EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

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1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc ) se usn letrs o bien combinciones de números y letrs. Por ejemplo si x es el ldo de un cudrdo, entonces : x Su perímetro es 4x Su superficie (áre) es x 2 x Se llm expresión lgebric tod combinción de letrs y números ligdos por los signos de ls operciones ritmétics : sum, rest, producto, división y potenci. Cd un de ls distints letrs de un expresión lgebric se denominn vribles Cundo un expresión lgebric design l medid de un mgnitud se le llm fórmul. Por ejemplo el volumen de un cubo cuyo ldo vle viene ddo por l fórmul V = 3 Tod expresión lgebric tendrá un vlor numérico concreto cundo sustituymos l vrible por un cierto vlor ; si en el cso del cubo nos dicen que =3 entonces V=3 3 =27 B. MONOMIOS ENTEROS. Expresiones lgebrics hy de muchos tipos: 3xy, 1 3 x yz, 5x-1,etc 2 A nosotros nos vn interesr un tipo muy concreto de ests expresiones Se llm monomio tod expresión lgebric en l que ls únics operciones que interviene son l multiplicción y l potenci de exponente nturl. En prticulr nos interesn los monomios enteros que son quellos en los que sólo precen números enteros ( -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ) Además sólo considerremos monomios con un únic vrible ( letr). Ejemplos : -7x 3, 2y 2, 3x 5, -x 3, son monomios enteros 3+x, 5xy, x, no lo son Jun Igncio Sierr Sánchez 2001

2 Se llm grdo del monomio l exponente de su vrible. Por ejemplo el monomio 5x 4 es de grdo 4 o 4º Diremos que dos monomios son semejntes cundo tengn el mismo grdo A los números que compñn l vrible se les llm coeficientes Por ejemplo el coeficiente del monomio 6x 3 es 6. Vemos que el hecho de que dos monomios sen semejntes dependerá de los exponentes y no de los coeficientes(números). SUMA Y DIFERENCIA DE MONOMIOS Sólo se pueden sumr ( o restr) monomios semejntes. Si los monomios no son semejntes l operción se dej indicd Por ejemplo si tenemos M(x)=4x 4 y N(x)= 7x 2 entonces su sum es: M(x) + N(x) = 4x 4 +( 7x 2 ) = 4x 4 7x 2 Cundo son semejntes el resultdo de l sum ( o l diferenci) será otro monomio semejnte cuyo coeficiente será l sum ( o l diferenci ) de los coeficientes de los sumndos. Por ejemplo tenemos M(x)=4x 2 y N(x)=3x 2 clculemos su sum: M(x)+ N(x)=4x 2 + 3x 2 =( 4+3 ) x 2 = 7x 2 L diferenci será : Sum de coeficientes Monomio semejnte los sumndos M(x)- N(x)=4x 2-3x 2 =( 4-3 ) x 2 = x 2 PRODUCTO DE MONOMIOS Diferenci de los coeficientes Se pueden multiplicr todo tipo de monomios. El resultdo será otro monomio cuyo coeficiente es el resultdo de multiplicr los coeficientes y cuy vrible es el resultdo del producto de ls vribles, es decir, un producto de potencis en el que tendremos que sumr los exponentes Ejemplo : Usndo los monomios del ejemplo de l sum M(x) N(x) = ( 4x 2 ) ( 3x 2 ) = 4 3 x 2 x 2 = 12 x 2+2 = 12 x 4 Jun Igncio Sierr Sánchez 20012

3 C. POLINOMIOS ENTEROS Un polinomio entero es un expresión lgebric formd por sums o diferencis de monomios enteros. Según lo que cbmos de decir un polinomio culquier será de l form: P(x)= 0 x x x x n x n Aquí precen todos los monomios posibles ( de grdo cero, de grdo 1, de grdo 2, etc, hst que el polinomio se termin en un cierto monomio de grdo n ). A cd uno de los sumndos de un polinomio se les llm términos del polinomio. Ls letrs 0, 1, 2, 3,., n que hemos puesto son los coeficientes de cd monomio y hemos dicho que vn ser números enteros. Como sbemos que x 0 =1 y que x 1 =x entonces l form definitiv que vmos observr en todo polinomio es: P(x)= x+ 2 x x n x n Término independiente: es el de grdo cero, es decir, el que no llev x Término principl : es el de myor grdo Se llm grdo del polinomio l vlor del exponente del término principl ( el de myor vlor) Ejemplo: P(x)= 3+ 6x-2x 2 + x x 4 Término principl: 13x 4 Término independiente: 3 Coeficientes: 3, 6, -2, 1 y 13 Grdo del polinomio: 4 Al trbjr con polinomios es siempre consejble ordenr sus términos ( de menor myor grdo, como en el ejemplo nterior, o de myor menor que es lo más hbitul). Se llm binomio un polinomio que solo tiene dos términos ( d igul del grdo que sen estos ), por ejemplo x+ 3, x 2-1, -x 3 + x 2, Jun Igncio Sierr Sánchez 20013

4 SUMA Y DIFERENCIA DE POLINOMIOS Ddos dos ( o más ) polinomios su sum será otro polinomio que resultrá de sumr ( o restr)los monomios semejntes. Ejemplo : M(x)= x 3-3x+1 y N(x)=5x 4 + 3x 3-2x 2 + 4x-6 Su sum es: M(x)+ N(x)=(x 3-3x+1)+(5x 4 + 3x 3-2x 2 + 4x-6)= 5x 4 +x 3 +3x 3-2x 2-3x+4x+1-6= =5x 4 +4x 3-2x 2 +x-5 Su diferenci es: M(x)- N(x)=(x 3-3x+1)-(5x 4 + 3x 3-2x 2 + 4x-6)= = (x 3-3x+1)-5x 4-3x 3 +2x 2-4x+6= =-5x 4 + x 3-3x 3 + 2x 2-3x-4x =5x 4-2x 3 + 2x 2-7x+7 Términos semejntes PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO Es un polinomio que result de multiplicr el monomio por cd uno de los términos del polinomio Por ejemplo: M(x)=3x 3 y P(x)=x 2 + 2x-3 M(x)* P(x)= 3x 3 *( x 2 + 2x -3) = = 3x 3 * x 2 + 3x 3 * 2x + 3x 3 *(-3) = = 3x x *(-3)x 3 = = 3x 5 + 3x 4 9x 3 Jun Igncio Sierr Sánchez 20014

5 PRODUCTO DE POLINOMIOS Es otro polinomio que se obtiene de multiplicr cd término de uno de los polinomios por todos los términos del otro Por ejemplo: P(x)=x 2 + x + 2 y Q(x)=x 3 + 2x 2 4x +3 P(x)* Q(x) = ( x 2 + x + 2 ) * ( x 3 + 2x 2 4x +3 ) = x 2 * ( x 3 + 2x 2 4x +3 ) + x * ( x 3 + 2x 2 4x+3) + 2* ( x 3 + 2x 2 4x +3) =x x x x 2 +x x 1+2 4x x +2 x 3 +2*2x 2 2*4x+2*3= = x 5 + 2x 4 4x 3 +3 x 2 + x 4 + 2x 3 4x 2 + 3x +2x 3 + 4x 2 6x + 6 = = x 5 + 2x 4 + x 4 4x 3 + 2x 3 + 2x x 2 4x 2 + 4x 2 + 3x 6x + 6= = x 5 + 3x x 2 3x +6 Jun Igncio Sierr Sánchez 20015

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