FM Programa Focalizado. Función exponencial y logarítmica I. Medio - avanzado 20

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1 FM Programa Focalizado Función exponencial y logarítmica I Medio - avanzado 20

2 Programa Focalizado Estimado alumno o Estimada alumna: INTRODUCCIÓN Como parte de la preparación y formación integral para la PSU de Matemática, este año hemos elaborado una nueva propuesta denominada Programa Focalizado. Este material didáctico te proporcionará una instancia de preparación diferenciada en dos niveles: básico (guías 1-16) y medio-avanzado (guías 17 a 32), parte de las cuales se ejecutará en 10 sesiones presenciales mientras que el resto estará a tu disposición en la página web de Cepech. Cada sesión será considerada como una instancia evaluativa que te permitirá obtener un puntaje asociado a las guía(s) que se desarrolle(n). De esta manera, podrás ir monitoreando tus niveles de avance por contenido y ejecutar con la ayuda de tu profesor tutor las intervenciones necesarias, ya sea en tu modalidad de estudio, aclaración de dudas de contenidos y habilidades, etc., que te permitirán ir mejorando tus rendimientos parciales. Con el mismo propósito, tendrás a tu disposición el programa CEPECH-ONLINE, que de modo virtual proporciona una síntesis teórica de los principales contenidos tratados en el plan focalizado y en tu curso de preparación clásica. Qué materiales comprende el Programa Focalizado? El programa Focalizado comprende un total de 32 guías: las guías 1 a 16 corresponden a las de nivel básico; las guías 17 a 32, a las de nivel medio-avanzado: Cada guía contiene una base teórica sobre el tema tratado, 15 ejercicios compuestos por un número variable de actividades de desarrollo y ejercicios PSU. Hoja de respuesta en la cual deberás registrar las alternativas que consideres correcta para cada ejercicio PSU. Dicha hoja debe ser entregada al profesor tutor, quien dará a conocer los resultados durante la clase siguiente. El solucionario completo de la guía que te permitirá aclarar tus principales dudas, en forma complementaria a la ayuda brindada por el profesor. 2

3 Función exponencial y logarítmica Marco Teórico 1. Función exponencial. 1.1 Definición: la función exponencial f con base a, se define como: f(x) = a x, si a > 0, x IR Programa Focalizado 1.2 Crecimiento y decrecimiento exponencial: a) Si a >1, f(x) es creciente en todo IR. f (x) x b) Si 0 < a < 1, f(x) es decreciente en IR. f (x) x 3

4 Programa Focalizado 2. Función logarítmica. La inversa de una función exponencial de base a se llama función logarítmica de base a y se representa por log a Definición: y = log a x x = a y 2.2. Crecimiento y decrecimiento logarítmico: a) Si a >1, f(x) = log a x es creciente para x > 0 f (x) x b) Si 0 < a < 1, f(x) = log a x es decreciente para x > 0 f (x) x 4

5 2.3 Logaritmos Definición: c = log a b a c = b c es el logaritmo de b en base a, b>0, a>0, a 1 Programa Focalizado Propiedades: a) Logaritmo de la base: log a a = 1 b) Logaritmo de la unidad: log a 1 = 0 c) Logaritmo del producto: log a (b c) = log a b + log a c b d) Logaritmo del cuociente: log a c = log a b log a c e) Logaritmo de una potencia: log a (b c ) = c log a b n 1 f) Logaritmo de una raíz: loga b = loga b n logc b g) Cambio de base: loga b = log a c Notación: log 10 a = log a, log e a = Ln a, con e = 2,

6 Programa Focalizado 3. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales: 3.1 Ecuación exponencial: Es aquella en que la incógnita se encuentra en el exponente. a) Bases iguales: Si a x = a y x = y b) Bases distintas: a x = b y (Se aplica logaritmo a ambos lados de la ecuación) log a x = log b y (Aplicando propiedad de logaritmos) x log a = y log b (Despejando la incógnita, que en este caso será x) x = y log b log a 3.2 Ecuación logarítmica: log a x = log a y a>0, x>0, y>0, a 1 x = y 6

7 Ejercicios P.S.U. 1. Al aplicar la definición de logaritmo a la expresión log 5 3 = b, resulta: A) b 5 = 3 B) b 3 = 5 C) 3 5 = b Programa Focalizado D) 5 3 = b E) 5 b = 3 2. Si log 2 = 0,3010 y log 3 = 0,4771, entonces log 12 = A) 0,1761 B) 0,2872 C) 0,7781 D) 1,0791 E) Otro valor 3. Si h(x) = log x 9 - log x 27, entonces, h(3) = A) - 3 B) - 1 C) 0 D) 1 E) 5 7

8 Programa Focalizado 4. Si log 1 2 A) 5x B) 4x C) x 2 D) - 4x E) - 5x = x, entonces, log 16 = 5. Si c > 1, log 8 (log c c 8 ) = A) 0 B) 1 C) 8 D) c E) c 8 6. Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdaderas? I) log 1 log 40 = log 40 II) log 1 4 log 50 < 0 III) log 6 log 10 = log 6 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 8

9 1 7. Si log 1- y A) B) C) = 3, entonces, y = Programa Focalizado D) E) Otro valor x Si log c = log c 3, entonces, x = A) - 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) Otro valor 9. Si 9 P + 9 P + 9 P = 3 99, entonces, p = A) 11 3 B) 11 C) 49 D) 98 E) 99 9

10 Programa Focalizado 10. Si 5 2x = 125, cuántas veces x es igual a 12? A) 8 B) 6 C) 4 D) 3 2 E) Ninguno de los valores anteriores. 11. Si f(x) = x y + 1 y f(2) = 17, entonces, y = A) 17 B) 9 C) 8 D) 4 E) Si una colonia de bacterias se cuadruplica cada 1 hora e inicialmente hay de ellas, el número de bacterias que hay al término de 5 horas es: A) B) C) D) 4 5 E)

11 13. Si una población de algas se duplica cada 10 minutos y se sabe que inicialmente hay de ellas, cuántas habrá al término de 3 horas? A) B) C) D) Programa Focalizado E) Una población de bacterias crece triplicándose cada 1 minuto. Cuántas habrá después de 4 minutos, si había inicialmente 2 bacterias? A) 4 B) 48 C) 81 D) 162 E) Otro valor 15. Se puede determinar el número de bacterias presentes en un cultivo después de 8 horas si: 1)Se duplican cada 6 horas. 2)El cultivo está en óptimas condiciones. A) 1) por sí sola. B) 2) por sí sola. C) Ambas juntas, 1) y 2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 11

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