c. m a t e m á t i c a s

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1 Guí de mtemátics ingeníeris Universidd Tecnológic de Agusclientes c. m t e m á t i c s Guí de estudio Educción...nuestr visión hci el futuro Eloro: M en C Mónic González Rmírez

2 Guí de mtemátics ingeníeris INDICE PAG TEMA Unidd I Álger Reducción de términos semejntes 4 Multiplicción lgeric 4 División álgeric 7 Productos notles 8 Fctorizción Unidd II Clculo diferencil Introducción l derivd 8 Formuls de derivds 8 Ejemplos de derivds 0 Ejercicios de derivds Unidd III Clculo integrl Introducción l integrl 7 Formuls de integrles 8 Ejemplos de integrles 9 Métodos de integrción 0 Integrl definid 4 Ejercicios de repso 6 Aneos 9

3 Guí de mtemátics ingeníeris OBJETIVO GENERAL DE LA GUIA Qué el lumno recuerde los conceptos ásicos de álger, clculo diferencil y clculo integrl trvés de l solución de ejercicios prácticos, con el propósito de incrementr el provechmiento cdémico y disminuir l reproción de tods ls crrers, en los lumnos de nuevo ingreso de l Universidd Tecnológic de Agusclientes

4 Guí de mtemátics ingeníeris Unidd I Álger Ojetivo Generl Qué el lumno mnipule los conceptos elementles del lger pr l solución de ejercicios prácticos. Ojetivo Especifico Qué el lumno identifique los conceptos teóricos que dn el fundmento l álger REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Es un operción que tiene por ojeto convertir en un solo término (medinte sum o rest) dos o más términos semejntes. Ejemplifique con los siguientes: Ejercicios: ) (+) + (-4+) ) ( ) + ( ) c) ( ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) + ( ) f) (-cd 4 +6d +cd-) (-d +cd+) g) (-h +h k+5hk+) + (-5h k-hk+) h) (- 4 y 4 +6 y -6 +5y 5 +) (5 5 - y -5y 5 ) i) (7y 5-6y 4 +y -) + (6y 4-4y +6y +5) j) (9 5 c - 4 c 4-4 c 5 -) (7 4 c 4 + c 5 +4 c 6 -) Multiplicción de polinomios por monomios. Se multiplic el monomio por cd uno de los términos del polinomio, teniendo en cuent en cd cso l regl de los signos, y se seprn los productos prciles con sus propios signos. (Ley distriutiv de l multiplicción) 4

5 Guí de mtemátics ingeníeris Ejemplos: ( ) Multiplicr por 4 Tendremos: ( ) (4 )= (4 ) 6 (4 ) + 7 (4 ) = R Multiplicr los términos 4 L operción suele disponerse sí: R EJERCICIO Multiplicr.. 8 y y por por. 4 + por por 5. + por por m m n + 7n por 4m 8. 4 y + 6y por y por 4 m m m 0. m + por (4) Multiplicr y y + y por 9 y por y y y y + y y. R y 6 5

6 Guí de mtemátics ingeníeris Multiplicción de polinomios Pr multiplicr dos polinomios, es fctile comodr los mismos en dos renglones, multiplicndo el polinomio superior por cd uno de los términos del polinomio inferior. Los términos semejntes otenidos en el producto se comodn en un sol column de mner que l dición se fcilite. Ejemplo: Multiplicr: Acomodndo: ( - + ) por ( -) - + EJERCICIO Resp Multiplicr:. + y + y por -y por por por por m 4 +m n +n 4 por m -n por y +5-6y por y +. 6

7 Guí de mtemátics ingeníeris por 4 5. División lgeric: L división es un operción que tiene por ojeto, ddo el producto de dos fctores (dividendo) y uno de los fctores (divisor), hllr el otro fctor (cociente) DIVISION DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO Se divide cd uno de los términos del polinomio por el monomio seprndo los cocientes prciles con sus propios signos. Est es l ley distriutiv de l división. Ejemplos: ) Dividir entre = + = + R ) Dividir m m m entre 4 = + + = m m m m m m m m m R Ejercicios: Dividir ) entre = - ) 4 5 y entre = -y + 5 ) entre = ) entre = - 4 +

8 Guí de mtemátics ingeníeris 5) 6) 7) entre 6m + mn = 5 5-8m n 0 entre m entre 5 = -m + 4mn -0n = 4-4 8) entre 5 = ) 0) m n 0m n 0m n entre + m entre = - + m- m = 4m 7 n 5m 5 n 4 0 m n 6 PRODUCTOS NOTABLES Ojetivo especifico: Qué el lumno relice productos notles trvés de procedimientos lgericos pr l solución de ejercicios prácticos. PRODUCTOS NOTABLES Se llm productos ciertos productos que cumplen regls fijs y cuyo resultdo puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificr l multiplicción. BINOMIOS AL CUADRADO Elevr el cudrdo + equivle multiplicr este inomio por si mismo y tendremos: (+) = + + Luego, el cudrdo de l sum de dos cntiddes es igul l cudrdo de l primer cntidd más el dole de l primer cntidd por l segund, ms el cudrdo de l segund cntidd. Cudrdo de un monomio: 4 ( 4 ) = 4 4 = 6. R ( 5 y z ) 5 y z = R 8

9 Guí de mtemátics ingeníeris Ejemplos cudrdo de un inomio: ) Desrrollr (+4) Cudrdo del primero. Dole producto del primero por el segundo 4 = 8 Cudrdo del segundo. 6 Así. ( + 4) = R ) Desrrollr (4+5 ) Cudrdo del primero. 6 Dole producto del primero por el segundo 4 5 = 40 Cudrdo del segundo Así. ( ) ) Desrrollr (7 4 +9y 5 ) ( 7 9y ) = y + 8y = R +. R Desrrollr. (m + ) 6. ( + y). (4m 5 + 5n 6 ). (5 + ) 7. ( + ). ( ). (6 + ) 8. ( + y). (4 + 5y ) 4. (9 + 4m) 9. ( + y ) 4. (8 y + 9m ) 5. (7 +) 0. ( ) 5. ( 0 + 0y ) CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES Elevr ( ) l cudrdo equivle multiplicr est diferenci por si mism: ( ) = ( ) ( ) = - + Por lo que el cudrdo de l diferenci de dos cntiddes es igul l cudrdo de l primer cntidd menos el duplo de l primer cntidd por l segund más el cudrdo de l segund cntidd. Desrrollr: 9

10 Guí de mtemátics ingeníeris. ( ) 5. (4- ) 9. ( 5 - y ). ( m - y ). ( 7) 6. ( - ) 0. ( ) 4. ( - ). (9 ) 7. ( 4-5 ). (m n) 4. ( ) 8. ( -). (0 5-9y) PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (BINOMIOS CONJUGADOS) Se el producto de ( + ) ( ), que el efectur l multiplicción se tiene: o se ( + ) ( ) = - Luego el producto de dos inomios conjugdos es igul l cudrdo del minuendo (en l diferenci) menos el cudrdo del sustrendo (Cudrdo de l primer cntidd, menos el cudrdo de l segund). EJERCICIO Escriir por simple inspección el resultdo de:. ( + y) ( y) 6. (n-) (n + ). ( 8y)( + 8y). (m n) (m + n) 7. ( ) (+). (6 -m ) (6 +m ). ( ) ( + ) 8. (m+9)(m-9). ( + ) ( ) 4. ( + ) ( - ) 9. ( - )( + ) 4. ( - 5y) ( + 5y) 5. (- ) (+) 0. (y - y) (y + y) 5. ( - ) ( + ) CUBO DE UN BINOMIO El cuo de l sum de dos cntiddes es igul l cuo de l primer cntidd más el triple del cudrdo de l primer por l segund, más el triple de l primer por el cudrdo de l segund, más el cuo de l segund. 0

11 Guí de mtemátics ingeníeris ( + ) = Pr el cuo de l diferenci de dos cntiddes tenemos ( ) = EJEMPLO ( ) Desrrollr ( + ) ( + ) = + ( ) + ( ) + = R. ( ) Desrrollr ( ) ( ) = - ( ) + ( )-() = R. () Desrrollr (4 + 5) (4 + 5) = (4) + (4) (5) + (4)(5 )+5 = R. (4) Desrrollr ( - y) ( -y) = ( ) -( ) (y) + (y) - (y) = y+7 y - 7y. R EJERCICIO Desrrollr:. (+) 4. (n-4) 7. ( + y ) 0. ( -). ( ) 5. (+) 8. ( n). (+y). (m + ) 6. (-y) 9. (4n+). (- ) Ojetivo específico Qué el lumno resuelv ejercicios de fctorizción trvés de procedimientos lgericos. FACTORIZACIÓN Fctores Se llm fctores o divisores de un epresión Algeric ls epresiones lgerics que multiplicds entre sí dn como producto l primer epresión Así multiplicndo por (+) tenemos: ( +) = +

12 Guí de mtemátics ingeníeris y + que multiplicds si dn como producto +, son fctores o divisores de + Descomponer en fctores. Fctorizr un epresión lgeric es convertirl en el producto indicdo de sus fctores. Fctorizr 90 signific escriirlo como un producto de números menores sí 90 = ***5 De mner similr fctorizr un polinomio signific escriirlo como un producto de polinomios más simples. FACTORIZAR POR FACTOR COMÚN y +0y -5y y y-68y mn +44n REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Se etre l ríz cudrd l primero y tercer términos del trinomio y se seprn ests ríces por el signo del segundo término. El inomio sí formdo, que es l ríz cudrd del trinomio, se multiplic por sí mismo o se elev l cudrdo. Ejemplos: () Fctorr m + m + m + m + = (m + ) (m + ) = (m + ) m + R. () Descomponer 4 + 5y -0 y Ordenndo el trinomio, tenemos: 4-0y + 5y = ( 5y) ( 5y) = ( 5y). R 5y

13 Guí de mtemátics ingeníeris (4) Fctorr IMPORTANTE Culquier de ls dos ríces puede ponerse de minuendo. Así en el ejemplo nterior se tendrá tmién: 4-0y +5y = (5 y ) (5y )= (5y ) Porque desrrollndo este inomio se tiene: (5y -) = 5y -0y + 4 Epresión idéntic 4-0y +5y y que tiene ls misms cntiddes con los mismos signos. () Descomponer = ( 8 ) = (8 -) R. Este trinomio es cudrdo perfecto: Ríz cudrd de = ; ríz cudrd de ests ríces: () (X) = luego: = + = R. 4 = y el dole producto de (5) Fctorr Es cudrdo perfecto porque: Ríz cudrd de = ; ríz cudrd de 4 9 = y = luego: - + = 4 9 Ejercicios: Fctorr o descomponer en dos fctores y+49 4 y m 6-70m m 4 4. y y y y m +44m m + m

14 (5) Fctorr =( + ) ( - ) R. Guí de mtemátics ingeníeris y + 9y y y + 6 Fctorizción de un diferenci de cudrdos. En los productos notles se vio que l sum de dos cntiddes multiplicds por su diferenci es igul l cudrdo del minuendo menos el cudrdo del sustrendo. Esto es: ( + ) (- ) = - Luego pr fctorizr un diferenci de cudrdos, se etre l ríz cudrd l minuendo y luego l sustrendo y se multiplic l sum de ests ríces cudrds por l diferenci entre l ríz del minuendo y l del sustrendo. Ejemplos. () Fctorizr - L ríz cudrd de es ; l ríz cudrd de es. multiplico l sum de ests ríces ( + ) por l diferenci ( ) y tendremos: () Descomponer 6-5y 4 - = ( + ) ( ) R. L ríz cudrd de 6 es 4; l ríz cudrd de 5y 4 es 5y Multiplico l sum de ests ríces (4 + 5y ) por su diferenci (4 5y ) y tendremos: () Fcturr 49 y 6 z y 4 = (4 + 5y ) (4 5y ) R. 49 y 6 z 0-0 = (7y z ) (7y z 5-5 ) R. (4) Descomponer L ríz cudrd de 4 es y l ríz cudrd de = es R. Tendremos: 4

15 Guí de mtemátics ingeníeris EJERCICIO Fctorizr o descomponer en dos fctores:. - y 8. - y y m n 4-69y m 4 n m. 4-8y y 4-5z n m y Fctorizción de Trinomios de l Form + + c. Son trinomios que cumplen con ls condiciones siguientes:. El coeficiente del primer término es. El primer término es un letr culquier elevd l cudrdo.. El segundo término tiene l mism letr que el primero con eponente y su coeficiente es un cntidd culquier, positiv o negtiv. 4. El tercer término es independiente de l letr que prece en el y términos y es un cntidd culquier, positiv o negtiv. Regl pr fctorizr un trinomio de l form + + c. ) El trinomio se descompone en dos fctores inomios cuyo primer término es, o se l ríz cudrd del primer término del trinomio. ) En el primer fctor, después de se escrie el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo fctor, después de se escrie el signo que result de multiplicr el signo del término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio. ) Si los dos fctores inomios tienen en el medio signos igules se uscn dos números cuy sum se el vlor soluto del segundo término del trinomio y cuyo producto se el vlor soluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los inomios. 4) Si los dos fctores inomios tienen en el medio signos distintos se uscn dos números cuy diferenci se el vlor soluto del segundo término del trinomio y cuyo producto se el vlor soluto del tercer término del trinomio. El myor de estos números es el segundo término del primer inomio, y el menor, el segundo término del segundo inomio. Est regl práctic, muy sencill en su plicción, se clrrá con los siguientes ejemplos: Ejemplos () Fctorizr Χ +5 Χ +6 El trinomio se descompone en dos inomios cuyo primer término es l ríz cudrd de Χ o se X: 5

16 Guí de mtemátics ingeníeris X ( ) ( ) En el primer inomio después de se pone signo + porque el segundo término del Trinomio +5 tiene signo +. El segundo inomio, después de, se escrie el signo que result de multiplicr el signo de + 5 por el signo de +6 y se tiene que + por + d + 0 se: X ( + ) ( + ) Ahor, como en estos inomios tenemos signos igules uscmos dos números que cuy sum se 5 y cuyo producto se 6. Esos números son y, luego: () Fctorizr X X = ( + ) ( + ) Tendremos: X ( - ) ( - ) En el primer inomio se pone porque -7 tiene signo -. En el segundo inomio se pone porque multiplicndo el signo de 7 por el signo de + se tiene que: - por + d -. Ahor, como en los inomios tenemos signos igules uscmos dos números cuy sum se 7 y cuyo producto se. Estos números son y 4, luego: ) Fctorizr + 5 X = ( ) ( 4) Tenemos: + 5 = ( + ) ( - ) En el primer inomio se pone + porque + tiene signo +. En el segundo inomio se pone porque multiplicndo el signo de + por el signo de - 5 se tiene que + por d -. Ahor como en los inomios tenemos signos distintos, uscmos dos números cuy diferenci se y cuyo producto se 5. Estos números son 5 y. El myor 5, se escrie en el primer inomio y tendremos: 4) Fctorizr 5 4 ( + 5)( ) + 5 = Tenemos: 5 4 = ( - ) ( + ) En el primer inomio se pone - porque -5 tiene signo -. En el segundo inomio se pone + porque multiplicndo el signo de -5 por el signo de - 4 se tiene que - por d +. Ahor como en los inomios tenemos signos distintos, uscmos dos números cuy diferenci se 5 y cuyo producto se 4. 6

17 Guí de mtemátics ingeníeris Estos números son 7 y. El myor 7, se escrie en el primer inomio y tendremos: 5 4 = 7 + ( )( ) 5) Fctorizr + 40 Tenemos: + 40 = ( - 5 ) ( - 8 ) 6) Fctorizr m m Tenemos: m m = ( m - ) ( m + ) 7) Fctorizr n + 8n 9 Tenemos: n + 8n 9 = ( n + 9 ) ( n - ) 8) Fctorizr Tenemos: = ( + ) ( - ) Necesitmos números cuy diferenci se 6 y cuyo producto se 6. Estos números no se ven fácilmente. Pr hllrlos descomponemos en sus fctores primos el tercer término. Ahor formmos con estos fctores primos dos productos. Por tnteo, vrindo los fctores de cd producto, otendremos los dos números que uscmos. Así: =8 =7 7-8=9, no nos sirve =4 =9 4-9=5, no nos sirve = =8 8-=6, sirven 8 y son los números que uscmos porque su diferenci es 6 y su producto necesrimente es 6 y que pr otener estos números hemos empledo todos los fctores que otuvimos en l descomposición de 6. Por tnto: = ( + 8)( ) EJERCICIOS: Fctorr o descomponer en dos fctores m + 5m 4 7. y 9y c + 5c 4 7

18 Guí de mtemátics ingeníeris Unidd II Cálculo Diferencil Ojetivo Generl Qué el lumno mnipule los conceptos elementles de clculo diferencil pr l solución de ejercicios prácticos. Ojetivo prticulr Qué el lumno dquier los conocimientos de clculo diferencil que le permitn relcionr. interpretr y nlizr informción DERIVADAS Geométricmente, l derivd de un función en un punto es el vlor de l pendiente de l rect tngente en dicho punto. L pendiente está dd por l tngente del ángulo que form l rect tngente l curv (función) con el eje de ls ciss, en ese punto. L derivd de un función mide el coeficiente de vrición de dich función. Es decir, provee un formulción mtemátic de l noción del coeficiente de cmio. El coeficiente de cmio indic lo rápido que crece (o decrece) un función en un punto (rzón de cmio promedio) respecto del eje de un plno crtesino de dos dimensiones. Por ejemplo si tommos l velocidd de lgo, su coeficiente es l celerción, l cul mide cuánto cmi l velocidd en un tiempo ddo. 8

19 Guí de mtemátics ingeníeris L derivd de un función en un punto mide, por tnto, l pendiente de l tngente función en dicho punto. Nos v servir pr estudir el crecimiento o decrecimiento de un función o l concvidd o conveidd de l mism en los diferentes intervlos en los que se puede descomponer su cmpo de eistenci. Forms de representr l derivd: dy d,, y, d d f (), D En todos csos se lee Derivd de y con respecto Formuls pr l derivción: Funciones lgerics ) Derivd de un constnte c d c = 0 d ) Derivd de con respecto d = d ) Derivd constnte por vrile d d cv = c v d d 4) Derivd de elevd un número d n n = n d 5) Derivd de un constnte multiplicd por n d n n c = c( n ) d 6) Derivd de un sum lgeric d d d d ( u + v w) = u + v w d d d d Donde u, v y w son funciones de 9

20 Guí de mtemátics ingeníeris 7) Regl de l cden d n n d u = nu u d d 8) Derivd del producto de funciones d d d ( uv) = u v + v u d d d 9) derivd del cociente de funciones d d v u = v d d u u v d d v Derivds de funciones Trscendentes Tipos: ) Trigonométrics ) Eponenciles e u, u c) Logrítmics ( log, ln ) Formuls de Funciones trigonometrics d d ) senv = cos v v d d d d ) cos v = senv v d d ) d d tgv = sec v v d d 4) d d ctgv = csc v v d d d d 5) sec v = secvtgv v d d d d 6) cscv = cscvctgv v d d 0

21 Guí de mtemátics ingeníeris Formuls de funciones eponenciles Eponencil f () = e f () = e dv d Logritmics F() = v F() = logv f () = dv f () = v In d log e v dv Fc = Inv f () = v d dv d EJERCICIOS PRACTICOS Derivds de un constnte Ejercicio nº ) Sol: Ejercicio nº ) Sol: Ejercicio nº ) Sol:

22 Guí de mtemátics ingeníeris Derivds de X n Ejercicio nº ) Sol: Ejercicio nº ) Sol: Ejercicio nº ) Sol: Derivd de un constnte por función Ejercicio nº ) Sol: Ejercicio nº ) Sol: Ejercicio nº ) Sol: Ejercicio nº 4) Sol:

23 Guí de mtemátics ingeníeris DERIVADAS DE SUMAS Y RESTAS Ejercicio nº ) Sol: Ejercicio nº ) Sol: Ejercicio nº ) Sol: Ejercicio nº 4) Sol: DERIVADAS DE PRODUCTOS Ejercicio nº ) Solución: Ejercicio nº ) Solución: Ejercicio nº )

24 Guí de mtemátics ingeníeris Solución: Ejercicio nº 4) Solución: DERIVADAS DE COCIENTES Ejercicio nº ) Solución: Ejercicio nº ) Solución: Ejercicio nº ) Solución: Ejercicio nº 4) 4

25 Guí de mtemátics ingeníeris Solución: Ejercicio nº 5) Solución: DERIVADAS TRASCENDENTES Ejercicio nº Sol: Ejercicio nº ) Sol: Ejercicio nº ) Sol: Ejercicio nº 4) Ejercicio nº 5) 5

26 Guí de mtemátics ingeníeris Ejercicios. Derivr y = Derivr y = + 6. Derivr y = Derivr y = ln( ) 5. Derivr y = ( + ) 6. Derivr f ( ) = Derivr y = tg 8. Derivr f ( ) = sen 9. Derivr y = cos 0. Derivr f()= e 6

27 Guí de mtemátics ingeníeris UNIDAD III CALCULO INTEGRAL OBJETIVO GENERAL Que el lumno plique el cálculo integrl prolems relciondos con su especilidd. OBJETIVO PARTICULAR.-Qué el lumno dquier los conocimientos de clculo integrl que le permitn relcion interpretr y nlizr informción. INTRODUCCIÓN Los prerrequisitos necesrios o ásicos pr estudir el cálculo integrl son : Álger, Trigonometrí y desde luego Cálculo Diferencil. El tem del Cálculo Integrl es stnte mplio, sí que el presente mteril no pretende ser ehustivo l respecto; sin emrgo sí pretende orientr. En est unidd se trtn los conceptos ásicos del cálculo integrl, rcndo desde el concepto de integrl, integrles indefinids, integrles inmedits y métodos de integrción y l solución de diversos csos plicndo formuls. 7

28 Guí de mtemátics ingeníeris Técnics de integrción, estudi l estructur lgeric de ls integrles y de cuerdo ell define l técnic que permite su solución. El Concepto de Integrl definid, nos d el cercmiento ls integrles evluds numéricmente entre límites predetermindos y sus propieddes. El Concepto de Aplicciones de l integrl, present un serie de conceptos físicos y mtemáticos que se pueden resolver medinte integrles. L estructur de est unidd es que contiene pr cd tem y sutems los ojetivos de prendizje que se desen logrr, un introducción reve, desrrollo de ejemplos, ejercicios pr práctics. Formuls de integrción v = f () ) d = + C ) kd = k + C ) kvdv k 4) ( u v) = vdv ud ± ± d = vd 0) cos vdv = senv + C = + C ) tgvdv ln [ senv] = + C ) ctgvdv ln [ senv] = + C ) secvdv ln[ sec v + tgv] n+ n 5) d = + C n + n+ n v 6) v dv = + C n + dv 7) = ln v + C v v v 8) e dv = e + C 9) senvdv = cos v + C 8

29 9 Guí de Mtemátics Ingenierís Ejemplos de integrles sencills: ) Integrr d n+ n n d = + C = d = = = + 4 ) Otener l integrl de: d n+ n 4 d = + C = d = n + 4 ) Integrr ( 5 6) C + d = 4 = 4 = C + d Formuls n+ n ( u + v + w) d = udu + vdv + wdw, d = + C, n + kd = k + C kvdv = k vdv, ( 5 + 6) d = d 5 d + 6 d = = d 4) Clcule l integrl de: + dv L formul empler es: = ln v + C, nlizndo tenemos que v = +, derivmos v dv v con el ojetivo de que dv se igul l numerdor, es decir dv = d = d dv despejndo dv pr que se igul d qued: = d l formul originl h sido modificd dv dv dv d ( ) C v = = = = + + v v ln + d 5) Integrr e C 9

30 0 Guí de Mtemátics Ingenierís v v L formul empler es: e dv = e + C, nlizndo tenemos que d dv v = = derivmos v con el ojetivo de que dv se igul dv = = d despejndo dv pr que se igul d d qued: dv = l formul originl h sido modificd v v d e dv = e dv = e = e + C METODO DE INEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÒN Uno de los métodos ms usules pr resolver ls integrles es de l sustitución, relizdo cundo se cmi un vrile pr regresr l integrl originl. Este es un método principlmente usdo cundo es difícil reconocer l integrción de mner inmedit pero que prece intuitivo que se prece un y conocid, en ocsiones tmién es un uen recurso cundo el estudinte que inici en el estudio de l solución de integrles un le result difícil reconocer ls fórmuls. El método de integrción por sustitución se s en relizr un reemplzo de vriles decudo que permit convertir el integrndo en lgo sencillo con un integrl o ntiderivd simple. OBJETIVO Que el lumno result integrles inmedits trvés del método de integrción por sustitución pr l solución de ejemplos prácticos Ejemplos:. hciendo oservmos que por lo que integrremos en relidd 0

31 Guí de Mtemátics Ingenierís como podemos etrer ls constntes de l integrl tendremos: que regresndo l sustitución inicil tenemos: INTEGRAL POR PARTES OBJETIVO Que el lumno result integrles inmedits trvés del método de integrción por prtes pr l solución de ejemplos prácticos L fórmul de integrción por prtes: EJEMPLOS.-.-

32 Guí de Mtemátics Ingenierís

33 Guí de Mtemátics Ingenierís INTEGRAL DEFINIDA INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÒN L integrl definid se puede epresr de l siguiente mner: f ( ) d = F( ) F( ) Pr clculr un integrl definid, primero se integr l función dd, después se sustituye el vlor del limite superior de integrción () lo cul se le rest el vlor del limite inferior de l integrción (). Pr clculr el áre jo un curv (interpretción geométric de l integrl definid) Result práctico clculr el áre de un rectángulo en ciertos intervlos definidos, hn queddo lguns áres sin llenr y lgunos rectángulos hn sore psdo el mrgen de l curv Oservmos que el áre del rectángulo de ldo y f( ) est descrit como: Teorem: Si un función f es continu en el intervlo [,], entonces

34 4 Guí de Mtemátics Ingenierís donde F es culquier función tl que F () = f() pr todo en [,]. L función f se llm el integrndo y ls constntes y son los límites de integrción. El proceso de hllr el vlor de un integrción definid se llm evlur el integrl. Teorem: cundo c es un constnte. Propieddes de integrción: donde k es un constnte donde <c< 4

35 5 Guí de Mtemátics Ingenierís OBJETIVO Que el lumno result integrles inmedits trvés del método de integrción definid pr l solución de ejemplos prácticos Ejemplos de integrles definids: Ejemplo: ) Integrr 4 d 4 + d = + 4 = 4 (4) = () = 64 = 6 = ) Clculr l integrl de: ( ) d + + () ( ) d = d d = = = ( ) () = = 5

36 6 Guí de Mtemátics Ingenierís I ) Ejercicios de repso + ) Integrr ( ) d ) Integrr 4 ) Integrr d + d + 4) Integrr ( 8 u) du + + d 5) Integrr ( + ) d 6) Integrr 7) Integrr sen d 8) Integrr π 0 send 9) Integrr ( 4 + ) d π 4 + d 0) Integrr ( Sen ) 0 6

37 7 Guí de Mtemátics Ingenierís II.-INTEGRAL POR PARTES ln d cos e d Send d III.-INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN 4 5 ( 9) d + ( + ) 4 d u du ( 4 ) + d ( 4 ) d + 7

38 8 Guí de Mtemátics Ingenierís A N E X O S 8

39 9 Guí de Mtemátics Ingenierís TRIGONOMETRIA Logritmo Es el eponente el que hy que elevr otro número llmndo se pr otener un número determindo. Clses de logritmo: log = Se conocen como logritmos se diez, o logritmos comunes o, de Briggs. In = Se conocen como logritmos se e, o, logritmos nturles, o, de Neper (logritmos neperinos, donde e =.788.) L relción entre ellos es que sus vlores epresn cntiddes muy grndes en vlores muy pequeños Propieddes: ) En todo sistem el logritmo de es 0 ) El logritmo de l se es (log 0 = In e = ) c) Los números myores que uno tienen logritmo positivo, y los números menores que uno logritmo negtivo d) El logritmo de un producto, es l sum de los logritmos de cd fctor: Log (AB) = loga + log B ; In A + In B e) El logritmo de un cociente, es l diferenci del logritmo del numerdor y el logritmo de denomindor: log (A/B) = log A logb ; InA In B f) El logritmo de un potenci es igul l potenci por el logritmo de l se: Log A m = m log A ; In A m = m In A g) El logritmo de un ríz n-esim es igul l logritmo del rdicl entre el suíndice de rdicl: Log n A = log In n A = n El ángulo Es un figur por dos semirrects que prten desde un mismo punto. A ls línes, se les llm ldos del ángulo y su punto de intersección, vértice. Un ángulo se form con l rotción de un semi-rect que gir sore un plno y d origen un ldo inicil y un ldo finl. vértice ldo inicil InA n ldos del ángulo ldo finl 9

40 40 Guí de Mtemátics Ingenierís Medids de los ángulos Los ángulos se miden en grdos segesiml y result de dividir un circunferenci en 60 0.El grdo se mide en minutos y segundos: grdo = º = 60 min = 60 min = = 60 seg = 60 seg = º = 600 eisten dos forms de representr el vlor de un ángulo en el sistem segesiml ) En grdos, minutos y segundos ejemplo 45 0 ) Form deciml emple grdos y frcciones de grdo ejemplo 45.5 Sum de ángulos interiores de un Triángulo y de un cudrilátero Dependiendo de los ldos que presente culquier polígono (triángulos, cudriláteros, pentágonos etc.) será l mism cntidd de ángulos interiores que estos presentrán. Ejemplo: Triángulo: ldos, present ángulos interiores L fórmul generl pr otener l sum de los ángulos interiores de un polígono, es l Siguiente. 80 (No. ldos ) Así tenemos que: A B C Triángulo 80 (-) Sum de ángulos interiores = 80 Cudrilátero 80 (4-) 80 () Sum de los ángulos interiores = 60 Ángulos eteriores de un triángulo Son los ángulos dycentes los interiores, otenidos prolongdo los ldos de un mismo sentido. A C B 40

41 4 Guí de Mtemátics Ingenierís Triángulos. Teorem de Pitágors Este teorem se plic triángulo rectángulos (que tienen un ángulo recto los ldos que formn este ángulo se les llm ctetos y el otro ldo, recie el nomre de hipotenus). El teorem de Pitágors dice lo siguiente: L sum de los cudrdos de los ctetos es igul l cudrdo de l hipotenus y se represent sí: h, = ctetos h=c= hipotenus c= + FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Cos = Sen = ctetodycente c = hipotenus h ctetoopuesto = hipotenus c.o h Tn = ctetoopuesto ctetodycente co = c 4

42 4 Guí de Mtemátics Ingenierís ESTADISTICA ESTADISTICA: es un cienci que tiene por ojeto recopilr, orgnizr, nlizr e interpretr los dtos numéricos. Polción: Se llm sí un conjunto de individuos u ojetos cerc del cul se requiere ser lgo; por ejemplo: Los lumnos de un slón de clses Ls sills de ese mismo slón de clses Los peces de un lgun, etc. Cundo sólo nos interes estudir prte de un polción estmos hlndo de un muestr. L cul se define como l prte representtiv de dich polción. Frecuenci solut es l que se refiere l número de veces que se repite un dto numérico En l siguiente tl se indicn los resultdos de un encuest relizd 50 persons pr ser el color de su preferenci Color Frecuenci Rojo 0 Verde 9 Azul 5 Amrillo 0 Ros 6 Totl 50 Frecuenci Reltiv result de dividir l frecuenci solut entre el totl. Por ejemplo, l frecuenci reltiv del color rojo y zul respectivmente es: Rojo = 0 / 50 = 0. y Azul = 5 / 50 = 0. 4

43 4 Guí de Mtemátics Ingenierís Como se puede oservr, l frecuenci reltiv se puede epresr en frcción, deciml o cociente. Los dtos de un tl de distriución de frecuencis se pueden representr gráficmente en un gráfic de rrs, Histogrm, polígono de frecuencis o gráfic circulr o de pstel. Not: Como se puede ver, l frecuenci reltiv se puede epresr en frcción, deciml o cociente. Gráfic de rrs: se construyen pr distriuciones cuyos grupos son clses que no gurdn relciones cuntittivs (de cntidd), demás de ser uno de los mejores pr relizr comprciones de dtos estdísticos. En el eje horizontl y en el eje verticl ls frecuencis de los mismos. Ls rrs son rectángulos de igul se y ltur proporcion l frecuenci, demás de que se seprn l mism distnci un de otr. Histogrm: Consiste en un digrm de rrs verticles que vn unids, deido que se tomn ls fronters o límites verdderos de los intervlos de clse. Pr diujrse elige l vrile (es un crcterístic de los sujetos de l polción) que se quiere representr y se gráfic en el eje horizontl, en el eje verticl se coloc l frecuenci. Polígono de frecuencis: frecuencis: Un distriución Frecuenci de frecuencis puede tmién representrse medinte est gráfic. Se construye uniendo los puntos medios de ls prtes superiores de ls rrs de histogrm por medio de segmentos de rect. Gráfic Circulr (de pstel o de Sectores) Se us sólo con dtos cuntittivos. En est se clcul el porcentje que represent cd frecuenci reltiv (multiplicndo por (00) y relciondo este porcentje con los grdos que le corresponde en circulo.(60º) 4

44 44 Guí de Mtemátics Ingenierís Medi, Vlor medio o promedio ritmético es un medid de tendenci centrl, que se otiene l sumr todos los dtos numéricos y dividirlos entre el número de ellos. Ejemplo: L medi de los siguientes dtos,, 4, 7, 9, es X = = 5 = Medin es el vlor numérico centrl de un conjunto de dtos, por ejemplo: Del conjunto,, 4, 7, 9 l medin es el 4 Del conjunto,, 4, 8, 9, l medin es = = 6 Mod Es el vlor numérico que se present con myor frecuenci, por ejemplo: L mod del conjunto de dtos 7, 8, 8, 9, 0, es el 8 44

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