TEMA 4: CALCULO NUMERICO DE AUTOVALORES

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "TEMA 4: CALCULO NUMERICO DE AUTOVALORES"

Transcripción

1 Lino Alvarez - Aurea Martinez METODOS NUMERICOS TEMA 4: CALCULO NUMERICO DE AUTOVALORES 1 INTRODUCCION La determinación de autovalores y autovectores de una matriz cuadrada A de orden n es un problema que se presenta en numerosas ramas de la Matemática: teoría de E.D.P., determinación de ejes de cónicas y cuádricas, diseño de sistemas de información, estudio de las oscilaciones de ciertas estructuras, optimización lineal... Dado que los autovalores son las raíces del polinomio característico P (λ) = det(a λi) = ( 1) n [λ n +a 1 λ n a n 1 λ+a n ], es claro que los métodos de cálculo de autovalores no pueden ser más que iterativos (ya que según el Teorema de Abel es imposible resolver mediante un número finito de operaciones elementales los polinomios de grado mayor o igual que 5). 115

2 Una primera posiblidad para el cálculo de los autovalores es el cálculo (mediante los llamados métodos clásicos) de los coeficientes del polinomio característico. Una vez conocidos estos, el problema se reduce a la resolución de una ecuación algebraica por los métodos ya estudiados. Sin embargo, estos métodos no se usan habitualmente debido a su gran inestabilidad numérica, derivada de la gran sensibilidad de los ceros de un polinomio a los cambios en sus coeficientes. Ejemplo 1.- (Wilkinson) Sea A una matriz cuyo polinomio característico es P (λ) = (λ 1)(λ 2)... (λ 20). Si en el cálculo de los coeficientes hubiésemos cometido un error en el coeficiente correspondiente a λ 19 de orden 10 7 de modo que tuviésemos Q(λ) = P (λ) 2 23 λ 19 los autovalores (que son 1, 2,..., 20) pasarían a ser complejos con parte imaginaria grande: ±2.81 i, ±2.51 i... Es decir, una pequeña variación en los datos origina una gran variación en los autovalores. Aparece entonces la necesidad de medir el condicionamiento del problema de autovalores. 116

3 2 CONDICIONAMIENTO DEL PROBLEMA DE AUTOVALORES Ejemplo 2.- (Davis-Moller) A = Sp(A) = {1, 2, 3} A + δa = Sp(A + δa) = {0.2073, , } Por tanto, A está mal condicionada. Para medir el condicionamiento se tiene el siguiente: Teorema 1.- (Bauer-Fike) Sea A una matriz diagonalizable con autovalores λ 1, λ 2,..., λ n. Se considera P inversible tal que P 1 AP = D = diag(λ i ). Sea. una norma matricial tal que para toda matriz diagonal diag(α i ) se verifique diag(α i ) = max i=1,...,n α i. (Las normas usuales. 1,. 2,. verifican esta propiedad). 117

4 Entonces, para toda matriz δa se tiene: Sp(A + δa) n i=1d i donde: D i = {z C : z λ i cond(p ). δa } con cond(p ) = P. P 1. Como se puede observar, el condicionamiento del problema de autovalores no depende del número de condición de la matriz A, sino del de la matriz de paso P a una matriz diagonal. Corolario 1.- Sp(A + δa) n i=1{z C : z λ i Γ(A). δa } donde: Γ(A) = inf{cond(p ) : P 1 AP = D}. Γ(A) se denomina número de condición de A para el cálculo de autovalores y verifica que Γ(A) 1. Cuanto más pequeño sea el número de condición, mejor condicionado estará el problema. 118

5 Observación Dado que toda matriz A normal es diagonalizable a través de una matriz unitaria (Teorema de Schur), si consideramos la norma matricial. 2 se tiene que Γ 2 (A) = 1. Por tanto, toda matriz normal es bien condicionada. 2. En el ejemplo de Davis-Moller, problema mal condicionado, se tiene Γ 2 (A) = METODOS CLASICOS DE CALCULO DEL POLINOMIO CARACTERISTICO Presentaremos solamente los dos métodos más sencillos: 3.1 Método de Leverrier (1840).- Sea A una matriz con polinomio característico P (λ) = ( 1) n [λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n ] y con autovalores λ 1, λ 2,..., λ n. Sean: s k = n i=1 λ k i, k = 1,..., n. Por las fórmulas de Newton se tiene que: s r + a 1 s r a r 1 s 1 + ra r = 0, r = 1,..., n. Por otra parte, λ i Sp(A) λ k i Sp(A k ) s k = tr(a k ). 119

6 Entonces, el método de Leverrier consiste en: 1. Calcular s k = tr(a k ), k = 1,..., n. 2. Calcular los coeficientes a k mediante: a 1 = s 1, a r = s r + a 1 s r a r 1 s 1, r = 2,..., n. r 3.2 Método de Krylov (1931).- Dada una matriz A, por el Teorema de Cayley-Hamilton: A n + a 1 A n a n 1 A + a n I = 0. Sea u 0 un vector cualquiera. Entonces: A n u + a 1 A n 1 u a n 1 Au + a n u = 0. Si denotamos v i = A n i u, n i=1 a i v i = A n u. i = 1,..., n, se tiene: Consideremos la matriz V que tiene como columnas i- ésimas los vectores v i y el vector a que tiene como coordenadas los coeficientes a i, entonces la igualdad anterior puede escribirse: V a = A n u. Si elegimos u de manera que el sistema {v 1,..., v n } sea linealmente independiente y la matriz V fácilmente inversible, entonces los coeficientes del polinomio característico son solución del sistema lineal anterior. Entonces, el método de Krylov consiste en: 120

7 1. Elegir u adecuado. (Por ejemplo, u = (1, 0,..., 0).) 2. Calcular la matriz V = (v 1... v n ) mediante: v n = u, v k = Av k+1, k = n 1,..., Calcular b = A n u mediante: b = Av Calcular los coeficientes (a 1,..., a n ) resolviendo el sistema de ecuaciones lineales V a = b. Observación 2.- Los métodos que se utilizan en la práctica para el cálculo de autovalores son métodos que no precisan del polinomio característico (lo cual conduciría a inestabilidades numéricas). De hecho, se utilizan los métodos de cálculo de autovalores para obtener las raíces de un polinomio cualquiera. Basta tener en cuenta que todo polinomio q(λ) = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n es polinomio característico de su matriz de compañía A = a 1 a 2... a n 1 a n

8 4 EL METODO DE LA POTENCIA Entre los métodos que no precisan del cálculo del polinomio característico destaca por su sencillez el método de la potencia iterada (Wielandt ) y todas sus variantes. 4.1 El método de la potencia iterada.- Se utiliza para calcular el autovalor de mayor módulo (autovalor dominante) de una matriz diagonalizable. Se considera A M n n (R) una matriz diagonalizable con autovalores λ 1, λ 2,..., λ n, que supondremos ordenados en la forma: λ 1 λ 2... λ n. Esta hipótesis implica la existencia de una matriz inversible P = (p 1 p 2... p n ) tal que P 1 AP = diag(λ i ). Por tanto, el sistema {p 1, p 2,..., p n } es una base de C n formada por autovectores: Ap i = λ i p i, i = 1,..., n, donde p i = (p i1, p i2,..., p in ). El método de la potencia iterada permite calcular el autovalor dominante λ 1 y se basa en la construcción de una sucesión {u k }, con u k = (u k 1, u k 2,..., u k n), en la forma: u 0 C n arbitrario, u k+1 = Au k, k = 0, 1,

9 Vamos a estudiar varios de los casos posibles: A) λ 1 > λ 2... λ n. (Por tanto, λ 1 R.) Se tiene el siguiente resultado: Teorema 2.- Si elegimos u 0 adecuadamente (en concreto, si: u 0 = α 1 p 1 + α 2 p α n p n basta tomar α 1 0) entonces existe, al menos, un índice i {1,..., n} tal que: lim k u k+1 i u k i = λ 1. B) λ 1 = λ 2 =... = λ r > λ r+1... λ n, λ 1 = λ 2 =... = λ r R. Se tiene el siguiente resultado: Teorema 3.- Si elegimos u 0 adecuadamente (en concreto, si: u 0 = α 1 p 1 + α 2 p α n p n basta tomar α 1 p α r p r 0) entonces existe, al menos, un índice i {1,..., n} tal que: lim k u k+1 i u k i = λ

10 C) λ 1 = λ 2 > λ 3... λ n, λ 1 = λ 2 R. Se tiene el siguiente resultado: Teorema 4.- Si elegimos u 0 adecuadamente (en concreto, si: u 0 = α 1 p 1 + α 2 p α n p n basta tomar α 1 p 1 + α 2 p 2 0) entonces existe, al menos, un índice i {1,..., n} tal que: lim k u 2k+2 i u 2k i = λ 2 1 = µ. (Por tanto, λ 1 = µ, λ 2 = µ.) Observación 3.- También, si se elige u 0 tal que α 1 p 1 α 2 p 2 0, entonces existe, al menos, un índice i {1,..., n} tal que: lim k u 2k+3 i u 2k+1 i = λ 2 1. D) λ 1 = λ 2 > λ 3... λ n, λ 1 = λ 2 C. Se puede adaptar el método para calcular r y θ tales que: λ 1 = re iθ ( λ 2 = re iθ ) 124

11 Observación 4.- (Potencia normalizada) Incluso en el caso más sencillo λ 1 > λ j, j 1, si λ 1 es muy grande en módulo (o muy pequeño), al calcular u k para k grande, este tiende en norma a (ó a 0) con los consiguientes problemas numéricos. Para evitar esta dificultad es conveniente trabajar con el vector normalizado y k, esto es, para u 0 C n arbitrario, se definen: y 0 = u0 u 0, y k+1 = Ayk, k = 0, 1,... Ay k Se puede probar entonces que: y k = (por tanto, y k = 1) y que: Además: uk, k = 0, 1,... u k lim k Ayk = λ 1. lim k yk = p, (para λ 1 > 0), lim k ( 1)k y k = p, (para λ 1 < 0), donde p es un autovector unitario asociado a λ 1. Por tanto, por el método de la potencia normalizada se calculan simultáneamente el autovalor dominante y un autovector asociado. 125

12 4.2 Aceleración de la convergencia.- La velocidad de convergencia del algoritmo depende, en el caso de un autovalor dominante, de la magnitud del cociente λ 2 λ 1, siendo mayor la velocidad cuanto menor sea el cociente. Un método para acelerar la convergencia es el método de la potencia trasladada que consiste en aplicar el método de la potencia a la matriz (A pi) en lugar de a la matriz A. Dado que los autovalores de (A pi) son λ i p, i = 1,..., n, se elige p de forma que λ 1 p sea el autovalor dominante y que el nuevo cociente λ 2 p sea mucho λ 1 p menor que el antiguo. De esta forma, el método de la potencia aplicado a la matriz (A pi) convergerá más rápidamente a λ 1 p. Finalmente, a partir de λ 1 p se determina λ 1. Ejemplo 3.- Supongamos A M 2 2 (R) con autovalores λ 1 = 14, λ 2 = 12 λ 2 = 12 λ 1 14 = Si tomamos p = 11 el autovalor dominante es λ 1 p. Entonces: λ 2 p = λ 1 p = 1 = <<

13 Por tanto, hay convergencia más rápida al autovalor dominante λ 1 p = 3 λ 1 = 3 + p = 14. Pero si tomamos p = 15 entonces el autovalor dominante pasa a ser λ 2 p. En este caso: λ 1 p 15 = 14 λ 2 p = 1 = << Por tanto, hay convergencia más rápida al autovalor dominante λ 2 p = 3 λ 2 = 3 + p = 12. Así pues, mediante una elección adecuada de p se puede obtener por el método de la potencia trasladada también el autovalor de menor módulo. Otra posibilidad para acelerar la convergencia del método de la potencia es utilizar el método de Aitken (ya explicado anteriormente) consistente en construir una nueva sucesión: wi k = uk i u k+2 i (u k+1 i ) 2 u k i 2u k+1 i + u k+2, k = 0, 1,... i Finalmente, si la matriz A es simétrica con autovalores λ 1 >... > λ n, se puede utilizar el método de Rayleigh. Para ello, dado un vector no nulo x R n, se define el cociente de Rayleigh de x como el número: ξ = xt Ax x t x. 127

14 x t Ax Dado que λ 1 = max, se prueba que la sucesión x 0 x t x {ξ k } construida mediante: ξ k = (uk ) t Au k = (uk ) t u k+1, k = 0, 1,... (u k ) t u k (u k ) t uk converge a λ 1 más rápidamente que la sucesión { uk+1 i u k }. i 4.3 Cálculo de autovalores intermedios: deflación.- Hemos visto que empleando el método de la potencia iterada podemos aproximar el autovalor dominante λ 1. Es natural preguntarse si se puede utilizar el conocimiento de λ 1 y de un autovector asociado p 1 para calcular el resto de los autovalores. Una clase de métodos, que utilizan esta información para transformar A en otra matriz donde se ha eliminado el autovalor dominante λ 1 sin variar el resto de los autovalores, son los llamados métodos de deflación, de los cuales veremos dos ejemplos: Método de Hotelling.- Si A es una matriz normal entonces el Teorema de Schur asegura que existe una base ortonormal de autovectores {p 1, p 2,..., p n }, esto es, tal que: p i p j = δ ij, i, j = 1,..., n. Se construye entonces la matriz: A 1 = A λ 1 p 1 p 1 128

15 que verifica: A 1 p j = 0, si j = 1, A 1 p j = λ j p j, si j 1. Por tanto, Sp(A 1 ) = {0, λ 2,..., λ n }. Aplicando el método de la potencia iterada a la matriz A 1 se obtiene su autovalor dominante, que es el autovalor intermedio λ 2. Método de transformación por semejanza.- Sea λ 1 autovalor de A con autovector asociado p 1. Sea H la matriz de Householder tal que Hp 1 = p 1 2 e 1. Entonces, teniendo en cuenta que H t = H 1 = H, se verifica: HAH 1 = c 0 B con B M (n 1) (n 1) tal que Sp(B) = {λ 2,..., λ n }. Aplicando el método de la potencia iterada a la matriz B se obtiene su autovalor dominante, que es el autovalor intermedio λ 2. λ El método de la potencia inversa.- Este método se utiliza para, dado un valor arbitrario q, calcular el autovalor de A más próximo a q. Supongamos que dicho autovalor es λ s, es decir: λ s q < λ i q, i s. 129

16 Entonces se tiene que: 1 λ s q > 1, i s. λ i q Dado que los autovalores de la matriz (A qi) 1 son 1 λ i q, i = 1,..., n, se tiene que 1 es el autovalor λ s q dominante de la matriz (A qi) 1. 1 Por tanto, para calcular basta aplicar el método λ s q de la potencia iterada a la matriz (A qi) 1. Entonces, eligiendo u 0 C n, se contruye la sucesión: u k+1 = (A qi) 1 u k, k = 0, 1,... Por lo visto anteriormente, si u 0 está adecuadamente elegido, existe, al menos, un índice i {1,..., n} tal que: u k+1 i lim k u k = 1 i λ s q = η. Finalmente, a partir de η se obtiene λ s : λ s = q + 1 η. Como es habitual, en cada iteración no se calcula la matriz inversa (A qi) 1 sino que se resuelve el S.E.L. (A qi)u k+1 = u k. Como la matriz del sistema es la misma en todas las iteraciones, es conveniente utilizar un método de factorización (por ejemplo, LU) para resolver el sistema, ya que dicha factorización se realiza una única vez. 130

17 Además, el método permite calcular un autovector asociado p, pues: (λ s q) k u k lim k λ s q k u k = p. Observación 5.- En el caso en que tanto λ s como q son reales, esta expresión coincide con la obtenida por el método de la potencia normalizada: lim k u k u k = p, uk lim k ( 1)k u k = p, (si λ s > q), (si λ s < q). 5 METODOS DE REDUCCION La idea fundamental de estos métodos consiste en transformar la matriz A en otra semejante (por lo tanto, con los mismos autovalores) para la cual sea más sencillo calcular el polinomio característico. Se estudiará un metodo de reducción a matrices más simples (Householder) y dos métodos para el cálculo del polinomio característico de las matrices simplificadas (Givens y Hyman). 131

18 5.1 El método de transformación de Householder.- El método transforma una matriz A cualquiera en otra semejante de tipo Hessenberg superior, esto es, con ceros por debajo de la subdiagonal: Dado que son matrices semejantes, sus polinomios característicos son iguales, y por tanto también lo son sus autovalores. Dada A M n n (R), se determinarán (n 2) matrices de Householder H 1,..., H n 2 (ortogonales y simétricas) tales que, partiendo de A 1 = A, cada una de las matrices: A k+1 = H 1 k A k H k = H k A k H k, k = 1,..., n 2, tenga ceros en la columna k-ésima por debajo de la subdiagonal. De esta forma, la matriz: A n 1 = H 1 n 2... H 1 1 AH 1... H n 2 = (H 1... H n 2 ) 1 A(H 1... H n 2 ) es de tipo Hessenberg superior y semejante a A. 132

19 Observación 6.- Si la matriz A es simétrica, entonces también lo son todas las matrices A k y, por tanto, A n 1 es una matriz tridiagonal simétrica, pues también tiene ceros por encima de la superdiagonal. El paso de la matriz A k a la matriz A k+1 se realiza de la siguiente manera: Se toma el vector a k R n k formado por los elementos de la columna k-ésima de A k a partir del subdiagonal (inclusive). Se elige la matriz de Householder H(ṽ k ) M (n k) (n k) (R) tal que H(ṽ k )a k = a k 2 e 1. Se construye entonces la nueva matriz de Householder: H k = I k 0 0 H(ṽ k ) = H(v k ), con v k = 0 ṽ k R n. Entonces la matriz A k+1 = H k A k H k tiene ceros en la columna k-ésima por debajo de la subdiagonal. Observación 7.- En la práctica no se calcula H k sino directamente el producto H k A k H k. Definiendo: w k = v k, v k 2 se tiene: q k = 2(I w k w t k)a k w k, p k = 2(I w k w t k)a t kw k, A k+1 = A k w k p t k q k w t k. 133

20 Además, si A es simétrica, entonces p k = q k, y por tanto: A k+1 = A k w k p t k (w k p t k) t. Todo lo anterior puede resumirse en los siguientes resultados: Teorema 5.- Dada una matriz A M n n (R), existe una matriz ortogonal H, producto de (n 2) matrices de Householder, tal que H t AH es de tipo Hessenberg superior. Corolario 2.- Dada una matriz A M n n (R) simétrica, existe una matriz ortogonal H, producto de (n 2) matrices de Householder, tal que H t AH es tridiagonal simétrica. 5.2 El método de Givens para matrices tridiagonales simétricas.- Sea la matriz tridiagonal simétrica: B = b 1 c 1 0 c 1 b 2 c 2 c b n 1 c n 1 0 c n 1 b n 134

21 Supondremos que todos los elementos subdiagonales verifican: c i 0, i = 1,..., n 1. (Si algún c i fuese nulo, se podría descomponer B en dos matrices en las condiciones anteriores). Denotaremos por B i, i = 1,..., n, la submatriz principal de B formada por sus primeras i filas e i columnas. Sean p i (λ), i = 0,..., n, los polinomios definidos por recurrencia: p 0 (λ) = 1, p 1 (λ) = b 1 λ, p i (λ) = (b i λ)p i 1 (λ) c 2 i 1 p i 2 (λ), i = 2,..., n. Se verifica entonces: Teorema 6.- p i (λ) = det(b i λi), i = 1,..., n. Además, si q i (λ) = ( 1) i p i (λ), i = 0, 1,..., n, entonces la sucesión {q n, q n 1,..., q 1, q 0 } es una sucesión de Sturm relativa al polinomio característico p n (λ) = det(b λi) y a cualquier intervalo. Por tanto, utilizando la sucesión de Sturm se pueden localizar y calcular las raíces de p n (λ), que son los autovalores de B, dentro del intervalo [ B, B ]. 135

22 5.3 El método de Hyman para matrices Hessenberg superior.- Sea B M n n (R) una matriz Hessenberg superior tal que todos sus elementos subdiagonales verifiquen: Consideremos la matriz: b i+1,i 0, i = 1,..., n 1. B λi = (p 1 p 2... p n ). Si k(λ) es un polinomio cuyos coeficientes dependen de B, el sistema lineal: (B λi) x = k(λ)e 1 se puede resolver de manera sencilla por sustitución retrógrada si elegimos arbitrariamente x n (por ej: x n = 1), dado que B λi sigue siendo Hessenberg superior. Si λ es una raíz de k(λ) entonces se tiene (B λi) x = 0, de modo que λ es un autovalor de B y x un autovector asociado. Por tanto k(λ) es, salvo un factor, el polinomio característico det(b λi). Tomando x n = 1 es fácil calcular det(b λi) en función de k(λ): (B λi) x = k(λ)e 1 x 1 p 1 + x 2 p x n 1 p n 1 + p n = k(λ)e 1 p n = k(λ)e 1 n 1 i=1 x i p i 136

23 Entonces: det(b λi) = det(p 1... p n 1 p n ) = det(p 1... p n 1 k(λ)e 1 n 1 i=1 = det(p 1... p n 1 k(λ)e 1 ) x i p i ) = b 11 λ b b 1,n 1 k(λ) b 21 b 22 λ... b 2,n 1 0 b b 3,n b n 1,n 2 b n 1,n 1 λ 0 0 b n,n 1 0 = ( 1) n+1 k(λ)b 21 b b n,n 1 A fin de calcular k(λ) el método más sencillo es resolver por sustitución retrógrada el sistema lineal: (b 11 λ)x 1 +b 12 x b 1n x n = k(λ) b 21 x 1 +(b 22 λ)x b 2n x n = 0 b 32 x b 3n x n = b n,n 1 x n 1 +(b nn λ)x n = 0 con x n =

24 Se tiene entonces el siguiente resultado: Teorema 7.- Sea B M n n (R) una matriz Hessenberg superior con todos sus elementos subdiagonales sean no nulos. Sea la sucesión de polinomios: x n (λ) = 1, x i (λ) = 1 b i+1,i [(b i+1,i+1 λ)x i+1 (λ) + b i+1,i+2 x i+2 (λ) Entonces: donde: b i+1,n x n (λ)], i = n 1, n 2, det(b λi) = ( 1) n+1 k(λ)b 21 b b n,n 1, k(λ) = (b 11 λ)x 1 (λ) + b 12 x 2 (λ) b 1n x n (λ). De esta forma se puede obtener k(λ) y aproximar sus raíces (los autovalores de B), por los métodos ya vistos para polinomios. 6 METODOS DE FACTORIZACION Son métodos basados en las factorizaciones ya estudiadas para la matriz A: la factorización LU y la QR, y que permiten calcular simultáneamente todos los autovalores de A. Estudiaremos los dos métodos mas simples: 138

25 6.1 El método LR (Rutishauser ).- Se basa en la factorización LU de una matriz. El algoritmo es como sigue: Sea A una matriz que admita factorización LU. Se toma A 1 = A y, a partir de la factorización LU de A k = L k R k, se construye A k+1 = R k L k. De esta la forma se tiene la sucesión de matrices {A k } todas semejantes a A: = L 1 k A k+1 = R k L k = L 1 k A k L k = L 1 1 A 1 L 1... L k = (L 1... L k ) 1 A(L 1... L k ). Teorema 8.- Sea A M n n (R) una matriz inversible con todos sus autovalores de módulo diferente: λ 1 > λ 2 >... > λ n > 0. Existe, al menos, una matriz inversible P tal que P 1 AP = diag(λ i ). Supongamos que las matrices P y P 1 admiten factorización LU. Entonces, la sucesión {A k } generada por el método LR converge a una matriz triangular superior. En particular: lim k) ii = λ i, k 1 i n, lim k) ij = 0, k 1 j < i n. 139

26 6.2 El método QR (Francis, Kublanovskaya ).- Se basa en la factorización QR de una matriz. El algoritmo es como sigue: Sea A una matriz cualquiera. Se toma A 1 = A y, a partir de la factorización QR de A k = Q k R k, se construye A k+1 = R k Q k. De esta la forma se tiene la sucesión de matrices {A k } todas semejantes a A: = Q 1 k A k+1 = R k Q k = Q 1 k A k Q k = Q 1 1 A 1 Q 1... Q k = (Q 1... Q k ) 1 A(Q 1... Q k ). Teorema 9.- Sea A M n n (R) una matriz inversible con todos sus autovalores de módulo diferente: λ 1 > λ 2 >... > λ n > 0. Existe, al menos, una matriz inversible P tal que P 1 AP = diag(λ i ). Supongamos que la matriz P 1 admite factorización LU. Entonces, la sucesión {A k } generada por el método QR verifica: lim (A k) ii = λ i, 1 i n, k lim (A k) ij = 0, 1 j < i n. k 140

27 Observación 8.- No se puede hablar en el caso del algoritmo QR de la convergencia de la sucesión {A k }, ya que no se puede asegurar la existencia de los límites: lim (A k) ij, 1 i < j n. k En cambio, si la matriz A es simétrica, también lo son todas las A k y, por tanto: lim k (A k ) ij = 0, 1 i < j n, esto es, la sucesión {A k } converge a la matriz diagonal de autovalores. (Esto último no se verifica para el algoritmo LR.) 141

28 . 142

Anexo 1: Demostraciones

Anexo 1: Demostraciones 75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:

Más detalles

TEMA 3: RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

TEMA 3: RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES Lino Alvarez - Aurea Martinez METODOS NUMERICOS TEMA 3: RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES Abordaremos en este tema la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales (por diferentes

Más detalles

Tema 3: Aplicaciones de la diagonalización

Tema 3: Aplicaciones de la diagonalización TEORÍA DE ÁLGEBRA II: Tema 3. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 3: Aplicaciones de la diagonalización 1 Ecuaciones en diferencias Estudiando la cría de conejos, Fibonacci llegó a las siguientes conclusiones:

Más detalles

Valores propios y vectores propios

Valores propios y vectores propios Capítulo 6 Valores propios y vectores propios En este capítulo investigaremos qué propiedades son intrínsecas a una matriz, o su aplicación lineal asociada. Como veremos, el hecho de que existen muchas

Más detalles

Vectores y Valores Propios

Vectores y Valores Propios Capítulo 11 Vectores y Valores Propios Las ideas de vector y valor propio constituyen conceptos centrales del álgebra lineal y resultan una valiosa herramienta en la solución de numerosos problemas de

Más detalles

Tema 3 Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Tema 3 Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Tema Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Índice Introducción 2 Método de Gauss 2 Resolución de sistemas triangulares 22 Triangulación por el método de Gauss 2 Variante Gauss-Jordan 24 Comentarios

Más detalles

TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES M. C. Roberto Rosales Flores INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TLAXCO Ingeniería en Logística M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

Más detalles

Diagonalización de matrices

Diagonalización de matrices diagonalizacion.nb Diagonalización de matrices Práctica de Álgebra Lineal, E.U.A.T., Grupos ºA y ºB, 2005 Algo de teoría Qué es diagonalizar una matriz? Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla

Más detalles

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN 4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos

Más detalles

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2.

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2. PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8.

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

MÉTODOS DIRECTOS PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES

MÉTODOS DIRECTOS PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES CAPÍTULO 4 EJERCICIOS RESUELTOS: MÉTODOS DIRECTOS PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES Ejercicios resueltos 1 1. Determine el número de operaciones aritméticas necesarias para calcular

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE GESTIÓN. Apuntes de. para la titulación de

ÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE GESTIÓN. Apuntes de. para la titulación de E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA Apuntes de ÁLGEBRA LINEAL para la titulación de INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE GESTIÓN Fco. Javier Cobos Gavala Amparo Osuna Lucena Rafael Robles Arias Beatriz Silva

Más detalles

FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES

FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES Eleonora Catsigeras 6 de mayo de 997 Notas para el curso de Análisis Matemático II Resumen Se enuncia sin demostración

Más detalles

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n. Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular

Más detalles

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) 2 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES

Más detalles

1. Examen 21/Junio/1994. Para la inversión de una matriz cuadrada A de orden n n, cuya inversa existe, se ha definido la siguiente iteración

1. Examen 21/Junio/1994. Para la inversión de una matriz cuadrada A de orden n n, cuya inversa existe, se ha definido la siguiente iteración CAPÍTULO 5 EJERCICIOS RESUELTOS: MÉTODOS ITERATIVOS PARA ECUACIONES LINEALES Ejercicios resueltos 1 1. Examen 21/Junio/1994. Para la inversión de una matriz cuadrada A de orden n n cuya inversa existe

Más detalles

Álgebra lineal y matricial

Álgebra lineal y matricial Capítulo Álgebra lineal y matricial.. Vectores y álgebra lineal Unconjuntodennúmerosreales(a,,a n )sepuederepresentar: como un punto en el espacio n-dimensional; como un vector con punto inicial el origen

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS 2 Í N D I C E CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN 2. ALGUNOS

Más detalles

Producto Interno y Ortogonalidad

Producto Interno y Ortogonalidad Producto Interno y Ortogonalidad Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 15 de octubre de 2009 Índice 8.1. Contexto................................................ 1 8.2. Introducción...............................................

Más detalles

Tema 6.- Autovalores y autovectores.

Tema 6.- Autovalores y autovectores. Ingeniería Civil. Matemáticas I. -3. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema 6.- Autovalores autovectores. 6..- Autovalores autovectores. Definición

Más detalles

3. Equivalencia y congruencia de matrices.

3. Equivalencia y congruencia de matrices. 3. Equivalencia y congruencia de matrices. 1 Transformaciones elementales. 1.1 Operaciones elementales de fila. Las operaciones elementales de fila son: 1. H ij : Permuta la fila i con la fila j. 2. H

Más detalles

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires Fascículo 2 Cursos de grado ISSN 1851-1317 Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri Álgebra Lineal Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 2008

Más detalles

Tema 7: Valores y vectores propios

Tema 7: Valores y vectores propios Tema 7: es y clausura s Espacios y Permutaciones es y clausura Una permutación p = {p 1, p 2,..., p n } de los números {1, 2,..., n} es una nueva ordenación de los elementos {1, 2,..., n}, es decir, un

Más detalles

Subespacios vectoriales en R n

Subespacios vectoriales en R n Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo

Más detalles

Formas bilineales y cuadráticas.

Formas bilineales y cuadráticas. Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas. 4.1. Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

Valores y vectores propios de una matriz. Juan-Miguel Gracia

Valores y vectores propios de una matriz. Juan-Miguel Gracia Juan-Miguel Gracia Índice 1 Valores propios 2 Polinomio característico 3 Independencia lineal 4 Valores propios simples 5 Diagonalización de matrices 2 / 28 B. Valores y vectores propios Definiciones.-

Más detalles

Transformaciones Lineales. Definiciones básicas de Transformaciones Lineales. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.

Transformaciones Lineales. Definiciones básicas de Transformaciones Lineales. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com. Transformaciones Lineales Definiciones básicas de Transformaciones Lineales wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 007-009 Contenido 1 Transformaciones Lineales 11 Núcleo e imagen

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices. Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones.

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones. Tema 4 Producto escalar En bachiller habéis visto los conceptos de producto escalar, longitud, distancia y perpendicularidad en R y R 3 En este tema del curso se generalizan estos conceptos a R n, junto

Más detalles

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R.

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. ALGEBRA LINEAL Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. SEGUNDO SEMESTRE 8 Índice general. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Introducción................................................ Conceptos

Más detalles

1. Ecuaciones no lineales

1. Ecuaciones no lineales 1. Ecuaciones no lineales 1.1 Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1 Dada la ecuación xe x 1 = 0, se pide: a) Estudiar gráficamente sus raíces reales y acotarlas. b) Aplicar el método de la bisección y acotar

Más detalles

Introducción al Álgebra Lineal

Introducción al Álgebra Lineal UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Introducción al Álgebra Lineal Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas, Venezuela Septiembre

Más detalles

6.1 Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada

6.1 Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada 6.Valores y Vectores Característicos 6. Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada El cálculo de los valores propios y de los vectores propios de una matriz simétrica tiene

Más detalles

Tema 3. Espacios vectoriales

Tema 3. Espacios vectoriales Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición

Más detalles

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Grado en Ingeniería Química Apuntes de Álgebra ( Curso 2014/15) Departamento de Matemática

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota

Más detalles

INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS

INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS El presente tema se dedicará al estudio de los conceptos de vectores y números complejos. Se comenzará con un pequeño estudio de los vectores del plano y sus propiedades

Más detalles

3.- DETERMINANTES. a 11 a 22 a 12 a 21

3.- DETERMINANTES. a 11 a 22 a 12 a 21 3.- DETERMINANTES. 3.1. -DEFINICIÓN Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama determinante de esta matriz (y se representa por A o deta al polinomio cuyos términos son todos los productos posibles

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene una solución. La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de

Más detalles

Análisis aplicado. Ax = b. Gradiente conjugado.

Análisis aplicado. Ax = b. Gradiente conjugado. José Luis Morales http://allman.rhon.itam.mx/ jmorales Departamento de Matemáticas. ITAM. 2009. Cuadráticas estrictamente convexas. φ(x) = 1 2 xt Ax b T x, A R n n minimizar φ(x) Ax = b. Cuadráticas estrictamente

Más detalles

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide: .- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y)

Más detalles

Matrices invertibles. La inversa de una matriz

Matrices invertibles. La inversa de una matriz Matrices invertibles. La inversa de una matriz Objetivos. Estudiar la definición y las propiedades básicas de la matriz inversa. Más adelante en este curso vamos a estudiar criterios de invertibilidad

Más detalles

Contenido. 1 Definiciones y propiedades. 2. Método de la potencia. 3. Método de la potencia inversa. 4. Método de la potencia inversa desplazada.

Contenido. 1 Definiciones y propiedades. 2. Método de la potencia. 3. Método de la potencia inversa. 4. Método de la potencia inversa desplazada. Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 7: Valores y vectores propios Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Abril 9 Versión 7 Contenido

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INTRODUCCIÓN En el presente documento se explican detalladamente dos importantes temas: 1. Descomposición LU. 2. Método de Gauss-Seidel. Se trata de dos importantes herramientas

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos iterativos

Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos iterativos Lección F Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos iterativos Los métodos iterativos tienen la desventaja de que no se pueden aplicar, por lo menos de forma elemental, a cualquier sistema de ecuaciones

Más detalles

Máster Universitario en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Introducción al Análisis Numérico

Máster Universitario en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Introducción al Análisis Numérico Máster Universitario en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Introducción al Análisis Numérico Departamento de Matemática Aplicada Universidad Granada Introducción El Cálculo o Análisis Numérico es

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL. x x1 n. θ y. 1 n x1 n ȳ1 n. Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V.

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL. x x1 n. θ y. 1 n x1 n ȳ1 n. Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V. Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL x x x1 n θ y y ȳ1 n 1 n x1 n ȳ1 n Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V. 2003 Algebra Lineal Carlos Arce S., William Castillo

Más detalles

Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales

Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 17 de julio de 2009 Índice 3.1. Introducción............................................... 1 3.2. Objetivos................................................

Más detalles

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu Análisis III Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en julio de 2001 2 Índice General 1 Continuidad en el espacio euclídeo 5 1.1 El espacio euclídeo R n...............................

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

Tema 3. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.

Tema 3. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Ingeniería Civil Matemáticas I -3 Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Tema 3 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 3- Matrices

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla.

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. ÁLGEBRA LINEAL Apuntes elaborados por Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009 Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. Índice general Tema 1. Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones

Más detalles

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos.

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Prof. D. Miguel Ángel García Hoyo. Septiembre de 2011 Dependencia lineal

Más detalles

1. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR

1. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR . INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR Calcular la inversa de una matriz regular es un trabajo bastante tedioso. A través de ejemplos se expondrán diferentes técnicas para calcular la matriz inversa de una matriz

Más detalles

Clasificación de métricas.

Clasificación de métricas. Clasificación de métricas. 1. El problema de clasificación. Como bien sabemos, el par formado por una métrica T 2 (esto es, un tensor 2-covariante simétrico) sobre un espacio vectorial E, (E, T 2 ), constituye

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

Matrices equivalentes. El método de Gauss

Matrices equivalentes. El método de Gauss Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar

Más detalles

21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES

21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES Aplicaciones lineales. Matriz de una aplicación lineal 2 2. APLICACIONES LINEALES. MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL El efecto que produce el cambio de coordenadas sobre una imagen situada en el plano sugiere

Más detalles

Una Aplicación del Cálculo Matricial a un Problema de Ingeniería

Una Aplicación del Cálculo Matricial a un Problema de Ingeniería Divulgaciones Matemáticas Vol. 9 No. 221, pp. 197 25 Una Aplicación del Cálculo Matricial a un Problema de Ingeniería An Application of Matrix Calculus to an Engineering Problem P. R. Almeida Benítez Dpto.

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Capítulo 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7.1. Introducción Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias,

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Ejercicio 1 Escribe las siguientes matrices en forma normal de Hermite: 2 4 3 1 2 3 2 4 3 1 2 3 1. 1 2 3 2. 2 1 1 3. 1 2 3 4. 2

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

Vectores Autorregresivos (VAR)

Vectores Autorregresivos (VAR) Vectores Autorregresivos (VAR) 1 Procesos estocasticos multivariados Y t = [Y 1t, Y 2t,, Y Nt ], t = 1, 2,..., T Estamos interesados en el comportamiento temporal de N variables simultaneamente. E(Y t

Más detalles

Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0.

Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0. NÚMEROS COMPLEJOS. INTRO. ( I ) Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0. Si bien esto no era un problema

Más detalles

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios Factorización de polinomios Polinomios Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma: px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n donde a 0, a 1, a,, a n1, a n son unos números, llamados coeficientes

Más detalles

Tema 11.- Autovalores y Autovectores.

Tema 11.- Autovalores y Autovectores. Álgebra 004-005 Ingenieros Industriales Departamento de Matemática Aplicada II Universidad de Sevilla Tema - Autovalores y Autovectores Definición, propiedades e interpretación geométrica La ecuación característica

Más detalles

Universidad Politécnica de Madrid

Universidad Politécnica de Madrid Universidad Politécnica de Madrid Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Minas Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos x r 1 x 1 x 2 = x * d 1 * d 1 f(x)=cte. r Resolución de sistemas

Más detalles

Matrices. Definiciones básicas de matrices. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx

Matrices. Definiciones básicas de matrices. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx Matrices Definiciones básicas de matrices wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 2007-2008 Contenido 1 Matrices 2 11 Matrices cuadradas 3 12 Matriz transpuesta 4 13 Matriz identidad

Más detalles

METODOLOGIA DE SUPERFICIES DE RESPUESTA. Esto se logra al determinar las condiciones óptimas de operación del sistema.

METODOLOGIA DE SUPERFICIES DE RESPUESTA. Esto se logra al determinar las condiciones óptimas de operación del sistema. 37 CAPITULO METODOLOGIA DE SUPERFICIES DE RESPUESTA En este capítulo hablaremos de qué es la Metodología de Superficies de Respuesta, su representación gráfica, el procedimiento a seguir hasta encontrar

Más detalles

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1 . ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el siguiente subconjunto de R 4 : S = {(x, x 2, x 3, x 4 )/x x 4 = 0 x 2 x 4 = x 3 a. Comprobar que S es subespacio vectorial de R 4. Para demostrar que S es un subespacio

Más detalles

Espacios generados, dependencia lineal y bases

Espacios generados, dependencia lineal y bases Espacios generados dependencia lineal y bases Departamento de Matemáticas CCIR/ITESM 14 de enero de 2011 Índice 14.1. Introducción............................................... 1 14.2. Espacio Generado............................................

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CAPÍTULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. Cálculo de ites. 3. Continuidad. 55 1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL. Muchos problemas geométricos y físicos

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

Tema 2 Resolución de Ecuaciones No Lineales

Tema 2 Resolución de Ecuaciones No Lineales Tema 2 Resolución de Ecuaciones No Lineales Índice 1. Introducción 2. Método de Bisección 2.1 Algoritmo del Método de Bisección 2.2 Análisis de Método de Bisección 3. Método de Regula-Falsi 3.1 Algoritmo

Más detalles

Algoritmo para resolver exactamente sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes enteros

Algoritmo para resolver exactamente sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes enteros Miscelánea Matemática 43 (2006) 7 132 SMM Algoritmo para resolver exactamente sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes enteros Daniel Gómez-García Facultad de Ingeniería Universidad Autónoma de

Más detalles

Factorizaciones de Cholesky, matrices definidas. semidefinidas positivas.

Factorizaciones de Cholesky, matrices definidas. semidefinidas positivas. Factorizaciones de Cholesky, matrices definidas y semidefinidas positivas Héctor Manuel Mora Escobar Universidad Central, Bogotá hectormora@yahoo.com Junio de 2011 1 Introducción Este documento presenta,

Más detalles

1. Resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas AX = B, donde 1 0,999 1,999 A = 1,999 . 0,999 1 1 0,999 A = . 0,999 1. AX = αo 1 + βo 2.

1. Resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas AX = B, donde 1 0,999 1,999 A = 1,999 . 0,999 1 1 0,999 A = . 0,999 1. AX = αo 1 + βo 2. Instituto de Matemática y Estadística Prof Ing Rafael Laguardia Facultad de Ingeniería Universidad de la República C1 y GAL1 anuales 2009 Trabajo: número de condición y SVD El objetivo de este trabajo

Más detalles

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es

Más detalles

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos Capítulo Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos. Espacio afín y espacio afín métrico Definición. El espacio afín (tridimensional) está constituido por los siguientes elementos. El espacio

Más detalles

Capítulo 9 Vectores en el espacio

Capítulo 9 Vectores en el espacio Capítulo 9 Vectores en el espacio Introducción El concepto de vector es muy amplio y su aplicación se evidencia en los diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un elemento de una

Más detalles

Cálculo científico y técnico con HP49g/49g+/48gII/50g Módulo 3: Aplicaciones Tema 3.7 Polinomio interpolador

Cálculo científico y técnico con HP49g/49g+/48gII/50g Módulo 3: Aplicaciones Tema 3.7 Polinomio interpolador Cálculo científico y técnico con HP49g/49g+/48gII/50g Módulo 3: Aplicaciones Tema 3.7 Polinomio interpolador Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería Manresa Universidad Politécnica

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea

Más detalles

Álgebra Lineal Ma1010

Álgebra Lineal Ma1010 Álgebra Lineal Ma1010 Mínimos Cuadrados Departamento de Matemáticas ITESM Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 1/34 En esta sección veremos cómo se trabaja un sistema inconsistente. Esta situación es

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Primeras definiciones Una aplicación lineal de un K-ev de salida E a un K-ev de llegada F es una aplicación f : E F tal que f(u + v) = f(u) + f(v) para todos u v E f(λ u) = λ f(u)

Más detalles

Conceptos Básicos de Algebra Lineal y Geometría Multidimensional. Alvaro Cofré Duvan Henao

Conceptos Básicos de Algebra Lineal y Geometría Multidimensional. Alvaro Cofré Duvan Henao Conceptos Básicos de Algebra Lineal y Geometría Multidimensional Alvaro Cofré Duvan Henao ii Índice general 1 Sistemas de ecuaciones lineales 1 11 El método de eliminación de Gauss 3 12 Determinantes 8

Más detalles

MATEMÁTICAS I. Licenciatura de Administración y Dirección de Empresas. Fernando Casas, María Vicenta Ferrer, Pura Vindel. Departament de Matemàtiques

MATEMÁTICAS I. Licenciatura de Administración y Dirección de Empresas. Fernando Casas, María Vicenta Ferrer, Pura Vindel. Departament de Matemàtiques MATEMÁTICAS I Licenciatura de Administración y Dirección de Empresas Fernando Casas, María Vicenta Ferrer, Pura Vindel Departament de Matemàtiques Universitat Jaume I 2 Estas notas constituyen el material

Más detalles

Matemáticas 2º BTO Aplicadas a las Ciencias Sociales

Matemáticas 2º BTO Aplicadas a las Ciencias Sociales Matemáticas 2º BTO Aplicadas a las Ciencias Sociales CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA DE JUNIO 2014 MÍNIMOS: No son contenidos mínimos los señalados como de ampliación. I. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) 1.1 Definiciones Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes respecto

Más detalles

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología Bachillerato º Matemáticas Ciencias y tecnología Índice Unidad 0 Números reales........................................... 7. Evolución histórica................................... 8. Números reales......................................

Más detalles