuestre que W es un subespacio vectorial de p (). 6.- Se define los siguientes conjuntos de l. Sea subespacios vectoriales de l.. (,,):. B (,',&): &, '. p (,',&): 2'=,'& 8 5

16 62.- Determine si los siguientes subconjuntos de l son subespacios. + (,',&):. / (,',&) &2'=. (,',&): &2'=2. u (,',&): ' & 63.- Sea el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2. Cuáles de los siguientes subconjuntos es subespacio vectorial de V?.. += 2:, l. / 2, l. + Œ det(+)=. u 2: 64.- Sea o el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n. Cuál de los siguientes subconjuntos es subespacio vectorial de V? Œ +3+ G. / + Œ + +, Œ. + Œ +!""[!% COMBINACIÓN CIÓN LINEAL Determine si el vector (,7,4) l es combinancion lineal de los vectores del conjunto +, donde (,3, 2); (2,, ). 6

17 66.- Considere +, l donde (,2,,), =(,,2,2). Determine si los siguientes vectores pertenecen a A.. (4,4,,7). d (2,,,3). (2,6, 8, 8 ). " (4,4,,)!. (4,,7,7) $.% (,4,5,5) 67.- Considere B q() :, es un subespacio de p determine un conjunto generador Determine si los conjuntos, generan al mismo espacio vectorial 2, -,, - ;, -, -, Determinar si los siguientes vectores generan a l. (,,,);(,,,);(,,,);(,,,). (,3,5,) ;(2,,,) ;(,2,, ) ;(,4,5,). (,, 2,5);(2,,, );(,,2,) 7.- Determine si el conjunto dado generan al espacio vectorial señalado.. (,2);(3,4) l. (,);(2,2);(5,5) l. (,,2);(,,2);(,,) l. ();(3 ) p ()! $

18 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. 7.- Determine si los siguientes vectores son o no linealmente independientes.. (6,,)( 2,,)( 4,,)! l. (,2,)(,,2)(2,4,2)! l 72.- Si,,d Œ es LI demuestre que,,2 d es LI Determine cuál(es) de los siguientes conjuntos dados es o no un conjunto linealmente independiente.. + (,,,)(,,,)(2,2,,2)(,,,) l. / (,,,)(,,,)(,,,)(,,,) l. (% 4% 2%3)(% 2% 4%)(2% % 3%5) p 74.- Sea + $(%),œ(%), (%) Œ donde V es el espacio vectorial p (%), tal que se tiene $(%)2% 3%+, œ(%)% %2, (%) 2% 3%5 Determine los valores de l para que A sea un conjunto linealmente independiente Sea + (,,)(,,)(,,)(,,) l. Demuestre que A es un conjunto linealmente dependiente y que cualquier subconjunto de A con tres elementos es un conjunto linealmente independiente Determine si el conjunto de vectores dado es LI o LD.. p : ()()( ). p ()( )( ). p : (2)( 3)(4 )(

19 BASE Y DIMENSIÓN Verifique que el conjunto / (,5)(,3) es base de l 78.-Sea V un espacio vectorial. Si +,, Œ es base de V, demuestre que ž (),(),() También es base de V Halle la dimensión del espacio vectorial conformado por las 8.- Sea += (,,5),(,,) y / (,',&) 2'& subespacio vectorial de l. Determine una base para + /. 8.-Demuestre que + (2,,)(,,2)(,,3) l es base Sea +, -, l determine la dimensión de A Sea B= q()= 2 a.- Demuestre que W es subespacio de p b.- Determine la dimensión de W Encuentre una base del conjunto solución del sistema, y determine su dimensión. 2'3& 2' '& 85.- Para qué valores de l es una base de los siguientes conjuntos?. + (2,3,4)(6,7,8)(4,5,4) l. /

20 86.- Sean (,',&):+3' 5&=, B= (,',&): '+2&= a.- Demostrar que U y W son subconjuntos de l b.- Encuentre una base para cada subespacio. c.- Encuentre una base para B Sea + (,2,,)(,,2,2) l a.- (3,2,4,5); (,3,2,2); (3, 3,6,6)? + b.- Encuentre una expresión funcional para los valores que pertenecen al espacio generado por el conjunto A Hallar una base del subespacio vectorial F formado por las matrices de la forma 2. REPASO PARA EL SEGUNDO PARCIAL Sea el plano que pasa por lo puntos, p(2,3, ), (,, )' l(, 2,) y sea :2 2'+4&= a.- Demuestre que ambos planos son no paralelos. b.- Halle las ecuaciones paramétricas de la recta que resulta c.- El punto (5,2, ) pertenece a L? 9.- Sea el conjunto l con las siguientes operaciones es un espacio vectorial: (,')(&,d)(&,2+'+d) *(,')=(*+*,2*+*' 2) Diga si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de dicho espacio. a. (,'):=' b. Œ (,'):'=2 2

21 9.- Sea los vectores ~z (7,>,8,c) ; z (4,2, 3,) ' d~~z (,3,,5) halle los valores de > ' c para que los vectores sean dependientes Sea las rectas de ecuaciones ' de ecuaciones: : 2= '2 3 : (2)= ' 2 3 a.- Halle la intersección de las dos rectas. (&) = &+ 4 b.- Calcule el valor del coseno del ángulo que forman las dos rectas. c.- De una ecuación que contiene a las dos rectas Determine los valores de l tal que los vectores No sean coplanares. ~z (,,); z (,,) ; d~~z (4, 2,2 ) 94.- Sean (,',&) l :+' &= (,',&) l :+'+&= a.- Demuestre que : es un subespacio vectorial de l b.-hallar la dimensión de 95.- Determinar si el conjunto de polinomios, 2,3+5 p es linealmente independiente o linealmente dependiente En p decida si los vectores (%),( %),(2% +% 6) son linealmente independiente. 2

22 97.- Sea ' ª l : 2'3& «& a.- Demuestre que H es subespacio de l b.- Halle una base para H. c.- Halle dimensión de H Sea las rectas de ecuaciones 3% ' 2% & 3% ' (3)('2) & 3 Halle la ecuación del plano que contiene ambas rectas (si existe) 99.- Sea B p : a.- Demuestre que W es un subespacio vectorial de p b.- Halle una base para W..- En p determinar si 2%% % 4%3% son LI o LD..- Halle todos los vectores perpendiculares a y unitarios. (3,4,2) 2.- Sean :'& ' 2'4& 5 a.- Halle la recta que resulta a interceptar los planos. b.- Hallar la ecuación del plano perpendicular a los planos dados y que pasa por (4,,2) 3.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por (,,) es perpendicular a la recta de ecuación :32'& y paralela al plano :'&. 4.- Halle los valores de * para que ~z(,2,*); z (3,,2) ' d~~z (2,,5) para que sea combinación lineal. 22

23 5.- Sea B : = 2 2+ demuestre que es un subespacio 2 vectorial y además halle la dimensión de dicho subespacio. 6.- Sea +(2,4,6);/(6,2,8) ' (2,2,) sea +/ halle p. 7.- Sea la matriz A a.- Halle q para que A sea invertible. b.- Para q 2 hallar la adjunta de A. q +, q+ - q 23

24 TERCERA PARTE. ESPACIO NULO, IMAGEN, NULIDAD Y RANGO. 8.- Sea la matriz A determine la base del espacio nulo y además diga la nulidad de la matriz , Sea la matriz B determine el espacio nulo, la nulidad, el espacio imagen, rango, espacio renglón y espacio columna de la matriz. / Determine el rango y el espacio de los renglones de A. 3 +, Determine una base para el espacio generado por los cuatros vectores en l 2 2, 2 -, - d, 4 - &, Determine el rango y nulidad para las siguientes matrices , ; /, Determine si los siguientes sistemas de ecuaciones tienen o no soluciones únicas o infinitas. (use las propiedades de espacio nulo e imagen) ;

25 PRODUCTO INTERNO. 4.- En l se define el producto interno como ' ' ;,' ' ' 3 ' Demuestre q es un producto interno del espacio. 5.- Demuestre que con $,œ ± $()œ() ² Se define un producto interno en el espacio vectorial p () de todos los polinomios de grado menor que 2. a.- Halle el módulo de los vectores ()()( ) b.- Halle todos los vectores de p que sean ortogonales al vector (3) 6.- Dar razones por las cuales los siguientes condiciones no corresponden a un espacio con producto interno.. (,),(,)! l. +,/ Ћ(+/) $,œ ± $ ().œ() ²! p(l) 7.- Verifique en cada una de las siguientes apartados si son producto interno del espacio vectorial señalado.. Œ l, (,' ), d (,' ),d 2 +4' '. Œ p (%), q(%) ² % % %, µ(%) ² % % % q,µ ² ².Œ l, (,',&,% ) (,',&,% ), ' ' & & % % 25

26 8.- Sea (,',&),d (,',& ) l definimos +'' +&&,d Verifique que es un producto interno, ademas calcule, -, Sea $,œ (, ;l) definimos $,œ ± $()œ() ¹ Un producto interno del espacio vectorial. Halle el valor para $()cos() ' œ sin()! #,2 2.- Sea + { º» },/ { º» ¼ o (l) definimos ¼ o +,/ ½½ º» º» º¾»¾ Calcule el valor de ' / , 6 8- ' / 2 À

27 GRAM-SCHMIDT. 2.- Construya una base ortonormal para el espacio o subespacio vectorial dado.. (,') l '. (,') l : '. (,',&):32'+6&= 22.- En cada uno de los incisos siguientes aplicar el proceso de Gram-Schmidt al subconjunto dado S del espacio con producto interno V.. Œ l, (,,)(,,)(,3,2). Œ p $,œ ± $()œ() ²,,,.Œ Œ(,) $,œ ± $()œ() ÁÁÁÁÁÁ, ()( )! (,) ¹ 23.- Encuentre una base ortonormal para B (,',&,%) l '&% Determine una base ortonormal para cada uno de los tres subespacios vectoriales W con productor interno señalado..œ l con producto interno usual y B  à Œ p con producto interno q,µ Ä q()µ(), B,, con producto interno +,/ Ћ(+ G /) B

28 PROYECCIÓN ORTOGONAL Y COMPLEMENTO ORTOGONAL Encuentre la proyección ortogonal de sobre V donde 3 ' ª 2 '+3&=«', 2- & 4 Determine la proyección sobre el complemento ortogonal de En los siguientes ejercicios se da los subespacio vectorial H, a.-determine una base para cada subespacio, b.- Calcule la proyección del vector v sobre el subespacio, c.- Encuentre una base ortonormal para el complemento ortogonal, d.- Escriba el vector v como la suma de h más un vector p.. ' l : 2'=Å 2 3. ' ª l : 32'+6&=«, - & 4 '. Â3 & 4 l ' ' d 3'à d. ' ª l & 2 =' 3 =& 4 «, Sea Œ ' (,,)(,2,) calcular Æ Sea Œ con el producto interno ordinario y sea B (,,). Encontrar las bases ortonormales para B ' B Æ. 28

29 29.- Diga si los vectores son ortogonales entre sí con el producto interno señalado. En caso negativo determine una base ortonormal..œ l con producto interno usual, (,,)(,,). Œ p (,) con producto interno q,µ ± q()µ() ¹, %,% p (,). con producto interno +,/ Ћ(+ G /) Encuentre una base ortonormal para p 29.b. (,2), para un producto interno igual a TRANSFORMACIÓN LINEALES. 3.- Verifique que la transformación È:l l tal que È(,')(',',') Es una transformación lineal Verifique si la transformación È:l l tal que È(,')(','2,') Es una transformación lineal Compruebe que la transformación È:@ o o (l) tal que È(+)@++@ donde M es una matriz fija o (l) es una transformación lineal. 34.-Determine una transformación lineal È:l l tal que se cumpla È 2 ;È Sea È:l l una transformación lineal tal que È(,',&)(2+',+'+&) Determine la matriz asociada a la transformación. 29

30 36.- Sea una transformación lineal tal que È( ) 2 Determine el núcleo de la transformación lineal Considere la transformación lineal È:l l tal que Determine la imagen de T. È(,',&)(','&) 38.- Determine una transformación lineal de È:l l tal que se cumpla Determine además el valor de È(,2,3) (È), 2-! #[(È)œ!, -, Sea È:l l una transformación lineal tal que Determine: (a) È(,',&) (b) È(,2,3) 3 È, 2-=, - ; È, -=, Determine cuál de las siguientes transformaciones son transformaciones lineales.. È:l l % µ! È(,',&)(,').È:l l % µ! È(,',&)(,'2,&+3).È:l l % µ! È(,',&) (2,', &).È:l l % µ! È(,')(,' )!. È:l l % µ! È(,') ' $. È:@ l % µ! È(+)det (+) œ.è:@ o % µ!: i.- È(+)+//+ o [% & $. ii.- È(+)+ G 3

31 4.- Sea Œ el espacio formado por todas las funciones continuas en l en l definimos la trasformación È{$()}± $(%) % ² Demuestre que T es una transformación lineal Sea È:l l una transformación lineal tal que È(,')(',2 ') Determine el núcleo de la transformación lineal Sea È:l l una transformación tal que 4 È, -, - ; È, 2-=, 2- ; È, -, a.- Demuestre que + (,,)(,2,)(,,) es base de l b.- Determine la transformación lineal de È(,',&) c.- Determine el núcleo de la transformación Determine una transformación lineal È:@ l tal que 2 (È), - ' #[(È), -, Sea È:l l una transformación lineal tal que È(,',&)('2&,2+', 2'+2&) Qué condiciones deben cumplir,, l para que (,,) (È)? 46.- Sea È:@ o una transformación lineal tal que È(+)/+/ G con o una matriz fija a.- Demuestre que T es una transformación lineal. b.- Si 2 y / 2 2, determine la forma general de la transformación. c.- Determine el núcleo de la transformación. 3

32 47.- Hallar una transformación lineal È:l l tal que 2 (È)Â3 43 4à ; #[(È), , Sea È:p () l una transformación lineal tal que a.- Determine el núcleo. b.- Determine el rango. È( ) ± ( ) ² 49.- Sea È:l l una transformación definida por È(,',&)(',2&) a.- Si B es la base canónica de l y / es la base l determine la matriz asociada a la transformación lineal T. b. Si /, -, -, - '/ 2 Å Cuál es la nueva matriz asociada a la transformación lineal?. 5.- Defina una transformación lineal È:@ o l por o o È(+)½½ º» º¾»¾ Demuestre que T es una transformación lineal. 5.- Defínase la transformación lineal mediante È{$()} $()$(2) $() Determine el núcleo y rango de la transformación lineal. 32

33 AUTOVALORES Y AUTOVECTORES Sea È:l l dada por È(,')(',4) encuentre los autovalores y autovectores asociados a la transformación lineal Sea È:l l dada por È(,')(',) encuentre los autovalores y autovectores asociados a la transformación lineal Sea È:l l dada por È(,',&) (,',) encuentre los autovalores y autovectores asociados a la transformación lineal Para las siguientes matrices determine los autovalores y autovectores así como también la multiplicidad algebraica y geométrica !., $., 2 - œ., De la siguiente matriz se dabe que Ë es uno de sus autovalores y que, - es un vector propio de A asociada al autovalor conocido. Sea 57.- Sea 2 > +, 2 c- 2 2 Ì a.- Hallar los valores de las incognitas >,c,ì b.- Halle los autovalores restantes asi como sus autovectores Determine los autovalores asociados a los autovectores dados. 33

34 58.- Determine los autovalores y autovectores de ser posible halle el espacio generado por los autovectores ; /, DIAGONALIZACION DE MATRICES Dadas las siguientes matrices, determine si la matriz es diagonalizable en caso afirmativo halle la matriz C que cumple? + u / u, 2 -!., - $. Î, œ., h., Encuentre la matriz ortogonal Q que diagonaliza la matriz simétrica dada. Después verifique que G + u , /, 2 2-., u 3 4 2!. 2 2 $. Î Demuestre que si 2 es ortogonal, entonces ± Sea È:l l definida mediante È(,',&)(2' 3&,+3'+3&,&) Determine la matriz que diagonaliza con la matriz asociada a T. 34

35 63.- Para cada uno de los siguientes operadores lineales T, probar si T es diagonalizable y en caso de serlo, encontrar la matriz diagonal..è:p () p () definida mediante È($())$ ()$ (). È: p p definida mediante È( ).È:l l definida mediante È(,',&)(',,2&) 64.- Para cada una de las siguientes matrices probar si es diagonalizable y en caso de serlo, encontrar una matriz Q tal que? + sea una matriz diagonal / u, 8 5 -!., $. Î, 2- œ.,

36 REPASO TERCER PARCIAL Dada la matriz +, halle una base ortonormal para su espacio nulo Sea È:@ l la función definida por È 2(,,) a.- Demuestre que T es una transformación lineal. b.- Halle la matriz asociada a T con las bases naturales. c.- Halle la nulidad de T. d.-halle el rango de T Sea la matriz a.- Halle los autovalores de A. b.- Halle los autoespacios de A. 4 c.- Diga si A es diagonalizable, en caso afirmativo halle dos matrices P y D tales que p? +p u y la matriz D sea diagonal Demuestre que para toda matriz A de tamaño nxn, las dos matrices +,+ G tienen los mismos autovalores Halle la proyección ortogonal del vector, 3- sobre el subespacio W de l 3 2 definido por B œ!, -,

37 7.- tal que È 2 2 ; È 2 2 ;È 2 2; È 2 2 a.-halle una forma para T b.- Halle la nulidad y el rango de T Sea +, Halle una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal D tales que cumpla la relación? + u Ë 2 2 Conociendo que det, 2 3 Ë 4 -=( )(Ë 9) (Ë 8) Ë 72.- Demuestre que si λ es una autovalor de una matriz A de tamaño n x n, entonces Ë es un autovalor de Sean los vectores 3 Ô 4 Ó Ò generado por B œ!,,d Õ Ö d Ô Ó Ò Õ Ö & y el subespacio a.- Complete el conjunto que genera a l de manera que obtenga una base ortonormal al espacio. b.- Conociendo que la proyección de z sobre W es el vector q ' F & Halle la proyección de z sobre el complemento ortogonal de W. 37

38 74.- Sea È:l p la transformación lineal definida por: È(,,) ()()() () a.- Halle la matriz asociada a T. b.- Halle una base y la dimensión para la imagen. c.- Halle para cuales valores de las constante k el vector d 2+* 3 +2 Pertenece a la imagen de T Sea la matriz +, 2 - halle una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal D tales que? + u Demuestre que si una matriz real A es diagonalizable ortogonalmente entonces necesariamente A es simétrica Sea a, b y c tres números reales no nulos. Sea A la matriz de tamaño 3x3. a.- Halla la imagen y el rango de A. b.- Determinar el núcleo y nulidad de A. + =, - 38

39 78.- Sea A la matriz 3x3 dada por: + =, - a.- Determine los valores propios de A y halle los vectores propios asociados a cada valor propio de A. b.- Sea los tres vectores de l dados por: =, - ; =, - ; =, - Mostrar que ~~~~~z, ~~~~z, ~~~~z son vectores propios de A. c.- Mostrar que los vectores ~~~~~z, ~~~~z, ~~~~z forman una base de l 79.- Sea la matriz + =, - determinar una matriz diagonal D, definida por u =p? +p 8.- Sean,, l, halle un autovalor y un autovector correspondiente a la matriz A=, Halle la base ortonormal a l donde l =œ!, 2-;, -;, - 2 i.- Sea =œ!, 2-, escriba una base ortonormal para Æ 2 ii.- Halle q ' Ù Ú, De la transformacion lineal È:p p se conoce los transformados de los elementos de la base / = ( ++ )(+2 )(+ ) p È( ++ )=(+) ; È(+2 )=( ) ; È(+ )=( ) a.- Halle la forma de T para cualquier polinomio de la forma $()=++ 39

40 b.- Halle la matriz de T con respecto a las bases /,, p y /,,, p c.- Halle nucleo de T y nulidad Para cada enunciado diga si es verdadero o falso. a.- En l el producto Û Ü Û 2 Ý Ü Ý 2 ' ' define un producto interno. b.- Si λ es un autovalor de la matriz A, entonces (+Ë#) > c.-existe una transformación lineal È:l l tal que È ; È ;È 2 = 3 d.- La matriz 2 es ortogonal Sea la matriz +, a.- Diga si la matriz A es diagonalizable. b.- En caso afirmativo determine la matriz D y P de manera que u p? +p 85.- En W p se define el siguiente producto interno, si q(%)µ(%) p entonces. a.- Halle una base ortonormal de W q,µ ± q(%)µ(%)%? 4

41 PUNTOS FINALES..- Matemáticas 3 tiene mucha teoría que aprenderse para el tercer parcial más que todo, sin embargo si practica bien los ejercicios y entiende los teoremas no se hará difícil. 2.- Para determinar el polinomio característico de una matriz de orden 3x3 se puede usar. Sea la matriz + q(ë) Ë +Ë /Ë Donde + Ћ(+), / det (@ º» ) q, det (+) 3.- Este atento a nuevas definiciones de sumar vectores o multiplicación por un escalar así como el producto interno de los espacios vectoriales. Si se le ha definido una nueva forma de sumar, multiplicar DEBE usar esta definición. 4.- Para una rápida demostración de los subespacios vectoriales o transformaciones lineales puede tomar en cuenta que el Cero () del espacio debe pertenecer al subespacio, luego tome como primer elemento el Cero si corresponde proceda a demostrar los otros dos axioma de cerradura, si no pertenece entonces demuestre que no se cumple el axioma de la SUMA. En cuanto a las transformaciones el Cero del ESPACIO SALIDA debe corresponder al Cero del ESPACIO LLEGADA, si no es así el axioma de la suma no se cumple. SÍRVASE DE AYUDA PARA PRACTICAR ALGEBRA LINEAL MATEMÁTICAS 3. CUALQUIER ERROR TIPOGRÁFICO O DE RESULTADOS FAVOR AVISAR A magt369@gmail.com PARA SU CORRECCIÓN. MENCIONE NUMERO DE PÁG., NUMERO DE EJERCICIO, QUE DICE Y QUE DEBERÍA DECIR. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA. Stanley I. Grossman. Algebra Lineal, Ed. Mc Graw Hill, 5ta. Edición. Elaborada por: Miguel Alejandro Guzmán Tortolero Ing. Mecánica 6 Actualizada: ABRIL 22 4

42 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS. Pregunta. a.- Solución Trivial. b.- Infinitas Soluciones " # $ 5 & 4 5 " ( ; " * $ 24 5, 9 5 " ( c.- Sistema Inconsistente. d.- Solución Trivial. Pregunta 2. a.- Si & 2, 2 $ INFINITAS SOL. Si & 2, 2 5 Inconsistente. b.- Si $ Solución Única. Si & Solución Única Si $ &5 Inconsistente. Si $ 2 Soluciones infinita. d.- Si 8 $ 9: Soluciones Infinitas. ## Si 8 5 9: Solución Única (Trivial) ## Pregunta 3. &5 2 &4 7 a.- > &3 4 &5? b.- > 9 5? &4 3 & & &7 2 3 &3 4 c.- > 5 6 5? d.- > 6 5? & &7 &2 e.- > 5 3? f.- > 5? 2 &3 &7 4 &5 &3 Pregunta 4. a.- B 7 3 & 7 6 C b.- > 7 4 3? c.- B C & &2 d.- > 4 6? 5 9 Pregunta 5. a.- No es invertible. & b.- Si E F# $ > 2 &2 &? & 3 &2 c.- Si E F# $ # > & &3 6? G & &4 & d.- Si E F# $ # > &5 4 3? G &2 2 &3 &3 &6 e.- Si E F# $ # H 4 & &4 I 9 & &2 2 & Pregunta 6. a.- 6 b.- &45 c.- 5 d.- 47 e.- 32 f.- &36 g.- Pregunta 7. No tiene inversa para $ K $ 5 Pregunta 8. & & a.- Adjunta > & &?, E $ &2 2 &2 & Inversa: # > &? * &2 2 & b.- Adjunta > &6 8 4?, E $ 6 7 & 7 & # Inversa: &6 8 4? PQ 7 & 7 Pregunta 9. No es invertible. Pregunta. Pregunta. Pregunta 2. Determinante: E $ &/6 Cofactor: E V,( $ & # * Pregunta 3. 3 & 4 a.- W (,# > 5 3? 2 4 b.- E $ &294 c.- E (,# $ 43 d.- (,# $ 4 Pregunta 4. a.- No tiene inversa para X $ b.- Y F# $ > & /2? & c.- Y F# $ & 9 * 2 &3 &7 ERS(E) $ > &3 5 2? &3 2 2 E F# $ 9 5 &3 9 > &3 & 2? &3 & 2

43 Pregunta 5. a.- det;z< $ 6 b.- det;[< $ \2 *Extra a.- Cierto. b.- Falso c.- Falso Pregunta 7 a.- 4 b.- 28 c.- 6 d.- 2 e.- ½ f.- 2` Pregunta 9 a.- det;[< $ 72 b.- det;y< $ 36 Pregunta 2. Si a 5 Solución Única. Si a $ 7 b $ &3 Infinitas Soluciones Si a $ 7 b 5 &3 Inconsistente. Pregunta 2. Si a $ 4 7 b $ 2 Infinitas Soluciones. Si a 5 4 Inconsistente. Si a $ 4 7 b 5 2 Solución Única. Pregunta 22. & & 5 &3 a.- E F# $ # > 6 3 &9? b.- c $ # > 25? (* (* 6 8 &8 4 Pregunta 23 a.- Verdadero. b.- Falso c.- Falso. Pregunta 27. $ & 7 e $ 2 Pregunta 3. a.- Si $ 5 el sistema es consistente. b.- Solución general del sistema para el valor de ;a< " # 62 9 &7 " H * " I $ gh &9 I, " ( ( H &6 I, " V H Ii " V 7 f h 62 c.- Solución Particular: c j $ # H &9 I k 9 &7 Solución Homogénea: c n $ # g" k ( H &6 I, " V H 2 Ii f h 2 Pregunta 33. a.- Falso c.- Verdadero. Pregunta 34 a.- det;y F# < $ & # k b.- E *,V $ SEGUNDO PARCIAL. Pregunta 35. a.- > &2? b.- q&6 2 & r c.- 2 & 8 2 & 2 4 d.- > &7? e.- 3 2, 2 2, 9 Vectores Unitarios. s $ 2 22 > &4? ; 2ts $ 2 5 > 2? ; s $ >? ; Rs $ & 3 46 > 3? &6 Pregunta 36. & 8 R &9 a.- > &? b.- > 7? c.- > 2? d.- > 39? &23 7 & 6 Pregunta 37. Z $ \ &9 8 > &6? 8 Pregunta 38. sin;a< $,45 Pregunta 39. a.- Volumen u $ 8 b.- Volumen u # $ 224 Pregunta 4. a.- Vectorial. ;", 7, v< $ ;2,, &4<, X;6, &, &7< " $ 2, 6X Paramétrica. w 7 $ &X v $ &4 & 7X Simétrica: xf* yzv $ &7 $ P Fk b.- Vectorial. ;", 7, v< $ ;&, &2,3<, X;8,3,< " $ &, 8X Paramétrica. w7 $ &2, 3X v $ 3 Simétrica: xz# $ {z* v $ 3 G ( c.- Vectorial. ;", 7, v< $ ;2,2,<, X;2, &, &< " $ 2, 2X Paramétrica. w 7 $ 2 & X v $ & X Simétrica. xf* $ 2 & 7 $ & v * d.- Vectorial. ;", 7, v< $ ;&2,3, &2<, X;,7,3< " $ &2 Paramétrica. w 7 $ 3, 7X v $ &2, 3X {F( Simétrica: " $ &2 k $ yz* (

44 Pregunta 4.. & " & 2 = = v " = = v 4 8 Pregunta 42. a.- R = VG V(k Pregunta 43. a.- v 47 3" = 45 b.- 4" + 7 7v = 5 c.- 4" + 77 = 49 d.- 22v 27 2" = 63 Pregunta 44.. ;" + < = " b.- R = 3 c.- R = * (# 282 = " = 27 = 3 v 3 2 Pregunta 45. a.- R = # (: = v = v b.- R = ## #k (V c.- R = #( P9 P9 Pregunta e K7 } ~ = > 7? 2. e K7 } ~ = # > 7? *. e K7 } ~ = 3 4 > 26? R. e K7 } ~ = 6 7 > 2? 39 3 Pregunta 47. NO es espacio vectorial. Axioma ;8<. Pregunta 48. a.- No es espacio vectorial ;8<. b.- No es espacio vectorial ;<. c.- No es espacio vectorial ;<. Pregunta 49. Si es espacio vectorial. Compruebe los axiomas y el elemento nulo es = ;, < Pregunta 5. No es espacio vectorial. El cero no pertenece al espacio. Pregunta 5. Si es un espacio. Demostrar los axiomas y el elemento nulo = ;, <. Pregunta 52. NO es espacio vectorial. Pregunta 53. No es espacio vectorial. Axioma ;7,8<. Pregunta 54. No es espacio vectorial. Axioma ;3<. Pregunta 55. Si es subespacio vectorial. Pregunta 56. a.- Si es subespacio vectorial. b.- No es subespacio vectorial. c.- No es subespacio vectorial. Pregunta 57. Si es subespacio vectorial. Pregunta 58. Si es subespacio vectorial. Pregunta 59. a.- Si es subespacio vectorial. b.- No es subespacio vectorial. Pregunta 6. Si es subespacio vectorial. Pregunta 6. a.- No es subespacio vectorial ;Contraejemplo< b.- No es subespacio vectorial. c.- No es subespacio vectorial. Pregunta 62. a.- Si es subespacio vectorial. b.- Si es subespacio vectorial. c.- No es subespacio vectorial. d.- No es subespacio vectorial. Pregunta 63. a.- Si es subespacio vectorial. b.- No es subespacio vectorial. c.- No es subespacio vectorial. d.- Si es subespacio vectorial. Pregunta 64. a.- Si es subespacio vectorial. b.- Si es subespacio vectorial. c.- Si es subespacio vectorial.

45 Pregunta 65. No es combinación lineal. Pregunta 66. a.- NO b.- NO c.- NO d.- SI donde a = G ( 7 b = V ( e.- SI a = 5 7 b = f.- SI a $ 7 b $ 2 Pregunta 67 ( ;"< $ ƒq;, " * <, ;" ( & " * <r Pregunta 68. Si generan al mismo espacio definido por: ", 7, v $ Pregunta 69. a.- Si generan a R4 b.- Generan un hiperplano de ecuación 5", 7, 7v, 27 $ c.- No generan a R4 Pregunta 7. a.- Si generan el espacio. b.- No, generan un subespacio de la forma 2 $ ƒ ˆB C c.- Si generan el espacio. d.- No, generan un subespacio de la forma Š $ ƒq;" * & 3<, ;" & <r e.- Si generan el espacio. f.- No generan el espacio. Pregunta 7. a.- Es linealmente dependiente b.- Es linealmente dependiente. Pregunta 73. a.- Linealmente dependiente. b.- Linealmente independiente. c.- Linealmente independiente. Pregunta 74. El valor de la variable ;a< es Para que sean LI # $ 6 7 * $ & 3 2 Pregunta 76. a.- Linealmente independiente. b.- Linealmente independiente. c.- Linealmente dependiente. d.- Linealmente dependiente. Pregunta 77. i.- Son Linealmente independiente y ii.- Generan a R3 con Pregunta 79. Pregunta 8. Pregunta 82. Pregunta 83. b.- Dimensión 2 a $ " 7 b $ 7 3 & 5 3 " Dimensión 4. Y Œ Ž $ > &4? &9 Dimensión 2 Pregunta 84. Único elemento >? dimensión Pregunta 85. a.- 5 b.- 5 : ( Pregunta 86. &3 5 b.- Base para U Y $ w>?, >? 7 Y $ w>? > 2? c.- Base para la intercepción. Y $ w> &9? &4 Pregunta 87. a.- Solo * pertenece a A. b.- La expresión funcional seria " 7 H v I Kƒ v $ $ 7 & 2" Pregunta 88. Y $ šb C, B & C Pregunta 89. a.- El producto cruz de las normales no es cero ƒ "ƒ ž $ ;6,22,8< b.- La intercepción es " $ 3 4 X, $ 4 X, 5 4 Ÿ v $ X c.- El punto NO pertenece a la recta.

46 Pregunta 9. a = 23 7 b $ &38 Pregunta Pregunta 95. Son Linealmente Dependientes. Pregunta 96. Son Linealmente Independientes. Pregunta 97. b.- Y $ w> 2? > 3? c.- Dimensión 2 Pregunta 98. : 2" & 87, 2v $ &8 Pregunta 99. b.- Y $ ;" ( <, ;" *, <, ;"< Pregunta. Son Linealmente Dependientes. Pregunta j j ª«$ H & 4 3 & 4v I 7 v Pregunta 2. a.- La recta que resulta al interceptar " $ 7, 5 3 $ v, b.- La ecuación del plano es 6 $ 3", 67, 3v Pregunta 3 Pregunta 4 " & &9 $ 7, $ v & 8 & 8 $ 2 3 Pregunta 6. ", 2 [ $ > 2", v, 4? v Pregunta 7 a.- A es invertible para e 5 ; e 5 7 e 5 & 3 b.- ERS;E< $ > 2 &2? &3 6 TERCERA PARTE. Pregunta 8 Œ $ w> 2? > 3? $ 2 Pregunta 9 Œ $ > &? $ ; ±²;E< $ šb 2 C B 2 & C ³ $ 2 & Pregunta Pregunta ³ $ 2 Œ $ w>? >? 2 & Y $ w> &4? > &2? Pregunta 2 E: $ 2 ³ $ Y: $ ³ $ 3 Pregunta 3. a.- Inconsistente. b.- Infinitas soluciones. Pregunta 5 a.- Módulos: $ 2 ; " $ ; "*, " & $ 46 5 b.- Los vectores ortogonales a ;"< ;"< $ ƒ ;" * & 2< " & 4 3 ¹º Pregunta 6. a.- No se cumple las condiciones y 2. b.- No se cumple las condiciones y 2. c.- No se cumple la condición 5. Pregunta 7 a.- Si es producto interno. b.- Si es producto interno c.- Si es producto interno Pregunta 8 Pregunta 9 Pregunta 2 a.- E, Y $ b.- E, Y $ (( * >&?, > 2? $ cos;"<, sin;"< $

47 Pregunta 2. a.- Y = š # * B C # b.- Y = š B 2 ½ z¾ ½ C 2 &8 c.- Y = w #( > 3?, #( > 2? #( 9# 3 Pregunta 22 a.- Y = w ( > (?, P &2 > P?, * >? * & b.- Y $ š(), 2 3 B" & # * C¹, ;6 5 B"* & ", # P C c.- Y $ Àˆ ( (", Á), ˆ (kq: ;7 & ", * V9V Á(6"*, 9" & )  Pregunta 23. & & & Y $ à 2 2 Ä Å, 6 6 Ä & Å, Ä & ÅÆ & 3 Pregunta 24. & 2 a.- Y $ à * Ä Å, * * Ä Å, #k P 4 Ä &2 ÅÆ :# 2 b.- Y $ š;<, 2 3 B" & # C¹, ;#Q 7 * ( B"( & 9 ", # C #Q : c.- Y $ ÀˆB * C, B * C, P & B P 2 C Pregunta 25. Y $ w 5 5 > 2?, 7 &6 7 > 3? 5 K7 u $ 7 > &4? 7 K7 Çu $ 2 7 > &? &2 3 Pregunta 26. a.- Y $ š : : B2 C, K7 u $ B C Y Ç $ À 5 5 B &2 CÂ, K7 Çu $ B& 2 C 2 &8 &86 b.- Y $ w #( > 3?, #( > 2?, K7 #( 9# u $ # > 75? V9 3 8 Y Ç $ w &3 7 > 2?, K7 Çu $ > &26? c.- Y $ à ## ## Ä Y Ç $ à 2 2 Ä & Å, Ä ÅÆ, K7 u $ # Ä 4 Å ## & Å, 22 &3 22 Ä &3 ÅÆ, K7 Çu $ &5 Ä 8 Å 2 & 2 8 d.- Y $ w *9 > 3?, K7 *9 u $ # > 27? * Y Ç $ w 3 &3 3 > 2?, 377 &8 377 > &2?, K7 Çu $ 29 > 2? 3 &7 Pregunta 27. È $ ÉH& 2, Á IÊ 2 Pregunta 28. Y $ w 2 Á 2 >? ; Y Ç $ w>?, 2 2 >? &Á Pregunta 29. a.- No son ortogonales. &Á Y Ë $ w 2 2 >?, >? & b.- No son ortogonales. c.- Si son ortogonales. Pregunta 3. Y Ë $ Àq 3Xr, ˆ4 5 X * & 3 4 X¹  Y Ì( $ Ɉ 2 2, H 6 ;" & <I, ˆ3 2 4 "* & 2", 2 3 ¹ Ê Pregunta 3. Si es transformación lineal. Pregunta 32. No es transformación lineal. Í;,,< $ ;,2,< Pregunta 33. Si es transformación lineal. Pregunta 34. Pregunta 35. Pregunta 36. Pregunta 37. Í B " 7 C $ B " & 7 57 & 3" C E Î $ B 2 C ;Í< $ ;" * & "< ±²;Í< $ B C B C

48 Pregunta 4. a.- SI es transformación lineal. b.- NO es transformación lineal. c.- SI es transformación lineal. d.- NO es transformación lineal. e.- NO es transformación lineal. f.- NO es transformación lineal. g.- i.- SI es transformación lineal. ii.- SI es transformación lineal. Pregunta 4. Si es transformación lineal. Pregunta 42. = B C Pregunta 43. a.- Si es base de R3 con las condiciones a = v ; b = ;7 + v< ; Ï = " v 2 b.- La transformación es de la forma " " + 27 Í ˆ7 = > " + 7? v 2" v c.- Único elemento ;Í< = >? Pregunta ;Í< = w > 4? 3 Pregunta 46. b.- La transformación es de la forma Í B " C = B v 2 C c.- Núcleo de la transformación ;Í< = šb C, B C,B C Pregunta 47. La transformación que cumple las condiciones puede ser " v 7 Í H I = > v? v 2 47 v Pregunta 48. a.- ;Í< = ;2" 3" * <; 3" * < b.- ³ = Pregunta 5. Si es transformación lineal. Pregunta 5. ;Í< = ;" * 3"< ±²;Í< = šb 3 C,B& C,B2 C ³ $ 2 Pregunta 52. Pregunta 53. Ñ # = 2 # = B 2 C ; Ñ * = 2 * = B 2 C Ñ # = Á # = B Á C ; Ñ * = Á * = B Á C Pregunta 54. Ñ #,* $ # $ >? * $ >? ; Ñ ( $ ( $ >? Pregunta 55. a.- Ñ # $ 3 # $ B &2 5 C ; Ñ * $ &4 * $ B C Multiplicidad Algebraica y Geométrica para cada autovalor. b.- Ñ # $ Á # $ B 2, Á 5 C ; Ñ * $ &Á * $ B 2 & Á 5 C MA $ MG $ Para cada autovalor. c.- Ñ # $ &3 WE $ 2 # $ B C WÒ $ d.- Ñ # $ &5 WE $ 2 # $ B C WÒ $ &3 e.- Ñ # $ 2 WE $ 2 # $ > &? WÒ $ 2 &4 Ñ * $ WE $ * $ > &? WÒ $ 3 3 f.- Ñ # $ 2 # $ > 3? ; Ñ * $ * $ > 2? ; Ñ ( $ & ( $ >? MA$MG$ Para cada autovalor, Á & Á g.- Ñ # $ Á # $ >? ; Ñ * $ &Á * $ >? ; Ñ ( $ & ( $ > &? WE $ WÒ $ / Pregunta 56. a $ &2 b $ &2 Ï $ &3 Ñ * $ & WE $ 2 * $ >? ( $ >? WÒ $ 2 Pregunta 49. a.- E Î = B 2 C b.- E Î Ž = B C Pregunta 57. Ñ # $ &2 7 Ñ * $ 5

49 Pregunta 58. a.- Ñ # = # = B + Á 2 C ; Ñ * $ & * $ B &, Á C 2 Ó Ô $ #, * & & & b.- Ñ # $ 3 # $ >? ; Ñ * $ 2 * $ >? ; Ñ ( $ ( $ > &? Pregunta 59. a.- Si es diagonalizable. b.- Si es diagonalizable [ $ B &2 5 C [ $ B 2 & Á 2, Á 5 5 C c.- Si es diagonalizable. &, 3Á & & 3Á [ $ B C 5 5 d.- Si es diagonalizable. & [ $ > &2? e.- Si es diagonalizable. [ $ >? f.- Si es diagonalizable. 2 2 [ $ > 3? 3 2 g.- No es diagonalizable h.- No es diagonalizable. Pregunta 6. & * * a.- Õ g * EÕ $ >? RKƒR Õ $ Ö * f &3 b.- Õ YÕ $ H & 2 2 I, 2 2 & * P & * P * * ( * ( i ( 2 # (h g & 2 & i Ö RKƒR Õ $ 2 Ö & Ö f 2 2h &2 & 2 c.- Õ [Õ $ > 3? RKƒR Õ $ # > 2 &2? ( d.- Õ ØÕ $ B &5 5 C RKƒR Õ $ # B& 2 : 2 C e.- Õ ÓÕ $ B 3 C RKƒR Õ $ # * B& C f.- Õ ÙÕ $ B 2 C RKƒR Õ $ # & B * C Pregunta 62. &2 &3 & [ $ >? Pregunta 63. a.- No es diagonalizable. b.- Si es diagonaliazable donde & & Ø $ >? ; [ $ >? c.- Si es diagonalizable. Dónde: 2 Á &Á Ø $ > &Á? ; [ $ >? Á Pregunta 64. a.- No es diagonalizable. b.- Si es diagonalizable. Õ F# ØÕ = B 2 C RKƒR Õ $ B& 4 C c.- Si es diagonalizable. Õ F# ØÕ $ B &2 C RKƒR Õ $ B&4 5 3 C d.- No es diagonalizable. e.- Si es diagonalizable. Á &Á Õ F# ØÕ $ > &Á? RKƒR Õ $ > & & Á &, Á? Á f.- No es diagonalizable g.- Si es diagonalizable. 2 & & & Õ F# ØÕ $ > 2? RKƒR Õ $ > &2? 4 Pregunta 65. Pregunta 66. b.- E Î $ >? c.- $ d.- ³ $ 3 2 Œ $ à 6 6 Ä & Å, 3 3 Ä &2 ÅÆ &4 3 Pregunta 67. a.- Ñ # $ 3 WE $ 2 Ñ * $ 2 WE $ 2 & 3 b.- # $ Ä Å * $ Ä Å Ú & Ñ * WÒ $ 2 2 ( $ Ä Å V $ Ä Å Ú & Ñ # WÒ $ 2

50 c.- Si es diagonalizable. & 2 $ H 3 I Ø $ H 2 I Pregunta 69. K7 u $ 2 3 > 8? Pregunta 7. a.- La transformación es de la forma Í B " 7 v C = B R C b.- = ³ = 3 Pregunta 7 Õ = g Ö 5 Ö Ö 5 f i 9 2 ; Ø = > 9? h Pregunta 73. a.- Sea Û = Ä Å se completa la base para R4 y además los vectores ya son ortogonales entre sí, luego. Y Þ ß = 2 2 ÃÄ Å, Ä Å, Ä 2 Å, Ä ÅÆ 2 2 b.- La proyección será K7 Çà = 3 4 Ä Å Pregunta 74. a.- E Î = H I b.- ±²;Í< = ; + " + " ( <, ; + " * + " ( < ³ = 2 c.- 8 = 5 Pregunta 75. / 3 / 2 / 6 Õ = Ä/ 3 2/ 6Å ; Ø = >? / 3 / 2 / 6 3 Pregunta 77. a.- ±²;E< = ˆ2 ³ = 2 b.- Œ = w>?, ˆ = 2 Pregunta 78. a.- Ñ # = 2 WE = Ñ * = WE = 2 *.# = >? *.* = >? # = >? c.- Si forma R3 dadas las condiciones a = 3 ;" v< ; b = 3 ;2" 7 v< ; Ï = ;27 " v< 3 Pregunta 79. g 4 q 3 3Ár q + 3 3Ár 4 Ø = Ö 7 q Ár i q Ár 7 f h Pregunta 8 Ñ # = WE = 2 Ñ * = WE = 2 # = >? #.* = ˆ WÒ = 2 * = >? Pregunta 8. Y Þ á = w 2 3 > 2?, 3 > 2?, 2 3 >? i.- Y Ç = w : >?, : > 5? : #: 2 2 ii.- K7 Ç = # ;4,5,2< ( Pregunta 83. a.- Falso b.- Falso c.- Verdadero. d.- Falso. Pregunta 84. a.- Si es diagonalizable. 2 d.- Ø = H 4 2 2Á I ; Á g 6 q 2 2Ár q + 2 2Ár 6 = Ö i 6 q + 4 2Ár q + 4 2Ár 6 f h Pregunta 85. Y Ìá = Ɉ 2 2, ˆ 6 X, H 2 4 ;3X* <I, H 4 4 ;5X( 3X<IÊ