Manos a la obra: Recursión, división y listas

Transcripción

1 Manos a la obra: Recursión, división y listas Taller de Álgebra I Cuatrimestre de verano de 2015

2 Calentando motores La clase pasada vimos ejemplos de definiciones recursivas. Hoy vamos a continuar con el tema. Recordemos un ejemplo: reverso :: [ Integer ] -> [ Integer ] reverso [] = [] reverso xs = ( reverso ( tail xs)) ++ [ head xs] Truco, cómo pensar recursivamente con listas Dada una lista cualquiera: [1,2,3,4,5] Si ya tengo el resultado recursivo sobre la cola de la lista, es decir el reverso de [2,3,4,5], cómo puedo combinarlo con la cabeza de la lista (1) para obtener el resultado que quiero? Implementar la siguiente función potencia :: Float -> Integer -> Float que calcule la potencia: potencia a n a n (n 0). Debe utilizarse el producto y no ** ni ^ ni ^ ^

3 Algoritmo de división Teorema: Dados a, d Z, d 0, existen únicos q, r Z tales que a = qd + r, 0 r < d. Demostración: (caso a 0, d > 0). Por inducción en a. Si 0 a < d, tomamos q = 0, r = a. Si no, dividimos a d por d. Eso da un cociente q y un resto r. Tomamos r = r, q = q + 1. Implementar la siguiente función division :: Integer -> Integer -> (Integer, Integer) division a d (q, r) Debe funcionar para a 0, d > 0 y no se pueden usar div, mod ni /.

4 Algoritmo de división division :: Integer -> Integer -> ( Integer, Integer ) division a d a < d = (0, a) otherwise = ( fst ( division (a- d) d) + 1, snd ( division (a-d) d)) Se puede no poner dos veces division (a-d) d? Sí: division :: Integer -> Integer -> ( Integer, Integer ) division a d a < d = (0, a) otherwise = ( fst qr + 1, snd qr ) where qr = division (a- d) d

5 Primos Un número p Z es primo si tiene 4 divisores. Un entero p > 1 es primo si ningún natural k tal que 1 < k < p divide a p. Se puede hacer una función esprimo :: Integer -> Bool que diga si un número es primo o no? Una posibilidad sería buscar todos los divisores. Algo como divisores(n) = {k Z 1 k n y k n} Esto se puede hacer en Haskell de forma directa, aunque todavía no vimos cómo. Podemos sin embargo definir una lista parcial de divisores: divparcial(n, m) = {k Z 1 k m y k n} Implementar las siguientes funciones divparcial :: Integer -> Integer -> [Integer] Tiene que funcionar bien divparcial n m cuando m n. Utilizando divparcial, programar divisores :: Integer -> [Integer] Utilizando divisores, programar esprimo :: Integer -> Bool

6 Primos divparcial :: Integer -> Integer -> [ Integer ] divparcial n 1 = [1] divparcial n m mod n m == 0 = m : divparcial n (m -1) otherwise = divparcial n (m -1) divisores :: Integer -> [ Integer ] divisores n = divparcial n n esprimo :: Integer -> Bool esprimo n = length ( divisores n) == 2

7 Ejercicios Implementar mult, que sirve para multiplicar matrices de 2 2; mult :: ( Float, Float, Float, Float ) -> ( Float, Float, Float, Float ) -> ( Float, Float, Float, Float ) Usando mult, implementar una función que sirva para calcular potencias de matrices de 2 2. Adaptar esprimo para todo p Z. Adaptar division para a < 0 y/o d < 0. Observación: las funciones div y mod de Haskell no coinciden con el algoritmo de división cuando d < 0. Ver también quot y rem. Implementar notienedivisoreshasta :: Integer -> Integer -> Bool notienedivisoreshasta m n da True sii ningún número entre 2 y m divide a n. Utilizando notienedivisoreshasta, programar esprimo :: Integer -> Bool

8 Algoritmo de Euclides El Algoritmo de Euclides calcula el máximo común divisor entre dos números a, b Z +. Se basa en que si a, b Z y q Z es un número cualquiera, entonces (a : b) = (a + qb : b). Si q y r son el cociente y el resto de la división de a por b, tenemos a = qb + r, entonces a qb = r. Por lo tanto, (a : b) = (a qb : b) = (r : b) = (b : r) Por ejemplo, para calcular (108 : 30), se hace: 1 = (108 : 30) -- Dividimos 108 por 30, q = 3, r = 18 2 = (30 : 18) -- Dividimos 30 por 18, q = 1, r = 12 3 = (18 : 12) -- q = 1, r = 6 4 = (12 : 6) -- q = 2, r = 0 5 = (6 : 0) 6 = 6

9 Algoritmo de Euclides Para hacer Programar en Haskell mcd :: Integer -> Integer -> Integer que dé el mcd. El peor caso del algoritmo se obtiene cuando a y b son dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci (Lamé, 1844). El número de divisiones que realiza el algoritmo nunca supera 5 veces el número de dígitos de a y b, con lo cual la cantidad de llamadas recursivas está acotada por 5 log 10 (max{ a, b }).

10 Ejercicios sobre Listas Implementar las siguientes funciones pertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool que indica si un elemento aparece en la lista. Implementar la función hayrepetidos :: [Integer] -> Bool que indica si una lista tiene elementos repetidos. menores :: Integer -> [Integer] -> [Integer] que calcula los elementos de la lista que son menores al primer parámetro. Últimas quitar :: Integer -> [Integer] -> [Integer] elimina la primera aparición del elemento en la lista. maximo :: [Integer] -> Integer que dada una lista no vacía calcula el mayor elemento de la misma.

11 Cambio de base en Haskell Problema: Dados a, b Z + con b > 1, escribir el número a en base b. Por ejemplo... 1 Si a = 10 y b = 2, entonces la respuesta es Si a = 17 y b = 3, entonces la respuesta es Si a = 145 y b = 10, entonces la respuesta es Implementar en Haskell La función enbase :: Integer -> Integer -> [Integer] Esta función toma un número y lo transforma a la base pasada como segundo parámetro. Para ello devuelve una lista representando al número. Ejemplo: enbase 3 17 [1,2,2]. La función debase :: Integer -> [Integer] -> Integer que toma una base y un número en forma de la lista de sus dígitos y devuelve el número. debase 3 [1,2,2] 17.

12 Ejercicios Parte 1: La conjetura del 196 Los números de Lychrel ( Tomemos un número natural cualquiera, por ejemplo el 180 Si damos vuelta sus cifras (081) y lo sumamos al original nos queda = 261 Ahora repetimos el proceso con el 261: = 423 Lo mismo con el 423: = 747. Un número capicúa! Será verdad que para cualquier natural, siempre llegamos a un número capicúa? Los llamados números de Lychrel son los números naturales en base 10 que no llegan a dar un número capicúa como resultado del proceso. Implementar La función capicuapara :: [Integer] -> [Integer] Que toma un número y realiza el proceso hasta que se consiga su número capicua asociado. Ejemplo: capicuapara [1,8,0] [7,4,7]. Preparar el ctrl+c y ejecutar capicuapara [1,9,6], qué ocurre?

13 Ejercicios Parte 2 1 Consideremos la sucesión t 1, t 2,..., tal que t n es la cantidad de llamadas recursivas del Algoritmo de Euclides cuando se ejecuta con a = F n y b = F n 1 (donde F n representa el n-ésimo número de Fibonacci). Escribir una función que tome como parámetro un entero n y que retorne t n. Como función preliminar, analizar cómo cambia la función mcd si uno quiere contar la cantidad veces que se llama a la recursión. 2 Escribir una función que cambie de base un número. Debe tomar dos enteros b1 y b2 y un entero a representado en base b1 (expresado como una lista de enteros) y retornar a en base b2 (también como una lista de enteros). 3 Escribir una función similar a maximo pero que retorne el mínimo. 4 (*) Escribir una función que indique si una lista está ordenada. 5 Escribir una función que elimine los repetidos, dejando sólo la última aparición de cada uno. 6 (*) Idem anterior pero dejando la primera aparición de cada uno. 7 Escribir una función que reciba dos listas ordenadas en forma no-decreciente, y que retorne una lista que contenga la unión de los elementos de las dos listas recibidas, y que también esté ordenada en forma no-decreciente. Por ejemplo, al pasarle [2, 3, 7] y [1, 3, 3, 9], debería reducir a [1, 2, 3, 3, 3, 7, 9]. 8 (difícil) Escribir una función que, dada una lista, retorne la misma pero ordenada de menor a mayor.