INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES USANDO EL CALCULO DIFERENCIAL LUIS CARLOS OÑATE FERNANDEZ

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1 NTEGRACÓN POR DESCOMPOSCÓN EN FRACCONES PARCALES USANDO EL CALCULO DFERENCAL LUS CARLOS OÑATE FERNANDEZ FUNCÓN RACONAL Una funcón f es raconal s es el cocente de dos POLNOMOS PX ( Sea P(X y Q(X dos polnomos entonces f ( es una funcón QX ( raconal S el grado de P(X es menor que el de Q(X f( es una fraccón propa Así + h ( no es propa pero + g( 6 f ( tampoco es propa es una funcón propa Nosotros haremos nuestro recorrdo con Funcones Raconales Propas o más sencllo con Funcones Propas S este punto esta claro podemos dar el sguente paso consstente en la pruea de un teorema que nos permte confar en que andamos por terreno frme DESCOMPOSCÓN DE UNA FUNCÓN RACONAL EN FRACCCONES SMPLES PX ( TEOREMA- Sea QX ( P ( P ( Q ( ( a Q( una fraccón raconal en su mínma epresón y sea Q a así que Q ( no contene el factor -a donde ( 0 Esten entonces constantes úncas A A A tales que P ( A A A A P ( ( a Q ( a ( a ( a ( a Q ( Demostracón: El prmer paso será proar que podemos encontrar un P ( A P( desarrollo de la forma + ( a Q ( ( a ( a Q ( ( donde A es una constante

2 Con esto P ( A P ( AQ ( ( a Q ( ( a ( a Q ( S podemos hallar un valor para A tal que P ( AQ ( ( ap ( entonces P ( AQ ( P( ( a Q( ( a Q( lo cual conduce a la forma uscada Puesto que P( y Q( son polnomos se nfere del Teorema del Resduo que -a es un factor de PA s y sólo s PA Esta ecuacón y la desgualdad Q ( a 0 mplca que una constante únca Además A 0 porque Pa ( 0 comunes A tal que la ecuacón ( vale Pa ( A Q ( a y así este dado que P( y Q( no tenen factores Nótesetaménqueel nuevonumerador P ( seotenedvdendo PA entre-adetal maneraqueel gradode P ( escuandomenosunaundadmenorqueel dep( Esto sgnfca que tamén la nueva fraccón es propa En consecuenca puede P ( repetrse el argumento precedente con ( a Q ( para hallar la constante A ; y sucesvas aplcacones determnarían las otras constantes Este teorema garantza la estenca y la uncdad de las constantes y además da un método algeraco para encontrarlas Sn emrago nuestra herramenta será el Cálculo para determnar los coefcentes ncógntos tratando cuatro casos que son especales y comunes Es pertnente resaltar las sguentes acotacones Cuando se trata con factores lneales no repetdos es decr cuando Q ( ( a( a( a n la efectvdad para encontrar los coefcentes desconocdos es la msma tanto s se usa el álgera como s se usa el cálculo Pero a medda que el camno se vuelve espnoso o sea cuando los factores se repten o son complejos entonces aparece la ventaja y quzás lo más mportante la eleganca del Cálculo Trepando un poco más en este recorrdo damos los sguentes pasos P ( De aquí en adelante se supone que es una fraccón raconal propa que Q ( está lsta para descomponerla en sus fraccones smples A DETERMNACÓN DE LOS COEFCENTES PARA LOS FACTORES LNEALES NO REPETDOS EN EL DENOMNADOR

3 TEOREMA- Sean los polnomos P( y Q( ( r( r( r( rn g( donde g( no contene factores lneales y r j j n es un número real entonces esten constantes reales úncas A A An tales que P ( A A A An h ( Q( r r r r ( dadas por la fórmula n Pr ( A Q ' ( r y h( representa la descomposcón de g( en sus fraccone smples PRUEBA Multplcando a ( por r y tomando lm r Se rece P ( r r r r lm ( r lm A+ A+ + A + + An + lm ( r h( r Q( r r r r r r n Oservando el lado derecho de esta gualdad se ve claramente que el únco térmno que no se anula es el que queda con A y en el lado zquerdo de la msma tenemos la forma ndetermnada 0 por lo cual podemos aplcar la regla 0 de L Hoptal así ( r P( ( r lm lm P ( lm r Q ( r r Q ( Pr ( lm Pr ( r Q'( Q'( r o Pr ( A Q '( r ( Como Q( no contene al factor r repetdo este factor no puede aparecer como tal en Q ( por tanto Q'( r 0 y hemos coronado esta pequeña cuesta Ejemplo Dada f ( podemos escrrla de la sguente forma ( + ( ( + A A f ( + + h( + Aquí r r y h( representa la fraccón correspondente a g ( + que en este caso no nos nteresa P ( Aplcando ( consegumos Q'( ( ( + + ( + ( + + ( + (

4 P( P( 4 Entonces A Q'( A o sea que Q '( 5 4 f ( + + h( ; + 5 Y más fácl aún s se opera así A lm( + ( ( ( A lm( ( ( ( Nótese que no nos nteresó para nada h( DETERMNACÓN DE LOS COEFCENTES CORRESPONDENTES A LOS FACTORES LNEALES REPETDOS EN EL DENOMNADOR Se enunca el sguente teorema sn realzar la pruea Teorema- Sea con g(a 0 entero y y P ( P ( R ( f ( donde P( es un polnomo de grado Q ( ( a g ( ( a menor que n+ y n es el grado de g( entonces esten constantes úncas A A A tales que A A A j Aj Aj+ Aj+ A A F( j j j + j + j + a ( a ( a ( a ( a ( a ( a ( a A + + h ( (4 ( a Donde h( representa la descomposcón de g( en fraccones parcales; y se ( j pruea que A j R ( a j! (5 j 0 - donde Ṛ Ejemplo Epresar f ( ( ( en térmno de sus fraccones smples Solucón sea f ( ( ( B A A A ( ( De ahí que ( ( B lm ( (

5 P ( o tamén Q'( ( (4 P( Entonces B Q '( R ( ( AR A 9 R'( ( 4 66 R ''( R''( A (! 0 9 Con lo cual f ( ( ( 4 DONDE SE DETERMNAN LOS COEFCENTES PARA LOS FACTORES CUADRATCOS RREDUCBLES NO REPETDOS TEOREMA - Supongamos que Q( es un polnomo y uno de sus factores tene dos raíces complejas conjugadas a+ y a- no repetdas; además que Q( puede escrrse en la forma Q( [( a ( a+ ] R( ( a + R( donde R( representa la parte de Q( dferente del factor cuadrátco rreducle en cuestón Sea P( un polnomo de grado menor que Q( y sn factores comunes con éste P ( Defnmos f ( ( a + R( y vamos a proar que podemos escrrla P ( A+ en la forma deseada f ( + g( ( a + R( ( a + (6 Donde g( representa el desarrollo de R( en fraccones smples PRUEBA S multplcamos (4 por P ( recmos A+ B+ ( a + g( Q ( ; Pa ( + Pa ( Sean z y Ra ( + z números complejos conjugados entre sí Ra ( Las raíces complejas anulan el factor cuadrátco por ende al llevarlas a (4 anulan el segundo sumando de esta ecuacón Hacendo eso construmos las ecuacones za (7 _ Az (8

6 las cuales vamos a resolver respecto a A y B sumando (7 y (8 otenemos Restándolas _ zaz++ (9 _ zaz (0 De aquí A m( z (0* a B Re( z m( z * Recordar que Re(z ( z + z y m( z ( z z donde Re(z e m(z representan las partes real e magnara de z en su orden 5 EL DENOMNADOR CONTENE ENTRE SUS FACTORES ALGUNO(S CUADRATCO(S RREDUCBLE(S REPETDO(S Estudaremos el caso para alguno de estos factores En tal crcunstanca f tene la forma deseada Ps ( gs ( f ( s qs (( s a + ( s a + Donde P(s es un polnomo de grado menor que n + 4 q(s es un polnomo de grado n P+ Ps ( y por últmo gs ( Queremos proar que f(s es equvalente a la sguente epresón encontrando las qs ( constantes A y A B y B correspondentes: gs ( As + B As + B f ( s + + h( s ( ( s a + s a + ( s a + ( Donde h(s representa la descomposcón de g(s en fraccones smples PRUEBA Multplcando a (9 por s se rece z g( a+ A( a+ + B: ( g( s As B ( s a A s B ( s a h( s Sea z g( a+ A( a+ + B ( z g( a A ( a + B (

7 Resolvendo smultáneamente ( y ( respecto a A y B se encuentra que m( z a A y B Re( z m( z (4 Con lo cual hemos determnado A y B Cómo encontrar A y B Sea s entonces (a+0 '(s(s-a e '(a+(a+ -a Tenendo en cuenta esta defncón para (s ( se transforma en gs ( As+ B A s+ B + + (5 s ( s ( s ( ( h( s f s gs ( As+ B s ( + As+ B+ hs ( ( s;lo cual al dervar nos da o ( g'( s A ( s + ( As + B '( s + A + h'( s ( s + h( s ( s '( s Entonces g'( a+ A ( a+ + A ( a+ + B '( a+ + A + h'( a+ ( a+ + h( a + ( a + ( a + '( a + Recordando que a ( escrmos g '( a + A( a + + B + A o en A a B g'( a+ + A ( + + (6 g'( a A A( a + B (7 Sea za g'( a+ A ó z (8 z A ( a + B (9 de (6 y (7 se otenen como de costumre A y B : m( z a A y B Re( z m( z (0 Así se completa la pruea

8 Ejemplo Descomponer A As + B As + B f ( s + + ( s+ ( s+ + ( s + + parcales f ( s s + ( s+ ( s + s+ en fraccones Solucón Buscamos A As+ B A s + B f ( s + + s+ ( s+ + ( s + + s + s + s Aquí a - gs ( entonces g'( s s + ( s + rece ( g( en consecuenca según ( A - y B aplcando (0 se Aplcando (6 consegumos g( + A ( Z ; y según (8 A B 0 ( Por últmo As s ; ( s+ ( s+ f ( s Así que s+ ( s+ + ( s + + Ejemplo Epresar a f(s como una descomposcón de sus fraccones smples 4s 8s L L As + B As+ B f ( s ( s ( s + s ( s s + ( s + Solucón En este ejemplo se contemplan los casos del factor lneal repetdo y el factor cuadrátco rreducle gualmente repetdo Hay que resolver cada caso por separado 4( s s Para resolver L y L usamos (5 con a - y Rs ( ( s + L R'( LR según esto Para hallar A y B nos valemos de ( con a 0 y entonces gs ( 4( s s ( s

9 4( z g(0 + ; ( Así que A y B Para encontrar A y B hacemos uso de (6 (8 y (0: 4(s ( s ( s s( s g'( s 4 deahíque ( s g+ g'(0 + A + + yporende z conlocual A 0 B ; De tal forma s f ( s + 5 ( s ( s + ( s + EJERCCOS RESUELTOS Calcular las sguentes ntegrales a d + + Solucón A B C ( + ( ( Entonces A lm 0 ( + ( + ( + ( B lm 4 ( + ( + ( + ( 5 C lm ( + ( + Tamén se puede proceder así: P ( P ( P(0 Sea Q ( + + de donde Q'( 6 Así que A + + Q '(0 ; P( B 4 '( C P( 5 Q Q '( Por consguente d 4 log( + log log( + + C + +

10 + ( + ( Solucón d ( ( ( ( A A A A A lm( + ( + ( R ( ( + ( Ver (5 A R( R'( ( + R '( A! R ''( A con lo cual! log( C + + d + ( ( ( d ( + ( + 4 c Solucón A + B C + D ( ( 4 4 z + 4 z ( o sea que A 0 y B (ver (0* + z ( por consguente C 0 y D d d ( ( arctg arctg C Sea z En consecuenca d 4 sen cos d sen + cos Solucón

11 Como el ntegrando no cama de sgno al ntercamar sen y cos se hace la d cos 4 cos tg d t dt ( tg + cos ( t + ( t + susttucón t tg dt Entonces 4 Desarrollando en fraccones smples (ver (: t A At + B At + B + + ( t+ ( t + t+ t + ( t + t gt ( t + ; g ( z + ; Según esto A y B t + t g'( t ( t + ; g'( + + A z ; así que 4 4 Resumendo esta laor t lm ( t + 4 t dt t t + 4 log t + t + C 4 dt + dt t+ 4 t + ( t t 4 + t log sen + cos cos( sen + cos C d e 5 ( + 4+ REFERENCAS BBLOGRÁFCAS ( θ OÑATE Lus Carlos Fraccones parcales (Teoría y Aplcacones US 986

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