Funciones en R n Conceptos métricos y topológicos Límites y continuidad en R 2. Funciones en R n : nociones topológicas

Transcripción

1 Funciones en R n : nociones topológicas

2 1 Funciones en R n 2 Conceptos métricos y topológicos 3 Límites y continuidad en R 2

3 Definición Definición Llamaremos función escalar real de n variables reales, o campo escalar, a cualquier f : X R n R tal que a cada (x 1, x 2,..., x n ) X le asocie f (x 1, x 2,..., x n ) R. Al conjunto X sobre el que está definida se le llama dominio de f. Por ejemplo, consideremos la función f : R 2 R dada por f (x, y) = x 2 + y 2.

4 Funciones en Rn Conceptos me tricos y topolo gicos Lı mites y continuidad en R2

5 Funciones en Rn Conceptos me tricos y topolo gicos Lı mites y continuidad en R2

6 Ejercicio Estudia el dominio de la función f (x, y) = sen (xy) xy

7 1 Funciones en R n 2 Conceptos métricos y topológicos 3 Límites y continuidad en R 2

8 Normas Definición Llamamos norma en R n a cualquier. : R n R + {0} que cumpla: (a) x = 0 x = 0 (b) λx = λ x x R n, λ R (c) x + y x + y x, y R n

9 Ejemplos de normas Ejemplos: Sea x R n, x = (x 1, x 2,..., x n ). Las siguientes son normas en R n : x 1 = x 1 + x x n = n x i x 2 = i=1 x x x n 2 = n xi 2, i=1 llamada norma euclídea. x p = p x 1 p + x 2 p x n p = p n cualquier natural p. x = máx ( x 1, x 2,..., x n ) i=1 esta es la x i p, para

10 Ejemplo Calcula los distintos valores de las normas para el vector x = ( 1, 3, 4, 7) R 4 : x 1 = x 1 + x x n = = 15 x 2 = x1 2 + x x n 2 = ( 1) 2 + (3) 2 + (4) 2 + ( 7) 2 = 75 x = máx ( x 1, x 2,..., x n ) = máx ( 1, 3, 4, 7 ) = 7

11 Ejemplo Calcula los distintos valores de las normas para el vector x = ( 1, 3, 4, 7) R 4 : x 1 = x 1 + x x n = = 15 x 2 = x1 2 + x x n 2 = ( 1) 2 + (3) 2 + (4) 2 + ( 7) 2 = 75 x = máx ( x 1, x 2,..., x n ) = máx ( 1, 3, 4, 7 ) = 7

12 Ejemplo Calcula los distintos valores de las normas para el vector x = ( 1, 3, 4, 7) R 4 : x 1 = x 1 + x x n = = 15 x 2 = x1 2 + x x n 2 = ( 1) 2 + (3) 2 + (4) 2 + ( 7) 2 = 75 x = máx ( x 1, x 2,..., x n ) = máx ( 1, 3, 4, 7 ) = 7

13 Bolas Se define bola abierta centrada en a R n de radio δ > 0 al conjunto: { } B p (a, δ) = x R n : x a p < δ Análogamente, se define bola cerrada centrada en a R n de radio δ > 0 al conjunto: { } x R n : x a p δ

14 Bola centrada en (0, 0) y de radio 1 (norma 1 ) Bola centrada en (0, 0) y de radio 1 (norma 2 )

15 Bola centrada en (0, 0) y de radio 1 (norma )

16 Definición Sea X R n y sea a X. Diremos que a es un punto interior de X, o bien que X es un entorno de a, si: existe un δ > 0 tal que B(a, δ) X Diremos que X R n es un conjunto abierto si todos sus puntos son interiores. Diremos que X R n es un conjunto cerrado su complementario (R n \ X) es un conjunto abierto. Es fácil ver que el concepto de punto interior no depende de la norma utilizada. Por lo tanto, tampoco dependen los conceptos de conjunto abierto y conjunto cerrado.

17 Sucesiones en R n {x (k)} k=1 x (1), x (2), x (3), x (4),... es decir, es una sucesión de puntos x (k) en R n, luego cada uno tiene n componentes: ( ) x (k) = x (k) 1, x (k) 2,..., x (k) n Definición Diremos que la sucesión { x (k)} x R n si: k=1 es convergente al punto ε > 0 N N : n N x n x p < ε. Puede probarse que la convergencia no depende de la norma utilizada.

18 Convergencia convergencia componente a componente Teorema Una sucesión { x (k)} k=1 en Rn es convergente a x R n si, y sólo si, converge componente a componente. Por ejemplo: La sucesión en R 3, {( 1 n, n )} n, e 1 + n, es convergente a n=1 (0, 1, 1). La sucesión en R 3, {( 1 n, n n, e n)} + n=1 sucesión {e n } es divergente. es divergente ya que la

19 1 Funciones en R n 2 Conceptos métricos y topológicos 3 Límites y continuidad en R 2

20 Continuidad Definición Sea una función f : X R n R y sea a un punto interior de X. Diremos que f es continua en a si lím f (x) = f (a), x a es decir, si i) { x (k)} a, x (k) X = {f ( x (k)) } f (a) ii) ε > 0 δ > 0 : si x a < δ = f (x) f (a) < ε Si f es continua a X se dice que f es continua en X. La continuidad no depende de la norma escogida.

21 Teorema de Weierstrass Un conjunto X R n es cerrado si su complementario (es decir, R n \ X) es abierto. Un conjunto X R n es acotado si existe una bola que lo contiene. Teorema de Weierstrass Sea X R n un conjunto cerrado y acotado y sea f una función continua en X. Entonces f alcanza su máximo y su mínimo en X.

22 Límites reiterados Teorema 1 Si existe el límite L = lím f (x, y) entonces existen los (x,y) (x 0,y 0 ) límites reiterados y son iguales a L: [ ] lím x x 0 lím f (x, y) y y 0 = L [ ] lím lím f (x, y) = L y y 0 x x 0 Ejercicio: Deduce que el límite siguiente no existe: x 2 y 2 lím (x,y) (0,0) x 2 + y 2.

23 Desearíamos calcular el límite determinar que no existe. lím (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 2 + y 2. Los límites reiterados existen y ambos son iguales a 0 (comprobar). Sin embargo esta condición NO ES SUFICIENTE para asegurar que el límite existe y vale 0. Límites direccionales Consideremos una dirección dada por un vector v = (v 1, v 2 ) A qué tiende una función f (x, y) cuando (x, y) se acerca a a = (a 1, a 2 ) por la dirección de v? o lím (x, y) (a 1, a 2 ) (x, y) = (a 1, a 2 ) + λ(v 1, v 2 ) f (x, y) := lím f (a 1 + λv 1, a 2 + λv 2 ) λ 0

24 Límites direccionales Ejercicio: Calcula los límites direccionales correspondiente al límite anterior y comprueba que son todos nulos. Proposición Si existe el límite lím f (x, y) entonces existen todos los (x,y) (a 1,a 2 ) límites direccionales y son iguales. Sin embargo... El recíproco no es cierto. Por tanto, lo realizado en el ejercicio anterior no es suficiente como para afirmar que el límite buscado es igual a 0.

25 Límites direccionales Ejercicio: Calcula los límites direccionales correspondiente al límite anterior y comprueba que son todos nulos. Proposición Si existe el límite lím f (x, y) entonces existen todos los (x,y) (a 1,a 2 ) límites direccionales y son iguales. Sin embargo... El recíproco no es cierto. Por tanto, lo realizado en el ejercicio anterior no es suficiente como para afirmar que el límite buscado es igual a 0.

26 Paso a coordenadas polares Teorema Sea f : R 2 \ {(0, 0)} R y sea la función definida como F(ρ, θ) = f (ρ cos θ, ρ sin θ) con ρ > 0 i 0 < θ 2π. Entonces, lím (x,y) (0,0) f (x, y) = λ si, y sólo si, lím ρ 0 F(ρ, θ) = λ uniformemente en θ es decir, si dado ɛ > 0 existe ρ 0 > 0 tal que si 0 < ρ < ρ 0 entonces F(ρ, θ) λ < ɛ, para todo θ. Resultado útil Si F(ρ, θ) λ = G(ρ)H(ρ, θ) con lím ρ 0 G(ρ) = 0 y H(ρ, θ) una función acotada, entonces lím ρ 0 F(ρ, θ) = λ uniformemente en θ. Ejercicio: Demuestra que el límite del ejemplo anterior es igual a 0.

27 Ejercicio Es contínua la función f (x, y) tal que f (x, y) = sin(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 f (x, y) (0, 0) y f (0, 0) = 1? si