UNIDAD 1. Coordenadas rectangulares y polares. Juan Adolfo Álvarez Martínez Autor

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1 UNIDAD 1. Coordenadas rectangulares y polares Juan Adolfo Álvarez Martínez Autor 1

2 GEOMETRIA ANALÍTICA La Geometría Analítica es un área de la matemática en la que el álgebra y la geometría están relacionadas entre sí. Esto hace posible resolver algebraicamente (analíticamente) problemas geométricos. Y En forma recíproca también nos permite resolver geométricamente problemas algebraicos. Los Objetivos básicos al estudiar geometría analítica son en general: a).-dada una expresión corresponde. algebraica, determinar la gráfica que le b).- Dada una gráfica en el plano de coordenadas, encontrar la expresión algebraica correspondiente. CONCEPTOS BÁSICOS. Plano Cartesiano. En geometría analítica es un requisito indispensable usar un plano cartesiano el cual considera dos ejes, perpendiculares entre sí: OX y OY, que se cortan en su origen. Determinando un plano. Este plano que se forma de los dos ejes constituye lo que se conoce como plano cartesiano. Al eje X se le denomina eje de las abscisas, al eje Y, eje de las ordenadas y al punto O, de intersección de ambas rectas, origen. A cada punto P del plano le corresponde un sólo par ordenado de números reales, llamados coordenadas de P. La representación geométrica o gráfica de dicho par ordenado de este punto cualquiera P es: 2

3 Se puede ver que el primer número significa la cantidad de unidades en el eje x y el segundo indica el número de unidades en y Hay que aclarar que el número de unidades en cualquier eje puede ser positivo o negativo: Por ejemplo un punto M cuyas coordenadas sean (3,-5) significa que hay que recorrer 3 unidades en x, es decir hacia la derecha del origen y 5 unidades hacia abajo a partir de este mismo origen. La siguiente figura nos muestra las características de un plano cartesiano. EJERCICIO 1. Localización de puntos. El plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes como ya pudiste darte cuenta. Dependiendo de las coordenadas de un punto, éste se localiza en un determinado cuadrante. Ahora, emplea una hoja en papel milimétrico en la cual vas a trazar un plano cartesiano para localizar y colocar ubicar y poner una marca para cada uno de los siguientes puntos: Pto A (-5, 3) Pto D (0,5) Pto G (5,8) Pto B (3,2) Pto E (3,0) Pto C (-1,-4) Pto F (8,3) 3

4 Ya que tengas localizados los puntos completa la información de la tabla siguiente, donde se solicita indiques el cuadrante en que se ubican los puntos del A hasta el G. Punto y sus coordenadas: P (x,y) A B C D E F G Cuadrante donde se localiza: A continuación traza semirrectas de colores de la siguiente manera: SEGMENTO NUMERO: Usando los PUNTOS 1 con rojo AyB 2 con rojo ByC 3 con rojo CyA 4 con azul DyE 5 con azul EyF 6 con azul FyG 6 con azul GyD DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. Una primera iniciación al conocimiento del plano cartesiano en esta asignatura es la aplicación al concepto de distancia entre dos puntos. Esto es; dados dos puntos del plano: Un punto p 1 de coordenadas (x 1,y 1 ) y un punto P 2 de coordenadas (x 2,y 2 ) la distancia entre ellos viene dada por la fórmula: Y es igual a La distancia entre los puntos

5 Lo que Gráficamente tenemos como: Puedes observar que en la formula aparece una raíz cuadradaa y unas diferencias elevadas al cuadrado, lo que significa que esto tiene que ver con el teorema de Pitágoras, ya que es el cálculo de una hipotenusa que se obtiene a partir de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los lados como ya sabes. Aunque lo correcto en matemáticas es saber y demostrar las formulas, no es nuestra intención profundizar mucho en ello, pero sí es importante mencionarlo para conocer el origen de la formula de la distancia. Ejemplo 1: Calcula la distancia entre los puntos A ( 2, 3 ) y B ( 5, 1 ) del plano. Primero iniciamos definiendo cual es el primer punto y cuál es el segundo. En este caso el punto A (2,-3) será el punto 1 cuyas coordenadas corresponden a (x 1,y 1 ). Luego el punto B ( 5, 1 ) será el punto 2 de coordenadas (x 2,y 2 ) 5

6 Ahora se procede a sustituir en la formula los valores de las coordenadas. Esto es: y tenemos: d = 2 ( 5 2) + (1 + 3 ) 2 Se puede ver que en el segundo paréntesis la resta se convierte en suma por las leyes de los signos. Y continuando con el procedimiento, elevando cada termino al cuadrado: Y gráficamente se representa como: Ejemplo 2. Determine la distancia que hay entre los puntos F (-2, -4) y K (-3, 8) Procedemos de igual forma que en el caso anterior: 6

7 Ejemplo de aplicación. Demostrar que las diagonales del rectángulo cuyos vértices son los puntos a (1,2), B (4,7), c (-6,13) y D (-9,8) son iguales. Primero trazamos el rectángulo en el plano cartesiano: x, y a( 1, 2) B (4, 7) c(-6,13) D (-9, 8) Como podemos observar, lo que debemos hacer es calcular la distancia entre los puntos (a y c) que es la primer diagonal y la distancia entre (D y B) que es la otra diagonal. Nuestro proceso para los puntos a-c es: Ahora la diagonal 2: Si comparamos los resultados obtenidos de las dos distancias, vemos que en efecto d a-c = d B-D l.q.q.d. 7

8 (Que significa lo que queríamos demostrar) Ejercicio 2 a) Los puntos U(1,1), V(5,3) y W(6,-4) son vértices de un polígono. Con esta información y aplicando la formula de distancia indique qué tipo de triangulo forman dichos puntos y sus características de dicho triangulo. b) Demostrar que los puntos (-2,-1), (2,2) y (5, -2) son los vértices de un triangulo isósceles y calcule además su área. Comprueba tu solución analítica dibujando en papel milimétrico con plano cartesiano el polígono. Mide con una regla o escuadra todos los lados y obtén el perímetro. Coordenadas del punto medio de un segmento de recta. Sean A ( x 1, y 1 ) y B ( x 2, y 2 ), 2 puntos cualesquiera del plano los cuales forman un segmento de recta. Si se desea dividir en dos partes iguales este segmento tenemos que las coordenadas del punto medio se obtienen mediante: x = x 1 + x 2, y = y 1 + y Ejemplo 1: Dados los puntos A (8, 6 ) y B ( 4, 12 ), determina las coordenadas del punto medio de la distancia AB. El procedimiento consiste en aplicar las formulas, y consideramos al punto A (x 1,y 1 ) como el primer punto y a B (x 2,y 2 ) como el segundo punto, luego vamos a definir a M como el punto medio del trazo AB, entonces sus coordenadas son: x = x 1 + x 2 = 8+ (-4) = 4 = 2, y = y 1 + y 2 = = 18 =

9 Por lo que las coordenadas del punto medio : M son ( 2, 9 ) lo cual podemos verificar en la siguiente grafica. Ejemplo 2: Calcule las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyos extremos son los puntos (-2,-3) y (4,2) y diga el cuadrante en el que se encuentra este punto medio. Vamos a aplicar las fórmulas conocidas: x = x 1 + x 2 = -2+4 = 2 = 1, y = y 1 + y 2 = = Entonces las coordenadas del punto medio son M 1, -1 y el punto se encuentra en el 4 0 cuadrante. 2 Ejercicios para practica. aa). Uno de los extremos de un segmento de recta es el punto (1,-3) y el punto medio es ( 0, 2). Hallar las coordenadas (x,y) del otro extremo del segmento de recta. Sugerencia: en este caso hay que despejar x 2 y y 2 de cada formula. bb). Calcula las coordenadas de los puntos medios de cada lado del triangulo cuyos vértices son: (5, -2), (-2,-1) y (2,2). Comprueba con un plano cartesiano y dibujo del polígono en hoja milimétrica. 9

10 Hemos visto hasta el momento dos temas: como obtener la distancia entre 2 puntos y como calcular las coordenadas de un punto medio entre dos puntos. Ahora bien, dado un segmento de recta con el que podemos unir dos puntos, no únicamente se puede dividir éste en 2 partes iguales para encontrar su punto medio sino que podemos dividir dicho segmento en N partes diferentes y encontrar las coordenadas del punto en que se ha dividido. Esto es lo que se conoce como: División de un segmento en una razón dada Sean A ( x 1, y 1 ) y B ( x 2, y 2 ), puntos cualesquiera del plano y R un punto del trazo AB, tal que AR = r donde r es la razón que divide al segmento en dos partes AB: Entonces las coordenadas de R son: x = x 1 +r(x 2 -x 1 ) y = y 1 + r(y 2 -y 1 ) Ejemplo 1: Dados los puntos A ( 7, 5 ) y B ( 8, 15 ), determina las coordenadas del punto R del trazo AB, que divide al segmento de recta en la razón 2/3es decir tal que: el segmento AR se ubique a los 2/3 de AB, lo que matemáticamente escribimos como: Para resolver el ejercicio, vemos que la razón en que ha de dividirse el segmento es 2/3, lo que significa que las coordenadas a calcular se obtienen mediante los datos: 10

11 Ejercicio para practicar. Determine las coordenadas del punto R tal que el segmento de recta formado por D(3,4) y B (1,12) se divida en la razón 1/3 EJEMPLOS A LA VIDA COTIDIANA. Para este momento ya te habrás preguntado en que se aplican estos conceptos de coordenadas, distancia entre puntos y puntos medios. 11

12 La respuesta la tienes en el archivo UNIDAD 1 que contiene la presentación de power point de los temas vistos. Vamos a continuar entonces con una aplicación del tema visto. La situación es la siguiente: Imagina que vas a ir de viaje a un safari en áfrica central y para que te asegures de no perderte te das a la tarea de investigar los datos sobre distancias, aeropuertos y características dónde vas a ir de turista. Entonces lo primero que se hay que hacer es aplicar lo que se ha visto hasta el momento, luego un mapa va a ser nuestro recurso para aplicar los conocimientos. El mapa que se va a usar es el de la siguiente imagen, el cual ya está a escala y es confiable para nuestros propósitos. - Entonces la primer actividad es identificar la escala a la que esta dibujado. - Después tenemos que trazar un plano cartesiano lo cual realizaremos como se muestra en el segundo grafico. Considera para esta situación 12

13 que el origen está en un punto donde la empresa que organiza los Tours, tiene sus oficinas centrales. - Hecho esto, vemos que cada unidad de cuadricula representa en la realidad 200 kilómetros de distancia, entonces si se viaja en avión, podemos calcular cuántos kilómetros hay entre cualquier par de puntos siempre que conozcamos las coordenadas de éstos. - Explicado lo anterior usamos el mapa para hacer algunos cálculos aplicando las formulas conocidas entre los puntos que ya se han definido en la tabla que esta a continuación y anotamos los resultados. Solo hay que recordar que las coordenadas están en kilómetros. - Vamos pues a poner en práctica los conocimientos. En la siguiente página se muestra el mapa y los datos de las localidades. 13

14 localidad coordenadas Oficinas centrales 0,0 Walikale (Punto A) -200,-150 Kigali (Punto B) 0,-200 Bujumbura (punto C) -50,-350 La actividad a realizar es contestar los siguientes incisos. Calcula cuantos kilómetros hay entre: a) Kigali y Bujumbura b) Walikale y Bujumbura c) Cual localidad está más cerca de las oficinas centrales, y a cuantos kilómetros está? Elabora una tabla donde estén indicadas las distancias, las cuales deben estar fundamentadas en sus respectivos procedimientos. 14