TRIGONOMETRÍA. CONVERSIÓN DE UN SISTEMA A OTRO Tomando como base la equivalencia de un sistema a otro, podemos establecer la siguiente fórmula:

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1 Cursos ALBERT EINSTEIN ONLINE Calle Madrid Esquina c/ Av La Trinidad LAS MERCEDES ! www. a-einstein.com TRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS SISTEMA SEXAGESIMAL: Es el que considera al ángulo de una vuelta dividido en 360, cada uno de los cuales esta dividido en 60', los que a su vez están divididos en 60''. Ejem: 35 16' 27'' SISTEMA CENTESIMAL: Es el que considera al ángulo de una vuelta igual a 400 grados, cada grado dividido en 100 minutos, y cada minuto igual 100 segundos. Ejem: 97 g 85 m 36 seg SISTEMA RADIAL O CIRCULAR: Es el que tiene por unidad al RADIAN, que es el ángulo que define un arco de circunferencia cuya longitud es igual a la longitud del radio. Considera al ángulo de una vuelta igual a 2π radianes. Podemos establecer las equivalencias entre los tres sistemas: SISTEMA RADIAL SIST. SEXAGESIMAL SIST. CENTESIMAL 2π rad g π rad g π/2 rad g 3π/2 rad g π/4 rad g π/3 rad /3 g π/6 rad /3 g CONVERSIÓN DE UN SISTEMA A OTRO Tomando como base la equivalencia de un sistema a otro, podemos establecer la siguiente fórmula: S 360 C 400 g R 2π y simplificando S 180 C 200g R π (Fórmula general de conversión ) FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Una función trigonométrica f es aquella que está asociada a una razón trigonométrica. Éstas extienden su dominio a los números reales. Las razones trigonométricas de un ángulo α son las obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, las comparaciones por su cociente de sus tres lados a, b y c. Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será: La HIPOTENUSA (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. El CATETO OPUESTO (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar. El CATETO ADYACENTE (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar. Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180 ). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π / 2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos de este rango.

2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES 1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa: sen α opuesto hipotenusa a h 2) El coseno de un ángulo la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa: cos α adyacente hipotenusa b h 3) La tangente de un es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente: tan α opuesto adyacente a b 4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto: cot α adyacente opuesto b a 5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente: sec α hipotenusa adyacente h b 6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto: csc α hipotenusa opuesto h a Todo el material de Cursos ALBERT EINSTEIN ONLINE Prohibida su reproducción parcial o total FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS Si dibujamos un triángulo equilátero de lado l, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice superior por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, podemos definir el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º.

3 En forma similar, podemos organizar un triángulo a partir de la diagonal de un cuadrado de lado l formando dos ángulos de 45º y recurriendo al teorema de Pitágoras definir el valor de las funciones trigonométricas del mismo. Así, tenemos el siguiente cuadro con las funciones trigonométricas de 30º, 60º y 45º CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO Es aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad. Es una herramienta útil en el manejo de los conceptos de trigonometría. Al dividir el círculo trigonométrico en 4 partes iguales obtenemos como resultado que cada parte o CUADRANTE consecutivo mide 90 (π / 2 radianes). En cada cuadrante los parámetros seno, coseno, tangente y cotangente cambian su valor numérico con el aumento o disminución del ángulo α. El material de Cursos ALBERT EINSTEIN online Prohibida su reproducción parcial o total. VALOR DE LOS SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUATRO CUADRANTES Sen (+) Todas (+) Cosec II I Tg (+) III IV Cos (+) Ctg Sec FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS ÁNGULOS PICO SEN COS TG CTG SEC CSC

4 CONVERSIÓN DE CUALQUIER ÁNGULO APRIMER CUADRANTE Entendiendo que los ángulos de 180º y 360º son múltiplos pares de 90, así como 90º y 270º son múltiplos impares, admitimos que cualquier ángulo puede expresarse como un múltiplo par (o impar) de 90 más (o menos) otro ángulo mas pequeño (menor de 90 ). 90 Por ejemplo: En el II cuadrante tenemos: X 180 β α Y observamos que el ángulo X puede ser expresado como un múltiplo PAR de 90 (90 x 1) menos un pequeño ángulo (β) ó como un múltiplo IMPAR de 90 ( x 2) más otro ángulo pequeño (α). Entonces podemos entender la FÓRMULA PARA UN ÁNGULO MÚLTIPLO ALGEBRAICO PAR DE 90 ± α (Múltiplos pares de 90 son 180 y 360 ) Función ( ) ± la MISMA FUNCIÓN de α ( se toma + ó dependiendo del cuadrante ) Ejem: A que es igual? tg (180 α) tg α csc (180 + α) csc α cos (360 α) cos α (porque α está en el II cuadrante) (porque α está en el III cuadrante) (porque α está en el IV cuadrante) También se puede utilizar la FÓRMULA PARA UN ÁNGULO MÚLTIPLO ALGEBRAICO IMPAR DE 90 ± Â Pero considerando que al momento de realizar la conversión se utilizará la COFUNCIÓN de α. Así: (Múltiplos impares de 90 son 90 y 270 ) Función ( ) ± la COFUNCIÓN de α ( se toma + o en dependencia del cuadrante ) Ejemplo: A que es igual? tan (90 + α) ctg α (porque α está en el II cuadrante) cosc (270 - α) sec α (porque α está en el III cuadrante) EJEMPLOS: A. A qué es igual sen 120? a) sen 120 sen ( ) + sen 60 3 / 2 perteneciendo al II cuadrante, el seno tiene signo positivo y escribimos la misma función por trabajarse con un múltiplo par de 90 b) sen 120 sen ( ) + cos 30 3 / 2 perteneciendo al II cuadrante, el seno tiene signo positivo y escribimos la cofunción por trabajarse con un múltiplo impar de 90

5 B. A qué es igual sec 225? a) sec 225 sec ( ) sec 45 2 perteneciendo al III cuadrante, la secante tiene signo negativo y escribimos la misma función por trabajarse con un múltiplo par de 90 b) sec 225 sec ( ) cosc 45 2 perteneciendo al III cuadrante, la secante tiene signo negativo y escribimos la cofunción por trabajarse con un múltiplo impar de 90 RELACIONES IMPORTANTES IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones. Sen 2 A + Cos 2 A 1 Tg A Sen A Cos A Ctg A Cos A Sen A Sen A. Cosc A 1 Cos A. Sec A 1 Tg A. Ctg A Tg 2 A Sec 2 A 1 + Ctg 2 A Csc 2 A La presente Guía contiene problemas de pruebas de admisión. El material original de Cursos ALBERT EINSTEIN online Prohibida su reproducción parcial o total. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS A partir de los valores de ciertas funciones trigonométricas y de los lados del triángulo que las originan, podemos establecer relaciones que nos ayudarán a solventar problemas de Trigonometría. Existen dos teoremas que nos ayudarán en esto: Ley de Senos: En todo triángulo, el valor de cada lado es proporcional al seno del ángulo que se le opone Ley de Cosenos: En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, menos el doble producto de esos dos lados por el coseno del ángulo opuesto al primer lado (Si alguno de los vértices tiene un ángulo de 90, obtenemos el teorema de PITÁGORAS) a sen A b senb c sen C a 2 b 2 + c 2 2 bc cos A b 2 a 2 + c 2 2 ac Cos B c 2 a 2 + b 2 2 ab Cos C

6 PROBLEMAS 1. Cuál será la altura de un árbol cuya sobra mide 10 metros bajo un ángulo de 30º? A) 5 3 metros B) 12 metros C) 2 3 metros D) 8 metros E) 10 3 metros 2. En la figura, hallar la altura del cuerpo más alto. A) B) 2 ( 3 +1) 3 C) D) E) ( 3 +1) 3 3. Cuánto vale la tangente de 240º? A) 3 B) 2 3 C) 2 3 / 3 D) 1 / 2 E) 3 3 El material original de Cursos ALBERT EINSTEIN online Prohibida su reproducción parcial o total. 4. Cuál es el valor del coseno de 300º? A) 3 B) 2 3 C) 2 3 / 3 D) 1 / 2 E) Cuál es el valor de la tangente de 3120º? A) 2 1 / B) 2 1 / C) / D) / E) / Si Cos α 4 / 5 y α ( 0, 2 π ), hallar la diferencia entre la mayor y la menor función trigonométrica de α. A) 11 / 15 B) 12 / 15 C) 1 D) 16 / 15 E) Ninguna 4 3 π 7. Se tiene Cos α, y α ( π, ). Hallar Sen 2 α 2 Tan α. 5 2 A) 21 / 10 B) 10 / 21 C) 21 / 10 D) 10 / 21 E) Ninguna 8. En el triángulo ABC de la figura, se conoce que a 12cm, α 120º, χ 30º. Entonces c es igual a: B A) 4 3 cm B) 4 2 cm a C) 6 3 cm c D) 6 2 cm E) 6 cm α χ A C 9. Las longitudes de los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos, y el ángulo mayor "α" es el doble del ángulo menor "θ". La relación entre el lado mayor y el menor es : A) 2 cos θ B) 2 sen θ C) 5 / 3 D) cos 2 θ E) cos θ 10. Los lados de un triángulo ABC miden 5, 3 y 6 Cuál es el conjunto solución para el coseno del ángulo medio? A) { 5 / 9 } B) { 5 / 9, 5 / 9 } C) {π } D) {, } E) { 9 / 5, 9 / 5}