1.1.-DEFINICIONES...3

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1 CONTROL I UNIDAD I CONCEPTO BÁICO DE CONTROL...-DEFINICIONE.... Entrd, lid, Plnt, istem, Control, istem de Control, Linelizción, Lzo Aierto,Lzo Cerrdo,istem Linel, istem No Linel,Vrile Controld, Vrile Mnipuld, Histeresis, Fricción, Linelizción, Función de Trnsferenci, Digrms Bloques y Flujo de eñl. UNIDAD II MODELADO MATEMATICO DE ITEMA FIICO...-ELECTRICO MECANICO: Trslción y Rotción. 7..-HIDRÁULICO NEUMÁTICO 7.5.-FUNCION DE TRANFERENCIA Y ANALOGICA..9 UNIDAD III ANÁLII DE REPUETA EN EL TIEMPO...-DEFINICIONE Respuest Trnsitori, Respuest Estcionri, eñles de Entrd Impulso Unitrio, Esclón Unitrio, Rmp Unitri...-ITEMA DE PRIMER ORDEN..7..-ITEMA DE EGUNDO GRADO..0..-ITEMA DE ORDEN UPERIOR..7 UNIDAD IV MODO DE CONTROL..- MODO DE CONTROL: On-Off,On-Off con Brech Diferencid, P, I, D, P-I,P-D, P-I-D.8..- INTONIZACIÓN Y OPTIMIZACIÓN.5

2 UNIDAD V ETABILIDAD 5..-CRITERIO DE ETABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ LUGAR DE LA RAICE..60 UNIDAD VI ANÁLII DE ERROR 6..-ERRORE ETÁTICO Y DINÁMICO ENIBILIDAD 6 TABLA Trnsformds de Lplce....6 Alger de loques...66 Biliogrfí Ingenierí de control modern Ktsuhiko Ogt Prentice hll t edición Ing. de control nlógic y digitl Rin Nvrro MC. Grw Hill Introducción l Ing. de control utomático Rodrigo Ávil MC Grw Hill istems de Control Automático Benjmin C. kuo ed. Prentice hll.

3 UNIDAD I CONCEPTO BÁICO DE CONTROL...-DEFINICIONE Introducción los sistems de control. El control utomático h desempeñdo un función vitl en el vnce de l ingenierí y l cienci deido los vnces en l teorí y l prctic del control utomático. on muchs ls áres de l industri eneficids como por ejemplo ls áres espciles, utomotrices, médics, etc. Y que y que un desempeño optimo de los sistems dinámicos hn mejordo l productividd y ligern l crg de muchs operciones mnules y repetitivs. Conceptos de sistems de control. Vrile controld: Es l cntidd o condición que se mide y control, por lo común l vrile controld es l slid del sistem. Controlr signific medir el vlor de l vrile controld del sistem y plicr l vrile mnipuld l sistem pr corregir l desvición. Vrile mnipuld: Es l cntidd o condición que el controldor modific pr fectr el vlor de l vrile controld. istem: Es l cominción de componentes que ctún juntos y relizn un ojetivo determindo. Plnt: Es el elemento físico que se dese controlr. L plnt puede ser un motor, un horno, un sistem de nvegción etc. eñl de slid: Es l vrile que se dese controlr posición, velocidd, presión, Temp. Tmién se le llm vrile controld.

4 Unidd de control Motor V t E t K Plnt Y t Ct ensor Motor de volts 00 R/M L vrile mnipuld seri el voltje por que lo mnipulmos pr otener l velocidd ngulr. L velocidd seri l señl de slid o vrile controld. Un tcogenerdor conectdo con el motor o plnt, el tcogenerdor seri el sensor y nos detectr l vrile mnipuld y poder hcer l relción por ejemplo: 0 volts 0 R/M 6 volts 550 R/M volts 00 R/M istems de control istem de control relimentdo o sistem de lzo cerrdo: Es un sistem que mntiene un relción preescrit entre l slid y l entrd de referenci comprándol y usndo l diferenci como medio de control. istem de control de lzo ierto: En estos sistems de control l señl de slid no es monitored pr generr un señl de control. En culquier sistem de control de lzo ierto, l slid no se compr con l entrd de referenci. istems de control en lzo cerrdo en comprción con los sistems en lzo ierto: Como se podrá oservr en ls definiciones el control de lzo cerrdo nos d en nuestr plnt un comportmiento utomático, sin necesidd de un operdor humno. En cmio, en un sistem de lzo ierto, todo el proceso de control se hce en se un operdor humno, tod operción es mnul. eñl de referenci: Es el vlor que se dese que lcncé l señl de slid.

5 Error: Es l diferenci entre l señl de referenci y l señl de slid rel. eñl de control: Es l señl que produce el controldor pr modificr l vrile controld de tl form que se disminuye o elimine el error. Perturción: Es un señl que tiende fectr l slid del sistem desviándol del vlor desedo. Control relimentdo: e refiere un operción que en presenci de perturciones, tiende reducir l diferenci entre l slid de un sistem y lgun entrd de referenci y lo continú hciendo en se est diferenci. Ejemplo de lzo ierto: Ejemplo de control de lzo cerrdo: 5

6 Digrm loques Nivel desedo Controldor Válvul neumátic Tnque de gu Nivel de gu Flotdor istems lineles Un sistem linel se define como quel cuyo comportmiento puede descriirse con un conjunto de ecuciones diferenciles lineles ordinrios de primer orden. Tmién se denomin linel si se plic el principio de superposición Principio de superposición: Este principio estlece que l respuest producid por l plicción simultne de funciones de excitción o entrds diferentes, es l sum de respuests individules. istem de control invrinte en el tiempo: Es un sistem de control de coeficientes constntes, es quel en el que los prámetros no vrín en el tiempo. L respuest del sistem es independiente del tiempo en el que se plic l entrd. e refiere l controldor, dee de tener un condición l entrd con el controldor deen ser igules est en sincroní. istem de control vrinte en el tiempo: Es quel en el cul los prámetros vrín con el tiempo, su respuest dependen del tiempo en el que se plic un entrd. istems dinámicos: Es quel si su slid en el presente depende de un entrd en el psdo. istem estático: Es quel si su slid en curso depende solmente de l entrd en curso. 6

7 Diferencis entre sistem dinámico y sistem estático: L slid de un sistem estático permnece constnte si l entrd no cmi, cmi solo cundo l entrd cmi. En el sistem dinámico l slid cmi con el tiempo cundo no est en su estdo de equilirio. Modelo mtemático de sistems lineles. Introducción: Un modelo mtemático de un sistem dinámico, se define como un conjunto de ecuciones que presentn l dinámic del sistem. Un modelo mtemático no es único pr un sistem determindo; Puede representrse en muchs forms diferentes, por lo que puede tener muchos modelos mtemáticos. Función de trnsferenci: L función de trnsferenci de un sistem descrito medinte un ecución diferencil linel e invrinte en el tiempo se define como: El cociente entre l trnsformd de Lplce de slid Función respuest y l trnsformd de Lplce de l entrd Función de excitción cundo ls condiciones iniciles son cero. L F.T G lid L m m y 0 s s... n n 0 x... ms Entrd 0s s ns n A prtir de l F.T, es posile representr l dinámic de un sistem medinte funciones lgerics en. i l potenci más lt de en el denomindor de l función de trnsferenci es igul n, el sistem se denomin de n-esimo orden. istem en el dominio de tiempo ec. dif. m r t e t K c t Plnt y t u t ensor 7

8 r t señl set point ó referenci e t señl error c t señl de control y t señl de slid u t señl del sensor istem en el dominio de l frecuenci. Función trnsferenci R E K C Plnt Y U ensor Digrm loques Un digrm loques de un sistem, es un representcion grfic de ls funciones que llev co cd componente, sí como tmién el flujo de señles. Estos digrms muestrn ls relciones existentes entre los diversos componentes. A diferenci de l representción mtemátic strct, un digrm loques tiene l ventj de indicr en form más relist el flujo de ls señles del sistem rel. En digrm loques se enlzn un con otr tods ls vriles de sistem, medinte loques funcionles. Un loque funcionl o loque, es un símolo pr representr l operción mtemátic que sore l señl de entrd hce el loque pr producir l slid. Ls funciones de trnsferenci de los componentes por lo generl se introducen en loques correspondientes, que se conectn medinte flechs pr indicr l dirección de flujo de señl. F.T G Bloque funcionl ó Bloque - Oserve l punt de flech que señl l loque; que indic l entrd y l punt de flech que se lej del loque represent l slid. Ls flechs se les llm señles. Ls ventjs de l representción medinte digrm loques de un sistem estrin en que es muy fácil de formr el digrm loques generl de todo el sistem, con solo conectr los loques de los componentes de cuerdo con el flujo de señles y que es posile evlur l contriución de cd componente l desempeño generl del sistem. 8

9 imologí: Bloque ó loque funcionl. Entrd señl G lid señl Punto sum ó diferenci: Es un círculo con un cruz, es el símolo que indic un operción de sum. El signo ó - en cd punt de l flech indic si l señl dee sumrse ó restrse. Es importnte que ls cntiddes que se sumen o resten tengn mism direcciones o uniddes. - Punto de rmificción: Es quel prtir del cul, l señl de un loque v de modo concurrente otros loques ó punto sum. C C Tipos de conexiones en loques: Conexiones serie X G Y G Z Estos loques se multiplicn X G G Z F.T X Z G G 9

10 Conexiones prlelos: X G Y G Estos loques se sumn X G G Y Regl de trnsformción istem originl istem equivlente Conexión en serie G G G G Conexión en prlelo G G G G Retrolimentción negtivo ó positivo G H G ± GH Mover el punto de seprción después de un loque G G G 5 Mover el punto de seprción ntes de un loque G G G 0

11 6 Mover el comprdor ntes de un loque G c G G c 7 Mover el comprdor después de un loque G c G G c -c c -c 8 Cmir el orden del comprdor c -c c istems ásicos: son los importntes R E G C C E G E R -C R E G C B H C E G E R -B B C H

12 Otener l F.T del loque F.T C R out in R E G C C E G E R -C ustituir l función en C [R -C ] G C R G -C G C C G R G C [G ] R G C R G Función de trnsferenci del modelo ásico G Otener, encontrr l F.T R B E G H C F.T C R C E G E R -B B C H L ec. sustituir en ec. E R [C H ] ustituir l ec. en ec. C [R -C H ] G C R G -C H G

13 C C H G R G C [H G ] R G C R G F.T H G ] [ Reducción de digrm loques. Es importnte señlr que los loques pueden conectrse en serie solo si l entrd de un loque no se ve fectd por el siguiente loque. i hy efectos de crg entre los componentes es necesrio cominrlos en un loque único. Culquier cntidd de loques en cscd que represente componentes sin crg pueden sustituirse con un solo loque cuy función de trnsferenci se simplemente el producto de ls función de trnsferenci individules, un digrm de loques complicdo que conteng muchos lzos de relimentción se simplificn medinte un reordenmiento pso pso medinte ls regls de lger de loques de los digrms loques. L simplificción de un digrm loques medinte reordenmiento y sustituciones reduce de mner considerle l lor necesri pr el nálisis mtemático susecuente. in emrgo, dee señlrse que conforme se simplific el digrm loques, ls funciones de trnsferenci de los loques nuevos se vuelven más complejs deido que se genern polos y ceros nuevos. Al simplificr un digrm loques recuerde lo siguiente:.- El producto de ls funciones de trnsferenci en l dirección de l tryectori direct dee ser el mismo..- El producto de ls funciones de trnsferenci lrededor del lzo dee ser el mismo. H R G G G C H Aplicmos regls de lger DAB hcemos que se pse l otro ldo.

14 H /G R G G G C H H /G R G G G C H H /G R G G -H G G G C H /G R G G G -H G G C

15 5 G G H H G G G G G G G H H G G H G G H G G G G G H G G G G H H G G H G G G G G H G G G G H H G G G G G H G G G G G G H H G G G G G H G G G G G G H H G G G G G Modelo ásico s s s s G G R C G G H H G G G G G G G H H G G G G H H G G G G G G G H H G G G G G G G H H G G G G G R C s s G G G G G H H G G G G H H G G G G H H G G G G G R C s s G G G G G H H G G G G G R C s s C R G G G -H G G H G G C R G

16 UNIDAD II MODELADO MATEMATICO DE ITEMA FIICO. istems dinámicos on quellos sistems físicos no estáticos y que siempre nos represent vriles, por ejemplo: sistems eléctricos electrónicos, el movimiento de los electrones relción voltje corriente; sistems mecánicos, engrnes, nds, poles, etc.; en los sistems hidráulicos, movimiento de fluidos trvés de un control de flujo o recipientes. En l myorí de los sistems de control contienen componentes tnto mecánicos como eléctricos, unque lgunos sistems tienen elementos neumáticos e hidráulicos. Desde el punto de vist mtemático, l descripción de los elementos mecánicos y eléctricos son nálogos, de hecho se puede demostrr, que ddo un dispositivo eléctrico normlmente existe un contrprte mtemátic-mecánic, nálog y vicevers...- ELÉCTRICO istem eléctrico I i t I i t I c Vt I 0 t R Otener F.T V I i Ecución diferencil: I t I t I0 t I i C C t I t I0 t i dv t C Ii t I 0 t dt V t I0 t R Ecución Lplce: CV Ii I0 6

17 I 0 V R ustituir I 0 V CV Ii R V CV Ii R V C Ii R V Ii C R..- MECÁNICO: TRALACIÓN Y ROTACIÓN. istems mecánicos Movimiento de trslción: e define como un movimiento que tom lugr lo lrgo de un líne rect, sus vriles son l celerción, desplzmiento y l velocidd, donde l segund ley de Newton estlece: F m ó Σ F m Ms: Es l propiedd de un elemento de lmcenr energí cinétic del movimiento de trslción, como comentrio podemos decir que l ms es nálog l inductnci en un circuito eléctrico. i w peso del cuerpo w m g Donde g: es l celerción de l cíd lire de un cuerpo deido l grvedd g 9.80 m/seg Uniddes Ms m Acelerción Fuerz.I. Kilogrmos Kg. m/s Newton N Británics slug pies/s Lir l-fz Resorte linel: Es considerdo como un modelo de resorte rel o como un nd o cle. Es un elemento que lmcen energí potencil es l energí que tienen los cuerpos cpces 7

18 de relizr un trjo mecánico deido l posición que ocup dentro de un cmpo de fuerz; es nálogo l cpcitor en un circuito eléctrico. El comportmiento de un resorte con deformción pequeñ se proxim l relción: Donde K constnte de resorte rigidez Ft K yt Uniddes.I. Británics Cte. de resorte K N/m L/pies ft K yt Est ecución implic que l fuerz que ctú en el resorte directmente proporcionl deformción del resorte. yt K Ft istem fuerz - resorte i el resorte es precrgdo con un tensión T, l ecución: ft T K yt 8

19 Relción Fz.-Velocidd, Fz.-desplzmiento e Impednci pr resorte ms, mortigudor trslcionl. Componente Fuerz-velocidd Fuerzdesplzmiento Impednci Zm F X Resorte xt ft t f t K V t dt f t Kx t K 0 Amortigudor xt ft f t V t dx t f t dt s B fricción f v coeficiente de fricción viscos m Ms xt ft dv t d x t f t m f t m ms dt dt Podemos oservr entonces que el resorte es nálogo l cpcitor, el mortigudor es nálogo l resistenci y l ms es nálog l inductor. En consecuenci sumr fuerzs escrits en términos de velocidd es nálogo sumr voltjes escritos en términos de corriente y ls ecuciones diferenciles mecánics resultntes son nálogs ls ecuciones de mll. i ls fuerzs se escrien en términos de desplzmiento, ls ecuciones resultntes se semejn pero no son nálogs ls ecuciones de mll. El sistem mecánico solo requiere de un ecución diferencil, llmd ecución del movimiento, pr poder descriirlo, empezremos por su poner un dirección positiv de movimiento, por ejemplo l derech. Est supuest dirección positiv de movimiento es semejnte suponer un dirección de corriente en un circuito eléctrico. Medinte el uso de nuestr dirección supuest de movimiento positiv, primero diujmos un digrm de cuerpo lire colocndo en el cuerpo tods ls fuerzs que ctún sore este, y se en dirección de movimiento o en sentido opuesto este, 9

20 continución usmos l ley de Newton pr formr un ecución diferencil, l sumr ls fuerzs y hcer ls sums igul cero, suponiendo condiciones iniciles cero, posteriormente convertimos ests ecuciones Lplce pr otener l función de trnsferenci. Modelo mecánico ms-resorte-mortigudor ft m K Xt f fuerz plicd k constnte del resorte m ms del cuerpo coeficiente del mortigudor fricción viscos x desplzmiento f m K K y son directmente proporcionles i plicmos l d derivd del desplzmiento x nos d l celerción. i plico l r derivd l desplzmiento x nos d l velocidd v. F m v Kx Digrm cuerpo lire Otener l F.T. L fuerz est en función del desplzmiento Entrd: l fuerz plicd F ft K lid: el resultdo del desplzmiento X m Xt X F.T F F m v KX Ecución diferencil: d x t dx t f t m V KX t dt dt Ecución en Lplce 0

21 F m X X KX m K F X X F m K Función de trnsferenci. Movimiento de rotción e define como el movimiento lrededor de un eje fijo. L ley de Newton pr el movimiento de rotción estlece: ΣFuerzs J α J Inerci α celerción ngulr Ls otrs vriles que se usn generlmente pr descriir el movimiento de rotción son: pr T torsión y l velocidd ngulr W sí como el desplzmiento ngulr θ. Inerci: l inerci J se consider l propiedd de un elemento de lmcenr energí cinétic de movimiento de rotción. L inerci de un elemento ddo, depende de l composición geométric lrededor del eje de rotción y su densidd. Por ejemplo l inerci de un disco circulr ó eje lrededor de su eje geométrico est ddo por: J ½ m r Cundo un pr es plicdo un cuerpo con inerci J, como se muestr en l figur: Tt J θt T t Jα t J d θ dt t istem pr-inerci En donde: θt Desplzmiento ngulr Wt Velocidd ngulr αt Acelerción ngulr Uniddes Inerci Pr-Torsión Desplzmiento Angulr.I. Kg-m N-m rd

22 Conversión entre movimientos de trslción y rotción. En sistems de control de movimiento menudo ó csi siempre es necesrio convertir movimiento de rotción en movimiento de trslción. Por ejemplo, un crg peso se puede controlr pr que se muev lo lrgo de un líne rect medinte un motor girtorio junto con un tornillo sin fin. W L J Xt g π Tt θt W Peso del cuerpo Motor W L Distnci linel que vij el peso por ls revoluciones/min. g Acelerción de l grvedd Tornillo sin fin istem de control de movimiento rottorio linel tornillo sin fin istem de control cremller piñón Xt W r Piñón θt Engrne recto ó cremller J mr W g r Motor de mnejo Tt Trenes de engrnes, plncs mecánics, nds Un tren de engrne, un plnc o un nd sore un pole son dispositivos mecánicos que trnsmiten energí desde un prte del sistem otro en form tl que se ltern l fuerz, el pr torsión, l velocidd y el desplzmiento. Estos dispositivos considerdos de coplmiento son empledos pr logrr l máxim trnsferenci de potenci. T θ N Engrne recto N T θ

23 L unión de engrne-engrne produce más potenci, que un mecnismo de un pole un engrne. En este tren de engrnes se presentn engrnes copldos en este cso l fricción y l inerci son despreciles. Ls relciones entre los pres T y T, los desplzmientos ngulres θ y θ sí como los números de dientes N y N, se otiene los siguiente:.- El numero de dientes sore l superficie de los engrnes es proporcionl los r y r delos engrnes, esto es: R N R N.- L distnci sore l superficie que vij cd engrne es l mism, por tnto: θ r θ r.- El trjo relizdo de un engrne es igul l que reliz otro y que se supone no hy perdids. T θ T θ En l prctic los engrnes, trenes, inerci y fricción entre los dientes de loe engrnes copldos que no se pueden desprecir. En l práctic no se despreci l fricción y tempertur. Bnds y poles Ls nds y poles sirven pr el mismo propósito que el tren de engrnes, excepto que permiten trnsferenci de energí sore un distnci myor sin utilizr un numero excesivo de engrnes. T θ T θ r r Los mecnismos son piezs cilíndrics de mteril sólido con rnurs simétrics su lrededor. Los engrnjes trnsmiten un movimiento girtorio de un eje otro. Engrnje recto: e emplen pr conectr ároles cuyos ejes son prlelos.

24 Funciones de trnsferenci en sistem mecánico rotcionl Los sistems mecánicos rotcionles se mnejn en l mism form que los sistems mecánicos trslcionles, excepto que un pr sustituye l fuerz y un desplzmiento ngulr sustituye l desplzmiento linel. Los componentes mecánicos pr los sistems rotcionles son los mismos que pr los sistems trslcionles, slvo que los componentes experimentn rotción en lugr de trslción. Componentes Pr-velocidd ngulr Pr-desplzmiento ngulr Impednci ZmT/θ K Resorte Tt θt T t K W t dt T t Kθ t K Amortigudor Tt θt T t DW t dθ t T t D Ds dt Inerci Tt θt T t J dw t dt d θ t T t J Js dt J Uniddes del sistem mecánico rotcionl Tt N-m Newton metro θt Desplzmiento ngulr rd rdine Wt Velocidd ngulr rd/seg K Constnte del resorte N m/rd D Coeficiente del mortigudor rotcionl N m s/rd I Inerci momento de Kg-m

25 ..- HIDRÁULICO istem dinámico hidráulico nivel de líquido Flujo lminr: Es cundo ls cps dycentes del fluido viscoso fluyen en form suve un sore otr y permnece un líne de corriente de flujo estle. Flujo turulento: Es cundo cmi el flujo lminr un movimiento irregulr y letori del fluido. istem hidráulico q i τ h C R q 0 τ q Flujo h Nivel de liquido o ltur C Cpcidd del tnque R Válvul o resistenci l flujo Hidráulico Hidráulico q Flujo h Nivel C Cpcidd R Válvul istem hidráulico q i τ Otener l F.T h C R q 0 τ H Q i Anlogí dv t ic t C dt h q R 5

26 6 Ecución diferencil: τ τ τ τ d dh C q q i 0 R h q 0 τ τ Ecución Lplce: 0 s CH s Q s Q i R s H Q 0 τ ustituir Q 0 s CH R s H s Q i R s H s CH s Q i R C s H s Q i R C s Q s H i

27 ..- NEUMÁTICO 7

28 8

29 .5.- FUNCIÓN DE TRANFERENCIA Y ANALOGÍA. Anlogí de sistem eléctrico-mecánico. Como hemos visto y, los sistems mecánicos pueden representrse por circuitos eléctricos equivlentes. Existe similitud en ls leyes de Kirchoff pr sistems eléctricos y ls ecuciones de movimiento de los sistems mecánicos. Vemos el nálisis comprtivo de un circuito eléctrico nlizdo en mll, que nos d un circuito nálogo-serie. Anlogí Mecánic Eléctric m Ms L Inductor K Resorte C Cpcitor Amortigudor R Resistenci L fuerz est en función de l velocidd. istem mecánico ft m K Otener l F.T V F Vt Ecución diferencil: dv t f t K V t m V t dt Ecución en Lplce V F K mv V K F V m V F K m 9

30 El voltje en función de l corriente istem eléctrico L R Otener l F.T et it C I E t Ecución diferencil: di t e t i t dt L Ri t C dt Ecución en Lplce I E LI RI C E I L R C I E L R C L fuerz en función del desplzmiento. istem mecánico. ft K Otener l F.T m Xt X F Ecución diferencil: d X t dx t f t KX t m dt dt 0

31 Ecución Lplce F KX m X X [ K m ] F X X F K m istem eléctrico El voltje en función de l crg. L R et Otener l F.T qt qt qt C Q E t Ecución diferencil: dq t d q t e t q t R L C dt dt Ecución en Lplce E CQ RQ L E Q R L C Q E R L C Q En los movimientos mecánicos el número de ecuciones de movimiento necesris, es igul l número de movimientos linelmente independientes. L independenci linel implic que en un punto de movimiento de un sistem todví se pued mover si todos los otros puntos de movimiento se mntienen inmóviles. Otro nomre pr el número de movimientos linelmente independiente es el número de grdos de liertd. Este nálisis no implic que estos movimientos no están copldos entre si; en generl lo están.

32 UNIDAD III ANÁLII DE REPUETA EN EL TIEMPO...- ANALII A LA REPUETA TRANITORIA. En est unidd nos enfocremos l respuest de los sistems deido un señl de entr conocid l cul puede ser: ft Ft Impulso δt Esclón unitrio µt? Rmp t Exponencil e -t t En l unidd nterior cómo se recordr se llego l F.T por diferentes métodos lg loques, grfico de flujo con esto pudimos llegr l F.T de los sistems físicos sin importr que voltje de entrd teni dicho sistem, hor nuestro sistem tendrá un voltje de entrd conocido plicdo, por ejemplo: 0 V V i V i R V 0

33 Vmos dejr l operdor solo, pr eso dividimos numerdor y denomindor entre. V V 0 i i plicmos un V i µ t despejmos V 0 V i [F.T] V 0 Pero ntes, vemos l definición de l respuest trnsitori. Pr l myorí de los sistems de control, l evlución finl del desempeño del sistem se s en l respuest l tiempo. F.T Respuest en el tiempo del sistem de control Respuest trnsitori Respuest en estdo estle Es l prte de l respuest que se hce cero cundo el tiempo tiende infinito Es l prte de l respuest totl que permnece después de que l respuest trnsitori se h desvnecido. Todos los sistems de control presentn un fenómeno trnsitorio ntes de lcnzr l respuest de estdo estle. L respuest trnsitori es importnte y que es un prte significtiv del comportmiento dinámico del sistem y l desvición entre l respuest de slid y l entrd se dee controlr ntes de lcnzr el estdo estle. L respuest de estdo estle es importnte, y que indic en donde termin l slid cundo el tiempo se hce grnde. Error de estdo estle: si l slid no coincide exctmente con l referenci desed, se dice que el sistem tiene un error de estdo estle.

34 y sst Estdo estle t ytt ysst Respuest trnsitori Respuest Trnsitori Estdo estle Pregunt: Cuál es el propósito de un sistem control en el dominio del tiempo? Respuest: Es llegr lo ntes posile l respuest de estdo estle lo más rápido y reducir l respuest trnsitori. Repso de mtemátics trnsformd de Lplce Frcc. Prciles - Polos distintos - Polos múltiples - Polos complejos conjugdos Polos distintos Lf A [ A B] [ A B] Comprmos A B A B cr vlor de A A B A B A 0 A cr vlor de B A B B A B A A B B

35 5 B B - B - L s f L L L s f Comprmos en l tl L L L s f t t e e t f Polos múltiples [ ] [ ] C B A C B A L s f B A B C A C B B A A A C B A -B - B B A A -A A 0 A C C 0 L s f 0 L L L L L L s f Tl

36 6 L L L s f t e t t f Polos complejos conjugdos Lo identificmos con un multiplicndo en los polos. s F [ ] [ ] [ ] D C B A D C B A s Lf [ ] [ ] B A D B C A D C B B A A A C 0 B D A 0 B B B D D D A 0 A 0 C L L L L L s f Tl L L L s f t sen t t f

37 7..- REPUETA TRANITORIA DE er. Orden Otener l R.T. V 0 V i [F.T] V V s i s F.T 0 V 0 s LV 0 Polo múltiple por lo tnto tendrá constntes. C B A C B A s LV 0 B B A C A C B B A A A C 0 0 B A B B 0 B A 0 A A - R V 0 V i C

38 A C 0 - C C LV0 s L L L Tl t V0 t t e R.T Respuest trnsitori de primer orden con Vi de rmp. R V 0 Otener l R.T. V i V 0 s LV 0 C Polos distintos. V 0 V i [F.T] F.T LV 0 A B A B A A B A B A A B 0 A A A 8

39 A B 0 B 0 B - LV0 s L L Tls V 0 t e t V i V 0 s R C V 0 Otener R.T V 0 V i [F.T] F.T LV0 s L Tls t V t 0 e 9

40 ..- ITEMA DE do. ORDEN R L V 0 V i C sistems de do. Orden Form generl formul se pr C R Wn LWn Wn Wn frecuenci Nturl rd/seg L coeficiente de mortigumiento - Csos de l respuest trnsitori de do. orden..- umortigumiento 0 < L < Respuest trnsitori osciltori.- Amortigumiento critico críticmente L Respuest inici oscilción.- oremortigumiento L > Respuest nunc oscil.- No mortigumiento L 0 Respuest osciltori inestle L coeficiente de mortigumiento reltivo Polos Respuest esclón L 0 Jw -Jw Plno C t No mortigudo t 0

41 Jw C t 0 < L < -LWn -Jw Jwn L JWn L umortigudo t Jw C t L -LWn -Jw Críticmente mortigudo t LWn Wn L Jw Plno C t L > t oremortigumiento LWn Wn L -Jw Not: cundo los polos se encuentrn situdos en el plno del ldo izquierdo este sistem se consider estle y v ser inestle cundo los polos estén l derech. C R Wn LWn Wn Wn LWn Wn L LWn Wn L Wn Frecuenci Nturl Wd Frecuenci Nturl mortigudo L L J L & L >>>>>? Wd Wn L Wd Wn L

42 C R Wn LWn Wn L LWn Wn L C Wn R LWn J& Wd LWn J& Wd Form generl do orden pr l condición 0 < L < Encontrr l respuest trnsitori C de do de un sistem con un R / pr un condición 0 < L < C R C Wn LWn J& Wd LWn J& Wd Wn LWn J& Wd LWn J& Wd [ LWn J& Wd LWn J& Wd ] Wn C - - C C Wn scmos J J& [ LWn J& Wd ] Wn A [ LWn ] Wd LWn Wd LWn L Wn B C A [ LWn Wd ] [ B C] LWn Wd [ ] [ LWn L Wn Wd ] [ B C] [ LWn Wd ] A A ALWn AL Wn AWd [ LWn Wd ] B C A B ALWn C LWn Wd AL Wn [ ] AWd [ A B] [ ALWn C] A[ L Wn Wd ] [ LWn Wd ]

43 Comprción A B 0 ALWn C 0 A[L Wn Wd ] Wn Vlor de A A[L Wn Wd ] Wn A A L Wn Wn Wd Wd L Wn i Wd Wn Wd L Wn Wd L Wn L Wn Wn Wn Wn Wn Wd L Wn Wn A L L A Vlor de B A B 0 B 0 B - Vlor de C ALWn C 0 LWn C 0 C -ALWn ustitución de A, B y C LWn LWn LWn Wd LWn Wd LC LC LWn LWn LC LWn LWn Wd LWn Wd LWn Wd LWn Wd LWn LWn Wd Wd LWn Wd LWn

44 LC LWn LWn Wd Wd LWn Wd LWn Wd Tl LWn C t e coswdt Wd LWnt LWnt [ e senwdt]

45 Encuentre Ct pr un sistem de do orden con un R / cuy condición es L 0 C R Wn LWn Wn Wn Wn 0 Wn C Wn Wn [ Wn ] LC Wn [ Wn ] Tl C t coswnt Encuentre Ct pr un sistem de do orden con un R / cuy condición es L C R Wn LWn Wn Wn LWn Wn L LWn Wn L C R Wn Wn Wn Wn Wn 0 C Wn LC Wn Wn LWn L Wn A B C [ LWn ] Wd LWn Wd A [ Wn ] B[ Wn ] C A AWn AWn Wn Wn B BWn C [ A B] [ AWn BWn C] Wn Comprción AWn 5

46 A B 0 AWn BWn C 0 AWn Wn Vlor de A Wn A Wn Vlor de B A B 0 B 0 B - Vlor de C AWn BWn C 0 Wn - Wn C 0 C - Wn ustitución de A, B y C LC Tl C t e Wnt Wn Wn Wn Wn te Wnt [ ] 6

47 ..- ITEMA DE ORDEN UPERIOR L respuest del orden superior, es l sum de ls respuests de er y do orden 7

48 UNIDAD IV MODO DE CONTROL. Acciones ásics de control De cuerdo con l cción de control se pueden clsificr los controles utomáticos industriles en:.- Control de posiciones OFF-ON si ó no, todo ó nd.- Control proporcionl..- Control integrl..- Control proporcionl e integrl. 5.- Control proporcionl-derivtivo. 6.- Control proporcionl-integrl-derivtivo L myorí de los controles utomáticos industriles usn fuentes de potenci como l electricidd, el fluido presión que puede ser ceite o ire. Los controles pueden clsificrse dependiendo del tipo de energí que utilicen, por ejemplo: controles neumáticos se de ire, controles hidráulicos se de ceite y controles electrónicos. Elemento de control utomático industril Un control utomático dee detectr l señl de error ctunte, que hitulmente se encuentr un nivel de potenci muy jo, hy que mplificrl un nivel suficientemente lto. Por lo tnto se requiere de un mplificdor, l slid de control v ctur sore un dispositivo de potenci como lo es un motor neumático ó válvul, motor hidráulico, un motor eléctrico. Error ctunte Entrd referenci Amplificdor Al cciondor elemento finl de control Detector de error Elemento de medición De l plnt 8

49 Control ON-OFF Es un sistem de control de posiciones el elemento cciondor tiene solmente posiciones fijs; conectdo ó desconectdo. El control On-Off es simple y económico y es muy utilizdo en sistems de control tnto industriles como domésticos. Válvul solenoide L N Interruptor h R Acción de control proporcionl P Es un modo de control en que el dispositivo corrector finl ó cciondor, tienen un rngo continuo de posiciones posiles, con l posición exct tomd siendo proporcionl l señl de error; esto es l slid del controldor es proporcionl su entrd. R et Point E Kp U C U Kp E Kp K Dominio de l frecuenci Kp gnnci proporcionl U señl de controldor E señl de error r t e t Kp u t C t u Kp e Ejemplo: l señl que entr es multiplicd se utojust. 9

50 e t Kp 0 Vlor de l gnnci 0V V Entrd lid Ventjs del control proporcionl: Es l cción de control más importnte. Aplicción instntáne. Fcilidd de compror los resultdos. Desventjs: Flt de inmunidd l ruido. Acción de control integrl I Es un controldor cuyo vlor de slid vrí en rzón proporcionl l señl del error et cumuldo; lo que implic que es un modo de controlr lento. Control integrl du t Kie t ó ien t u t Ki e t dt dt 0 Ki gnnci integrl Es un constnte justle, l función de trnsferenci del control integrl es: R Ki/ U U Ci R Ki i se duplic el vlor de et, el vlor de Ut Ct vrí l dole de l velocidd. Ante un error igul cero, el vlor de Ut permnece estcionrio. En ocsiones l cción de control integrl recie el nomre de control de reposición o restlecimiento. Ejemplo: No v tener vlor de control Ut hst que exist otro evento otro vlor en et. 50

51 V 0V Acción de control derivtiv. D Est cción de control se delnt l señl de control frente l prición de un tendenci de error, esto hce que se nticipe l sistem, puesto que los retrdos en controlr lo tienden inestilizr. L desventj del control derivtivo es prácticmente inplicle nte l presenci de ruido, este hce que l vrile de control tome vlores contrpuestos y máximos. Cundo l pendiente de ruido entr como señl de error. Efectivmente el control derivtivo puede efectur correcciones ntes de l mgnitud del error et que este se significtiv, y que ctú en form proporcionl l velocidd de vrición de et velocidd de vrición. i l derivd de et es nul no hy cción, por prte del controldor, lo que implic que no tendrá ningún efecto con el error estcionrio. Tmién ument l mortigución sore ls oscilciones del sistem tiende estilizr permitiendo usr gnncis Kp ms elevds: Control derivtivo: de t u t K D dt Kd ó KD gnnci derivtiv Función de trnsferenci: U KD E El control derivtivo tiene l ventj de ser previsorio, pero tmién mplific el ruido y provoc un efecto de sturción en el ctudor. El control derivtivo, nunc se us solo, es eficz en el periodo trnsitorio. Acción de control proporcionl integrl. P-I Control proporcionl-integrl Un control P-I se define Kp T u t Kpe t e dt Ti τ 0 Donde: Ti tiempo integrl y es quien just l cción integrl. Ti Ki 5

52 L F.T del control P-I U Kp CP. I. Kp E Ti Ti R Kp Ti U Not: Kp y Ti son justles. Acción de control proporcionl derivtivo. PD Control proporcionl derivtivo Un control P-D se define medinte: Donde: Td tiempo derivtivo Td Kd u t Kpe t KpTd de t dt Función de trnsferenci U Kp E Td R Kp Td U Not: Kp y Td son justles. Acción de control proporcionl-integrl-derivtiv. PID Control proporcionl-integrl-derivtiv Este sistem reúne los tipos de control, sum ls ventjs de cd un de l cciones Kp Nos d un slid proporcionl l error mplific l señl. Ki D un slid proporcionl l error cumultivo, nos d un respuest lent. K D e comport de un mner previsori. 5

53 Kp e t Ki C t K D L ecución del P.I.D es: u función de trnsferenci: Kp de t U t Kpe t e dt KpTd Ti τ 0 dt t C PID Kp Td Ti En sistems de control de procesos se tienen controldores de diferentes tipos como lo son los neumáticos, pero en l ctulidd todos estos sistems de control mecánico están siendo reemplzdos por controles ó controldores electrónicos. Ls plicciones más comunes en industri son: Control de presión de líquidos, control de presión de gses, control de cudl, control de nivel de líquidos, control de tempertur, controles de motores eléctricos velocidd ngulr y posición ngulr. istem de control de posición. θ it V Entrd desed de ngulo V it V ot - K V pt Prempl. diferencil K e nt R V JLKg-m 5

54 ervomecnismo: el ojetivo de este sistem es controlr l posición de l crg mecánic de cuerdo con l posición de referenci. V R L θ N, N r, r Ampl.. N V i crg JL N N C..- INTONIZACIÓN Y OPTIMIZACIÓN. 5

55 55

56 56

57 UNIDAD V ETABILIDAD 5..- CRITERIO DE ETABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ Criterios de estilidd de Routh. El prolem importnte del control linel tiene que ver con l estilidd, es decir en que condiciones se vuelve inestle el sistem, si es inestle cómo se estiliz? L myorí de los sistems lineles en lzo cerrdo tienen funciones de trnsferenci: C 0 R 0 m n m n A y B son constntes y los exponentes m n m n m n B A Un criterio simple como el criterio de Routh permite determinr l cntidd de polos de lzo cerrdo que s e encuentrn en el semiplno derecho del plno sin tener que fctorizr el polinomio. X X X X X X X X X X X X ist. Inestle ist. Estle Procedimientos pr encontrr l estilidd de Routh..- Escrie el polinomio de l form siguiente: n n 0... n Donde los coeficientes son cntiddes reles..- i lguno de los coeficientes es cero o negtivo, nte l presenci de l menos un coeficiente positivo es sistem no es estle inestle. L condición necesri pr l estilidd es que todos los coeficientes tengn un signo positivo..- e ordenn los coeficientes del polinomio en fils y columns de cuerdo l ptrón siguiente: n 0 6. n n-. n- c c c c. n 57

58 58 n- d d d d e e f 0 g El proceso de formr fils, continu hst que nos quedn más elementos el numero totl de fils es n. Los coeficientes,,, etc. se evlún del modo que sigue: Ls evluciones de ls continún hst que tods ls restntes son ceros. e sigue el mismo ptrón de multiplicción cruzd de los coeficientes de ls fils nteriores l evlur ls c, ls d, ls e, etc., es decir: c 5 c 7 c.... c c c d c c c d Determine l estilidd del siguiente sistem: Modelo ásico. F.T s s s H G G Y R

59 .- cr F.T. Y R Y R [ ] [ ] Y F R.- Otener l ecución crcterístic. 0.- Colocr fils y columns El sistem es Inestle. 0 Ejercicio: 0.- F Colocr fils y columns c c El sistem es Estle. 59

60 5..- LUGAR DE LA RAICE. Análisis del lugr de ls ríces. L crcterístic ásic de l respuest trnsitori de un sistem de lzo cerrdo se relcion estrechmente con l loclizción de los polos. Los polos en lzo cerrdo son ls ríces de l ecución crcterístic, si est tiene un grdo superior es muy lorioso encontrr sus ríces y se requier un solución por computdor, si el sistem tiene un gnnci de lzo vrile l loclizción de los polo en lzo cerrdo depende del vlor de l gnnci elegid. Pr K 0, ¼, R K C Modelo ásico. G G, ± c Otener l F.T C R K K K K K K 0 c c K,,, ± ± Pr K 0 c ± K K K K K 60

61 ± 0 0 ±, ± Pr K ¼, ± Pr K ± 0 ±, ± ó J& J&, ± ± J& / e elev l cudrdo & J & J JW Pr K Pr K ¼ -½ -½ Pr K J& Rel - -½ Rel & J -JW El sistem es Estle 6

62 UNIDAD VI ANÁLII DE ERROR ERRORE ETATICO Y DINAMICO. 6

63 6..- ENIBILIDAD. L sensiilidd de un sistem, es l relción del cmio en l función de trnsferenci del sistem respecto l cmio en l función de trnsferenci del proceso o prámetro pr un cmio incrementl pequeño. 6

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