Números. Conjuntos numéricos

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1 Contenidos: Conjuntos numéricos Nivel: 1 Medio Números. Conjuntos numéricos 1. Conjuntos numéricos Los conjuntos numéricos con los que has trabajado tanto en Enseñanza Básica como en Enseñanza Media, se van ampliando a medida que se necesita resolver ciertas problemáticas de la vida diaria Números naturales (N) Son números enteros positivos que sirven para contar. Su primer elemento es el 1 y son infinitos. De los números naturales se pueden formar subconjuntos, tales como: a) pares e impares b) neutro multiplicativo, primos y compuestos c) múltiplos de un determinado número d) divisores de un determinado número Observa que los subconjuntos a) y b) no tienen elementos en común y si se unen ambos, generan el conjunto de los naturales completo Números enteros (Z) Este conjunto está conformado por los negativos, los positivos y el cero. Se necesitan para resolver algunas problemáticas como: años antes de Cristo, año cero (nacimiento de Jesús) y años después de Cristo temperaturas bajo cero, cero grados y temperaturas sobre cero. El orden en la recta numérica es: Cada natural tiene un opuesto (inverso aditivo). Por ejemplo, op(-3) = 3 y op (7)= -7. Además, op (op ( -12 )) = -12, pues cambia dos veces de signo, quedando igual al original. Se define valor absoluto de un número entero como la distancia desde ese número al cero. Por ejemplo, valor absoluto de -5 es 5 (se anota -5 = 5) y valor absoluto de 16 es16, pues se debe considerar el valor positivo del entero Números racionales (Q) Los cocientes de dos números enteros, resultados de la división, generan números enteros o fraccionarios. El conjunto de los racionales es denso porque entre dos números racionales siempre podemos encontrar otro número racional. Además es ordenado, es decir, si se tienen dos números racionales p y q, entonces se puede determinar que: p< q o p > q o p = q. Los números racionales se expresan como cociente entre un número entero y un número natural,

2 Definición: a se llama numerador y b denominador. O bien: Recuerda que el denominador debe ser positivo distinto de 0: - Los resultados fraccionarios de diferentes problemas se deben expresar con el denominador en forma natural ( entero positivo distinto de cero) - Los números naturales y los enteros se expresan como fracción con denominador 1 : - Los números decimales finitos: - Los números decimales infinitos periódicos: - Los números decimales infinitos semiperiódicos: 1.4. Números irracionales (Q ) Se caracterizan por ser números con infinitas cifras decimales sin periodicidad. No se pueden expresar como cociente entre dos números enteros. Ejemplos: Todas las raíces inexactas son números irracionales. π = Es el número de veces que el diámetro de una circunferencia cabe en el perímetro de dicha circunferencia. Se aproxima a 3,14 - Se pueden inventar decimales infinitos no periódicos mediante azar o secuencias numéricas. - El número e se aplica a problemas de intereses y de crecimiento exponencial. e = 2, se aproxima a 2,7

3 1.5. Números reales (R) Es el conjunto de números racionales e irracionales. 2. Operatoria en Q 2.1. Adición y sustracción de racionales en notación de fracciones 2.2. Multiplicación y división de fracciones 2.3. Adición y sustracción de decimales Se deben colocar las comas en columna, alineando los decimales según la ubicación de cada cifra. (Décimas con décimas, centésimas con centésimas, etc.) Al realizar la sustracción, debes restar el número mayor en valor absoluto menos el menor en valor absoluto, y la diferencia tendrá el signo del número mayor. 0,23 + 1,4 = 12,3 9,75 = 4,25 15,8 =

4 2.4. Multiplicación de decimales Se multiplican tal como si fueran números enteros, y el producto debe tener tantas cifras decimales como decimales tengan ambos factores: 0,2 1,54 = 0,308 pues = 308, pero 0,2 tiene 1 decimal y 1,54 tiene dos, por lo tanto el producto debe tener tres decimales División de decimales Se deben amplificar los números decimales por 10, 100, 1000, 10000, etc., según se necesite para que el divisor sea un número entero. Esto implica que: se corre la coma hacia la derecha la misma cantidad de lugares tanto en el dividendo como en el divisor, de modo que el divisor sea un número entero o bien, ambos se conviertan en números enteros. Posteriormente, se efectúa la división entre estos, completando su cociente con decimales si es necesario. 0,02 : 0,5 = Amplificamos por 100, es decir, corremos la coma dos lugares a la derecha y se divide: 2 : 50 = 0,04 3. Comparación entre racionales 3.1. Orden de decimales Al ordenar un conjunto de números decimales, basta agregar cifras decimales y comparar como si fueran enteros. Agregamos cifras decimales para poder comparar: x = 0, y = 0, z = 0, Por lo tanto: x < y < z 3.2. Orden de fracciones Para comparar dos fracciones basta multiplicar cruzado en forma ascendente y comparar los productos resultantes: Ordenar: Multiplicando cruzado en forma ascendente, obtenemos: 3 7 = 21 y 5 4 = > 20 implica que: Si las fracciones son negativas, recuerda que el numerador es negativo y los denominadores deben ser siempre positivos. Entonces, al multiplicar cruzado se respetará el mismo orden de los productos. Si se tienen que comparar más de dos fracciones, se igualan los denominadores al mínimo común múltiplo entre ellos, entonces el orden de las fracciones con el mismo denominador será el correspondiente al orden de los numeradores. Ordenar de menor a mayor:

5 El m.c.m entre los denominadores es 60. Amplificando las fracciones: Se deduce que: por lo tanto: c < b < a También se pueden transformar las fracciones a decimal y se ordenan como decimales. 4. Números complejos En cursos superiores conocerás otros números que corresponden a números imaginarios y reales. Sitios sugeridos En la siguiente dirección encontrarás una presentación que trata de los números reales (clasificación) y conocimientos básicos de potencias: Sitios sugeridos