PRÁCTICAS CON DERIVE 19

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1 PRÁCTICAS CON DERIVE 19 NUM.de MATRÍCULA FECHA... APELLIDOS /Nombre...PC PRÁCTICA TRES. SERIES NUMÉRICAS INTRODUCCIÓN DE SERIES DE NÚMEROS REALES Una serie de números reales se puede introducir definiendo la sucesión de las sumas parciales {s n } asociada a la sucesión {a n }, utilizando Cálculo/Sumas y Series, directamente el icono ola función Derive en el editor de línea s(n) :SUM(a(k),k,n 0,n) y por último, calculamos el ite de la sucesión {s n } ( Cálculo/Límites o el icono correspondiente). La otra posibilidad es introducir directamente la suma con ite superior infinito SUM(a(k),k,n 0, ) Al simplificar o aproximar las expresiones de las sumas podemos obtener el valor de la suma para algunos tipos de series convergentes (geométricas, aritmético-geométricas, telescópicas...): infinito para algunas series divergentes

2 PRÁCTICAS CON DERIVE 20 respuestas enigmáticas para otras series, por ejemplo para la serie oscilante y por último, devolvernos la misma expresión sin saber si la serie es o no convergente Por tanto, a veces obtendremos directamente el carácter de la serie, en otras tendremos que recurrir a los criterios de convergencia conocidos. I. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS a) 1 n 3 +3n 2 +2n 2. Construir y representar gráficamente la sucesión de las sumas parciales {s n } y calcular su ite s n s n 1 n 3 +3n 2 +2n 4. Es una serie telescópica convergente? (Utilizar Simplificar/Expandir en el término general de la serie) 1 n 3 +3n 2 +2n

3 PRÁCTICAS CON DERIVE Utiliza un criterio de comparación para estudiar el carácter de la serie. Serie utilizada para comparar: 6. Resolver la siguiente desigualdad nk 1 n 3 +3n 2 +2n < 10 4 k> Qué significado tiene el valor de k encontrado? b) (n 1) 2 n Construir y representar gráficamente la sucesión de las sumas parciales {s n } y calcular su ite s n s n (n 1) 2 n Es una serie telescópica convergente? (Utilizar Simplificar/Expandir en el término general de la serie) (n 1) 2 n Utiliza un criterio de comparación para estudiar el carácter de la serie. Serie utilizada para comparar:

4 PRÁCTICAS CON DERIVE 22 c) n +1 n n(n +1) 2. Construir la sucesión de las sumas parciales {s n } y calcular su ite s n s n n +1 n n(n +1) 4. Si has tenido problemas para responder los apartados anteriores, vuelve a rehacer el ejercicio declarando previamente la variable utilizada en la serie como entero positivo Introducir/Dominio de una Variable 5. Es una serie telescópica convergente? (Utilizar Simplificar/Expandir en el término general de la serie) n +1 n n(n +1) d) (3+( 1) n ) 1. Construir la sucesión de las sumas parciales {s n } y representarla gráficamente. s n 2. Calcular el ite de la sucesión de las sumas parciales y comprobar si Derive calcula directamente el valor de la serie (3 + ( 1) n ) 3. Representar gráficamente la sucesión {3 +( 1) n } y estudiar la condición necesaria de convergencia Qué tipo de serie es?

5 PRÁCTICAS CON DERIVE 23 e) ( ) π sen n 2. Construir la sucesión de las sumas parciales {s n } y representarla gráficamente s n 3. Calcular el ite de la sucesión de las sumas parciales Es convergente? s n 4. Utiliza un Criterio de Comparación para estudiar el carácter de la serie. Serie utilizada para comparar: Es convergente? f) n! n n 2. Construir la sucesión de las sumas parciales {s n } y calcular su ite s n s n 3. Utiliza el Criterio del Cociente para estudiar el carácter de la serie. Es convergente? g) n 2 n n Construir la sucesión de las sumas parciales {s n } y calcular su ite s n s n 3. Utiliza el Criterio de la Raíz para estudiar el carácter de la serie. Es convergente?

6 PRÁCTICAS CON DERIVE * Acota el término general de la serie con el término de una serie geométrica n 2 n n 2 +1 n 1 5. * Utilizando la cota anterior, calcula el valor de k para que el resto de la serie sea menor que * Representa gráficamente la sucesión de las sumas parciales (unos 50 términos) y comprueba que el valor de k obtenido en el apartado anterior nos ofrece una buena aproximación de la serie. II. SERIES ALTERNADAS a) ( 1) n+1 n 2. Construir la sucesión de las sumas parciales {s n } y calcular su ite s n s n ( 1) n+1 n 4. * A la vista del resultado, comprueba elaborando una tabla de valores de la sucesión de las sumas parciales que la convergencia es muy LENTA. Halla el valor de k para que ( 1) n+1 k ( 1) n+1 n n < 0.001

7 PRÁCTICAS CON DERIVE 25 b) ( 1) n 2 2n (n!) 2 2. Estudiar el carácter de la serie en valor absoluto. Qué criterio de convergencia has utilizado? 3. Indicar el carácter de la serie de partida. c) ( 1 ( 1) n n 1 ) n! 1. * Comprobar la condición necesaria de convergencia 2. * Estudiar el carácter de la serie en valor absoluto. Qué criterio de convergencia has utilizado? 3. * Construir la sucesión de las sumas parciales {s n } y calcular su ite s n s n 4. * Comprobar si Derive calcula directamente el valor de la serie ( 1 ( 1) n n 1 ) n! Qué tipo de convergencia tiene esta serie? 5. * Comprobar gráfica y analíticamente que la sucesión de un cierto término: n { 1 n 1 } n! es decreciente a partir

8 PRÁCTICAS CON DERIVE 26 III. OTRAS SERIES a) n 4 7 n (n 2 +3n +2) 2. Construir la sucesión de las sumas parciales {s n } y calcular su ite s n s n n 4 7 n (n 2 +3n +2) 4. Cúal es el carácter de la serie? Utiliza un criterio para verificarlo. Criterio utilizado: b) n(n +1)a n 2 n a IR 1. * Estudiar la condición necesaria de convergencia indicando para qué valores de a puede ser la serie convergente (utiliza Introducir/Dominio de una Variable para determinar en cada caso el valor del ite correspondiente) a 2. * Estudiar el carácter de la serie en valor absoluto. Qué criterio de convergencia has utilizado? 3. * Construir la sucesión de las sumas parciales {s n } y calcular su ite s n s n 4. * Comprobar si Derive calcula directamente el valor de la serie n(n +1)a n 2 n Qué tipo de convergencia tiene la serie? 5. * Representar gráficamente la sucesión de las sumas parciales {s n } y comprobar los resultados anteriores para un valor concreto de a donde la serie sea convergente.

9 PRÁCTICAS CON DERIVE 27 c) ( 1) n+1 na 2n 1 (a IR) 1. * Estudiar la condición necesaria de convergencia indicando para qué valores de a puede ser la serie convergente (utiliza Introducir/Dominio de una Variable para determinar en cada caso el valor del ite correspondiente) a 2. * Estudiar el carácter de la serie en valor absoluto. Qué criterio de convergencia has utilizado? 3. * Construir la sucesión de las sumas parciales {s n } y calcular su ite s n s n 4. * Comprobar si Derive calcula directamente el valor de la serie ( 1) n+1 na 2n 1 Qué tipo de convergencia tiene la serie? 5. * Representar gráficamente la sucesión de las sumas parciales {s n } y comprobar los resultados anteriores para un valor concreto de a donde la serie sea convergente.