1.1 INTRODUCCIÓN: LA INTEGRAL DEFINIDA

Transcripción

1 3. INTEGRALES OBLES En este trabao se extende el concepto de la ntegral de una funcón real de varable real a funcones de varas varables, comenzando en este capítulo con ntegrales de funcones de dos varables; es decr, funcones del tpo f:. La ntegral doble tene dversas aplcacones tanto mecáncas como geométrcas, pero su sgnfcado ntrínseco es el volumen, así como el sgnfcado de una ntegral de una funcón de varable real es el área.. INTROUCCIÓN: LA INTEGRAL EFINIA El nombre de Suma de Remann se debe al matemátco alemán: Georg Fredrch Bernhard Remann (86-866). Como referenca para la defncón de la ntegral doble, se debe recordar la ntegral defnda de una funcón real de varable real, la cual surge como solucón al problema del cálculo de área bao una curva. Sea f una funcón real defnda en [ a, b] sea P una partcón del ntervalo cerrado [ a, b], donde P = { x x, x,, x, x,, x, x }., n Una suma de Remann de la funcón f para la partcón P, denotada por R P es un número real obtendo como: n Sus contrbucones destacaron en las áreas de análss geometría dferencal, la fscomatemátca la teoría de funcones de varables compleas. Su nombre tambén está relaconado con la funcón zeta. La longtud del subntervalo genérco se calcula de la sguente manera: x = x x n * R = f x x (I.) P = donde: n es el número de subntervalos de la partcón P, [ ] x x,x x es la longtud del subntervalo genérco * (tambén llamado subntervalo -ésmo). En la fgura se apreca el sgnfcado geométrco de la Suma de Remann para el caso de una funcón f postva en el ntervalo cerrado [ a, b]. UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

2 4 Sgnfcado geométrco de la suma de Remann S la funcón f es postva x [ a, b], entonces la suma de Remann corresponde a un valor aproxmado del área de la regón comprendda bao la gráfca de la funcón f, sobre el ee x, entre las rectas x = a x = b. Fgura. Sgnfcado geométrco de la Suma de Remann para una funcón f postva en el ntervalo cerrado[ a, b]. En la gráfca a) la regón sombreada es la que está comprendda bao la gráfca de la funcón f, sobre el ee x, entre las rectas x = a x = b. En la gráfca b) la suma de las áreas de los rectángulos sombreados es el valor numérco de la Suma de Remann para la funcón f en el ntervalo cerrado [ a, b]. ecr que la norma de la partcón P tende a cero, P, es equvalente a decr que el número de subntervalos de la partcón P tende a nfnto, n. El símbolo lo ntroduo el matemátco alemán Gottfred Wlhelm von Lebnz (646, 76). S la norma de una partcón P, denotada como P, se defne como la longtud más grande de todos los subntervalos, entonces al hacer que la norma sea lo sufcentemente pequeña, esto es P, la partcón se hace más fna, lo cual lleva a la defncón de la Integral efnda. EFINICIÓN: ntegral defnda de f en [ a,b] Sea f una funcón real defnda en un ntervalo cerrado [ a, b]. La ntegral defnda de f desde a hasta b, denotada por b a f ( x) dx, esta dada por: s el límte exste. a b n * ( ) f x dx= Lím f x x (I.) p = UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

3 La Integral efnda b f ( x) dx es un número a real que puede nterpretarse como el área bao la gráfca de la funcón f, sobre el ee x entre las rectas x = a x = b, s la funcón es postva. 5 onde: es el sgno de ntegracón, a b son los límtes de ntegracón nferor superor, respectvamente; f ( x) es el ntegrando o funcón ntegrando la dferencal de x, denotada por dx, ndca que la varable de ntegracón es x.. INTEGRAL OBLE SOBRE RECTÁNGULOS Sea f : una funcón defnda sobre la regón rectangular cerrada, dada por: [ ] [ ] { } = a,b c,d = x, a x b c d (I.3) Una partcón P x del ntervalo [ a, b] es un conunto fnto de elementos, donde se cumple: a = x < x < < x < x < < xn = b Sea P una partcón de la regón, la cual se logra con el producto cartesano de las partcones P x P de los ntervalos [ a, b] [ d] c,, respectvamente, como se muestra a contnuacón: x { x x, x,, x, x,, x x }, n P =, (I.4) n {,,,,,, } P =, (I.5), m m entonces S la partcón P x tene + UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca. P = P x P (I.6) n elementos n subntervalos [ x, ] x de longtud x = x x, la partcón P tene m + elementos m subntervalos [, ] de longtud =, entonces la regón rectangular queda dvdda por la partcón P en rectángulos denomnados.. n m, tal como se muestra en la fgura

4 6 En la fgura., se apreca que: * x x x * Fgura. Partcón P de una regón rectangular. Fgura.3 Subrectángulo El punto (, ) x por lo tanto exsten dferentes alternatvas para su seleccón las más comunes son: Esquna nferor zquerda x *, * = x, ( ) ( ) Esquna nferor derecha x *, * = x, Esquna superor zquerda x *, * = x, ( ) ( ) Esquna superor derecha x, = x, Punto medo x + x + x, =, El subrectángulo denotado cua área, denotada, es un elemento de la partcón P, A se calcula como: Al tomar un punto arbtraro *, * A = x (I.7) x en el subrectángulo, se puede establecer la doble suma de Remann para la funcón f en la partcón P, denotada como S : S n m = = = f ( x, ) A (I.8) Esta doble suma de Remann es un valor numérco que se obtene al efectuar la suma del producto de la magen de la funcón f en cada punto arbtraro *, * expandr la expresón (I.8) se obtene: x el área de cada rectángulo. Al UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

5 S = f f 7 f ( x, ) A + f ( x, ) A + + f ( x, m ) ( x, ) A + f ( x, ) A + + f ( x, ) m ( xn, ) An + f ( xn, ) An + + f ( xn, m ) Anm m A A m + + (I.9) S se defne la norma P de la partcón P como la longtud de la dagonal más grande de todos los rectángulos se hace que P, entonces la partcón P se hace más fna, esto es, ahora la regón R queda dvdda en muchos más rectángulos, se puede plantear: Lm S P n m = Lm f P = = ( x, ) A (I.) Todo esto permte establecer la defncón de la ntegral doble... INTEGRAL OBLE E f SOBRE Así como la suma de Remann es una aproxmacón de la ntegral defnda, la doble suma de Remann es una aproxmacón de la ntegral doble. EFINICIÓN: Integral doble de f sobre Sea f : una funcón real defnda sobre un rectángulo del plano. La ntegral doble de f sobre, denotada por f ( x,) da, se defne como: Otras notacones para la ntegral doble son: f f ( x, ) ( x, ) dxd ddx n m f = P = = ( x, ) da Lm f ( x, ) A s el límte exste. ecr que el límte exste sgnfca que: (I.) donde L UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca. ( x,) da = L f (I.)

6 efncón del límte de una funcón: El límte Lm f x x ( x) = L exste s ε > δ > tal que f ( x) L < ε sempre que < x x < δ Observe que la condcón < P no se coloca a que la norma de la partcón P es una longtud por lo tanto a es postva. 8 S el límte de la expresón (I.) exste se dce que f ntegrable sobre, recordando la defncón del límte, esto sgnfca que para todo ε > exste un número δ >, tal que: Sempre que: n m = = f ( x, ) A L < ε es (I.3) P < δ (I.4) Para cualquer partcón P del rectángulo, para cualquer *, * x en el subrectángulo... INTEGRABILIA E UNA FUNCIÓN CONTINUA TEOREMA: Integrabldad de una funcón contnua Sea f : una funcón real defnda sobre un rectángulo del plano acotada, contnua, excepto quzás en un número fnto de curvas suaves en, entonces la funcón f es ntegrable en. UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

7 9.3 INTERPRETACIÓN E LA INTEGRAL OBLE COMO VOLUMEN Sea f : [ a,b] [ c,d] una funcón real defnda sobre un rectángulo =, la cual es contnua postva en. Entonces la gráfca de f es una superfce defnda por la ecuacón: ( x,) z = f (I.5) En la fgura.4 se apreca la gráfca de una funcón defnda sobre un rectángulo. f : ( x ) z = f, Gráfca de una funcón f : Fgura.4 defnda sobre un rectángulo Sea S el sóldo que está defndo sobre la regón bao la superfce defnda por la gráfca de f. En la fgura.5 se apreca el sóldo S. UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

8 x Fgura.5 Sóldo S defndo sobre la regón bao la gráfca de f El volumen V del sóldo S puede aproxmarse como la suma del volumen de los paralelepípedos base como ndca la expresón (I.6). altura es f ( x, ), tal V n m V (I.6) = = donde V es el volumen del paralelepípedo de base, tambén llamado paralelepípedo aproxmante, cua altura es f ( x, ) * punto ( ) *,. El x pertenece al subrectángulo genérco. El volumen de este paralelepípedo o caa rectangular vene dado por: V ( x, ) A = f (I.7) Al susttur (I.7) en (I.6) se obtene la doble suma de Remann n m f = = planteada en (I.8) como ( x, ) A por lo tanto esta doble suma es una aproxmacón del volumen del sóldo S, es decr: UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

9 V n m = = f ( x, ) A (I.8) La fgura.6 muestra la gráfca de un paralelepípedo aproxmante del volumen del sóldo S sobre la regón. ( x *, *,f ( x *, * )) ( x ) z = f, = = x = x = x x Paralelepípedo de base Fgura.6 altura ( ) f x,, empleado para aproxmar el volumen del sóldo S defndo sobre la regón La fgura.7 muestra los paralelepípedos empleados en la aproxmacón del volumen del sóldo S, el cual se encuentra lmtado por la gráfca de la funcón f por el rectángulo. UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

10 Fgura.7 Paralelepípedos empleados para aproxmar el volumen del sóldo S defndo sobre la regón Cuando P, la partcón P se hace más fna por lo tanto la regón R queda dvdda en muchos más rectángulos, por lo cual n m el límte ( *, * ) S, es decr: Lm f x A representa el volumen del sóldo P = = n m ( *, * ) (, ) (I.9) V = Lm f x A = f x da P = = En la fgura.8 se observan los paralelepípedos empleados en la aproxmacón del volumen del sóldo S, pero ahora con una partcón más refnada sobre el rectángulo. UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

11 3 Fgura.8 Paralelepípedos empleados en la aproxmacón del volumen del sóldo S con una partcón refnada sobre. EJEMPLO. Estme el volumen del sóldo que se encuentra debao de la superfce z = x + 4 arrba del rectángulo {( x, ) x 3} =. Utlce una suma de Remann con n = m = 3 consderando el punto de muestra como: a) La esquna superor derecha de cada subrectángulo. Fgura.9 Sóldo del eemplo. b) El punto medo de cada subrectángulo Solucón: a) Sea V el volumen del sóldo debao de la superfce z = x + 4 arrba del rectángulo. Entonces se desea estmar a V de la sguente manera: 3 ( 4 ) V = x + da f x, A = = UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

12 4 donde ( ) x, es el punto pertenecente a donde será evaluada la funcón. El enuncado de este eercco exge que el punto de muestra sea la esquna superor derecha de cada subrectángulo, por lo cual (, ) ( x, ) x =. La regón su partcón se muestran en la sguente fgura. S m = 3 n =, entonces b a x = = = n d c 3 = = = m 3 Como (, ) ( x, ) x =, entonces se debe expresar en funcón de : x = x + x = + = = + = + = Y además: ()() A = x = = Fgura. Partcón empleada para el eemplo. Luego, la aproxmacón del volumen es: 3 3 (, ) (, ) V f x A = f = = = = Recuerde: n = n = n = k = kn s k ( + ) n n = n n = ( + )( n+ ) 6 Para evaluar esta doble suma de Remman se pueden emplear las fórmulas propedades de la notacón sgma: 3 3 V f, = + 4 = = = 63 = = = = = V = x + 4 da 63 UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

13 5 Cuando se seleccona (, ) ( x, ) x =, en el cálculo de la doble suma de Remann del eemplo. parte a, la aproxmacón del volumen obtenda es por exceso a que el volumen del sóldo S es nferor al volumen de las caas rectangulares. Fgura. Paralelepípedos empleados para aproxmar el volumen del sóldo S descrto en el eemplo. parte a En la fgura., se apreca la superfce defnda por la funcón f los paralelepípedos aproxmantes de volumen. b) Cuando se desea estmar el volumen V del sóldo debao de la superfce = arrba del rectángulo en donde ( x, ) z x + 4 es el punto medo de cada subrectángulo, entonces se tene: x = x + x = = + = x + x x, =, =, =, ( ) Luego: V f x A = f = = = = 3 3 (, ), () A contnuacón esta doble suma de Remann se resolverá calculando la magen de cada (, ) posterormente se efectuará la suma. x en la funcón f UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

14 6 3 ( ) x, =, f x, = x + 4, 3, 5, 3, 3 3, 3 5, Valores de (, ) Cuadro f x empleados en el eemplo. (b) En el eemplo. parte b, cuando se seleccona (, ) x como el punto medo de cada subrectángulo se puede aprecar en la fgura. que la gráfca de la funcón f atravesa a los paralelepípedos, por lo cual no se puede asegurar s la aproxmacón del V = 43, Por lo tanto V = x + 4 da 43, 5 volumen del sóldo S es por exceso o por defecto. Fgura. Paralelepípedos empleados para aproxmar el volumen del sóldo S descrto en el eemplo. parte b En la fgura., se observa la superfce defnda por la funcón f los paralelepípedos aproxmantes de volumen. UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

15 EJEMPLO. Sea 7 S el sóldo que se encuentra arrba del cuadrado = [, 4] [, 4] abao del parabolode elíptco z x = 36. Estme el volumen del sóldo tomando como punto de muestra la esquna superor derecha de cada subcuadrado dvdendo a la regón en: a) Cuatro cuadrados guales. Fgura.3 Sóldo del eemplo. b) ez ml cuadrados guales. Solucón: a) Sea V el volumen del sóldo debao de la superfce z x = 36 arrba del rectángulo. Entonces se desea Como = [, 4] [, 4] se dvde en 4 subcuadrados, entonces n = m= b a 4 x = = = n d c 4 = = = m 3 estmar a V de la sguente manera: ( 36 ) ( *, * ) V = x da f x A donde ( x, ) = ( x, ) = = La regón R su partcón se muestran en la sguente fgura. UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca. Fgura.4 Partcón empleada para el eemplo.

16 8 A = x = = 4 Como (, ) ( x, ) entonces x =, x = x + x= + = = + = + = Luego, la aproxmacón del volumen es: (, ) (, )( 4) 4 6 ( ) ( ) V f x A = f = = = = = = = Resolvendo de manera análoga al eemplo anteror: V = 36 x da 56 En el eemplo. parte a, la aproxmacón del volumen obtenda es por defecto a que las caas rectangulares empleadas se encuentran dentro del sóldo S. Fgura.5 Volumen aproxmado en el eemplo. parte a En la fgura.5, se observa la superfce defnda por la funcón f los paralelepípedos aproxmantes empleados. UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

17 9 b) Ahora la regón, está dvdda en dez ml subcuadrados guales; es decr, n= m=. Por lo tanto, la estmacón del volumen del sóldo vene dada por: ( 36 ) ( *, * ) V = x da f x A = = Realzar este cálculo como se ha lustrado en los eemplos. la parte a de éste, es mu largo pues el número de subcuadrados es elevado. Entonces para resolver la doble suma de Remann planteada es necesaro emplear un software matemátco. A contnuacón se presenta los resultados obtendos, con un software matemátco, para el eemplo. parte b. Tambén se nclue otra aproxmacón empleando una partcón aún más refnada. Número de subcuadrados n m n m ( *, * ) = = f x A ez ml 4,7648 Un mllón.. 45,7748 Cuadro. Aproxmacones del volumen del sóldo planteado en el eemplo. En el eemplo. parte b, se apreca que la aproxmacón del volumen del sóldo S aumenta a medda que se ncrementa el número de subcuadrados. Con la auda del software se obtuvo las sguentes aproxmacones: V = 36 x da 4, 7648 V = 36 x da 45, 7748 UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

18 EJEMPLO.3 Sea S el sóldo que se encuentra arrba del cuadrado [, 3] [, ] = bao el plano de ecuacón z =. Estme el volumen del sóldo consderando: a) n = 3, m = el punto de muestra como el punto medo de cada subrectángulo. Fgura.6 Sóldo del eemplo.3 b) n = 6, m = 8 el punto de muestra como el punto medo de cada subrectángulo. Solucón: a) Sea V el volumen del sóldo debao de la superfce z = arrba del rectángulo. La regón su partcón se muestran en la sguente fgura Fgura.7 Partcón empleada para el eemplo.3 parte a UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

19 S m = n = 3, entonces b a 3 x = = = n 3 ( ) d c = = m = x = A = Entonces se desea estmar a V de la sguente manera: 3 ( ) ( ), donde (, ) V = da f x, A = = medo de cada subrectángulo, entonces se tene: f * 3 5 ( x, ) = = = x es el punto ( ) = = + = + = + Luego, la aproxmacón del volumen es: V () = = 6 = = = V = da 6 En la fgura.8, se observa la superfce defnda por la funcón f la aproxmacón del volumen. En el eemplo.3 parte a, en la aproxmacón del volumen, se observa que la gráfca de la funcón f atravesa a los paralelepípedos, por lo cual no se puede asegurar s la aproxmacón es por exceso o por defecto. Fgura.8 Aproxmacón del volumen para el eemplo.3 parte a UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

20 b) Se desea estmar el volumen V pero ahora con una partcón refnada, donde n = 6 m = 8. En la fgura.9 se apreca esta partcón. Fgura.9 Partcón empleada para el eemplo.3 parte b S n = 6 m = 8 entonces b a x = n d c = m A = 8 = = 4 5 = + ( ) = 4 4 = + = 4 3 ( ) ( ), donde (, ) V = da f x, A = = x sgue sendo el punto medo de cada subrectángulo, pero como la partcón es más fna, entonces: f ( x, ) = * Entonces el volumen aproxmado es: V = = = = = = 8 = 6 V = da 6 UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

21 3 En la fgura. se apreca la aproxmacón del volumen del sóldo S empleando la partcón más refnada. Fgura. Aproxmacón del volumen para el eemplo.3 parte b UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

22 4.4 INTEGRALES ITERAAS Segundo Teorema Fundamental del Cálculo S f es una funcón contnua en el ntervalo cerrado [ a,b] s F es una antdervada de f, entonces: b b f x dx= F x a b a = f x dx F b F a a Para evaluar una ntegral defnda en un ntervalo cerrado se tenen dos alternatvas: la defncón, donde se emplean fórmulas propedades de la notacón sgma además, la resolucón de un límte; la otra opcón para resolver una ntegral defnda de una funcón real de varable real, es el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, el cual consste en encontrar una antdervada evaluarla en los extremos del ntervalo de ntegracón. El prmer método, la defncón como el límte de una suma suele ser un procedmento más rguroso en comparacón con el segundo. Análogamente, la resolucón de una ntegral doble por defncón es un cálculo mu compleo, a que es el resultado del límte de una doble suma de Remann. A contnuacón se expone un método que consste en expresar una ntegral doble como una ntegral terada, lo cual mplca la evaluacón sucesva de dos ntegrales smples. EFINICIÓN: La Integral Iterada Sea f: una funcón real contnua de dos varables, defnda en la regón rectangular [ a, b] [ c, d ] =. La ntegral terada de la funcón f sobre, denotada por d b ó c a f (x,)dxd a b c d f (x,)ddx, se defne como: f ( x,) dxd = f ( x,) dx d d b d b (I.) c a c a O tambén f ( x,) ddx= f ( x,) d dx b d b d (I.) a c a c UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

23 Recuerde que en la f x, dx, la b ntegral a dx ndca que la varable de ntegracón es x, por lo tanto la varable se consdera constante en esta ntegral. Esto se conoce como ntegracón parcal con respecto a x 5 Entonces, la ntegral terada es la evaluacón sucesva de dos ntegrales smples. En la ecuacón (I.), la ntegral que debe resolverse prmero es la que se encuentra dentro del corchete; es b decr, a f x, dx. El resultado de esta ntegral es una funcón de, a que se consdera constante. Tal como se lustra: Entonces para resolver d f ( x,) d se ntegra c parcalmente respecto a la varable ; es decr x es consderada constante. Fnalmente: b a = ( ) f x, dx A (I.) f ( x,) dxd = f ( x,) dx d = A( ) d d b d b d (I.3) c a c a c En forma análoga, en la expresón (I.), la ntegral b d d f ( x,) ddx se resuelve prmero f a c funcón de x, como sgue: c d c = x, d, resultando una f x, d A x (I.4) para luego ntegrar respecto a : f ( x,) ddx = f ( x,) d dx = A( x) dx b d b d b (I.5) a c a c a EJEMPLO.4 Evalúe las sguentes ntegrales teradas: 3 3 a) ( x + 4) dxd b) ( x + 4 ) UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca. ddx 4 4 c) ( x ) dxd d) ( ) 3 e) ( ) 36 x ddx 3 dxd f) ddx

24 6 Solucón: Recuerde que en el eemplo. se aproxmó la ntegral doble de dos maneras dferentes: V = x + 4 da 63 V = x + 4 da 43, 5 3 a) Para resolver la ntegral ( x + 4 ) parcalmente respecto a x, 3 x 8 x 4 dx + = + 4x = Luego se evalúa la segunda ntegral dxd, prmero se ntegra Al comparar estas aproxmacones con el valor de la ntegral, en efecto se puede comprobar que la prmera estmacón es por exceso, mentras que la segunda es una meor aproxmacón. Por lo tanto: d = + = + = ( x ) + 4 dxd = 44 3 b) Se desea resolver ( x + 4) ddx: 3 3 x + 4 d = x + = 3x x + 8 dx= x 8x = + = 3 ( x ) + 4 ddx = c) Para resolver la ntegral ( ) ntegra parcalmente respecto a x: 4 36 x dxd, prmero se 4 3 x x dx= 36x x = = 3 3 UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

25 Recuerde que en el eemplo. parte a se obtuvo una aproxmacón por defecto de: V = 36 x da 56 Mentras que en la parte b, se obtuvo: V 4, Luego se resuelve la segunda ntegral, cua varable es d 45, = = = Por lo tanto: x dxd = 45, 3 V 45, 7748 Al observar el valor real de la ntegral doble, 36 dxd = se puede conclur que las aproxmacones de la parte b son meores que la estmacón de la parte a. 4 4 d) Resolvendo ( ) 4 36 x ddx x d = 36 x = 44 4x = 4x x dx = x x = =, x ddx = 45, 3 En el eemplo.3, se aproxmó la ntegral doble medante una doble suma de Remann con dos partcones dferentes, donde en ambos casos se obtuvo: V = da 6 3 e) Para resolver la ntegral ( ) respecto a x como sgue: ( ) dx= ( ) x = ( ) Segudamente se resuelve la ntegral: 3 3 ( ) d = [ ] = 6 dxd, prmero se ntegra Es decr: UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

26 8 3 dxd = 6 3 f) Ahora se resuelve ( ) ddx en el orden de ntegracón nverso, prmero respecto a la varable x: 3 dx= = = Ahora respecto a la varable : 3 dx = 6 3 ddx = 6 UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

27 9.5 TEOREMA E FUBINI El nombre de Teorema de Fubn se debe al matemátco talano: Gudo Fubn (879, 943). El sguente teorema proporcona un método práctco para evaluar una ntegral doble expresándola como una ntegral terada TEOREMA de Fubn para Integrales obles Sea f: [ a, b] [ c d] =,, entonces: una funcón real contnua en el rectángulo Tambén resaltó por sus contrbucones en los campos de geometría dferencal, ecuacones dferencales, funcones analítcas funcones de varas varables. El prncpo de Cavaler se debe al matemátco talano Bonaventura FrancescoCavaler (598, 647). emostracón ntutva: d b b d = = f x, da f x, dxd f x, ddx (I.5) c a a c Consdere que la funcón f es postva, es decr, f ( x, ) cual la ntegral doble f, por lo x, da representa el volumen del sóldo S que se encuentra arrba del rectángulo por debao de la superfce defnda por z f ( x, ) =. El volumen del sóldo S tambén puede ser calculado empleando el prncpo de Cavaler, donde el volumen de seccones transversales conocdas se calcula medante una ntegral smple. Célebre por ntroducr en Itala el cálculo logarítmco por su teoría de ndvsbles, la cual es el prncpo del cálculo de una ntegral defnda pero sn la rgurosdad moderna del límte. b a V = A x dx (I.6) En la fgura. se lustra una seccón transversal del sóldo S. UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

28 3 z = f(x,) A(x) a x = x b Fgura. Interpretacón geométrca del Teorema de Fubn donde A ( x) es el área de la seccón transversal del sóldo S que es perpendcular al ee x al plano x, entonces A ( x) se puede obtener como: d A x = f x, d (I.7) c Susttuendo la ecuacón (I.7) en (I.6), se obtene: b d (I.8) V = f x, ddx = f x, ddx a c En forma análoga, el volumen del sóldo S se puede obtener como: V c d = A d (I.9) UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

29 3 donde A ( ) es el área de la seccón transversal del sóldo S que es perpendcular al ee al plano x, como se lustra en la fgura.; es decr: Fgura. A( ) Interpretacón geométrca del teorema de Fubn A( ) es el área de la seccón transversal del sóldo S que es perpendcular al ee al plano x. b A = f x, dx (I.3) Al susttur la expresón de A ( ) en la ecuacón (I.9) se tene: a d b (I.3) V = f x, ddx = f x, dxd c a Fnalmente, se conclue que la ntegral doble de f sobre es gual a la ntegral terada de la funcón f ; es decr: b d d b = = f x, da f x, ddx f x, dxd (I.3) a c c a UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

30 3.6 INTEGRALES OBLES SOBRE REGIONES MÁS GENERALES En esta seccón se amplía la defncón de la ntegral doble de una funcón f, sobre regones más generales que rectángulos, para posterormente explcar cómo se resuelven este tpo de ntegrales. En la fgura.3 se presenta una regón de una forma más general. Fgura.3 Regón con una forma más general Entre las regones más generales se tenen las de tpo las de tpo. EFINICIÓN: Regones de Tpo Como las funcones f g son contnuas en [,b] a, entonces son acotadas, por lo cual la regón del tpo es una regón acotada del plano. Sean gh, :[, ] contnuas en [ a,b], de modo que g ( x) h( x ), x [ a,b] ab, dos funcones reales de varable real,. Una regón de tpo, es una regón defnda como: { (, ) } = x a x b g x h x (I.33) En otras palabras, la regón está lmtada por la zquerda por la recta x = a, por la derecha por la recta x = b, nferormente por la UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

31 33 gráfca de la funcón g superormente por la gráfca de la funcón h. En la fgura.4 se observan algunas regones de tpo. En una regón de tpo ó de tpo, las curvas segmentos de rectas que lmtan a la regón, consttuen la frontera de se denota como. Fgura.4 Regones de tpo EFINICIÓN: Regones de Tpo Sean gh, :[, ] contnuas en [ cd, ], de modo que g ( ) h( ), [ c, d] cd, dos funcones reales de varable real,. Una regón de tpo, es una regón defnda como: { (, ) c } = x g x h d (I.34) Entonces toda regón está lmtada por la zquerda por la gráfca de la funcón g, por la derecha por la gráfca de la funcón h, superor e nferormente por las rectas respectvamente. En la fgura.5 se aprecan algunas regones de tpo. = d = c, UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

32 34 Algunas regones pueden ser del tpo del tpo smultáneamente, a estas regones se les clasfca como de tpo 3. Eemplo: = x = x Fgura.5 Regones de tpo Fgura.6 El círculo untaro como una regón tpo Una vez explcadas las regones de tpo de tpo, se presenta la sguente defncón: EFINICIÓN: Integrales dobles sobre regones generales x= Sea f: una funcón real contnua de dos varables, defnda en una regón general. x = Fgura.7 El círculo untaro como una regón tpo Sea R un rectángulo que contene a la regón. Sea F una funcón defnda en el rectángulo R como: F x, ( x,) s ( x,) f = s ( x, ) ( x,) R (I.35) La ntegral doble de f sobre, denotada dada por: = R f x, da, está f x, da F x, da (I.36) Ahora ben, para resolver la ntegral dentfcar s la regón es de tpo o de tpo. f x, da, se debe UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

33 35 S la regón es de tpo, se debe selecconar un rectángulo R = [ a,b] [ c,d] que contenga a, tal como se lustra en la sguente fgura. Fgura.8 Rectángulo R que contene a la regón de tpo f x, da F x, da, por el teorema de Fubn Luego, como = resulta: R b d = Fx, da F x, ddx (I.37) R a c Y según la defncón de la funcón F, se tene que F( x, ) = s < g( x) > h( x), entonces: d h x h x c g x g x F x, d = F x, d = f x, d (I.38) Por lo que se puede defnr la ntegral doble sobre una regón de tpo de la sguente manera: UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

34 36 EFINICIÓN: Integrales dobles sobre regones de tpo Sea f una funcón real contnua de dos varables, defnda en una regón del tpo, tal que { (, ) } = x a x b g x h x (I.39) La ntegral doble de f sobre una regón de tpo, denotada f x, da, está dada por: b h x = f x, da f x, ddx (I.4) a g x S por el contraro, la regón es de tpo, se debe selecconar un rectángulo R = [ a,b] [ c,d] que contenga a, tal como se muestra en la fgura.9. d x = h() c R a x = g() b x Fgura.9 Rectángulo R que contene a la regón de tpo Como = tene: UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca. f x, da F x, da, por el teorema de Fubn se R d b = Fx, da F x, dxd (I.4) R c a

35 37 donde F( x, ) = s x g( ) x h( ) < >, entonces: b h h a g g F x, dx = F x, dx = f x, dx (I.4) La ntegral doble sobre una regón del tpo se puede defnr como: EFINICIÓN: Integrales dobles sobre regones de tpo Sea f una funcón real contnua de dos varables, defnda en una regón del tpo, tal que { (, ) } = x g x h c d (I.43) La ntegral doble de f sobre una regón de tpo, denotada f x, da, está dada por: d h = f x, da f x, dxd c (I.44) g COMENTARIO e ahora en adelante, para ndcar el orden de ntegracón para una meor vsualzacón de los límtes de ntegracón, se emplearán unas flechas, sobre la gráfca de la regón, que ndcarán el valor ncal fnal de la varable de acuerdo a la entrada salda de la flecha, respectvamente. En una regón de tpo, la ntegral doble de la funcón f se b h x obtene como f a g x x, ddx, de acuerdo a la ecuacón (I.4), esta ntegral ndca que la prmera ntegracón se realza respecto a la varable, por lo cual se ndcará sobre la regón como se lustra en la sguente fgura: UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

36 38 : Indca cual es el valor de la varable a la salda de la regón (límte superor). : Indca cual es el valor de la varable a la entrada de la regón (límte nferor). Fgura.3 Orden de ntegracón para la ntegral doble de f sobre una regón tpo Por otra parte, la ecuacón (I.44) señala que en una regón de tpo, la ntegral doble de la funcón f se obtene como c d h g f x, dxd, lo que ndca que la prmera ntegracón se realza respecto a la varable x, por lo cual se señalará sobre la regón como se muestra a contnuacón: : Indca cual es el valor de la varable x a la salda de la regón (límte superor). d x = h() : Indca cual es el valor de la varable x a la entrada de la regón (límte nferor). c a x = g() R b x Fgura.3 Orden de ntegracón para la ntegral doble de f sobre una regón tpo UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

37 EJEMPLO.5 39 Evalúe las sguentes ntegrales teradas, dbue la regón determnada por los límtes de ntegracón e ndque cuales regones son del tpo, del tpo o de ambos. x a) ddx b) 3x+ x ddx 4 c) dxd d) 4 Solucón: e xdxd a) Para resolver la ntegral x ddx, se evalúa prmero la ntegral nterna, pero a dferenca del eemplo.4 de aquí en adelante se mantendrá la ntegral externa, como sgue: Fgura.3 Sóldo del eemplo.5 parte a 3 x ddx x d dx x x dx x dx = = = = = 3 3 x ddx = 3 Fgura.33 Funcón f defnda en la regón del eemplo.5 parte a La regón de este eercco es de tpo de tpo, a que se puede defnr como: Regón tpo : {, } = x x x Regón tpo : {, } = x x La gráfca de la regón, unto con el orden de ntegracón se muestra en la sguente fgura: UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

38 4 Valor de a la salda de = x En el eemplo.5 a la x ntegral ddx =, lo 3 cual quere decr que el sóldo defndo sobre bao la gráfca de f, tene como volumen (UL) 3, donde UL son 3 undades de longtud. Fgura.34 Valor de a la entrada de = Regón del eemplo.5 a b) Se desea resolver la ntegral 3x+ x ddx ddx = d dx = dx = ( x + ) dx 3x+ 3x+ 3x+ x x x Fgura.35 Sóldo del eemplo.5 parte b ( x ) ( x + ) 5 + dx= = 3x+ x ddx = 5 Fgura.36 Funcón f defnda en la regón del eemplo.5 parte b La regón es una regón de tpo, defnda como: {(, ) 3 } = x x x x+ La gráfca de la regón se muestra en la sguente fgura UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

39 4 Valor de a la salda de = 3x+ x = x = Valor de a la entrada de = x Fgura.37 Regón del eemplo.5 b c) Resolvendo la ntegral doble 4 4 dxd, se tene: Fgura.38 Sóldo del eemplo.5 parte c dxd dx d x d d = = = Esta ntegral se resuelve empleando una susttucón trgonométrca: dxd = 4 d = 4 d 4 4 Fgura.39 Funcón f defnda en la regón del eemplo.5 parte c Al susttur el cambo de varable se tene: UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

40 CV: Cambo de Varable = senθ d = cosθdθ CLI: Cambo de los límtes de ntegracón LI: = θ = arcsen= LS: π = θ = arcsen= π 4 4 = 4 cos = 8 cos 4 dxd senθ θdθ θdθ 4 dxd 4 sen π + cos θ θ = 8 dθ = 4 θ + = π 4 dxd = π 4 π π La regón del eemplo.5 c es de tpo de tpo, a que se puede defnr como: e rado = altura = por lo tanto se puede calcular su volumen como: V = π = π lo que concde con la ntegral: 4 dxd π = 4 Regón tpo : Regón tpo : {, 4 } = x x x {, 4 4 } = x x La gráfca de la regón se muestra en la sguente fgura: Valor de x a la entrada de x = 4 Valor de x a la salda de x = 4 Fgura.4 Regón del eemplo.5 c = UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

41 43 d) La ntegral e xdxd es dferente a las tres partes anterores, a que la funcón ntegrando es dferente a la undad. Fgura.4 Sóldo del eemplo.5 parte d xdxd xdx d 3 x d 3 e d e e 3 e 3 3 = = = e xdxd = 3 e = e = e e xdxd = e 9 45 Fgura.4 Funcón f defnda en la regón del eemplo.5 parte d La regón es una regón de tpo, defnda como: {(, ) } = x x e La gráfca de la regón se muestra en la sguente fgura: = Valor de x a la entrada de x = Valor de x a la salda de x = e = Fgura.43 Regón del eemplo.5 d UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

42 44.7 PROPIEAES E LA INTEGRAL OBLE A contnuacón se presentan las propedades de la ntegral doble de una funcón f: real de dos varables sobre una regón general..7. Propedad de lnealdad Sean f: g: dos funcones reales contnuas defndas en una regón, sean α β dos números reales cualesquera, entonces: (, ) + (, ) = (, ) + (, ) α f x βg x da α f x da βg x da (I.45).7. Propedad de orden Sean f: g: dos funcones reales contnuas defndas en una regón, tales que f ( x,) g( x,) ( x,) entonces: (, ) (, ), f xda g xda (I.46).7.3 Propedad adtva respecto a la regón de ntegracón Sea f: una funcón real contnua defnda en una regón general. S la regón está dvdda en dos subregones (es decr = ), entonces: (, ) = (, ) + (, ) f xda f xda f xda (I.47) UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

43 EJEMPLO.6 45 Evalúe la sguente ntegral doble dbue la regón. ( + + ), x da { 3 3 6} = x, x + x x+ Solucón: El prmer paso para resolver este eercco es dentfcar s la regón es tpo o tpo. En la sguente fgura se muestra la regón. Fgura.44 Funcón f defnda en la regón del eemplo.6 Nótese como en este eemplo la funcón f no es estrctamente postva. = 3x+6 = 3 = x +x Fgura.45 Regón del eemplo.6 La regón de este eemplo no es de tpo, n de tpo, por lo tanto, para evaluar la ntegral doble pedda, se empleará la propedad señalada en la ecuacón (I.47). Para este eemplo, se tenen dos alternatvas: dvdr a la regón en dos subregones tpo o dvdrla en dos subregones tpo. A contnuacón se analzan ambas stuacones. ) Cuando la regón es dvdda por la recta x =, se obtenen dos subregones de tpo ; es decr, =, donde: UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca. { } = x, x x + x 3x+ 6 { } = x, x x + x 3

44 46 En la fgura.46 se apreca la regón dvdda en dos regones tpo. x = Valor de a la salda de = 3 Valor de a la salda de = 3x+ 6 Valor de a la entrada de = x + x Fgura.46 Valor de a la entrada de = x + x Regón del eemplo.6 dvdda en dos regones tpo Por lo tanto: 3x+ 6 3 I = x + + da = x + + ddx + x + + ddx x + x x + x 4 4 x 3 5x 5 x 3 I = 4 3x + + 5x dx+ 3x 5x x dx I = I = ( x+ + ) da= ) Cuando se traza la recta =, la regón se dvde en dos subregones de tpo ; es decr, = A B, donde: A {(, ) } = x + x B = ( x, ) x UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

45 47 La fgura.47 muestra la regón dvdda en dos regones tpo. Valor de x a la entrada de B 6 x = 3 B Valor de x a la salda de B x = + + = Valor de x a la entrada de A x = + A Valor de x a la salda de A x = + + Fgura.47 Regón del eemplo.6 dvdda en dos regones tpo Entonces, sendo = ( + + ) I x da, se tene que: I = x + + dxd + x + + dxd + Resolvendo se obtene I = +, luego: I = ( x+ + ) da= UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

46 EJEMPLO.7 48 Evalúe la sguente ntegral doble dbue la regón. ( + 4x ) da, = { ( x,) x x + 4 } Solucón: Fgura.48 Funcón f defnda en la regón del eemplo.7 Tal como se explcó en los eemplos anterores, el prmer paso para resolver la ntegral doble planteada consste en clasfcar a la regón en una regón de tpo o tpo. Para ello se deben estudar las necuacones que defnen a la regón. La solucón de la necuacón x es la nterseccón de las necuacones: ) x (s x) ) x (s < x) Según la defncón del valor absoluto: x s x x = x s < x La solucón de la necuacón x + 4 es el conunto de pares ordenados ( x, ) que se encuentran dentro sobre la crcunferenca de rado con centro en el orgen del sstema de coordenadas. La regón del eemplo.7 se muestra en la fgura.49 = x+ x + = 4 = x Fgura.49 Regón del eemplo.7 UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

47 49 En la fgura anteror se apreca que la regón no es de tpo, n de tpo, por lo tanto, para evaluar la ntegral doble pedda, se emplea la propedad adtva respecto a la regón de ntegracón, señalada en.7.3. Por lo que la regón se dvde en dos regones tpo, esto es: =, las cuales se detallan en la fgura.5. Valor de a la salda de = x+ x = Valor de a la salda de = 4 x Valor de a la entrada de = 4 x Valor de a la entrada de = x Fgura.5 Regón del eemplo.7 dvdda en dos regones tpo onde: Por lo tanto: { } { } =, 4 = x, x 4 x x+ x x x x ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) I = + x da= + x da+ + x da x+ 4 x ( 4 ) ( 4 ) I = + x ddx + + x ddx 4 x x 3 ( ) 3 ( ) I = x+ + x + x + x + x x dx+ + x + + x x + x + x x dx UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

48 5 8 I = 4π + + 4π x da= 8π + 3 EJEMPLO.8 Evalúe la sguente ntegral doble dbue la regón. + da, = ( x,) x + 9 x { } Solucón: La regón es una regón tpo tal como se muestra en la sguente fgura. Fgura.5 Funcón f defnda en la regón del eemplo.8 = 9 x = Fgura.5 Regón del eemplo.8 Sn embargo, como la funcón ntegrando es un valor absoluto, tambén llamado módulo, se tene que: x+ s x+ f ( x,) = x+ = ( x + ) s x + < A contnuacón se debe verfcar s exste nterseccón entre la regón las necuacones x+ x+ <. Este resultado se muestra en la fgura sguente. UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.

49 5 = -x x+ < Fgura.53 x+ = 9 x = Interseccón de la regón con las necuacones x+ x+ < Entonces se tene: onde: f ( x,) x + s x, = ( x + ) s ( x,) { } = x, x + 9 x+ { } = x, x + 9 x+ < Por lo tanto la ntegral doble se resuelve como: I = x+ da= x+ da+ x+ da En las fguras.54.55, se muestra el orden de ntegracón para resolver las ntegrales dobles anterores. En la fgura.54, se tene que: =.A.B 3 3, Valor de a la salda de.a = 9 x.a x =.B Valor de a la salda de.b = 9 x Valor de a la entrada de.a = x Fgura.54 Valor de a la entrada de.b = UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca. Regón del eemplo.8

50 5 Entonces: ( + ) = 9 x 3 9 x 3 ( + ) + ( + ) x da x ddx x ddx x x x + da= 3 x 9 x dx x 9 x dx Ahora para la regón : x+ da= , Valor de x a la entrada de x = 9 Valor de x a la salda de x = = Fgura.54 Regón del eemplo.8 Así: 9 ( + ) = ( + ) = 3 3 x da x dxd 9 d 9 Por lo tanto x+ da= 9 9 I = x+ da= 8 UC. Facultad de Ingenería. epartamento de Matemátca.