Notas de Matemáticas III Principios de Diseños Experimentales

Transcripción

1 Notas de Matemáticas III Principios de Diseños Experimentales Incluye manejo básico de R, Sas, Minitab y Excel Facultad de Agrobilogía, UMSNH Facultad de Biología, UMSNH Diciembre de 2012

2 CONTENIDO Principios de experimentación 3 Análisis de varianza (anova, andeva, anva) 7 Principios de Sas (statistic analysis system) para msdos 13 Diseño completamente al azar (un factor, one way ) 23 Diseño bloques completos al azar (dos factores, two way ) 43 Análisis de varianza de una y dos vías (factores) con R 49 Pruebas de comparaciones múltiples de medias 54 Transformación de datos 62 Pruebas no paramétricas 64 Diseño cuadrado latino 67 Contrastes ortogonales 82 Experimentos factoriales 87 Diseño parcelas divididas 105 Diseño jerárquico o anidado 117 Regresión y correlación lineal simple y doble 126 Bibliografía básica 155 2

3 PRINCIPIOS DE EXPERIMENTACIÓN Un experimento es un trabajo científicamente planeado para investigar una o más poblaciones en condiciones controladas. Conceptos básicos Factor de un experimento es una variable independiente nominal o categórica cuyos niveles son configurados por el experimentador para probar una respuesta a través de ellos. Un experimento puede tener más de un factor en estudio. Es común que a los niveles de un factor se les llame Tratamiento o Grupo. Estos suelen ser las nuevas tecnologías a evaluar, lo que propone como novedoso el investigador. Algunos ejemplos de tratamientos son: Variedades a ensayar, concentraciones de un fungicida, dosis de un fertilizante, riego artificial o carencia del mismo, localidades, estaciones de año, etc. Tratamientos testigos (control) son tratamientos de referencia que sirven para comparar los tratamientos propios del experimento y que pueden ser de dos tipos: Absoluto y Relativo. A veces un experimento lleva ambos testigos. El tratamiento absoluto puede ser no aplicar tratamiento alguno; el tratamiento relativo puede ser la tecnología tradicional, una situación normal, lo que se hace de manera corriente, etc., que permite valorar el comportamiento relativo de los tratamientos que se están poniendo a prueba. Bloque en principio es un segundo factor; es un conjunto de unidades experimentales más o menos homogéneas, en donde se alojan todos los tratamientos del experimento. En experimentación agrícola en campo a menudo los bloques son divisiones del terreno experimental; el objetivo de los bloques es disminuir la variabilidad del material experimental. Repetición es el número de veces que se instala cada tratamiento o nivel de un factor, o la combinación de dos o mas de ellos. Con frecuencia este término se usa como equivalente a los bloques de un experimento establecido en campo. Para tener confiabilidad en los 3

4 resultados de un experimento, el número mínimo de repeticiones no debería ser menor a cuatro. Unidad Experimental es la unidad básica empleada para experimentar. Cada unidad experimental comprende uno de los niveles de un factor o combinación de niveles de dos o mas factores a evaluar. Con frecuencia a una unidad experimental se le denomina parcela. Puede ser una persona, una comunidad, una planta, etc. Es la unidad donde se hace la toma de datos. El tamaño y número de elementos varía según los objetivos de la investigación. Tamaño de un experimento es el número de unidades experimentales del experimento. Diseño del experimento es el arreglo espacial y en el tiempo de los tratamientos. Cuando más complicado es el diseño, más grados de libertad pierde modelo, pero se controla mejor el error experimental si se conocen las direcciones de los gradiente de las causas de perturbación. En este sentido hay un equilibrio dinámico, un diseño más complejo y que no tiene un mejor el control del error puede ser más ineficiente que un diseño simple. El investigador debe determinar cuál es el mejor diseño para su experimento y este dependerá de la irregularidad del área experimental, del número de tratamientos y de la orientación espacial de las causas que perturban el experimento. El diseño más simple de todos es el Diseño Completamente al Azar, DCA, sin embargo el diseño más utilizado en la agricultura en el de Bloques completos al azar, BCA. Planeación de experimentos. El método científico sugiere que en la planeación de experimentos se tomen en cuenta las siguientes etapas: a) Definir el problema; Una vez que hayamos comprendido el problema, debemos ser capaces de formular preguntas que, una vez contestadas, conduzcan a la solución del mismo. En esta etapa se debe determinar los antecedentes, importancia, objetivos, hipótesis a probar y revisión de la bibliografía. b) Diseño del experimento; Se debe tener en cuenta: Lugar de ejecución del experimento, tamaño de la parcela o unidad experimental, número de repeticiones por tratamiento, las variables a medir, los equipos e instrumentos a utilizar y los métodos de 4

5 evaluación de los resultados. c) Ejecución del experimento. d) Recolección de datos del experimento. e) Ordenamiento de la información experimental. f) Análisis de la información y discusión de los resultados obtenidos. g) En lo posible, realizar análisis económico de los tratamientos que se probaron e identificar la utilidad práctica. h) Conclusión final y recomendación. Supuestos del modelo estadístico Los supuestos en que se fundamenta el modelo estadístico son: a) Aditividad: La variable respuesta es la suma de los efectos del modelo estadístico. b) Linealidad: La relación existente entre los factores o componentes del modelo estadístico es lineal (no curvilínea), es decir, se ajusta a una recta. c) Normalidad: Los valores resultantes del experimento tienen una buena aproximación a la distribución Normal. d) Independencia: Los resultados observados de un experimento son independientes entre sí. e) Homocedasticidad (varianza homogénea): Las poblaciones generadas por la aplicación de dos o más tratamientos tienen varianzas mas o menos de igual magnitud. Tipos de modelos estadísticos De acuerdo a la selección de los tratamientos y otros factores, se tiene la siguiente clasificación: Modelos de Efectos Fijos: Es cuando los tratamientos y demás factores que intervienen en un experimento constituyen el todo y no una muestra de una población; si se repite el experimento los tratamientos son los mismos. En estos casos las conclusiones del análisis 5

6 de varianza solamente son válidas para los tratamientos y otros factores usados en el experimento. Modelos de Efectos aleatorios: Los tratamientos y demás factores que intervienen en un experimento son una muestra aleatoria de una población; si el experimento se repite los elementos que conforman los tratamientos son diferentes. Las conclusiones del análisis de varianza son válidos tanto para los tratamientos y demás factores que se incluyeron en el experimento, como para la población de donde fueros tomados. Modelos Mixtos: Es la combinación de los dos anteriores y se presenta cuando algunos factores son fijos y otros son elegidos al azar. Las conclusiones del análisis de varianza serán válidas para toda la población de factores cuando éstos son elegidos al azar, y solamente para los factores usados cuando estos son fijos. Nos referiremos en el presente texto a modelos fijos, pero debemos estar conscientes de que en la experimentación en campo a menudo tendremos que trabajar con factores aleatorios. Por ejemplo, si establecemos una prueba en tres localidades representativas de una región, el factor localidad es aleatorio. Si probamos dos fórmulas de medio de cultivo para un hongo las fórmulas son niveles de un factor fijo, pero la población del hongo que está siendo representada es un factor aleatorio. Los modelos mixtos los abordaremos en una futura versión. 6

7 ANÁLISIS DE VARIANZA (Anova, Andeva, Anva) El ANOVA sirve como base para probar nuestra hipótesis. Consiste en separar de la variación total observada, las diferentes causas o fuentes de variación que influyen en los resultados de un experimento en particular y que afectan en distinto grado el efecto de los tratamientos en estudio. Tiene como objetivo identificar la importancia relativa de los diferentes factores o tratamientos en estudio y determinar cómo éstos interactúan entre sí. Variación planeada Si comparamos diferentes métodos de control de maleza, diferentes fórmulas de fertilización, diferentes marcas de un agroquímico, diferentes niveles de una hormona, etc. estamos introduciendo variación intencionalmente. A esto llamamos tratamientos o niveles de un factor en un experimento. Los dos términos son equivalentes. 7

8 Variación no planeada Además de los tratamientos o factores que ponemos a prueba, hay causas diversas que no introducimos pero que están allí y provocan variación que modifica el resultado final del efecto de los tratamientos. Si el efecto es grande, los resultados se alteran tanto que nos pueden llevar a cometer un error al comparar el efecto de los diferentes tratamientos. Esto afecta la validez de las observaciones. La variación entre los tratamientos evaluados nos estima la variación planeada. La variación dentro de los tratamientos nos estima la variación no planeada o varianza del error experimental. Pada dar por válidas las observaciones la varianza planeada debe ser mucho mayor que la varianza no planeada y la proporción mínima requerida está dada por la prueba de F, que se aplica a la cantidad de veces que la variación planeada es mayor que la no planeada (razón de varianzas). Clasificación anidada y cruzada Cuando cada nivel de un factor se aplica a todos los niveles de un segundo factor estamos hablando de clasificación cruzada. Por ejemplo, si en cuatro medios de cultivo se prueban tres cepas de un hongo y en cada uno de los cuatro medios están las tres cepas. Todos los medios de cultivo tienen a todas las cepas. 8

9 Por el contrario, cuando cada nivel de un primer factor se aplica a diferentes niveles de un segundo factor estamos hablando de un caso de clasificación anidada. Por ejemplo, si se evalúan cruzamientos de 10 toros, cada uno con cuatro vacas, pero ninguna vaca cruzada con el toro 1 se cruzó con otro toro. Cada toro tuvo sus cuatro vacas y cada vaca tuvo un solo toro. Esto afecta el procedimiento del análisis de varianza y para ejemplificar se muestran los cuadros de análisis de varianza que corresponden a los dos diseños básicos. Clasificación anidada, un solo factor, diseño completamente al azar. Las repeticiones están anidadas en los tratamientos y no son un factor de variación planeada. La variación total tiene solo dos componentes: Planeada (tratamientos o factor) y no planeada o error. Fuentes de Variación Grados de libertad Sumas de Cuadrados Cuadrados Medios F calculada Tratamientos t 1 SCtrat SCtrat/t-1 CMtrat/CMe Error (rep/trat) (r-1)t Por diferencia SCe/t(r-1) Total tr 1 SCTotal Clasificación cruzada, dos factores, diseño bloques completos al azar. Todos los tratamientos están en todos los bloques y ambos son factores de variación planeada. La variación total tiene tres componentes: Tratamientos o factor 1, bloques o factor 2, y variación no planeada o error. 9

10 Fuentes de Grados de Sumas de Cuadrados Cuadrados Medios F calculada Variación Libertad Tratamientos t 1 SCt SCt/t-1 CMt/CMe Bloques b 1 SCb SCb/b-1 CMb/CMe Error (trat*bl) (t-1)(b-1) SCT (SCt + SCb) SCe/(t-1)(b-1) Total tb 1 SCT Operaciones en el análisis de varianza La variación total se desglosa en componentes y esto implica llevar a cabo operaciones que incluyen sumatorias de datos, sumatorias de cuadrados de datos individuales y sumatorias de cuadrados de totales, y divisiones. Previamente se construye un cuadro de concentración de datos, como vemos a continuación para el caso de clasificación cruzada con tres tratamientos y tres bloques (tres niveles para ambos factores). Bloques Tratamientos Total 1 X 11 X 21 X 31 X.1 2 X 12 X 22 X 32 X.2 3 X 13 X 23 X 33 X.3 Total X 1. X 2. X 3. X.. Donde X 1. significa que se sumaron todas las observaciones para el tratamiento 1. X.1 significa que se sumaron todas las observaciones para el bloque 1. X.. es el gran total. Veamos ahora las fórmulas para el análisis de varianza de dos factores. 10

11 F.V. G.L. S.C. C.M. Fc Tratamientos t - 1 (ΣXi. 2 /b) (X.. 2 /tb) SCt/t-1 CMt/CMe Bloques b 1 (ΣX.j 2 /b) (X.. 2 /tb) SCb/b-1 CMb/CMe Error (Trat*Bloq) (t-1)(b-1) SCTot (SCt + SCb) SCe/(t-1)(b-1) Total tb 1 ΣXij 2 (X.. 2 /tb) Donde ΣXi. 2 es la sumatoria de los cuadrados de los totales de cada tratamiento. ΣX.j 2 es la sumatoria de los cuadrados de los totales de cada bloque. ΣXij 2 es la sumatoria de los cuadrados de cada uno de los datos. X.. 2 /tb es llamado factor o término de corrección, gran total al cuadrado entre número de unidades experimentales. t es el número de tratamientos o niveles del factor tratamientos. b es el número de bloques o niveles del factor bloques. La suma de cuadrados incluye a los totales de todos los niveles de un factor (tratamientos o bloques) y se divide entre el número de elementos que se sumaron para calcular dicho total. A la suma de cuadrados de una interacción se le restan las sumas de cuadrados de los factores que están interactuando, en este caso el error es la interacción de tratamientos y bloques. Para interacciones en clasificación anidada, solo se resta la suma de cuadrados del factor que anida. A todas se les resta el factor de corrección. Los componentes de la tabla son: Fuentes de Variación u origen de las variaciones, es decir las causas tanto planeadas como no planeadas que provocan diferencias dentro del experimento. 11

12 Grados de libertad, que son el número de elementos menos uno. Sumas de cuadrados, que son parte del procedimiento de cálculo de varianzas. Cuadrados medios o varianzas para cada fuente de variación. Fc o valor de F calculada, magnitud relativa de la varianza. Los cuadrados medios se obtienen al dividir la suma de cuadrados entre sus correspondientes grados de libertad. Fc es la división del cuadrado medio de un factor (tratamientos o bloques) entre el cuadrado medio del error. El valor de Fc se compara con un valor de tabla para decidir si las diferencias observadas entre los tratamientos pueden ser validadas. Puede ser complementada o sustituida con el valor de P, que nos indica el riesgo de error si rechazamos la hipótesis de igualdad de tratamientos. El máximo valor de P aceptado es de Las operaciones pueden ser hechas paso a paso con calculadora o en hoja de cálculo, aunque todo el procedimiento puede realizarse con ayuda de uno de los múltiples programas de cómputo disponibles. En este texto se incluyen Excel, Minitab, Sas y R. 12

13 PRINCIPIOS DE SAS (STATISTIC ANALYSIS SYSTEM) PARA MSDOS El paquete estadístico SAS es uno de los mas utilizados en la investigación. A continuación se muestra el manejo de una forma primitiva del mismo. Posteriormente hablaremos de R, Excel y Minitab, que también son utilizados como herramientas de análisis. Nota importante: La programación es la misma en la versión 9 para Windows. Lo primero Sas para MSDOS viene en una carpeta llamada SAS que se copia al disco duro en el directorio raíz C o a una memoria USB. No debe estar dentro de otra carpeta. No necesita instalarse. Se abre la carpeta SAS y se da doble click en el archivo SAS. Programa abierto 13

14 Cuando se quiere cerrar se escribe bye en la línea de comando y se presiona Enter Ventanas de SAS Program editor: captura Output: resultado Log: bitácora del programa que se acaba de correr Teclas básicas F5 es para cambiar de ventana. F7 es la lupa o zoom para ampliar una ventana o regresar a la vista de las tres ventanas. F10 corre el programa desde la ventana del editor. F9 en la ventana del editor reaparece los datos de un programa que ya corrió. Programación Pueden capturarse los datos en Excel y allí mismo elaborar todo el programa. Cada dato recabado para una o mas variables evaluadas lleva en la fila en que se registra, a todo el historial de él mismo: Tratamiento, repetición, planta, etc., a que pertenece. Luego se copia todo al block de notas y se guarda, o se guarda como texto separado por tabulaciones. El nombre del archivo no puede exceder los 8 caracteres, que pueden ser letras o números y no puede tener espacios. Tendrá la extensión.txt. Se guarda en la carpeta SAS o en una memoria fuera de cualquier carpeta. Pasos para análisis de datos Organizar los datos. 14

15 Primero se anota un comando DATA. Existen comandos PROC para analizar los datos. Sintaxis Los enunciados siempre terminan con punto y coma ; Luego el programa espera otro enunciado. Cuando el programa no entiende algo marca un error. Espaciamiento Se puede colocar mas de un enunciado en una línea o cada enunciado en diferente línea. Se usan MAYÚSCULAS o minúsculas. Ejemplo: tres enunciados en una sola línea. data new; input x; cards; O bien: cada enunciado en una línea diferente data new; input x; Cards; Reglas básicas de escritura Los nombres de las bases de datos y de las variables deben iniciar con letra, luego se pueden incluir números. El nombre no debe ser mayor de 8 caracteres. El nombre no puede llevar espacios intermedios. 15

16 Ejemplo options nodate pagesize=70 linesize= 70; data grasac; input sexo $ pctgr; cards; m 13.3 f 22 f 23.2 m 20 F. m 16 ; proc print data= grasac; title 'datos de grasa corporal'; run; proc sort data=grasac; by sexo; run; proc means data=grasac ; by sexo; var pctgr; title 'promedio de grasa corporal' ; run; Que significa cada línea? Options: algunas opciones. Nodate nonumber: no anotar fecha ni números de página. Pagesize = 50: 50 líneas (renglones) por hoja. Linesize = 70: 70 espacios por línea. Data: se creará una base de datos. Data grasac: la base de datos se llamará grasac Input: nombres y tipo de variables y orden en que aparecerán en columnas. 16

17 Input sexo $ pctgr; La variable sexo ocupará la primera columna y la variable pctgr ocupará la segunda columna. La variable sexo es categórica o alfanumérica. Después de escribirla se anota el signo $. la variable pctgr es numérica. Datos perdidos se anotan como punto. Cards; indica que en seguida se anotan las líneas de datos. Al final de la captura se anota una línea con solo punto y coma ; Proc print data = grasac; le indica imprimir los datos de la base llamada grasac en la primera hoja de resultados Title datos de grasa corporal ; es el título Run; le indica ejecutar los comandos escritos proc sort data=grasac; by sexo; reordena los datos de dicha base por categoría de sexo para que luego se haga el análisis proc means data=grasac ; by sexo; var pctgr; Se pide que obtenga las medias de la variable pctgr por categoría de sexo para la base de datos creada Programa para análisis de varianza de dos factores (diseño bloques al azar) Options nodate nonumber; Data pino; Input bloque origen alt; Se pide que no ponga la fecha ni número de página. La base de datos se llamará pino. Tres columnas: bloque, origen, altura. Cards; 17

18 AQUÍ SIGUEN LAS LÍNEAS DE DATOS ; PROC ANOVA; CLASS bloque origen; Se hará análisis de varianza. Son las fuentes de variación planeada. Model alt = bloque origen; Alt (altura) es la variable respuesta. Todo lo que no se incluye en el modelo será parte del error. Means origen / Tukey lines; Prueba de Tukey (comparación de medias) Run; Corre el programa. Para análisis de varianza de un factor (diseño completamente al azar) Lo único que cambia respecto al diseño bloques al azar es que el modelo no incluye bloques. Model alt = origen; Altura (alt) es la variable respuesta. Fuente de variación planeada es solamente origen. Lo que no incluye el modelo será el error. Todo lo demás es igual al diseño bloques al azar. Análisis de regresión Options nodate; Data pino; Se pide que no ponga la fecha. La base de datos se llamará pino. Input bloque origen alt db d130; Cinco columnas: bloque, origen, altura diámetro basal y diámetro a

19 Cards; AQUÍ SIGUEN LAS LÍNEAS DE DATOS ; PROC Reg; Model alt = db d130; Se hará análisis de regresión. Altura es la variable dependiente. db y d130 son las variables independientes. Run; Corre el programa. Captura de datos y programa Recordando. Se captura en Excel. Se copia todo y se pega en el block de notas. Se guarda con un nombre de no mas de 8 caracteres y sin espacios. En el block de notas los archivos tienen la extensión.txt. Se guarda fuera de cualquier carpeta en la memoria USB o en el disco duro C. Para abrir el archivo en SAS Se abre en la ventana del PROGRAM EDITOR. Si el cursor estuviera fuera de la línea de comando se presiona la tecla Inicio (Home). Utilizar el comando include seguido de la ruta de acceso. Luego dar Enter. INCLUDE E:examen.txt. Significa que en la computadora la memoria aparece como E y que el archivo se llama examen. Es necesario anotar la extensión.txt. Notas importantes Es común que el teclado cambie su configuración y que no coincidan las teclas con los símbolos. En este caso habrá que buscar donde aparece cada uno. 19

20 Si el archivo que se abrirá está guardado en la carpeta SAS la instrucción será Include examen.txt. Si está en una memoria USB registrada por la PC como E. Si está guardado en el disco duro Include c:examen.txt. En seguida presionamos la tecla Enter. Guardando Después de correr el programa presionando la tecla F10, aparece el resultado en la ventana OUTPUT. Vamos allá con la tecla F5. Para guardar el resultado se usa el comando file. file ruta:nombre.ext y se presiona Enter. 20

21 Se puede utilizar la extensión txt para crear archivo de texto para block de notas o rtf o doc para archivo perfectamente compatible con Word. Ejemplo file e:examenr.txt Queda guardado en la memoria e. File pinus.txt lo guarda en la carpeta SAS. Figuras antes y después de presionar la tecla Enter 21

22 La instrucción es que guarde los resultados en la carpeta SAS en un archivo llamado examenr con la extensión txt, que es archivo de texto y se abre con el block de notas. Para borrar cada ventana se usa el comando clear y se presiona Enter. Luego se puede abrir otro archivo. Si tenemos la versión de SAS para Windows En este caso copiamos todo el programa desde Excel y lo pegamos en la ventana del editor. Para correr el programa damos click en el dibujo del monito, donde en la figura aparece en un cuadrito blanco la palabra submit. 22

23 DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (UN FACTOR, ONE WAY ) El Diseño Completamente al Azar o de un solo factor es de los más sencillos y consiste en la asignación al azar de los tratamientos en estudio a un conjunto de unidades experimentales. Algunas condiciones en las que se puede usar esta distribución son: Cuando el lugar y las unidades experimentales son muy uniformes; suelo homogéneo, laboratorio, invernadero, o cuando solamente interesa poner a prueba un cierto número de niveles de un factor que provoque variación, como por ejemplo las estaciones del año o varios sitios de muestreo, etc. y el conjunto de las observaciones en cada nivel son las repeticiones. Es uno de los mas utilizados en experimentación con animales. Puede probarse cualquier número de tratamientos, asignando preferentemente el mismo número de unidades experimentales a cada tratamiento (aunque esto no es esencial). El número de unidades experimentales será igual al número de tratamientos multiplicado por el número de veces que éstos se repitan. Modelo lineal aditivo El modelo para este diseño es: donde, y ij = µ + t i + ε ij y ij = Variable respuesta µ = Media general (alrededor de la cual oscilan todas las observaciones) t i = Efecto del tratamiento i ε ij = Variación debida al azar (causas no pertinentes) = error experimental Al considerar la variación total, las causas parciales de variación serán: 1) Variación entre tratamientos y 2) variación dentro de tratamientos (variación atribuible al error experimental). Lo anterior se resume en el cuadro siguiente: 23

24 F.V. G.L. S.C. C.M. Fc Tratamientos t 1 SCt CMt CMt/CMe Error (rep/trat) t(r-1) Por diferencia CMe Total tr 1 SCTot Ejemplo (datos de, Fac. de Agrobiología, UMSNH): Supongamos que queremos probar el efecto de fertilizante fosforado sobre la producción de fresa en Zamora. Para ello, al momento de preparar las camas, previo a la plantación, adicionamos tres dosis de superfosfato triple de calcio equivalentes a 25, 50 y 100 Kg/ha, respectivamente e incluyendo un cuarto tratamiento sin fertilizante. Las especificaciones del experimento son: - Número de tratamientos: 4 (A= 0; B = 25; C = 50; D = 100 Kg/ha de P 2 O 5 ) - Número de repeticiones: 4 - Tamaño de u. exp.: 5 m de surco (1.2 m ancho x 5 m largo = 6 m 2 ) La distribución de los tratamientos dentro de las unidades experimentales se puede hacer de la forma siguiente: 1) Se enumeran las unidades experimentales (ya sea, de manera progresiva o al azar). 2) Se distribuyen los tratamientos al azar dentro de las unidades experimentales, tal como se presenta a continuación: B 4 7 C 4 6 A 3 5 A 2 9 C 3 10 C 2 11 D 3 12 B 2 16 D 4 15 D 2 14 A 4 13 B 3 A 1 B 1 D 1 C 1 24

25 Los números del 1 al 16 son las unidades experimentales y el subíndice de las letras o niveles del factor tratamientos denota el número de repetición. En una libreta de campo se llevará el registro de los frutos obtenidos cada vez que éstos se cosechen. A continuación se presentan los datos finales: No. de U. Exp. Tratamiento Rep. Rendimiento acumulado (Kg/parcela) 1 B C A A B D C C D D A B C D B A Los datos obtenidos se concentran en un cuadro de la forma siguiente: Trat. P 2 O 5 Repeticiones (kg/ha) I II III IV Total Media A B C D G = Hipótesis: 25

26 Ho: t i = 0; es decir, no hay efecto de tratamientos, o todos los tratamientos son iguales, o las diferencias de medias de tratamientos no son significativas. Ha: t i 0; es decir, al menos uno de los tratamientos es diferente de los demás. Construcción del análisis de varianza 1) Determinación de los grados de libertad F.V. G.L. Tratamientos t 1 = 4-1 = 3 Error t(r-1) = 15-3 = 12 Total tr 1 = (4x4)-1 = 15 2) Cálculo del factor o término de corrección (C): El gran total elevado al cuadrado y dividido entre el número total de datos. 2 ( X..) C = = rt G 2 rt = = 1, ) Sumas de cuadrados: Recordar que la variación total tiene dos componentes que son tratamientos y error. El esquema del huevo se aplica también a las sumas de cuadrados y grados de libertad. Si a la suma de cuadrados total le restamos la de tratamientos queda la suma de cuadrados del error. menos 26 igual a

27 Para la suma de cuadrados total ocupamos cada uno de los datos de las unidades experimentales elevados al cuadrado. Como son datos individuales no se dividen. Se resta el factor de corrección. = 2 SCTot ( xij ) C = ( ) 1, = 8.54 Para la suma de cuadrados de tratamientos ocupamos los totales de cada uno de ellos elevado al cuadrado. Como son el resultado de sumar cuatro repeticiones se dividen entre cuatro. Se resta el factor de corrección. ( X i SCtrat =.) 2 r C ( ) = 1, = La suma de cuadrados del error la calculamos por diferencia. SCe = SCTot SCtrat = = ) Cuadrados medios. Suma de cuadrados entre sus correspondientes grados de libertad. SCtrat CMtrat = = 2.08/3 = t 1 SCe CMe = g. l. e = 6.46/12 = ) Relación F (Fc) y comparación con F de tablas. Los valores de cuadrado medio son varianzas y se compara la variación planeada correspondiente a los tratamientos 27

28 con la variación no planeada correspondiente al error experimental. Esto se hace con una división que nos dice la magnitud relativa de la variación planeada respecto a la no planeada. CM t Fc = = 0.693/0.538 = CM e La variación provocada por los niveles del factor fertilización fosfórica es 1.29 veces mayor que la variación provocada por causas no planeadas. Tratamientos Error Expresada en porcentaje la variación por el factor planeado es el 56.3 % de la variación total. Para rechazar la hipótesis nula de igualdad entre tratamientos se requiere un porcentaje sensiblemente mayor que este. Nuestro cuadro del análisis de varianza queda como sigue: FV GL SC CM Fc F 0.05 F 0.01 Trats ns Error TOTAL ns = no significativo al 5% de probabilidad Ahora comparamos el valor de F calculada con un valor de tabla para 3 y 12 grados de libertad respectivamente para el numerador (tratamientos) y el denominador (error) a los niveles de significancia de 0.05 y 0.01 en el extremo derecho inferior del fragmento de la tabla de la distribución F que aquí se presenta. Interpretación. Como la F calculada es menor que el valor de F de tablas al límite de significancia determinado (5% de probabilidad), podemos concluir que nuestra hipótesis de igualdad es cierta; por lo tanto, las dosis de fósforo evaluadas no incrementaron el rendimiento de fresa de manera significativa. 28

29 Conclusión: Se acepta nuestra hipótesis nula; los tratamientos son iguales, tienen el mismo efecto en la variable respuesta medida (kg). Cálculo del coeficiente de variación CM e C. V. = x 100 X = x 100 = x 100 = 8.0% Resolviendo con la hoja de cálculo Excel Para llevar a cabo las operaciones podemos auxiliarnos de la hoja de cálculo. Excel tiene funciones de suma y suma de cuadrados que pueden facilitarnos las operaciones aritméticas. Para ello los datos se capturan igual que en el cuadro de concentración de datos Para calcular los totales de tratamientos, de repeticiones y gran total se utiliza la función suma señalando el rango de celdas que contienen los datos que se desea sumar. En la figura se muestra como se obtiene el total de las cuatro repeticiones del tratamiento A. 29

30 Estamos calculando x 1. Si queremos una suma de cuadrados utilizamos la función suma.cuadrados. Estamos calculando ( x ij ) 2 De esta forma podemos ir calculando todos los componentes necesarios para construir el cuadro de análisis de varianza. Sin embargo, Excel puede realizar todos los cálculos si previamente se instala el complemento análisis de datos (para su instalación ver ayuda de Excel; no se requiere el disco de instalación del programa). Entonces entramos al menú datos y al submenú análisis de datos. 30

31 Aparece el siguiente cuadro de diálogo, donde seleccionamos Análisis de varianza de un factor. Se da click en aceptar y aparece otro cuadro de diálogo. Seleccionamos como rango de entrada a todos los datos del experimento Como el factor o tratamientos está ordenado en filas (hileras o renglones), seleccionamos agrupado por filas. Alfa es el nivel de significancia o riesgo de error que deseamos aplicar. Por omisión aparece 0.05 pero puede modificarse. 31

32 El rango de salida será por defecto en una hoja nueva, pero podemos modificarlo. Si optamos por Rango de salida seleccionamos una celda y a partir de ahí se despliega el resultado. Si seleccionamos la celda A8. Podemos editar el contenido para presentar el cuadro de análisis de varianza como sigue: ANÁLISIS DE VARIANZA Fuentes de variación Sumas de cuadrados G. L. Cuadrados medios F calculada P > F Valor crítico para F Tratamientos Error Total Comparando con el cuadro anterior vemos que el valor crítico de F calculada es el que corresponde al valor tabulado para el nivel de significancia de FV GL SC CM Fc F 0.05 F 0.01 Trats ns Error TOTAL

33 El valor de Probabilidad, que editamos como P > F, nos dice directamente el riesgo de cometer un error si rechazamos la hipótesis nula de igualdad entre tratamientos. En este ejemplo Excel nos dice que ese riesgo es 0.32 o 32%; siempre que el valor de P sea mayor de 0.05 se considera que debemos aceptar la hipótesis nula de igualdad. Análisis de varianza con Sas Para el paquete SAS y otros programas de análisis estadístico los datos se manejan en la forma en que vienen en el libro de campo que aquí se repite. No. de U. Exp. Tratamiento Rep. Rendimiento acumulado (Kg/parcela) 1 B C A A B D C C D D A B C D B A Las instrucciones como se vieron anteriormente, son las siguientes: data fresa; input ue trat $ rep Kg; cards; 1 B C A A B D

34 7 C C D D A B C D B A 1 8 ; proc anova; class trat; model Kg = trat; run; Después de correr el programa la salida es la siguiente: SAS Analysis of Variance Procedure Class Level Information Class Levels Values TRAT 4 A B C D Number of observations in data set = 16 Dependent Variable: KG Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square C.V. Root MSE KG Mean NOTA: PRIMERAMENTE SE MUESTRA EL RESULTADO PARA EL MODELO COMPLETO Y EL ERROR. LUEGO APARECEN LOS COMPONENTES DEL MODELO. En este caso el modelo incluye solo a tratamientos. Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F TRAT

35 El único factor (tratamientos) tiene una P > F superior a 0.05 y como conclusión se acepta la hipótesis nula concluyendo que los diferentes tratamientos de fertilización no modifican sensiblemente el rendimiento en Kg de fresa. Análisis de varianza con Minitab, versión 13 Este programa requiere el mismo arreglo de datos que el SAS. Se anotan las etiquetas (rótulos, encabezados, títulos, labels ) en una primera fila destinada para ese fin. Los datos pueden capturarse en Excel y luego copiarlos y pegarlos en Minitab. Para llevar a cabo el análisis se sigue la siguiente ruta dentro del menú: Stat > Anova > One way. Y aparece el siguiente cuadro de diálogo: 35

36 Debemos anotar la columna de la variable respuesta, en este caso Kg/parcela (c4) y el factor de variación planeada, en este caso los tratamientos (c2). Puede escribirse el nombre de columna que aparece en el cuadro de diálogo o puede darse doble click sobre ese mismo cuadro de diálogo en las filas que hacen referencia a las columnas correspondientes y en seguida seleccionar dando click en Select. Luego se da click en OK y aparece el resultado. One-way ANOVA: (Kg/parcela) versus Tratamiento Analysis of Variance for (Kg/parc Source DF SS MS F P Tratamie Error Total Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev A ( * ) B ( * ) C ( * ) D ( * ) Pooled StDev = Ejemplo 2 36

37 En el zoológico se prueban tres fórmulas de alimento enriquecido para murciélagos. Se tiene a la dieta actual como testigo y se alimenta a tres murciélagos con cada una de las cuatro. Se pesan los doce animales un mes después de alimentarlos con las cuatro fórmulas. Peso de Murciélagos con dieta normal y con tres fórmulas enriquecidas Dieta normal Enriquecida 1 Enriquecida 2 Enriquecida 3 Murciélago Murciélago Murciélago El factor es la dieta con cuatro niveles y tres repeticiones (individuos) por nivel. Procedemos a calcular las sumas de cuadrados con la ayuda de Excel. Primero necesitamos el factor de corrección, gran total al cuadrado entre el número de unidades experimentales, 12 en este caso. Ahora la suma de cuadrados de total, todos los datos al cuadrado menos el factor de corrección. 37

38 Seguimos con la suma de cuadrados de tratamientos. Ocupamos el total de cada una de las dietas. Como son la suma de tres murciélagos dividimos entre 3. Finalmente la suma de cuadrados del error, restando a la total la de tratamientos, C15 - C16. 38

39 El cuadro de análisis de varianza será el siguiente, resuelto por el mismo Excel con la herramienta Análisis de datos. Nótese que se toma la opción agrupado por columnas y luego se da click en aceptar. F. de V. S. C. g. l. C. M. Fc P F 0.05 Dietas Error Total Conclusión: como el valor de F calculada es mucho mayor que el de tabla a nivel de 0.05 (22.37 > 4.07) y el valor de P es prácticamente de cero, podemos afirmar que hay diferencias en el peso de los murciélagos alimentados con las diferentes fórmulas. 39

40 Si ahora deseamos resolver con Sas o Minitab debemos acomodar los datos tal y como vienen en el libro de campo, o sea que cada una de las 12 medidas de peso ocupa una fila con toda la información referente a la misma. Peso Dieta Sujeto 98 Normal E E E Normal E E E Normal E E E3 12 Podemos prescindir de la columna del sujeto porque no es un factor de variación planeada. Hay que notar que los murciélagos sometidos a cada dieta fueron diferentes, es decir están anidados dentro de las dietas. Copiando los datos en Minitab seguimos la ruta Stat > Anova > One way y luego en el cuadro de diálogo seleccionamos como respuesta al peso y como factor a la dieta. 40

41 Para tener el resultado. Analysis of Variance for Peso Source DF SS MS F P Dieta Error Total En Sas tendríamos lo siguiente en el block de notas: data murci; input peso dieta $ sujeto; cards; 98 Normal E E E Normal E E E Normal E E E3 12 proc anova; class dieta; model peso = dieta; run; 41

42 Con el resultado siguiente: Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model Error Corrected total Omitimos el resto del resultado porque el modelo incluye solamente al factor dieta. La variación causada por el factor dieta es veces mayor que la causada por factores no planeados. 42

43 DISEÑO BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DOS FACTORES, TWO WAY ) Generalidades El DBCA es quizás el de mayor uso en los experimentos de campo. Las unidades experimentales se agrupan en estratos o bloques (segundo factor, comúnmente llamado repeticiones), dentro de los cuales se asignan aleatoriamente los tratamientos en estudio. Nota: En la experimentación agrícola en suelo es común que se divida el terreno en partes iguales y cada una de ellas es un bloque. El factor que está actuando es la variabilidad natural del suelo. La experiencia ha demostrado que comúnmente sí hay diferencias entre los bloques de suelo. El error se reduce en comparación con el diseño completamente al azar, por lo que debe haber una verdadera influencia del factor de bloqueo para justificar su implementación. Es necesario mantener la variabilidad entre unidades experimentales dentro de un bloque lo mas pequeña posible, pero maximizando a la vez las diferencias entre bloques. Esto resulta en minimización del error experimental. El DBCA resulta útil en los casos siguientes: 1) Cuando el número de tratamientos es de 3 a 15. En caso de que el número de tratamientos sea de 3 a 5, deben tenerse como mínimo seis bloques a fin de contar con suficientes grados de libertad para el error experimental. 2) Cuando se tiene un gradiente de variabilidad o productividad, en cuyo caso deben observarse los cuidados siguientes: Los bloques deben orientarse de manera perpendicular al gradiente. Las unidades experimentales (tratamientos) dentro de cada bloque deben disponerse en la misma dirección del gradiente. 43

44 Modelo lineal aditivo y ij = µ + t i + b j + ε ij donde, y ij = Variable respuesta. µ = Media general (alrededor de la cual oscilan todas las observaciones). t i = Efecto del tratamiento i bj = Efecto del bloque j ε ij = Variación debida al azar (causas no pertinentes) = error experimental Modelo del análisis de varianza Al considerar la variación total, las causas parciales de variación serán: 1) Variación entre tratamientos, 2) variación entre bloques y 3) variación dentro de unidades experimentales (variación atribuible al error experimental, o interacción de los dos factores). Lo anterior se resume en el cuadro siguiente: F.V. G.L. S.C. C.M. Fc Tratamientos t 1 SCt CMt CMt/CMe Bloques b 1 SCb CMb CMb/CMe Error (t-1)(b-1) SCT (SCt + SCb) CMe Total tb 1 SCT Ejemplo (datos de Juan Paulo Rojas Murillo, Fac. de Agrobiología, UMSNH) 44

45 Se aplicaron cinco dosis de fertilización a plantas de zarzamora en cinco bloques que fueron variaciones naturales de suelo. Los resultados para la variable de respuesta altura de planta fueron los siguientes: Dosis Fert B 1 B 2 B 3 B 4 B Este arreglo nos sirve para hacer el análisis de datos con Excel. El procedimiento es igual al del diseño Completamente al Azar, con la diferencia de que se selecciona análisis de varianza para dos factores con una sola muestra por grupo En este ejemplo Desplegando el siguiente resultado ANÁLISIS DE VARIANZA Origen de las Suma de variaciones cuadrados Grados de libertad Promedio de los cuadrados Fc P > F Valor crítico para F Fertilización Bloques Error Total

46 Como al capturar los datos en Excel las filas correspondieron a las dosis de fertilización y las columnas a los bloques, se edita el cuadro de resultados anotando dichos nombres en el lugar correspondiente. Interpretación de los resultados Fertilización Bloques Error Dado que los valores de P > F son superiores a 0.05, tanto para dosis de fertilización como para bloques se concluye que cualquiera de las dosis utilizadas produce el mismo crecimiento en altura de planta y que en este caso los bloques en realidad no representaron un segundo factor. El factor fertilización fue responsable del 44 % de la variación total y los bloques del 21 %, mientras que el error contiene el 35 %. Análisis con Sas El arreglo necesario es el mismo que tiene la libreta de campo. De este modo el programa quedará como se muestra a continuación: data zarza; input fer bloq alt ; cards;

47 ; proc anova; classes fer bloq; model alt = fer bloq; run; Que al correrlo muestra la siguiente salida SAS Analysis of Variance Procedure Class Level Information Class Levels Values FER BLOQ Number of observations in data set = 25 SAS Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: ALT Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square C.V. Root MSE ALT Mean COMPONENTES DEL MODELO. En este caso el modelo incluye a tratamientos y bloques. Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F FER BLOQ Análisis con Minitab El procedimiento es igual al del diseño anterior con la diferencia de que ahora en el menú se sigue la ruta Stat > ANOVA > Two-way 47

48 Luego aparece el cuadro de diálogo donde hay que seleccionar la variable respuesta y los dos factores. Y al dar click en OK aparece el siguiente resultado Two-way ANOVA: Altura versus Dosis Fert, Bloque Analysis of Variance for Altura Source DF SS MS F P Dosis Fe Bloque Error Total

49 ANÁLISIS DE VARIANZA DE UNA Y DOS VÍAS O FACTORES (DISEÑOS COMPLETAMENTE AL AZAR Y BLOQUES COMPLETOS AL AZAR) CON R. Primero que nada hay que señalar que debemos situarnos en la carpeta (directorio) en donde tenemos el archivo de datos en formato txt o block de notas, y que allí mismo se guarda el archivo de instrucciones o script. Para esto seguimos la ruta Archivo > cambiar dir Una vez que estamos en la carpeta deseada podemos crear el script. Hay varias alternativas para realizar el análisis de varianza, aquí se muestra una de ellas. Ejemplo de script para análisis de varianza de dos vías o factores o<-read.table("lechuga.txt",header=t) odf<-data.frame(o) print(odf) print(names(odf)) mod1<-aov(yield~trat+rep,odf)#modelo efectos principales print(summary(mod1)) Explicación: o<-read.table("lechuga.txt",header=t) El primer renglón pide que se lea el archivo llamado lechuga.txt y que se guarde en una base de datos que llamaremos o (puede ser cualquier otro nombre) utilizando una 49

50 flecha hacia la izquierda <-. La extensión txt la tienen los archivos creados en el block de notas. Se le indica que al abrir el archivo existe una primera línea que corresponde al encabezado (header = True). Este encabezado es el nombre del (los) factor(es) y de la(s) variable(s) que corresponde a cada columna. A continuación se muestra el desplegado del archivo. Hay que tener en cuenta que dentro del programa R y muchos otros no hay acentos ni ñ, porque las instrucciones son en idioma inglés. trat rep yield a 1a 104 b 1a 134 c 1a 146 d 1a 147 e 1a 131 a 2a 114 b 2a 130 c 2a 142 d 2a 160 e 2a 148 a 3a 90 b 3a 144 c 3a 152 d 3a 160 e 3a 154 a 4a 140 b 4a 174 c 4a 156 d 4a 163 e 4a 163 La primera columna corresponde al tratamiento, la segunda a la repetición y la tercera a los datos o mediciones. En este caso son cinco tratamientos: a, b, c, d, e; y cuatro repeticiones para cada uno de ellos: 1a, 2a, 3a, 4a. Yield corresponde a la variable respuesta o dato colectado. Importante: las columnas de factores no pueden ser numéricas, sino alfabéticas o alfanuméricas, a menos que se den instrucciones para que sean reconocidas como factores. Continuando con los siguientes renglones 50

51 odf<-data.frame(o) print(odf) print(names(odf)) El segundo renglón del script pide que la base de datos se guarde en un formato frame, con el nombre odf (puede ser cualquier otro nombre). Luego, en los siguientes renglones se le pide que imprima la base de datos y después que imprima los nombres de las columnas de esa base. En seguida tenemos mod1<-aov(yield~trat+rep,odf)#modelo efectos principales print(summary(mod1)) Vienen las instrucciones: aov significa análisis de varianza; entre paréntesis aparece primero la variable respuesta yield, seguida del símbolo ~ para luego añadir los factores trat y rep (separados por el signo +), de acuerdo al nombre con que aparecen en las columnas del archivo de datos. Después de la coma aparece el nombre asignado a la base de datos en formato frame (odf). Recordar que después del símbolo # se pueden poner notas que el programa no leerá. La base de datos de resultados se llamará mod1. Finalmente se pide que imprima los resultados. Para correr el programa se sigue la ruta Editar > Ejecutar todo, estando posicionados en el script. Los resultados se muestran a continuación omitiendo la impresión de los datos: 51

52 > print(names(odf)) [1] "trat" "rep" "yield" > > mod1<-aov(yield~trat+rep,odf)#modelo efectos principales > print(summary(mod1)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat *** rep ** Residuals Interpretación: La variación por tratamientos es 11.2 veces mayor que la atribuida a causas no planeadas, y la variación por repeticiones 6 veces. Hay diferencias entre tratamientos (Pr>F = ) y también entre repeticiones (Pr>F = ). Recordar que la hipótesis nula de igualdad se rechaza cuando P < 0.05, como en este caso. Los tratamientos son causantes del 62 % de la variación total, las repeticiones del 33 % y el error de solo el 5 % Tratamientos Repeticiones Error Análisis de varianza de un factor Al medir la longitud del cuerpo de una especie de insecto en tres sitios y dos repeticiones, el resultado fue el siguiente. Sitio Repetición A B C R R Y el archivo de datos tendría la siguiente forma: repeticion sitio longitud R1 A 45 R1 B 63 R1 C 70 52

53 R2 A 57 R2 B 77 R2 C 74 El script es el siguiente: o<-read.table("insecto.txt",header=t) odf<-data.frame(o) mod1<-aov(longitud~sitio,odf) print(summary(mod1)) El resultado del análisis de varianza de un factor es: > mod1<-aov(longitud~sitio,odf) > print(summary(mod1)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) sitio Residuals Las repeticiones forman parte del error y el valor de P>F = Sitios Error Como el máximo admitido para rechazar la hipótesis nula de igualdad es 0.05, se concluye que se acepta H 0 y por lo tanto no hay diferencias en el tamaño de los insectos en los sitios muestreados. La variación atribuida a los sitios fue 4.5 veces mayor que la variación por otras causas. Esto es el 82 % del total. 53

54 COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS Como la prueba de F solamente nos dice si hay diferencias entre los tratamientos o niveles de un factor, pero no nos dice cuales son los mejores o si algunos de ellos son iguales entre sí pero diferentes del resto, es necesario realizar una comparación entre los tratamientos para determinar las diferencias específicas al compararlos. A continuación se describen las fórmulas para algunas de las mas utilizadas. Todas las que se mencionan requieren que el tamaño de muestra sea uniforme, es decir que el número de repeticiones o bloques sea el mismo para todos los tratamientos o niveles del factor. a) Prueba de t (DMS, LSD) D. M. S. = tα (η ) * 2* CMe r Donde D.M.S. quiere decir diferencia mínima significativa entre dos tratamientos para que puedan considerarse realmente diferentes. CMe es el cuadrado medio del error experimental. r es el número de repeticiones o bloques. t α (η ) es un valor tabulado para un nivel α de significancia y η grados de libertad del error. b) Prueba de Tukey (DSH, HSD) D S. H. = q. α ( t, η ) * i CMe r 54