NÚMEROS COMPLEJOS (C) Si calculamos los valores de las potencias de i, encontramos que: con n N + y 0 p < 4

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1 NÚMEROS COMPLEJOS (C) DEFINICIÓN DE LA UNIDAD IMAGINARIA El cuadrado de un número real siempre es no negativo. Por ejemplo, no existe ningún número real x para el cual x 2 = -1. Para remediar esta situación, introducimos un número llamado unidad imaginaria, que denotamos con i y cuyo cuadrado es igual a -1: POTENCIAS DE i Si calculamos los valores de las potencias de i, encontramos que: i 1 = i i 5 = i i 9 = i i 2 = -1 i 6 = -1 i 10 = -1 i 3 = i 2 i= -1 i= -i i 7 = -i i 11 = -i i 4 = i 2 i 2 = -1-1 = 1 i 8 = 1 i 12 = 1 Se tiene que i 4n = 1, con n N +, entonces i 4n + p = i 4n i p = 1 i p = i p, por tanto con n N + y 0 p < 4 OBSERVACIÓN: i0 = 1 La suma de cuatro potencias consecutivas de i es 0. El producto de cuatro potencias consecutivas de i es -1. RAÍZ CUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS Para todo S lr + se tiene: S = ( 1) S = ( 1) S = i S Ej: 16 = 16 1 = 16 1 = 4i NÚMERO COMPLEJO (C) Un número de la forma z = a + bi, se llama número complejo, en donde a y b son números reales. Esta forma de representar al número complejo se le denomina forma binomial o algebraica. Además

2 a: se llama parte real del complejo z y se denota como Re(z). b: se llama parte imaginaria del complejo z y se denota como Im(z). Ejemplo: En el número complejo z = 2 + 3i se tiene: Re(z) = 2 (parte real de z). Im(z)= 3 (parte imaginaria de z). OBSERVACIÓN En el complejo z = a + bi Si sólo b = 0, entonces z = a (Complejo Real Puro) Si sólo a = 0, entonces z = bi (Complejo Imaginario Puro) A la expresión binomial, también se le denomina forma canónica del número complejo. IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS Dos complejos son iguales cuando son iguales sus partes reales y también sus partes imaginarias, respectivamente. Si z1= a + bi y z2 = c + di, con z1 = z2, entonces se cumple que a = c y b = d. EXPRESION BINOMIAL Y CARTESIANA DE UN NÚMERO COMPLEJO Cualquier número complejo a + bi también se puede considerar como un par ordenado (a, b) de números reales, donde la segunda componente del par ordenado corresponde al coeficiente de la unidad imaginaria i, entonces: Expresión cartesiana: (a, b) REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS El complejo z = (a, b) puede ser representado en un gráfico de Argand, mediante un vector flecha, de origen O (0, 0) y punto final P de coordenadas (a, b).

3 ADICIÓN DE COMPLEJOS Sean z1 = a + bi y z2 = c + di. Entonces, SUSTRACCIÓN DE COMPLEJOS Sean z1 = a + bi y z2 = c + di. Entonces, REPRESENTACIÓN DE LA ADICIÓN O SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Dados dos números complejos z1 y z2: a) La adición z 1 + z 2 queda representada en un plano de Argand por la diagonal del paralelogramo cuyos lados son los vectores z1 y z2. b) La sustracción (resta) z1 z2, queda representada por la suma de z1 con el opuesto del vector z2, z1 + (-z2)

4 OBSERVACIÓN El neutro aditivo es el complejo (0, 0) = 0 + 0i. El inverso aditivo de z es -z. Si z = a + bi, entonces -z = -a bi. MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO Si z = a + bi, entonces el módulo de z es z, tal que z = a 2 + b 2 El módulo o valor absoluto de un complejo equivale a la longitud o magnitud del vector que representa al número complejo en el plano de Argand. OBSERVACIÓN El módulo de todo complejo distinto de cero es positivo. CONJUGADO DE UN COMPLEJO Dos números complejos se dicen conjugados sí solo tienen distinto el signo de la parte imaginaria. Si z = a + bi, entonces el conjugado de z es z, tal que z = a bi. Gráficamente, todo número complejo z y su conjugado z son simétricos respecto del eje real. OBSERVACIÓN El conjugado del conjugado de un complejo es el mismo complejo (z = z) Los módulos o valores absolutos de z, z, -z y z son iguales.

5 MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS Si z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces z1 z2 = (a + bi)(c + di) multiplicando los binomios z1 z2 = ac + adi + bci + bdi 2 reordenando y reemplazando i 2 por (-1) z1 z2 = ac + bd(-1) + adi + bci factorizando por i z1 z2 = (ac bd) + (ad + bc)i z 1 z 2 = (ac bd, ad + bc) Notación binomial para la multiplicación de dos números complejos. Notación cartesiana para la multiplicación de dos números complejos. OBSERVACIÓN El neutro multiplicativo es el complejo (1, 0) ó 1 + 0i = 1. RECÍPROCO DE UN COMPLEJO Sea z = a + bi, entonces el recíproco de z es z -1 = 1 o z z-1 = 1 a+bi Para escribir el recíproco de un complejo, debe amplificarse por su conjugado: OBSERVACIÓN El elemento (0, 0) no tiene inverso multiplicativo

6 DIVISIÓN DE COMPLEJOS Si z1 = a + bi y z2 = c + di, con z2 distinto de cero, entonces el resultado de la división z 1 z 2 se obtiene amplificando por el conjugado de z2: GUÍA PSU MATEMÁTICA NÚMEROS COMPLEJOS 1.- Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución en los números reales? A) x 2 9 = 0 B) 8 + x 2 = 0 C) x = 0 D) x 2 3 = 0 E) x2 = Qué proposición(es) es(son) verdadera(s) acerca de los números imaginarios? I. Permite extraer raíces cuadradas a números negativos. II. Incluyen al cero. III. Permiten ordenar el conjunto de los números complejos. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) I y III se puede representar como: A) 6i B) 2 3i C) 12i

7 D) 3 2i E) 4 + 3i 4.- Si el complejo 3 + 5i es igual a (x 1) + (y + 2)i, Cuál es el valor de xy? A) -12 B) -2 C) 7 D) 12 E) Cuál de los siguientes números complejos tiene el mayor módulo? A) -5 6i B) 4 + 8i C) 2 + i D) i E) 3 5i 6.- Al desarrollar la expresión 2i + i 13 (2i) 6 se obtiene: A) i B) i C) 64 i D) 12 i E) i 7.- Si a = 2 4i y b = 5 + 6i, entonces el valor de a - b es: A) 7 + 2i B) 7 2i C) 3 10i D) i E) -3 10i

8 8.- Dados los complejos z1, z2, z3 y z4 en el plano, Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s)? I.- z 3 = z 2 + z 4 II.- z1 z2 = z3 III.- z2 z3 = z1 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) I y III 9.- La expresión (5 + 2i) (2 3i) es equivalente a: A) i B) 10 6i C) 16 11i D) i E) 6 10i 10.- Al simplificar la expresión 3+2i 1 2i se obtiene: A) i B) i C) i D) i E)

9 11.- Cuál es el valor de i 36? A) -1 B) 1 C) I D) i E) Si z1 = i y z2 = 1 2i, el valor de z2 + 2 z1 es: A) 0 B) 1 C) 2i D) i E) 1 2i 13.- El valor de (5 3i) + (3 i) 2(-3 i) es: A) 2 B) 14 C) 11 3i D) i E) 14 2i 14.- El valor de 2 + 3i es: A) 0 B) 1 C) i D) 13 E) El valor de ( i i i37 ) 3 es: A) -2 B) -1 C) -2i D) i E) -2i 2

10 16.- Cuál es el inverso multiplicativo de z = 3 + i? A) 0 B) 1 C) -3 i D) 3 10 i 10 E) Ninguna de las anteriores Si z = z, entonces z es un número tal que: A) z = 2 + 2i B) z es un numero imaginario C) z no es un numero complejo D) z es un numero complejo con la parte real y la parte imaginaria distinta E) la parte imaginaria de z es el doble de su parte real 18.- El valor de 3 4i 3+2i es: A) 1 (1 18i) 13 B) 13(1 18i) C) 1 18i D) 18i E) El valor de ( i ) corresponde a: 5 i A) i B) i C) i D) i E) Si z 1 + z 2 = z 1 z 2, entonces z 1 z 2 es siempre un número: A) Imaginario B) Real C) Igual a 1 D) Igual al producto entre z1 y z2 E) Ninguna de las anteriores

11 21.- Si 6a+bi 2+i es un número imaginario, entonces: A) a = b B) a = -b C) 12a = -b D) a = 3b E) 6a = b 22.- Si p y q son números reales tales que p < 0 y q > 0, entonces, Cuáles de los siguientes números no es real? A) p 2 + q B) p + q C) p + q 2 D) (p q) 2 E) pq q Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución en R? A) 3 x 1 = 0 B) 2 x 8 = 0 C) x 2 9 = 0 D) x = 0 E) x 2 8 = Si t = 5, Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un numero complejo? I.- (3 t) 1 II.- (3 t) 1 2 III.- (3 t) 1 3 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y III E) I, II y III

12 25.- Para qué valor o valores de t, la expresión t t 1 complejo? t 1 es un número I.- t = 0 II.- t = 1 III.- t > 1 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y III E) I, II y III 26.- Para que la expresión x 2 9 sea un número complejo se debe cumplir que: A) x 4 B) x -4 o x 4 C) x > 3 D) x > -3 y x < 3 E) x -3 o x Si a = -i, entonces la expresión 3a + a(3 + 5i) a + 4a, es igual a: A) 5 9i B) i C) 14i D) -14i E) i 2 + i 2 equivale a: A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

13 29.- El valor de 6i 25 + (2i) 6 + i 3 es: A) 65 6i B) 5 64i C) i D) i E) i 30.- z z es siempre: A) Un número real B) Un número imaginario puro C) Igual a z 2 D) (1, 0) E) Depende del valor de z 31.- Si z1 = 1 + i y z2 = 1 i, luego z 1 z 2 es: A) i B) 0 + 0i C) i D) i E) 0 + i 32.- El valor de i(1 i)(1 + i) es: A) 2(1 + i) B) 2(1 i) C) 2 i D) 2 + 0i E) 0 + 2i 33.- Si z1 = 3 2i, z2 = 3i y z3 = 1 + i, el valor de z 1 z 2 + z 3 es: A) i B) i C) 1 + 6i D) 10 5i E) Ninguna de las anteriores

14 34.- Qué igualdad es falsa? A) i 523 = -i B) i 234 = -1 C) i 65 = i D) i 72 = i E) i 122 = Al resolver x = 0, Cuáles son las soluciones? A) x1 = 5i, x2 = -5i B) x1 = 5 3i, x2 = -5 3i C) x1 = 5 3, x2 = -5 3i D) x1 = 5 3, x2 = -5 3 E) x1 = 5 3i, x2 = Cuál es el resultado de la expresión 5i45 15i 13 5i 114? A) 2 B) 2i C) 5i D) -2 E) -2i 37.- Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. 6 R II. i 345 = i III. x = 0 x = ± 2 6 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

15 38.- Respecto de los números complejos z1 = 3 i 20 y z2 = 6 i 5, Qué afirmación es falsa? A) Re(z2) = 6 B) Im(z1) = 2 5 C) Re(z1) = 3 D) Im(z2) = 5 E) Re(z1) + Re(z2) = Si w C, Im(w) = -5 y Re(w) = 15, Cuál es el numero complejo w? A) i B) i C) 15 5i D) 5 15i E) -15 5i 40.- Considerando z1 = 3 + (y + 5) i, z2 = (3 x) + 12i, para que z1 = z2, Cuáles deben ser los valores de x e y? A) x = 3, y = 7 B) x = 6, y = 17 C) x = 3, y = 17 D) x = 0, y = 7 E) x = 0 y = Cuál es el conjugado del número complejo que se representa en el gráfico? A) 4 + 2i B) 4 2i C) i D) -4 2i E) -2 4i

16 42.- Considerando el grafico de la pregunta 41, Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I. z = 2 5 II. z = (-4, 2) III. Re(z) = -4, Im(z) = 2 A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 43.- Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. Si z1 = 7 5i Im(z1) = -5 II. Si Re(z 2 ) = -2, Im(z 2 ) = 4 z 2 = i III. Si z1 = z2, z1 = a + 2i, z2 = 3 bi, entonces a = 3 y b = 2 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 44.- Se definen los números complejos z1 y z2 como z1 = -10 5i y z2 = 8 + 4i. Cuánto es z1 + z2? A) -2 i B) 2 i C) -2 + i D) 2 + i E) -8 i 45.- En el plano de Argand se han representado los números complejos z1 y z2. Cuánto es z1 + z2? A) 6 + 3i B) i C) -6 3i D) 3 + 6i E) i

17 46.- Considerando z = i, Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I. z + z = -2 II. z + z = 2 5 III. z + z = z + z A) Solo I B) Solo III C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III 47.- Si 4 5i + z = 9 + 8i, Cuál debe ser el numero complejo z? A) 5 3i B) i C) 5 + 3i D) 5 13i E) 5i Si z = 4 8i, Cuánto es el resultado de z - z? A) 0 B) -4i C) -8i D) -16i E) 8 16i 49.- En el plano de Argand se han representado los números complejos z1 y z2. Cuál es el resultado de z2 z1? A) 5 + i B) 1 + 5i C) i D) -5 i E) 5 i

18 50.- Si 5 3i w = 7 + 3i, Cuál es el numero complejo w? A) 2 6i B) -2 6i C) i D) 2 + 6i E) 2i Considerando z = 7 2i, Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I. z - z = -4i II. z z = 53 III. z - z = z - z A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III 52.- Si z = 2 i, w = 1 + i, Cuál es el resultado de z w? A) 3 + i B) 3 i C) 3 D) i E) -3 3i 53.- Si z = 7 4i, Qué numero representa a z -1? A) i B) i C) i D) i E) i

19 54.- En el plano de Argand se han representado los números complejos z1 y z2. Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I. 1 z 1 = -0,4 0,2i II. z1 z2 = -8 i III. z1 z 2 = z 1 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 55.- Si z = 3 5i, w = 6 + 2i, Cuál es el resultado de z : w? A) i B) i C) i D) i E) i 56.- Se define z = 3+2i. Cuánto es z? 4+3i A) 13 B) C) D) 13 5 E) 13 25

20 57.- En la igualdad z(1 i) = 2, a cuánto equivale z -1? A) 1 + i B) i C) 1 i D) i E) i 58.- El cociente entre un número complejo z = 2 + bi y su conjugado es 5 12i, Cuál es el 13 valor de b? A) 1 B) 3 C) -3 D) -1 E) Si z = i, w = 6 4i, Cuánto es z w? A) i B) 17(6 + 4i) C) 78 52i D) 17(6 4i) E) 119(6 4i) 60.- Cuál es el resultado de 4i62 2i 52 6i 200? A) 1 B) -1 C) 1 3 D) 1 3 E) i 3

21 61.- Si el número complejo z = 8 7i es igual a (x 2) + (y 3)i, Cuál es el valor de xy? A) 4 B) -4 C) 14 D) 40 E) Considerando los números complejos z1 y z2, Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. z 2 = 3 3 II. z 1 = 2 + 2i III. z 1 = 2 2 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III 63.- En el plano se han representado los números z1, z2 y z3. Cuáles de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I. z1 = z3 z2 II. z3 = z2 + z1 III. z2 = z3 z1 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 64.- Si z1 = 3 2i y z2 = i, Cuánto es el producto entre z1 y z2? A) i B) i C) i D) i E) -9 19i

22 65.- Se define z1 = 4 i y z2 = 3 + i. Cuánto es z 1 z 2? A) i B) i C) i D) i E) i 66.- Cuánto es (2 3i) 4? A) i B) 16 81i C) i D) i E) i 67.- Respecto del número complejo z = a + 4i, se puede determinar el valor de a si: (1) z - z = 8i (2) z + z = 6 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) (1) y (2), ambas juntas D) (1) o (2), cada una por sí sola E) Se requiere información adicional 68.- Se tiene el número complejo z = a + bi. Se puede determinar los valores de a y b si: (1) Re(z) = Im(z) y z se ubica en el tercer cuadrante del plano de Argand. (2) z = 2 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) (1) y (2), ambas juntas D) (1) o (2), cada una por sí sola E) Se requiere información adicional

23 69.- Para que 5i n y bi 13, con n entero y b un número real o imaginario, sean iguales se debe(n) cumplir la(s) siguientes condición(es) (1) b = 5 y n = 7 (2) b = -5 y n = 3 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) (1) y (2), ambas juntas D) (1) o (2), cada una por sí sola E) Se requiere información adicional 70.- Se puede determinar la parte imaginaria del complejo z, dado: (1) El valor de su módulo y su parte real (2) El opuesto aditivo de z A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) (1) y (2), ambas juntas D) (1) o (2), cada una por sí sola E) Se requiere información adicional 71.- Se puede determinar el valor de z = a + bi, si: (1) z pertenece al primer cuadrante y z = 5 (2) Re(z) = 3 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

24 CLAVES GUÍA NÚMEROS COMPLEJOS Nº CLAVE Nº CLAVE Nº CLAVE Nº CLAVE Nº CLAVE EJER EJER EJER EJER EJER 1 C 17 B 33 B 49 A 65 A 2 D 18 A 34 D 50 B 66 E 3 B 19 B 35 B 51 A 67 B 4 D 20 A 36 B 52 A 68 C 5 A 21 C 37 D 53 C 69 B 6 B 22 E 38 B 54 C 70 D 7 D 23 D 39 C 55 A 71 C 8 E 24 B 40 D 56 D 9 C 25 D 41 D 57 B 10 D 26 D 42 E 58 C 11 B 27 A 43 C 59 A 12 D 28 A 44 A 60 B 13 E 29 D 45 B 61 E 14 D 30 A 46 D 62 C 15 D 31 E 47 B 63 E 16 D 32 E 48 D 64 B