3.3. Competencia en cantidaes modelo de Bertrand

Transcripción

1 3.3. Competencia en cantidaes atilde achado 1 2 Empresas Las empresas eligen precios simultaneamente (es decir antes de observar el precio de su rival) El producto de las empresas es homogéneo (sustitutos perfectos) el consumidor compra del productor que le ofrezca un precio más barato Coste marginal constante = c para ambas empresas Las empresas satisfacen toda la demanda (es decir no hay restricciones de capacidad) Economía Industrial - atilde achado odelo de Bertrand 2 1

2 La demanda que enfrenta la empresa i es dada por: D( pi) si pi < pj capta toda la demanda del mercado 1 Di( pi, pj) = D( pi) si pi = pj (o cualquier otra cantidad) 2 0 si pi > pj pierde toda la demanda D i (p i,p j ) p j D(pi) 0 0.5D(pi) Economía Industrial - atilde achado odelo de Bertrand 3 El objetivo es de nuevo encontrar las funcciones de reacción (ahora en precios) y luego el equilibrio de Nash El equilibrio de Nash se caracteriza por un vector de precios (p* i,p* j ) tal que cada empresa maximiza su beneficio dado el precio de la otra empresa. Π Π Π Π i * * i * ( pi, pj) ( pi, pj) pi j * * j * ( pi, pj) ( pi, pj) pj La paradoja de Bertrand dice que el único equilibrio es aquél en que p* i =p* j =c y por tanto los beneficios de equilibrio son nulos Π i =Π j* =0. Economía Industrial - atilde achado odelo de Bertrand 4 2

3 Vamos a demostrar que este es el único equilibrio en el modelo de Bertrand. La prueba se construye por contradicción. Prueba: 1) Supongamos que (sin pérdida de generalidad) p* 1 >p* 2 >c es un equilibrio y vamos a probar que esto no sería posible. La empresa 1 no tendría demanda D 1 =0 Π 1 =0 La empresa 2 tendría toda la demanda del mercado D 2 =D(p) y Π 2 =(p* 2 -c)d(p)>0 Esto no es un equilibrio porque la mejor respuesta de la empresa 1 a p* 2 no es p* 1 sino p 1= p* 2 -ε. (ε es pequeño). Demostramos que la situación p* 1 >p* 2 >c no constituye un equilibrio del Economía Industrial - atilde achado odelo de Bertrand 5 2) Supongamos que p* 1 =p* 2 >c es un equilibrio y vamos a probar que esto no sería posible. en este caso las empresas se reparten el mercado. Vamos a suponer que en partes iguales: Π 1 = (p* 1 -c)(½d(p* 1 ))>0 Π 2 = (p* 2 -c)(½d(p* 2 ))= Π 1 > 0 Esto no es un equilibrio porque la mejor respuesta de, por ejemplo, la empresa 1 a p* 2 no es p* 1 sino p 1= p* 2 - ε. (ε es muy pequeño) en cuyo caso se ganaría toda la demanda del mercado y Π 1 = (p 1 -c)d(p 1 )> Π 1 = (p* 1 - c)(½d(p* 1 ))>0 Demostramos que la situación p* 1 =p* 2 >c no constituye un equilibrio del Economía Industrial - atilde achado odelo de Bertrand 6 3

4 Graficamente la situación 2) p* 2 Π1 Π2 p* 2 -ε c Economía Industrial - atilde achado odelo de Bertrand 7 3) Supongamos que p* 1 >p* 2 =c es un equilibrio y vamos a probar que esto no sería posible. en este caso la empresa 1 no tiene demanda Π 1 = 0 Π 2 = (p* 2 -c)(d(p* 2 ))=0 (toda la demanda) Esto no es un equilibrio porque la mejor respuesta de, por ejemplo, la empresa 2 a p* 1 no es p* 2 sino p 2 = p* 1 -ε. (ε es pequeño) en cuyo caso mantendría toda la demanda del mercado y Π 2 = (p 2 -c)d(p 2 )>0 Demostramos que la situación p* 1 >p* 2 =c no constituye un equilibrio del Economía Industrial - atilde achado odelo de Bertrand 8 4

5 4) El único equilibrio posible es p* 1 =p* 2 =c. Pero hay que probar que es de hecho un equilibrio en este caso las empresas se reparten el mercado pero no tienen beneficios. Π 1 = 0 Π 2 = 0 Si la empresa 1 p 1 Π 1 = (p* 1 -ε-c)d(p* 1 -ε)=-εd(p* 1 -ε)<0 luego no tiene incentivos a p 1 Si la empresa 1 p 1 Π 1 = (p* 1 +ε-c) 0=0 luego tampoco tiene incentivo a p 1 La empresa 1 no tiene incentivos a desviarse luego p* 1 es la mejor respuesta a p* 2. Lo mismo se puede decir para la empresa 2. Economía Industrial - atilde achado odelo de Bertrand 9 Conclusión: Probamos la paradoja de Bertrand i.e. que apenas con 2 empresas el único equilibrio posible es que las dos empresas tienen el mismo precio y este es igual al coste marginal, por lo que tienen beneficios nulos y no hay pérdida de eficiencia. Estamos en el mismo equilibrio que en competencia perfecta pero con apenas 2 empresas. Esto es dificil de creer porque con apenas 2 empresas es dificil de creer que no se pueda tener situaciones con precios por encima del coste marginal y beneficios positivos. Economía Industrial - atilde achado odelo de Bertrand 10 5

6 La funcción de reacción de las empresas es * p si pj > p * * * Ri( pj) = pj ε si c< pj p * c si pj c Economía Industrial - atilde achado odelo de Bertrand 11 Graficamente la funcción de reacción de las empresas es: p1 p R 2 (p 1 ) R 1 (p 2 ) p si p2 > p R1( p2) = p2 ε si c< p2 p c si p2 c c 45º El equilibro de Nash es unico y se da donde se cruzan las funcciones de reacción (p* 2 =c,p* 1 =c) y la demanda se reparte entre los dos D* 1 =D* 2 =D/2 c p p2 Economía Industrial - atilde achado odelo de Bertrand 12 6

7 El caso Asimétrico: Costes marginales diferentes c 1 >c 2. En este caso el resultado anterior ya no se verifica. El equilibrio de Bertrand implica: p*=c 1 (en realidad c 1 -ε, ε pequeño) y la empresa 2 capta todo el mercado y obtiene beneficios>0 Π 1 = 0 Π 2 = ( c1 ε c2) Dc ( 1 ε) ( c1 c2) Dc ( 1) > 0 + Nota: Si c 1 >p (c 2 ) entonces el equilibrio sería p 2 =p (c 2 )=argmax {p} (p-c 2 )D(p) Economía Industrial - atilde achado odelo de Bertrand 13 La paradoja del se puede solucionar si se cambian cada uno de los 3 supuestos básicos del modelo. 1. Solución de Edgeworth: introducción de restricciones de capacidad, que impiden la empresa a vender más cantidad de las que fisicamente puede producir. La idea es que al precio de competencia perfecta c, cada empresa por si sola no puede abastecer toda la demanda. El (p* 1,p* 2 )=(c,c) ya no es un equilibrio del mercado. Porqué? Se prueba por contradicción. Imaginemos que es un equilibrio. Entonces Π 1 =0, Π 2 =0, si la empresa sube el precio 1 entonces la empresa 2 enfrenta toda la demanda pero no la puede absorver. Π 1 =(p 1 -c)d 1 (p 1 )>0 y D 1 (p 1 )=D(p 1 )-K Π 2 =(c-c)k=0 donde K<D(c) portanto la empresa 1 tiene incentivos en desviarse el punto inicial no es un equilibrio. Economía Industrial - atilde achado odelo de Bertrand 14 7

8 2. Dimensión Temporal (juegos repetidos): Si consideramos que los competidores no se encuentran en el mercado una sola vez sino que probablemente tiene una relación de largo plazo entonces pueden darse cuenta que una guerra de precios (p 1 =p 2 -ε) solo conduce a Π=0. 3. Diferenciación del producto. Si los productos no son homogéneos (ej: distintas marcas, distinta localización) entonces una reducción del precios no implica que el rival se quede sin demanda, es decir no implica ganarse todo el mercado por lo que p=c ya no será un equilibrio. Conclusión: El análisis de Bertrand es un caso extremo, al introducir supuestos más realistas se suaviza la competencia y el precio de equilibrio será mayor que coste marginal Los modelos de oligopolio no tienen que ser el mismo para todas las industrias sino que uno u otro se adapta mejor a una u otra industria Economía Industrial - atilde achado odelo de Bertrand 15 8