Problemas de Probabilidad y Estadística (1)

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1 Problemas de Probabilidad y Estadística (1) Sebastian Grynberg 31 de agosto de 2009 Índice 1. Espacios de probabilidad (nociones básicas) Urnas y bolas Monedas Caminos, palabras y paseos Lucas y su barrio (postales de la vida cotidiana) Dados Naipes Conjuntos geométricos Dígitos aleatorios Simulación de experimentos aleatorios Espacios de probabilidad (nociones básicas) 1.1. Urnas y bolas 1. Una urna contiene tres bolas: una roja, una verde, y una azul. Considerar el experimento aleatorio que consiste en extraer una bola de la urna, reponerla en la urna y extraer nuevamente una bola de la urna. Describir el espacio muestral correspondiente. Suponiendo que en cada extracción todas las bolas en la urna tienen la misma posibilidad de ser extraídas cuál es la probabilidad de cada punto del espacio muestral? (a) Calcular la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas. (b) Calcular la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color. (c) Calcular la probabilidad de que ninguna de las dos bolas extraídas sea roja. 2. Repetir el Ejercicio 1 cuando la segunda bola se extrae sin reponer la primera. 3. Dos bolas se pintan de rojo o de verde, independientemente y con probabilidad 1/2 para cada color, y se colocan en una urna. 1

2 (a) Si se extrae una bola de la urna y es roja, cuál es la probabilidad de que la otra bola sea roja? (b) Si se sabe que en la urna hay una bola roja, cuál es la probabilidad de que la otra sea roja? 4. En una urna hay 2 bolas rojas y 2 bolas verdes. En cada paso se extrae una bola al azar, si es verde se la reemplaza en la urna por una bola roja. Sea N la cantidad de pasos necesarios para extraer una bola roja. Para cada n N calcular la probabilidad p n := P(N = n). 5. En una urna hay una bola verde y dos bolas rojas. En cada paso se extrae una bola al azar y se la repone junto con otra del mismo color. (a) Calcular la probabilidad de que al finalizar el segundo paso la urna contenga dos bolas verdes y tres rojas. (b) Si al finalizar el segundo paso la urna contiene dos bolas verdes y tres rojas, cuál es la probabilidad de que en el primer paso se haya extraído una bola roja? 1.2. Monedas 6. Lucas utiliza el siguiente sistema para jugar a la moneda: apuesta $ 1 a que saldrá cara. Si gana, se retira. Si pierde, duplica la apuesta y entonces cualquiera sea el resultado, se retira. Cuál es la probabilidad que se retire como ganador? Por qué este sistema no es usado por todo el mundo? 7. Se tienen dos monedas. Una moneda está cargada con probabilidad p 1 de salir cara y la otra con probabilidad p 2. Se puede optar por una de las siguientes estrategias: la primera consiste en elegir una moneda al azar y arrojarla dos veces; la segunda consiste en arrojar ambas monedas. El juego se gana si salen dos caras, en caso contrario se pierde. Cuál de las dos estrategias es más conveniente?. 8. Harvey dos caras tiene dos monedas normales y una moneda de dos caras. Elige una moneda al azar y la arroja al aire dos veces consecutivas. Si el primer resultado fue cara, cuál es la probabilidad de que el segundo también sea cara?. 9. Harvey dos caras tiene dos monedas normales y una moneda de dos caras. Elige una moneda al azar, la arroja al aire y sale cara. (a) Cuál es la probabilidad de que sea una de las monedas normales? (b) Harvey arroja la misma moneda por segunda vez y de nuevo sale cara. Cuál es la probabilidad de que sea una de las monedas normales? (c) Harvey arroja la misma moneda por tercera vez y de nuevo sale cara. Cuál es la probabilidad de que sea una de las monedas normales? 2

3 1.3. Caminos, palabras y paseos 10. Cuántas palabras distintas pueden formarse permutando las letras de la palabra manzana y cuántas permutando las letras de la palabra aiaiiaiiiaiiii? 11. La figura siguiente representa el mapa de una localidad turística de 40 manzanas situada en la costa atlántica. H Q C P Un paseo desde el hotel, situado en el punto H, hasta el puerto de pescadores, situado en el punto P, es una sucesión de 14 cuadras -dentro de la localidad- recorridas hacia la izquierda o hacia abajo (ver la figura). Se elige al azar un paseo desde el hotel hasta el puerto de pescadores (esto es, todos los paseos tienen la misma probabilidad de ser elegidos). (a) Calcular la probabilidad de pasar por el quiosco de diarios y revistas situado en el punto Q. (b) Sabiendo que se pasó por el café situado en el punto C, hallar la probabilidad de haber pasado por el quiosco de diarios y revistas. 12. Existen dos caminos de A hasta B (que no pasan por C) y dos caminos de B hasta C (que no pasan por A). Cada uno de estos caminos está bloqueado con probabilidad 0.2 independientemente de los demás. Hallar la probabilidad de que exista un camino abierto desde A hasta B sabiendo que no hay ningún camino abierto desde A hasta C. A B C 13. El experimento consiste en permutar aleatoriamente la letras C, H, Q, P. Demostrar que los eventos C precede a H y Q precede a P son independientes. 3

4 1.4. Lucas y su barrio (postales de la vida cotidiana) 14. En un estacionamiento hay 12 lugares ordenados en fila. Lucas observa que hay 8 autos estacionados y 4 lugares vacíos adyacentes entre sí. Dado que hay cuatro lugares vacíos, el orden observado podría considerarse como el resultado de un ordenamiento aleatorio? 15. Un vecino de Lucas recibió doce multas por estacionamiento prohibido. Todas las multas fueron emitidas los martes o jueves entre las 23:00 y las 5:00 hs. (a) Se justifica que alquile un estacionamiento nocturno sólo para los martes y jueves? (b) El hecho de que ninguna de las doce multas fue emitida un domingo, constituye evidencia suficiente de que no se emiten multas los domingos? 16. La encargada del edificio donde viven Lucas y otras 40 personas echa a rodar un rumor. A la mañana temprano se lo dice a una vecina, quien a su vez lo repite a una tercera, etcétera. En cada paso el emisor del rumor elige al azar al receptor entre los restantes 40 habitantes del edificio. (a) Hallar la probabilidad de que el rumor se transmita 15 veces sin retornar a la encargada que lo originó. (b) Hallar la probabilidad de que el rumor se transmita 15 veces sin que ninguna persona lo reciba más de una vez. 17. Lucas vive en un barrio donde el 40 % de los trabajos de plomería los realiza Oscar. El 30 % de los vecinos del barrio no está conforme con el trabajo de los plomeros y se queja, pero Oscar recibe quejas del 50 % de su clientela barrial. Si Lucas no está conforme con un trabajo de plomería, cuál es la probabilidad de que sea cliente de Oscar? 18. Tres panaderías producen el 20 %, 30 % y 50 % de las facturas que se consumen en el barrio donde vive Lucas. La probabilidad de que una factura contenga insectos es 0.04, 0.03 y 0.02 para cada una de las panaderías, respectivamente. Mientras saborea una esponjosa bola de fraile una vecina de Lucas muerde una crujiente cucaracha. Cuál es la probabilidad de que la haya comprado en la panadería más popular del barrio? 1.5. Dados 19. Se arrojan dos dados. (a) Cuál es la probabilidad que al menos uno de los resultados haya sido el 6? (b) Si los resultados son diferentes, cuál es la probabilidad de que al menos uno sea el 6? (c) Si al menos uno resultó el 6, cuál es la probabilidad que la suma de ambos supere 8? 20. Lucas arroja seis veces un dado y gana si obtiene al menos un as. Monk arroja 4

5 doce veces un dado y gana si obtiene al menos dos aces. Cuál de los dos tiene la mayor probabilidad de ganar? 21. Cuál de las siguientes apuestas es la más conveniente: apostar a que se obtiene al menos un as en cuatro tiros de un dado o apostar a que se obtiene al menos un doble as en 24 tiros de dos dados? 1.6. Naipes 22. [Ejemplicio sobre juego de poker] En el juego de poker son posibles las siguientes manos, que se listaran en orden creciente de conveniencia. En las definiciones la palabra valor se refiere a A,K,Q,J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 o 2. Esta sucesión también describe el rango relativo de los naipes, con una excepción: una A puede verse como un 1 para usarlo en una escalera. (a) un par: dos naipes de igual valor más tres naipes con diferentes valores J J 9 Q 3 (b) dos pares: dos pares más un naipe de diferente valor J J (c) terna: tres naipes del mismo valor y dos naipes de diferentes valores J J J 9 3 (d) escalera: cinco naipes con valores consecutivos A (e) color: cinco naipes del mismo palo R (f) full: una terna y un par J J J 9 9 (g) poker: cuatro naipes del mismo valor y otro naipe J J J J 9 (h) escalera de color: cinco naipes del mismo palo con valores consecutivos A R Q J 10 Este ejemplo se llama escalera real. Calcular las probabilidades de todas las manos de poker. Con los valores obtenidos construya una tabla. No se olvide de la mano perdedora. 5

6 Ilustración a modo se sugerencia. Para calcular las probabilidades de las manos de poker comenzamos observando que hay ( ) 52 5 = formas distintas de elegir 5 naipes de un mazo de 52. El cálculo de probabilidades se reduce a calcular la cantidad de formas distintas en que puede ocurrir cada mano. Calcularemos algunas para ilustrar las ideas principales. (a) un par: 13 (4 ( 2) 12 ) = Primero elegimos el valor para el par (13 formas), después les asignamos los palos ( ( 4 2) formas), luego elegimos tres valores para las otras cartas ( ( ) 12 3 formas) y finalmente les asignamos los palos (4 3 formas). Por lo tanto, la probabilidad de obtener un par es (d) escalera: = Una escalera puede empezar con una carta mayor o igual que 5, hay 10 posibilidades. Una vez que los valores fueron determinados, hay 4 5 formas de asignar los palos. Esta forma de contar considera a la escalera de color como escalera. Si se quieren excluir las escaleras de color, los palos pueden asignarse en maneras. Por lo tanto, la probabilidad de obtener una escalera que no sea de color es (f) full: 13 (4 ( 3) ) = Primero elegimos el valor para la terna (que puede hacerse de 13 formas), después les asignamos palos ( ( 4 3) formas), luego elegimos el valor para el par (12 formas), finalmente asignamos les asignamos palos ( ( 4 2) formas). Por lo 3744 tanto, la probabilidad de obtener full es Un mazo de 52 naipes se divide aleatoriamente en 4 pilas de 13 naipes cada una. Calcular la probabilidad de que cada pila contenga un as. 24. De un mazo de 52 naipes se extrae uno al azar. Demostrar que el palo del naipe es independiente de su valor numérico Conjuntos geométricos 25. Dardos. Considere un juego de dardos de blanco circular Ω de radio 1 centrado en el origen del plano: Ω = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 1}. (a) Un tirador lanza un dardo y se clava en el blanco. Sea r la distancia desde el centro del blanco hasta el punto de impacto. Hallar la probabilidad de que a < r < b, donde a y b son dos números reales tales que 0 < a < b < 1. (b) Suponga que el blanco está dividido en las siguientes zonas { A i = (x,y) : i 1 < x y 2 i }, i = 1, 2, 3, 4, 5, 5 que permiten clasificar a cada tirador en las siguientes categorías: sobresaliente, muy bueno, bueno, regular, malo dependiendo de si el dardo hace impacto en la zona 1, 2, 3, 4, 5, respectivamente. Hallar la probabilidad de que un tirador se clasifique en cada una de las clases. 6

7 (c) Un tirador lanza un dardo y se clava en el semicírculo superior del blanco. Hallar la probabilidad de que sea sobresaliente. (d) Construya una división del blanco en zonas B i, 1 i 5, similar a la del inciso anterior para que las 5 categorías resulten equiprobables. (e) Si un tirador es sobresaliente para un blanco divido en las zonas B i, qué probabilidad tiene de ser sobresaliente para un blanco dividido en las zonas A i. 26. Problema del encuentro. Dos estudiantes se citan en un bar entre las 12 y las 13 hs. El primero que llega espera al segundo durante un cuarto de hora, después de lo cual se va. Cada estudiante elige al azar el tiempo de llegada al bar. (a) Hallar la probabilidad de que se produzca el encuentro. (b) Si consiguieron encontrarse, cuál es la probabilidad de que el segundo haya llegado al bar después de las 12 : 45? 1.8. Dígitos aleatorios 27. Hallar la probabilidad p k de que en una muestra de k dígitos aleatorios no haya dos iguales. Estimar el valor numérico de p 10 usando la fórmula de Stirling (1730): n! e n n n+1 2 2π. 28. Considerar los primeros decimales del número π. Hay 2000 grupos de cinco dígitos. Contar la cantidad de grupos en los que los 5 dígitos son diferentes e indicar la frecuencia relativa del evento considerado. Comparar el resultado obtenido con la probabilidad de que en una muestra de 5 dígitos aleatorios no haya dos iguales. 29. Se sortea un número al azar dentro del intervalo [0, 1]. Hallar la probabilidad de que el número 7 no sea uno de sus dígitos Simulación de experimentos aleatorios 30. Simulación de experimentos aleatorios. Sea Ω = {ω 1,ω 2,...,ω n } el espacio muestral correspondiente a un experimento aleatorio. Suponga que cada punto ω k Ω tiene asignada la probabilidad p k. Usando un número aleatorio U, uniformemente distribuido dentro del intervalo [0, 1], se define el mecanismo aleatorio siguiente n X := k1 {L k 1 < U L k }, k=1 donde L 0 := 0 y L k := k i=1 p i, para k 1. Demostrar que, identificando cada punto ω k Ω con su correspondiente subíndice k, el mecanismo aleatorio X es adecuado para simular los resultados del experimento aleatorio considerado. 7

8 31. Mediante cien simulaciones estimar las siguientes probabilidades (a) Obtener al menos un as en seis tiros de un dado. (b) Obtener al menos dos aces en doce tiros de un dado. (c) De acuerdo con los resultados obtenidos cuál de las dos apuestas es más conveniente? (Comparar con el Ejercicio 20.) 32. Mediante diez mil simulaciones estimar las siguientes probabilidades (a) Obtener al menos un as en cuatro tiros de un dado. (b) Obtener al menos un doble as en 24 tiros de dos dados. (c) De acuerdo con los resultados obtenidos cuál de las dos apuestas es más conveniente? (Comparar con el Ejercicio 21.) 33. Mediante diez mil simulaciones estimar la probabilidad de que al arrojar 3 dados equilibrados la suma de los resultados sea menor que 12. Comparar la estimación obtenida con el valor verdadero de la probabilidad. 34. Utilizando la estadística de Maxwell-Boltzmann construya un mecanismo aleatorio para estimar el número e. 35. Método de Monte Carlo. Se elige al azar un punto (X,Y ) dentro del cuadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Sea f : [0, 1] [0, 1] una función continua cualquiera. (a) Hallar la probabilidad del evento A = {Y f(x)}. (b) Mediante diez mil simulaciones estimar la probabilidad p = P(A) cuando f(x) = x 2. (c) Usando el método indicado en el inciso (b) obtener 100 estimaciones ˆp 1,..., ˆp 100 de la probabilidad p y graficar el conjunto de puntos {(i, ˆp i ) : i = 1,...,100}. Qué se observa? (d) Usando el método indicado en el inciso (b) obtener estimaciones ˆp 1,..., ˆp de la probabilidad p. Considerar la partición del intervalo [ ] [a,b] = mín ˆp i, máx ˆp i 1 i i en 10 intervalos de igual longitud definida por [ I j := a + (j 1)(b a),a + 10 j(b a) 10 ), j = 1,...,9; I 10 := [ a + ] 9(b a),b 10 y graficar la función h(p) = 10 j=1 ( i=1 1{ˆp i I j } ) 1{p I j }. 8

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