UNIDAD I: LÓGICA MATEMÁTICA

Transcripción

1 UNIDAD I: LÓGICA MATEMÁTICA 1.1. Introducción La Lógica Matemática es la rama de las Matemáticas que nos permite comprender sobre la validez o no de razonamientos y demostraciones que se realizan. La lógica estudia la forma del razonamiento, y es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación y física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticos que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En esta unidad en primer lugar revisamos el concepto de proposición, estableciendo el significado y utilidad de los conectivos o conectores lógicos, los cuáles de utilizan para formar proposiciones compuestas. También definimos los conceptos de tautología y contradicción, así como explicaremos las proposiciones lógicamente equivalente por medio de tablas de verdad. Luego daremos a conocer las aplicaciones del cálculo proposicional en la teoría de los circuitos. Finalmente; abordamos el estudio de los cuantificadores Proposiciones Diremos que una proposición es un enunciado (o frase) en el cual podemos asignar un valor de verdad o falsedad; pero no ambos al mismo tiempo. Por ejemplo: Son proposiciones: Albert Einstein descubrió América = 40 La luna es un satélite natural de la tierra. El dos es un número primo. 4+3 = 7 ESPOCH Escuela de Ingeniería en Sistemas 1

2 = 52 Existen enunciados que no son proposiciones, porque no es posible establecer su valor de verdad por ejemplo: Adiós! Qué hora es? Mañana lloverá 5 4x = 1 No es una proposición. Pero, si sustituimos x por cualquier número, ella se convierte en proposición. A este tipo de frases se les llama funciones proposicionales. NOTAS: 1. Las proposiciones las notaremos con las letras p, q, r etc. 2. Aquellas proposiciones que no se pueden descomponer en dos o más proposiciones; se llaman proposiciones simples. 3. Las proposiciones que están formadas por dos o más proposiciones simples por medio de conectores llamados lógicos se llaman proposiciones compuestas. 4. Si una proposición es verdadera se denotará por la letra V o el 1 y si es falsa se denotará por F o por el Conectores Lógicos 1. Negación Dada una proposición p, se puede obtener otra proposición anteponiendo la palabra "no" o "no es cierto que". El símbolo utilizado es ~ que significa "no". Por ejemplo: Sea la proposición p Estoy estudiando"; La negación de esta proposición simple será ~p "No estoy estudiando" o también "No es cierto que estoy estudiando". La negación aplicada a una proposición simple nos da una nueva proposición simple. Se observa que: Si p es V, la negación ~p es F; mientras que, si p es F; la negación ~p es V. Por medio de esta regla podemos construir la tabla de verdad de la negación; esto es: ESPOCH Escuela de Ingeniería en Sistemas 2

3 p V F ~p F V 2. Conjunción La conjunción es el conector que relaciona dos proposiciones simples para formar una compuesta, con la letra "y" cuyo símbolo es. Por tanto p q se lee "p y q". Por ejemplo: Sean las proposiciones simples p "Juan es bueno" y q "María es feliz", la conjunción de p y q será p q "Juan es bueno y María es feliz Por la naturaleza del nexo "y" para que una proposición compuesta sea verdadera, necesariamente las dos proposiciones simples deben serlo. Para los demás casos será falsa. Por tanto la tabla de verdad en este caso es: p q p q V V V V F F F V F F F F 3. Conjunción negativa La conjunción negativa ni y ni asociada a las proposiciones p y q da como resultado una nueva proposición compuesta p q que se lee: ni p y ni q, la cual es verdadera cuando p y q es falsa, en los casos restantes es falsa. Su tabla de verdad es: p q p q V V F V F F F V F F F V ESPOCH Escuela de Ingeniería en Sistemas 3

4 4. Disyunción La disyunción es un conector lógico que relaciona dos proposiciones simples para formar una proposición compuesta; por medio del símbolo, entonces, se obtiene la proposición compuesta p q que se lee "p o q". Por ejemplo: Sea p " = 5" y q "4 es un número par"; entonces p q = 5 o 4 es un número par. La disyunción permite una elección, así o p es V, o q es V o son ambas V a la vez. Luego si decimos "Londres es capital de Venezuela o 4 es un número par" no estamos mintiendo puesto que para que la proposición disyuntiva sea verdadera debemos aceptar que la primera parte es verdadera o que la segunda parte es verdadera o que ambas son verdaderas. Según esto se tiene la siguiente tabla de verdad: p q p q V V V V F V F V V F F F 5. Disyunción exclusiva La disyunción exclusiva o, pero no ambos asociada a las proposiciones p y q da como resultado una nueva proposición p q y se lee p o q, pero no ambas, la cual es falsa cuando p y q son iguales, mientras que en los demás casos es verdadera. Su tabla es: p q p q V V F V F V F V V F F F ESPOCH Escuela de Ingeniería en Sistemas 4

5 6. Condicional o implicación Sean p y q proposiciones, el conector lógico condicional o implicación da una nueva proposición p q que se lee "p entonces q" o "p condición q" o "si p entonces q". La proposición p q es la proposición (~p) q por definición. Por tanto, como (~p) q es igual a la proposición p q, sus tablas de verdad son las mismas, entonces, se tiene que: p q ~p (~p) q V V F V V F F F F V V V F F V V p q p q V V V V F F F V V F F V 7. Bicondicional o bi-implicación Sean p y q dos proposiciones, si relacionamos estas proposiciones con el conector lógico bicondicional obtenemos la proposición p q que se lee "p si y sólo si q". Esta proposición p q es la proposición (p q) (q p) o en otras palabras p condicional q y q condicional p. Se deja como tarea comprobar que la tabla de verificación de p q es la siguiente: p q p q V V V V F F F V F F F V Por las reglas anteriores se puede determinar tablas de verificación y los valores de verdad de proposiciones compuestas en las cuales aparecen varios conectores lógicos. ESPOCH Escuela de Ingeniería en Sistemas 5

6 Las tablas vistas anteriormente las podemos resumir en una sola, la misma que es: p q p q p q p q p q p q p q q p p q V V F F V F F V V V V V F F V V V V F F V F F V V F V V V F V F F F F V V F F F F V V V 1.4. Construcción de tablas de verdad En la construcción de tablas de verdad debemos considerar lo siguiente: 1. Determinar el número posibles de combinaciones. Si hay proposiciones, el número de combinaciones será 2 2. Se debe procurar respetar el orden de los valores de verdad dentro de la tabla así por ejemplo: Si hay tres proposiciones, el número de combinaciones serán 2 = 8; por lo tanto para primera proposición serán 4 verdaderas y 4 falsas; para la segunda proposición 2 verdaderas y 2 falsas; para la tercera: una verdadera y la otra falsa Tautologías y contradicciones Tautologías.- Se dice que una proposición es una tautología, cuando todos los valores de verdad de la tabla son verdaderos, Por ejemplo: a) p q ~ (~ p q) b) p ~ p V V V V V F V F V V V F V V F F V F F V V F F V V F F F V V V V F F V F F F V V V F F F ESPOCH Escuela de Ingeniería en Sistemas 6

7 Contradicciones.- Se dice que una proposición es una contradicción, cuando todos los valores de verdad de una tabla son falsos. Por ejemplo: a) (p q) ~ p b) p ~ p V V V F F V V F F V V F F F F V F F V F F F V F V F F F F F V F 1.6. Implicación Lógica ( ) Se dice que P implica lógicamente a Q, si el resultado de la tabla de verdad es una tautología. Por ejemplo: p q p V V V V V V F F V V F F V V F F F F V F 1.7. Equivalencia Lógica (, ) Se dice que P es lógicamente equivalente a Q, si es que ambas proposiciones tienen la misma tabla de verdad, o que el resultado de la tabla es una tautología. Por ejemplo: a) p (p q) p b) p q q p c) p q p q d) p q p q ESPOCH Escuela de Ingeniería en Sistemas 7

8 1.8. Leyes del Álgebra de proposiciones Teorema.- Sean p, q y r proposiciones; las siguientes proposiciones son tautologías: i) Propiedad de idempotencia de los conectores,, a) ( p) p b) (p p) p c) (p p) p ii) Propiedad conmutativa de los conectivos, a) (p q) (q p) b) (p q) (q p) iii) Propiedad asociativa de los conectores, a) [(p q) r] [p (q r)] b) [(p q) r] [p (q r)] iv) Propiedad distributiva de los conectores, a) [p (q r)] [(p q) (p r)] b) [p (q r)] [(p q) (p r)] v) Leyes de Morgan para las proposiciones a) (p q) (p) (q) b) (p q) [ (p) (q)] vi) Ley de absorción a) p (p q) p b) (p q) p c) (p q) q vii) Ley de identidad a) p V V p V p b) p F p p F F viii) Ley de complemento a) p p V p p F ix) Otras leyes a) p q p q b) p q p q c) p q ( p q) ( q p) d) p q ( p q) ( q p) ESPOCH Escuela de Ingeniería en Sistemas 8

9 1.9. Ejercicios Resueltos 1. Hallar la tabla de verificación de las siguientes proposiciones compuestas, siendo p, q y r proposiciones simples: a) ((~p) q) (p (~q)) p q ~p ((~p) q) ~q (p (~q)) ((~p) q) (p (~q)) V V F F F V V V F F F V V V F V V V F F F F F V F V V V b) Supongamos que p es verdadera, q falsa y r verdadera; determinar el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta: [(p (~q)] [q r] p q r ~q p (~q ) q r [(p (~q)] [q r] V F V V V F F c) Hallar el valor de verdad de (p q) r p q r p q (p q) r V V V V V V V F V V V F V F V V F F F F F V V F V F V F F F F F V F V F F F F F ESPOCH Escuela de Ingeniería en Sistemas 9

10 d) Hallar el valor de verdad de [p (q r)] [(p q) (p r)] p q r q r p (q r) 1 p q p r (p q) (p r) V V V V V V V V V V V F F V V V V V V F V F V V V V V V F F F V V V V V F V V V V V V V V F V F F F V F F V F F V F F F V F V F F F F F F F F V ESPOCH Escuela de Ingeniería en Sistemas 10

11 1.10. Ejercicios Propuestos 1. Escribir cinco frases de proposiciones y cinco frases que no sean proposiciones. 2. Determinar cuáles de las siguientes frases son proposiciones a) = 5 b) x + 1 = 4 c) Hola! d) Yo estudio 3. Negar las siguientes proposiciones. a) Diana es modista b) 12 es un número par c) estas dos rectas son paralelas d) todos los hombres son mortales e) algunos deportistas son ciclistas f) ningún loro vive en el polo norte 4. Sean p, q, r y s proposiciones. Calcular el valor de verdad de las siguientes proposiciones suponiendo que p y q son verdaderas y que r y s son falsas: a) (p q) r b) (r s) q c) q (p s) e) (q s) r g) (q r) (p s) i) ~[(r p) (s q)] d) p ~(r s) f) ~(p q) h) (r s) (p q) j) [(r q) (~p r)] 5. Utilizando tablas de verificación determinar cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías: a) ~(p ~p) b) (p q) (~q ~p) c) (p q) (~p q) e) [(p q) ~q] ~p g) [(p q) (q r)] (p r) d) [(p q) p] q f) ~(p q) (p ~q) h) [p (q r)] [(p q) r] 6. Utilizando las leyes del álgebra proposicional, simplifique las siguientes proposiciones: a) [q (~p q)] q b) (p q) p q c) ~(p q) (p ~q) ESPOCH Escuela de Ingeniería en Sistemas 11