E X P E R I E N C I A S D E A U L A

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1 Coordinador: Carlos Duque Gómez ISSN: Volumen 87, noviembre de 2014, páginas Carlos Duque Gómez (Instituto de Enseñanza Secundaria Mencey Bencomo. España) Eva M.ª Quintero Núñez (Instituto de Enseñanza Secundaria Tomás de Iriarte. España) Resumen Palabras clave Todos tenemos una idea intuitiva de probabilidad. En esta experiencia nos apoyamos en esta realidad e intentamos desarrollarla, ampliarla y enlazarla con otros aspectos de la probabilidad: probabilidad compuesta, juegos justos y Ley de los grandes números. Con todo ello se propone la realización de un trabajo de investigación a medio plazo. Probabilidad, Ley de los Grandes Números, Juego justo, Experiencia de aula. Abstract Keywords We all have an intuitive idea of probability. In this experience we rely on this situation and try to develop, expand and link to other aspects of probability: compound probability, fair games and Law of large numbers. With these elements a medium-term interesting research is proposed to our pupils. Probability, Law of Large Numbers, Fair Game, Experience of classroom. Cuando no esté a nuestro alcance determinar lo que es verdad, deberemos seguir lo que es más probable. Descartes 1. Introducción Posiblemente todos tenemos una idea intuitiva e innata de la probabilidad o, al menos, de si un suceso es más probable que otro. Con esta intuición tomamos muchísimas decisiones a lo largo de nuestra vida, quizá muchas más de las que basamos en cálculos certeros. En el amplio abanico de las «paradojas matemáticas», la matemática recreativa y la matemagia hay un abundante muestrario de elementos fundamentados en percepciones engañosas de la noción de probabilidad. Frecuentemente encontramos en los currículos (y, por tanto, en los libros de texto) un bloque de contenidos titulado «Estadística y Probabilidad». Efectivamente, ambos apartados están relacionados y parece lógico que aparezcan juntos. Sin embargo, resulta paradójico observar cómo el principal nexo de unión entre ambos, la íntima relación existente entre frecuencia relativa y probabilidad, resulta muchas veces obviada o relegada a un apartado breve en el que es difícil despejar el principal «engaño» que nos produce la intuición en el terreno de la probabilidad: si tiro una moneda 5 veces y Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

2 las 5 veces me ha salido cara, entonces es más probable que la próxima vez me salga cruz, porque «ya le toca». Incluso la Ley de los Grandes Números parece que ayuda a caer en esta paradoja: si a medida que aumenta el número de tiradas de la moneda la frecuencia de caras y cruces tiende a equilibrarse, como asegura dicha ley, con más razón debo pensar que después de cinco caras es más probable que la próxima vez salga cruz. En la actividad que describimos en este artículo partimos de esa intuición probabilística innata, que a veces nos engaña, e intentamos domesticarla, dándole un poco de formalidad matemática, la que creemos que está al alcance de alumnos de 15 o 16 años de edad. 2. Objetivos - Perseguimos, como objetivo inicial, que el alumnado llegue por sí mismo a comprender la Ley de los Grandes Números, a través de la experimentación y observación de los experimentos aleatorios diseñados para ello. Está sobradamente demostrada la eficacia del aprendizaje por descubrimiento. - La generación de grandes cantidades de datos y su tratamiento consolidará en el alumnado la relación entre Estadística y Probabilidad. - La realización de un verdadero «proyecto de investigación» busca introducir al alumnado en el método científico de una forma práctica y desarrollar en ellos el espíritu crítico necesario para recibir e interpretar informaciones provenientes presuntamente de estudios científicos. - Por último, la elaboración de un informe exhaustivo y laborioso debe fomentar en nuestros alumnos la satisfacción de un trabajo bien hecho y conseguir que acepten y exijan informaciones bien contrastadas, frente a la cantidad de afirmaciones gratuitas de todo tipo que nos bombardea a diario. Para aceptar una información como verdadera no basta con que lo dijeron en la tele o lo recibí en un whatsapp. 3. Características del proyecto - La actividad que presentamos consiste en un conjunto de actividades enlazadas que giran en torno a distintos aspectos de la probabilidad: regla de Laplace, juegos justos o equilibrados, probabilidades a posteriori, probabilidad compuesta, Ley de los Grandes Números. El alumnado tendrá que resolver ejercicios «clásicos», realizar experimentos aleatorios guiados, leer textos, inventar o diseñar sus propios experimentos y, finalmente, redactar y presentar un informe. En definitiva, realizar un proyecto de investigación junto a otros compañeros durante un mes aproximadamente, convenientemente guiado por su profesor. - Para realizar todo esto, el profesor introduce en clase los contenidos necesarios, presenta los ejemplos y experimentos, inicia si lo cree necesario la realización de dichos experimentos, marca el ritmo de trabajo y las fechas de revisión y presentación del informe y les facilita una guía para la realización de la actividad, dividida en dos partes, y otra para la organización y presentación del informe final. - La experiencia que exponemos aquí ha sido desarrollada varias veces, siempre con grupos de 4.º curso de ESO (15 y 16 años de edad), durante varios cursos escolares. Estimamos que puede realizarse igualmente en el nivel anterior o posterior. Si se quiere llevar a cabo en niveles inferiores proponemos que se eliminen las partes correspondientes a los contenidos de probabilidad compuesta y juegos justos, y que se acorte el tiempo de desarrollo. 156 Vol. 87 noviembre de 2012 NÚMEROS

3 3.1. Material Cada alumno debe tener el material relacionado a continuación, aunque es el profesor quien decide si debe tenerlo todo desde el comienzo o a medida que vaya siendo necesario. Para cada equipo de trabajo (de entre dos y cuatro alumnos) se necesita el siguiente material: - Chinchetas: una caja de 50 o 100 chinchetas iguales. - Cajas de fósforos: al menos 10 cajitas iguales y en buen estado. - Tapas de botellas: varias exactamente iguales, cuantas más mejor. - Plastilina: mejor si viene en barras, para poder cortar pedazos exactamente iguales con facilidad. - En nuestro caso, las tapas de botellas las facilitamos nosotros, que ya tenemos una colección de tapas de varios modelos diferentes, de forma que podemos suministrar tapas con solamente dos posibilidades de caída (boca arriba o boca abajo) a los alumnos que prevemos que tendrán mayores dificultades y tapas con tres posibilidades de caída (boca arriba, boca abajo y de lado) a otros equipos de alumnos. Además, podemos decidir si cada equipo hará su investigación con tapas diferentes a los otros equipos o, por el contrario, algunos equipos (y ocasionalmente todos) utilizarán el mismo tipo de tapas, con el fin de contrastar los resultados (y, por qué no, detectar si han realizado realmente los más de 1000 lanzamientos que les pedimos o si se los han inventado) Temporalización - La temporalización que se ofrece aquí está basada en la realización de esta actividad como «proyecto de investigación», del que se ven algunos aspectos en clase, pero que se completa y redacta fuera del aula. Por tanto, las sesiones dedicadas son alternadas con sesiones de clase ordinarias, en las que se puede estar trabajando contenidos de probabilidad o de cualquier otro tema. - En nuestro caso, consideramos preferible abordar el proyecto después de haber impartido los contenidos de probabilidad propios del curso y que vamos a aplicar y a consolidar con esta investigación. Por tanto, mientras en clase estamos trabajando otros contenidos (Álgebra, Matemática Financiera o Geometría, por ejemplo), los alumnos deben organizarse para ir desarrollando su investigación y elaborando el informe final fuera del aula. Nuestras sesiones de revisión y control del trabajo realizado interrumpirán brevemente el desarrollo de las clases aproximadamente una vez a la semana. Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 87 noviembre de

4 - Proponemos una duración total de un mes para la elaboración del proyecto completo, desde el día que se presenta a los alumnos hasta la fecha que se acuerde para su entrega final, con varias sesiones de seguimiento, en principio, semanales. 4. Puesta en práctica Describimos a continuación, de forma breve y esquemática, cómo organizamos nosotros nuestras sesiones de trabajo y seguimiento de realización del proyecto, añadiendo en cada una de ellas algunos detalles que consideramos importantes, como qué dificultades encontraron los alumnos o qué respuestas dieron a los trabajos propuestos Primera sesión - La primera sesión es fundamental. Debe quedar claro en qué consiste el trabajo, la duración del mismo, la importancia del trabajo continuado y de las sesiones de seguimiento (no se resolverán dudas fuera de esas sesiones), etc. Formamos los grupos de trabajo, de 2 o 3 personas (excepcionalmente 4). También determinamos el calendario: fechas de trabajo en el aula, fechas de revisión del trabajo realizado hasta ese momento y fecha de entrega del informe final. - Hacemos un repaso breve de los contenidos básicos necesarios. Recordamos los conceptos ya conocidos de probabilidad e insistimos en la «probabilidad intuitiva» (la teoría de probabilidades es solo el sentido común expresado con números, según dijo Laplace): regla de Laplace, ejemplos con monedas y dados. - A continuación planteamos el problema de la moneda «torcida»: tendrá la misma probabilidad salir cara que cruz? Cómo podemos saber qué lado será más probable? Podremos determinar esa probabilidad? Este caso tiene evidentes similitudes con las tapas de botellas. - Comentamos la paradoja ya mencionada en la introducción: la probabilidad de salir cruz es siempre 0.5, aunque hayan salido varias caras consecutivas inmediatamente antes. En las experiencias de azar no existe la memoria. Las probabilidades son, de alguna manera, números desmemoriados (Frías Ruiz, V. y otros, 1995). - Dentro de este repaso inicial resolvemos algún ejercicio similar a los dos primeros (Un dado extraño y Chupetes de Kojak y calcetines), aunque sea de modo verbal. - Por último, intentamos leer los textos 1 y 2 en el tiempo de clase, procurando aclarar las dudas que surjan de la lectura principalmente a través de las intervenciones de los propios alumnos. - Como tarea para trabajar en casa y traer terminada en la próxima sesión de seguimiento, el alumnado debe hacer los ejercicios del texto 2, los ejercicios de cómic (texto 3) y los dos ejercicios propuestos en la guía (Un dado extraño y Chupetes de Kojak y calcetines). - Dificultades: Normalmente aparecen pocas dificultades en esta primera sesión. Además de las típicas dudas de comprensión de textos escritos (más frecuentes en textos de tipo científico o de 158 Vol. 87 noviembre de 2012 NÚMEROS

5 divulgación científica, como este), siempre hay alumnos que dudan en comprensión, cálculo e interpretación de las frecuencias acumuladas, mucho más si se trata de frecuencias relativas Segunda sesión - Esta segunda sesión debe hacerse 2 o 3 días después de la primera, no dejar pasar una semana completa. Resolvemos las dudas concretas de las tareas anteriores, siempre que el alumnado las haya realizado, evitando corregir los ejercicio (es mejor, en todo caso, hacer algún ejercicio similar en vez de resolver exactamente el mismo ejercicio que ellos deben incluir en su informe). - Ahora es cuando entregamos la Guía de trabajo para el alumnado I (anexo 1) y la Guía de presentación del trabajo (anexo 3). Es importante detenerse lo que sea preciso en este último punto: debe quedar muy claro qué esperamos de su informe final y la relevancia que van a tener los distintos aspectos del informe en la evaluación. - Explicamos brevemente, leyendo la guía, cuáles son las dos primeras investigaciones que deben realizar. Debemos insistir en la importancia de realizar un número realmente grande de repeticiones del experimento aleatorio. Realizamos en clase algunas tiradas de chinchetas y de tapas de botellas para mostrar cómo se hace y cómo se recogen los datos en una tabla. - Recordamos que las gráficas que vamos a realizar son similares a las gráficas estadísticas que ya conocen; de hecho, vamos a hacer un estudio estadístico de los resultados obtenidos en nuestros experimentos aleatorios. - La tarea para la siguiente sesión será terminar estas dos investigaciones. - Dificultades: Los alumnos se alarman ante la perspectiva de realizar 1000 tiradas. Su primera percepción es que ello les costará horas de trabajo (en realidad solo serán unos cuantos minutos si se organizan bien). No están acostumbrados a grandes cantidades de datos (los ejercicios típicos de clase y de los libros de texto suelen redactarse con 10, 30 o 50 datos) y mucho menos a generarlos ellos mismos. La organización, el orden la necesidad de ser sistemático hay que trabajarla en insistir en ella Tercera sesión - Una semana después, aproximadamente, volvemos a dedicar un tiempo al proyecto (una sesión de clase, o menos). Revisamos lo realizado: recogida y tratamiento de datos, tabulación y alguna gráfica de los experimentos de las chinchetas y tapas de botella. Deberían estar terminados, pero normalmente no es así. La autonomía del alumnado en este tipo de trabajos a medio plazo suele ser deficiente; tienden a dejar muchas cosas para el último momento, cosa que en este proyecto no Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 87 noviembre de

6 funciona. Es importante volver a insistir en esto en esta sesión, y tomar nota de qué equipos de alumnos sí han hecho las tareas propuestas y cuáles no. - Recordamos los experimentos compuestos y orientamos a nuestros alumnos en la forma de aplicarlos para responder a las preguntas propuestas a continuación en la guía. Es importante hacerles ver que la alternativa al cálculo es «tirar una chincheta y una tapa» 1000 veces (o más), anotar los datos, tabularlos, etc., lo cual es muy trabajoso e innecesario! Además, hay un problema logístico: si se tiran simultáneamente, por ejemplo, 10 tapas y 10 chinchetas, cómo distinguimos cada «pareja de tapa y chincheta» de las demás, si se mezclan todas al caer? - En esta misma sesión realizamos la lectura del último apartado de la 1.ª parte de la guía (Juego justo o equilibrado) y del 4.º texto, que se propone en ese apartado. El procedimiento es el mismo que en las sesiones anteriores: leer, preguntar dudas, intentar que las dudas se resuelvan con las aportaciones de los propios alumnos guiados por el profesor. - La tarea que deben realizar antes de la siguiente sesión de seguimiento consiste en contestar a los ejercicios propuestos sobre probabilidad compuesta (una chincheta y una tapa, dos tapas, etc.) y sobre las apuestas en el juego justo. - Dificultades: Calcular los importes de las apuestas para que se realice un juego justo. En casos sencillos (por ejemplo, tirar una moneda: cada uno pone un euro, el que gane se lleva los dos euros) no hay problema ninguno, pero sí en casos como los propuestos en la guía. Conviene realizar en clase algún ejemplo un poco más complejo que el de la moneda, asegurándose de que el alumnado lo ha comprendido bien Cuarta sesión - Revisión de lo realizado y resolución de dudas. Una vez más, aconsejamos no corregir los ejercicios propuestos, sino realizar alguno similar para aclarar las posibles dudas. - En esta sesión entregamos la 2.ª parte de la guía de trabajo para el alumnado (anexo 2). Hay que recordarles el día antes que deben traer el material necesario, especialmente las cajas de fósforos. Marcamos las cajas en clase y realizamos la estimación, por intuición, de las probabilidades de cada una de las caras: cada equipo hace sus estimaciones, las anota en un papel y las entrega al profesor. Les hacemos notar que realmente la caja no es simétrica (en términos probabilísticos), porque en algunas caras hay doble cartón, bien debido al pegado de la caja, 160 Vol. 87 noviembre de 2012 NÚMEROS

7 bien debido al contenedor interior de los fósforos. Realizamos las primeras tiradas y tabulamos, para dejar claro cómo va a quedar la tabla de frecuencias con 6 columnas. - A continuación, explicamos cómo se modifican las cajas para realizar la segunda parte de la investigación de las cajas de fósforos. El profesor lo explica, pero los alumnos no modifican ninguna de sus cajas, puesto que antes deben hacer las 1000 tiradas de las cajas originales. - Esta es la parte más «fuerte» del proyecto porque lleva tiempo, es costoso y no hay revisiones intermedias mientras se realizan estos dos experimentos. El alumnado ya tiene experiencia suficiente y debe abordarlo con autonomía. Esta es la tarea propuesta: realizar las tiradas, las tablas de frecuencias y las gráficas correspondientes a los dos experimentos de las cajas de fósforos: cajas vacías y cajas modificadas con un peso. También deben contrastar los resultados con sus estimaciones previas y comentarlas. - Dificultades: Prácticamente ninguna, al menos desde el punto de vista matemático. Hay que tener cuidado al identificar las caras de las cajas de fósforos y al realizar bien la colocación de los pesos posteriormente Quinta sesión - Esta sesión de revisión es la última antes de la entrega del trabajo. No es necesario dedicar una sesión de clase completa, normalmente con 20 minutos es suficiente. Se pregunta si hay dudas, se pide que muestren el trabajo realizado y el profesor decide qué trabajos mostrar al resto de la clase para indicar distintas posibilidades de presentación, o errores con los que hay que tener cuidado, o el aspecto de algunas gráficas para que le sirvan de modelo y orientación al resto de los alumnos. Cajas de fósforos sin pesos Cajas de fósforos con pesos - En este momento el alumnado ya ha trabajo sobradamente para abordar con total autonomía la última investigación, en la que deben incluso inventarse el experimento aleatorio. Los mayores «errores» se producen porque algunos alumnos no eligen experimentos que verdaderamente necesiten de la Ley de los Grandes Números, sino que pueden abordarse usando simplemente la Regla de Laplace. Otra circunstancia que se da en algunas ocasiones es la elección de experimentos nada originales: tirar monedas o dados, por ejemplo. Estos son algunos de los experimentos estudiados por algunos alumnos (copiamos lo escrito literalmente, con todas las erratas y errores). Se puede observar Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 87 noviembre de

8 originalidad y buen hacer, pero también todo lo contrario, en particular los que aplican la Ley de los «grandes» Números con solamente 10 o 50 ocurrencias: - Mi experimento consiste en saber que probabilidad de cuál es el último número de los números de teléfono de un pueblo fijándome en una hoja al azar de las páginas blancas. El espacio muestral del experimento es el siguiente: E {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) - En la investigación número 4 hallaremos la probabilidad de que en un viaje veamos un coche asiático, europeo o americano. E = {europeo, americano, asiático} - El juego consiste en darle vueltas a una botella encima de una mesa, entre cuatro jugadores y mirar dónde se queda la tapa. Hice 100 lanzamientos en 5 tandas de De un paquete de pipas, saber cuantas de ellas están podridas. La media de pipas en cada paquete son 70. Se utilizarán 100 paquetes de pipas para tener bastantes resultados para la investigación. - Cogiendo un globo terráqueo y cerrando los ojos hacemos girarlo y señalamos con el dedo índice un lugar al azar. Los sucesos elementales se dividen en sacar tierra o agua. Hacemos girar el globo 50 veces y anotamos los resultados. - Y no se pierdan el último que hemos seleccionado: Cogemos un gato y lo tiramos por una ventana que hasta situada a una altura de 2 metros. Para realizar este experimento hemos cogido el gato de Leo y lo hemos tirado de espalda (boca arriba) y hemos anotado las veces en las que el gato ha caído de pie. En las 10 ocasiones el gato impresionantemente ha caído de pie dándose la vuelta rápidamente esto es lo que se llama un suceso seguro. 5. Evaluación - Para la evaluación y calificación hemos elaborado una plantilla (anexo 5) en la que se recogen todos los aspectos evaluables. Ahí figuran tanto los distintos apartados del informe, como la valoración del estado del trabajo en las revisiones intermedias y la puntualidad en la entrega final. - Esta hoja de valoración del proyecto se presenta desde el principio al alumnado, pudiendo dejarles una copia o no, a juicio del profesor. Es importante que vean desde el principio cuáles son los aspectos que se van a valorar, incluidos los «intangibles»: revisiones intermedias, puntualidad, limpieza y presentación, etc. - Se incluyen dos columnas de «calificación» que permiten combinar las anotaciones del profesor con la calificación que los propios equipos de trabajo decidan asignarse, o la que unos equipos le otorguen a otros. 162 Vol. 87 noviembre de 2012 NÚMEROS

9 6. Un reto pendiente - A partir de las actividades descritas (que han ido variando a lo largo de los años) nos hemos planteado la siguiente pregunta, que aún tenemos sin contestar: «Qué altura debe tener un cilindro para que la probabilidad de que caiga sobre una base o que caiga acostado sea la misma, es decir, 0.5?» - El reto que tenemos pendiente es proponer este problema a nuestros alumnos y ser capaces de guiarles para que diseñen un plan que les conduzca a contestar la pregunta de una forma científica. Al alumnado les planteamos la cuestión del siguiente modo: «Claramente, al tirar la pieza cilíndrica siguiente hay mayor probabilidad de que caiga sobre una de las bases del cilindro, como muestra la figura siguiente. Es lo que ocurre, por ejemplo, con una moneda. Sin embargo, si aumentamos la altura del cilindro lo suficiente, es evidente que la probabilidad de que el cilindro caiga de lado es mucho mayor: Por lógica, intuimos que habrá un tamaño intermedio de la altura del cilindro en el que la probabilidad de que caiga de pie y de que caiga acostado será igual, es decir, 0.5 en ambos casos. Qué podemos hacer para conseguir determinar con la mayor exactitud posible cuál es esa altura?» - El plan de trabajo que nos gustaría que surgiera del trabajo y de la discusión común, con las aportaciones de todos, debería ser similar a éste: 1. Disponer de varillas cilíndricas de madera o tuberías de PVC que nos permitan cortar cilindros de varios tamaños (pero todos con la misma medida de la base). 2. Cortar algunos (tantos como se pueda) cilindros de varias alturas diferentes. Hay que garantizar que los cilindros quedan exactamente iguales. 3. Tirar muchas veces los cilindros de cada uno de los tamaños (cuantas más, mejor), para saber la probabilidad a posteriori de cada tamaño de cilindro. Aquí se aplica la Ley de los Grandes Números. 4. Hacer una gráfica con los resultados obtenidos. 5. Estimar el «punto de equilibrio», es decir, el que nos da lo que buscamos: P(caer de pie) = P(caer de lado) = 0,5. Esta estimación se puede hacer, en principio, de dos maneras: (a) gráficamente, «a ojo»; (b) obteniendo una función a partir de los puntos dibujados en la gráfica (aproximación cuadrática u otra 1 ). 6. Cortar varios cilindros del tamaño estimado en el punto anterior y comprobar empíricamente que efectivamente hemos acertado en nuestras predicciones. 1 Una forma bastante sencilla de hacerlo es con una hoja de cálculo. Se introducen los valores de las probabilidades experimentadas, se dibujan los puntos en un gráfico de dispersión y se pide un ajuste lineal, cuadrático, polinómico, exponencial, etc. Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 87 noviembre de

10 - El trabajo puede terminar con el diseño del plan, o podemos ir más allá y ejecutarlo. O quizá nos sorprendan nuestros alumnos y encuentren otra manera más eficiente de resolver nuestro reto pendiente. 7. Conclusiones La realización de auténticos trabajos de investigación es muy poco frecuente en el aula, no solamente en la clase de Matemáticas, sino en cualquier materia. Generalmente al alumnado se le ofrecen pocas pautas que seguir y presuponemos una autonomía que en absoluto es fácil adquirir sin una enseñanza ad hoc. Las primeras versiones de esta experiencia, realizadas hace ya varios años, nos ofrecieron resultados bastante pobres, que nosotros achacamos a la inexperiencia del alumnado y a la falta de guía por parte nuestra. En los dos últimos cursos el cambio ha sido notable y nos sentimos satisfechos de los resultados obtenidos. El alumnado comprende bien en qué consiste investigar: hacerse preguntas, establecer hipótesis, diseñar experimentos en los que comprobar el cumplimiento de esas hipótesis, buscar las condiciones adecuadas para llevarlos a cabo, realizar una toma de datos correcta y eficiente, trabajar con los datos obtenidos, contrastar los resultados con otros experimentos similares, modificar los experimentos para estudiar los efectos de la modificación, etc. Los aprendizajes adquiridos al realizar esta actividad van más allá de los contenidos matemáticos que aporta. Se consolida la noción de probabilidad (en particular de la probabilidad a posteriori) y de los juegos justos, y además se interioriza que una verdadera investigación necesita paciencia, bastante tiempo y rigurosidad en el trabajo, algo que apenas está presente en los currículos escolares. Solamente por esto merece la pena. Además, se sientan algunas bases importantes para desarrollar una visión crítica de aspectos sociales diversos: el funcionamiento de los juegos de azar institucionales, la eficacia de determinados medicamentos o el control de calidad de algunos procesos de fabricación. Algunos alumnos disfrutaron mucho, a pesar del esfuerzo y del tiempo empleado en ello y, acaso, terminaron dándole la razón a Pierre Simon de Laplace (Es un hecho destacable que una ciencia que empezó analizando juegos de azar acabe convirtiéndose en el más importante objeto del conocimiento humano.), o quizá incluso podrían contestar a las preguntas de Bertrand Russell ( Cómo osamos hablar de leyes del azar? No es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley?) con unos argumentos que seguro que nosotros no hubiéramos podido aportar cuando teníamos 15 años. Bibliografía Grupo Cero (1982). Matemáticas de bachillerato, curso 1. Barcelona: Teide. Frías Ruiz, V. y otros (1995). 3.º Matemáticas. Secundaria. Zaragoza: Edelvives. Direcció General d Economia. Govern de les Illes Balears (2000). Datos y dados. Cómic hacia la estadística con probabilidad 0,95 de serlo. Palma de Mallorca. Disponible en Carlos Duque Gómez, IES Mencey Bencomo, Los Realejos, Tenerife. Profesor de Enseñanza Secundaria (Matemáticas). Eva M.ª Quintero Núñez, IES Tomás de Iriarte, Santa Cruz de Tenerife. Profesora de Enseñanza Secundaria (Matemáticas). 164 Vol. 87 noviembre de 2012 NÚMEROS

11 Anexo 1 Guía de trabajo para el alumnado (1.ª parte) LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS (Guía del proyecto de investigación) Para comenzar el proyecto, debes leer los tres textos que te proponemos: Texto 1: Cómo asignar probabilidades La ruleta Texto 2: Frecuencia relativa y probabilidad Texto 3: Dados y datos Es importante que realices una lectura detenida y que comprendas bien los contenidos que se incluyen en ellos, consolidándolos con la realización de los ejercicios que se proponen en cada uno. Ello te permitirá disponer de unos conocimientos y una visión de conjunto que te será muy útil para abordar el proyecto que te proponemos. Una vez que hayas leído y comprendido los textos, y realizadas las actividades propuestas en ellos, continúa con las siguientes: UN DADO EXTRAÑO Después de lanzar mil veces este dado, se han obtenido los siguientes resultados: Cara del dado Frecuencia absoluta a) Calcula la probabilidad de que salga cada una de las caras del dado. b) Qué crees que pasaría si tuvieras que jugar al parchís con ese dado? Recuerda qué pasa con el 5 y con el 6 al jugar al parchís. Esfuérzate en redactar bien tus conclusiones. CHUPETES DE KOJAK Y CALCETINES a) En una caja hay 60 chupetes de Kojak, y seis de ellos han perdido el palo. Cuál es la probabilidad de que al sacar un chupete de la caja, éste tenga palo? b) El departamento de control técnico de una fábrica textil ha descubierto 50 pares de calcetines defectuosos entre 900. Cuál es la frecuencia relativa de pares de calcetines defectuosos? Cuál es la probabilidad de que un par de calcetines de esa fábrica sea defectuoso? (Contesta a las preguntas añadiendo las explicaciones que consideres oportunas). Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 87 noviembre de

12 INVESTIGACIÓN NÚMERO UNO: CHINCHETAS Vas a calcular cuál es la probabilidad de que una chincheta caiga con el clavo hacia abajo utilizando la Ley de los Grandes Números. Para ello: a) Tira la chincheta al menos 1000 veces. Hazlo en series de 10 ó 20 ó 50 ó 100. b) Anota los resultados en una tabla. Calcula las frecuencias relativas acumuladas cada 50 o 100 chinchetas. Puedes usar la tabla del texto 2 como modelo, u otra que tú diseñes para ello. c) Haz una gráfica en la que se vea la tendencia de la frecuencia relativa de «caer con el clavo hacia abajo» a medida que aumenta el número de tiradas. Puedes usar como modelo la gráfica que aparece en el texto 2. d) Determina la probabilidad de los dos resultados posibles del experimento «Tirar una chincheta y ver en qué posición cae»: «con el clavo hacia abajo» y «con el clavo hacia arriba». INVESTIGACIÓN NÚMERO DOS: TAPA DE UN BOTELLÍN DE AGUA Te atreves a diseñar y realizar una investigación similar para determinar la probabilidad de cada una de las posiciones en las que puede caer una tapa de un botellín de agua? Piensa si la forma en que tiras las tapas puede influir en su posición final. Experimenta tirando la mitad de las veces (al menos 500) de una manera (altura, fuerza, posición inicial, etc.) y la otra mitad de las veces de otra forma distinta. Sigue los mismos cuatro apartados de la investigación número 1. Explica bien todo lo que hagas. PROBABILIDAD EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS Ahora que ya conocemos la probabilidad de que una chincheta caiga con el clavo hacia abajo y de que la tapa del botellín de agua caiga boca arriba, cada una por separado, qué pasará si el experimento aleatorio consiste en tirar chinchetas y tapas juntas? a) Tiramos una chincheta y una tapa. Determina la probabilidad de que caiga la tapa boca arriba y la chincheta con el clavo hacia abajo. b) Tiramos dos chinchetas y dos tapas. Determina la probabilidad de que caigan las dos chinchetas con el clavo hacia arriba y las dos tapas boca abajo. c) Tiramos tres chinchetas y 2 tapas. Determina la probabilidad de que caigan dos chinchetas con el clavo hacia abajo y una de las tapas boca arriba. Será necesario realizar estos experimentos miles de veces para determinar las probabilidades? Crees que un diagrama de árbol puede ayudarte a resolver las cuestiones anteriores? JUEGO JUSTO O EQUILIBRADO Ya has visto en clase lo que es un juego justo o equilibrado desde el punto de vista probabilístico. Lee el texto Juegos justos y equilibrados y luego realiza la siguiente actividad: Considera el experimento aleatorio «Tirar dos chinchetas y una tapa». a) Determina el espacio muestral. b) Determina, basándote en tus resultados anteriores, las probabilidades de cada uno de los sucesos elementales. c) Dos amigos deciden divertirse con este juego poniendo dinero. Alfonso apuesta a que sale todo boca arriba (las dos chinchetas con el clavo hacia arriba y la tapa boca arriba) y Fátima apuesta a que la tapa cae boca abajo y las chinchetas una con el clavo hacia arriba y otra hacia abajo. Cuánto debe apostar cada uno si quieren que el juego sea justo? 166 Vol. 87 noviembre de 2012 NÚMEROS

13 Anexo 2 Guía de trabajo para el alumnado (2.ª parte) INVESTIGACIÓN NÚMERO TRES: LA CAJA DE FÓSFOROS Las chinchetas sólo tienen dos posibilidades al caer. Las tapas de botellines de agua también, o quizá tres (algunas se sostienen de lado). Vamos a investigar un caso con más posibilidades. Una caja de fósforos tiene forma de prisma rectangular, así que tiene seis caras. Pero, a diferencia de un dado equilibrado, los lados de la caja de fósforos no son equiprobables si la lanzamos de la misma forma que un dado. No solamente las caras tienen distinta superficie, sino que tienen distinto peso, pues algunas tienen doble capa de cartón. Vamos a organizar el trabajo: a) Consigue algunas cajas de fósforos iguales (uno o dos paquetes de 10 cajitas recién comprados sería ideal). b) Vacíalas y asegúrate de que las cajas están en buenas condiciones, sin irregularidades ni machucones. c) Obsérvalas detenidamente y fíjate dónde hay doble cartón. Ordena las caras de mayor a menor probabilidad, según tu intuición. Márcalas consecutivamente con una letra (A, B, C, D, E, F) o un número (1, 2, 3, 4, 5, 6), por ejemplo. Es importantísimo que todas las cajas estén marcadas igual. Por ejemplo todas las caras que tengan la letra E tienen que ser la misma cara de cada caja. Para ello, fíjate en dónde están los dobles cartones y qué caras quedan a la derecha y la izquierda de las demás. d) Asigna intuitivamente, sin realizar ningún lanzamiento, una probabilidad a cada una de las caras, según tu intuición. Recuerda que cada probabilidad debe ser un número entre y, y que la probabilidad de todas las caras debe sumar Más tarde vamos a comprobar cuánto te has acercado a la probabilidad real. e) Prepara una planilla para la recogida de datos. Vamos a tirar las cajas como si fueran dados y anotar cuántas veces queda cada una de las caras en la parte superior. Ten en cuenta que hay que anotar los resultados de las 6 caras. Cuantas más cajas iguales tengas, mejor, pues antes conseguirás hacer un número elevado de lanzamientos (al menos 1000). f) Aplica ahora la Ley de los grandes números: calcula la frecuencia relativa de cada una de las caras y determina su probabilidad a posteriori. g) Representa las probabilidades en un diagrama de barras y un diagrama de sectores. h) Contrasta los resultados obtenidos con tu previsión. Has acertado en el orden de mayor a menor probabilidad? Qué diferencia hay entre la probabilidad que intuiste para cada cara y la que realmente has obtenido después de realizar el experimento? Escribe el resultado de la comparación e intenta justificar por qué unas caras tienen más probabilidad que otras. Hay algunas caras que tienen la misma probabilidad? Ahora vamos a modificar las cajas para conseguir que las probabilidades de las caras cambien. Pondremos un peso de plastilina en el cajetín interior, junto al borde de la cara que tiene menor superficie. Es importante poner la misma cantidad de plastilina (es decir, el mismo peso) en todas las cajas, y en el mismo lugar. Repite ahora, con las cajas modificadas, los apartados d) hasta g). Por último, compara los resultados obtenidos antes y después de modificar la caja con el peso de plastilina. Redacta tus conclusiones. Incluye en esa redacción al menos una tabla con los datos que estás comparando y alguna gráfica. Esfuérzate en hacer una redacción razonada, donde cada afirmación que hagas tenga su justificación. INVESTIGACIÓN NÚMERO CUATRO:??? Ahora es el momento de dejar volar tu imaginación. Busca un objeto o una situación, diferente de las que has estudiado hasta ahora e investígala de la misma manera: aplicando la Ley de los Grandes Números! Debes definir bien el objeto o la situación que vas a investigar y redactar correctamente y con precisión en qué consiste el experimento aleatorio y cuáles son los posibles resultados. Determina el espacio muestral, Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 87 noviembre de

14 enumerando todos sus elementos (los sucesos elementales). A continuación, realiza el experimento aleatorio correspondiente, o bien observa la situación un número suficientemente grande de veces. Prepara una plantilla adecuada para anotar los datos de tus observaciones de forma ordenada. Incluye esta planilla en tu informe final. Finalmente, determina las probabilidades de los distintos resultados posibles observados, basándote en las frecuencias relativas, es decir en la Ley de los Grandes Números. Ilustra tu investigación con una o más gráficas. Te puede servir de modelo la gráfica del texto número 2 (que ya has utilizado en las investigaciones anteriores de este proyecto), pero también puedes hacer otras diferentes. Incluye todo lo que has hecho y tus deducciones finales en un informe, que debe incluir: - Descripción de la situación que has investigado. - Determinación del espacio muestral. - Datos obtenidos de la realización del experimento un número suficientemente grande de veces. - Probabilidades determinadas a posteriori de los sucesos elementales de tu experimento. - Tabla(s) y gráfica(s). Anexo 3 Guía de presentación del trabajo ESTRUCTURA DEL TRABAJO QUE DEBES PRESENTAR: 1. Portada, título y miembros del equipo de trabajo. 2. Índice. 3. Introducción: Incluye aquí en qué consiste el trabajo, qué conceptos y experiencias de probabilidad se van a utilizar, qué objetivos esperas conseguir 4. Respuestas a las actividades «Un dado extraño» y «Chupetes de Kojak y calcetines». 5. Investigación número 1: Tabla(s) de datos, gráfica(s), determinación de las probabilidades 6. Investigación número 2: Tabla(s) de datos, gráfica(s), determinación de las probabilidades No olvides las explicaciones. 7. Probabilidad en experimentos compuestos: Soluciones a las cuestiones a), b) y c), con su correspondiente esquema (diagrama de árbol u otro) y las explicaciones oportunas. 8. Juego justo o equilibrado: Soluciones a las cuestiones a), b) y c), con sus correspondientes explicaciones, tablas, cálculos, gráficas, esquemas lo que consideres necesario. 9. Investigación número 3: Descripción del experimento aleatorio y de los sucesos elementales, asignación intuitiva de probabilidades, realización del experimento (planilla de recogida de datos, tabla(s), gráfica(s), resultados), determinación de las probabilidades a posteriori, comparación con las probabilidades asignadas intuitivamente; introducción de pesos en las cajas, y de nuevo: asignación intuitiva de probabilidades, realización del experimento (planilla de recogida de datos, tabla(s), gráfica(s), resultados), determinación de las probabilidades a posteriori, comparación con las probabilidades asignadas intuitivamente 10. Investigación número 4: Descripción de la situación, Espacio muestral, planilla de recogida de datos, resultados obtenidos, tabla(s) y gráfica(s), explicaciones y conclusiones. 11. Conclusiones finales y opinión personal (o del grupo): a) Cómo se ha organizado el trabajo? Cómo ha funcionado el grupo? Cómo han repartido las tareas?... b) Qué grado de dificultad has encontrado en cada parte de este proyecto? c) Qué has aprendido al realizar este trabajo? 168 Vol. 87 noviembre de 2012 NÚMEROS

15 A continuación tienes algunos modelos que te servirán para diseñar las distintas páginas del trabajo final que debes entregar: Título del trabajo Pepito Pérez Juanita Rguez Fulanito Menganítez ÍNDICE Introducción Actividades texto 2 Actividades texto 3 Un dado extraño Chupetes de Kojak y calcetines Investigación: Las chinchetas Investigación: Tapas de Conclusiones finales INTRODUCCIÓN UN DADO EXTRAÑO CHUPETES DE KOJAK Y CALC... INVESTIGACIÓN NÚMERO UNO PROBABILIDAD EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS a) Tiramos una chincheta y una tapa. Determina la b) Tiramos dos chin c) Tiramos tres chin (Las investigaciones número 2, 3 y 4 seguirán un modelo similar a la investigación número uno, teniendo en cuenta que deben llevar más comentarios y explicaciones, ya que están menos dirigidas ) JUEGO JUSTO O EQUILIBRADO a) Determina el b) Determina, basándote en c) Dos amigos deciden CONCLUSIONES FINALES OPINIÓN PERSONAL Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 87 noviembre de

16 Anexo 4 Textos usados en la actividad TEXTO 1 (Grupo Cero, 1982): CÓMO ASIGNAR PROBABILIDADES? La noción de probabilidad está íntimamente ligada al propósito de hacer previsiones, de pronosticar lo que puede ocurrir en el futuro utilizando los conocimientos de que se dispone sobre situaciones pasadas o presentes. Estas previsiones, o dicho de otro modo, el número que puede asignarse como probabilidad de un suceso puede fundamentarse: a) O bien en una simetría o regularidad existente en el experimento y conocida de antemano. (Esa simetría previa es la que se supone en un dado perfectamente construido, en una baraja normal, en una ruleta nivelada a la perfección, etc.). En virtud de ella decimos, por ejemplo, que los sucesos «sale el as de oros» o «sale el rey de espadas» son igualmente probables (o equiprobables). La probabilidad asignada así se suele llamar a priori. b) O bien en el conocimiento de la frecuencia relativa con que el suceso se ha presentado en anteriores ocasiones. La probabilidad asignada así se suele llamar a posteriori o probabilidad estadística. Si nos preguntasen, pongamos por caso, cuál es la probabilidad de que un recién nacido sea zurdo, cómo asignaríamos esa probabilidad: basándonos en frecuencias relativas o en simetría? Tú qué crees? Lo más común es que en las situaciones o problemas a tratar no quepa pensar en ningún tipo de regularidad previa, sino que las decisiones a tomar estarán justificadas por el estudio detallado de datos, que pueden estar ya disponibles o puede que hayan de ser recogidos a la vista del problema que vayamos a resolver. LA RULETA Hemos indicado dos formas de asignar una probabilidad a un suceso, una basada en consideraciones de simetría y otra en las frecuencias relativas. Al hablar de las simetrías podemos indicar como ejemplos el dado, la baraja o la ruleta. Pero incluso en situaciones como la de la ruleta, cómo podemos asegurar que la ruleta no presenta una inclinación, un sesgo? Si la mesa está perfectamente equilibrada y nivelada, la probabilidad de que la bola caiga en un número determinado es 1/37; pero no será así si la mesa está desequilibrada. Es sabido que muchos jugadores profesionales se colocan días y días junto a una mesa de ruleta haciendo observaciones a la espera de encontrar ese desequilibrio. El cuaderno de anotaciones de uno de esos jugadores, anotaciones referidas siempre a una misma mesa, muestra como resumen de sus observaciones esta tabla: Sale el nº de veces frecuencia Con estos datos, el jugador puede pensar que: a) La mesa no está nivelada, sino que tiene caída hacia la zona de los números 34, 6, 27, 13, 36. b) La mesa está nivelada y las diferencias que se observan en la tabla son debidas al azar. Sale el nº de veces frecuencia relativa relativa , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Vol. 87 noviembre de 2012 NÚMEROS

17 Y tiene razones para defender ambas posiciones, pues es posible que salga, por ejemplo, el número 2 muchas veces seguidas, aunque es muy improbable. Pero su estrategia de juego dependerá de si adopta la respuesta a) o la b), porque en el segundo caso le será indiferente apostar a tal o cual número, mientras que en el primero apostará al número 6, ya que le parecerá natural pensar que P(6) = 0,0335, que es el número preferido por la frecuencia relativa; o con una perspectiva más amplia apostará a los números 34, 6, 27, 13, 36, que son los de la zona que ha mostrado más frecuencia relativa. Si un jugador descubre ese desequilibrio, las consecuencias para los propietarios del casino en cuestión pueden ser funestas. Uno de esos casos ocurrió en el casino de Montecarlo a principios del siglo XX. Un ingeniero escocés llamado William Jaggers había examinado con mucho cuidado la forma en que la ruleta estaba construida: observó que el pivote estaba constituido por un cilindro de acero que tenía en su parte superior una concavidad dentro de la cual se encontraba una clavija. Un desgaste imperceptible de esta clavija desequilibraba la ruleta y debido a esto se rompe la igualdad de la probabilidad de los distintos números. Durante más de un mes, con la ayuda de varios amigos, anotó los números que salían en todas las mesas del casino de Montecarlo; por el examen atento de estas listas, Jaggers observó que en una de las mesas ciertos números parecían salir con una frecuencia anormal: sólo faltaba pasar a la acción. En cuatro días ganó dos millones cuatrocientos mil francos (francos de 1900, claro), convirtiéndose de golpe y porrazo en objeto de la atención general. La dirección del casino perdió más, porque numerosos jugadores comenzaron a apostar como Jaggers; se sospechó que hacía trampas, se le vigiló con tanto cuidado como asiduidad, pero todo fue en vano. El director de casino hizo entonces anotar los números a los cuales apostaba Jaggers, y una noche, después de cerrar las salas, comprobó que jugando a esos números se ganaba rápidamente. Hizo cambiar entonces la ruleta de mesa y al día siguiente Jaggers comenzó a perder; comprendió bastante pronto la maniobra de la dirección y, cesando de jugar, se dio una vuelta por la sala de juego. Por algunos defectos imperceptibles, su vista ejercitada le permitió descubrir «su» ruleta: comenzó a jugar de nuevo y a ganar. El problema iba haciéndose angustioso para el casino, porque Jaggers no hacía nada ilegal. Envió a uno de los directores a Estrasburgo, a la casa del fabricante de ruletas para pedirle consejo. Éste sugirió que cada día cambiase las separaciones entre los agujeros de la ruleta: las desigualdades de estas separaciones habrían de compensar las de la ruleta misma. Jaggers comprendió rápidamente lo que ocurría y con muy buen tino dejó de jugar; sin embargo se llevó más de un millón de ganancia. TEXTO 2: FRECUENCIA RELATIVA Y PROBABILIDAD Sabiendo que todos los posibles resultados de un experimento aleatorio son igual de probables, es fácil pensar que las frecuencias relativas de cada uno de ellos lleguen a tener el mismo valor una vez que se incremente el número de veces que se realiza la experiencia. Por ello, sabemos que en el lanzamiento de una moneda no trucada se obtiene, de manera aproximada, la mitad de caras y la mitad de cruces. Ocurrirá algo semejante si la experiencia consistiese en el lanzamiento de un dado no trucado: aproximadamente, en una de cada seis tiradas se obtendría una cara diferente. En una experiencia real hemos lanzado un dado no trucado hasta en mil ocasiones. En la siguiente tabla podemos observar el número de veces que se ha obtenido el 5: N. de lanzamientos Frecuencia absoluta del 5 Frecuencia relativa del Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 87 noviembre de

18 a) Completa la tabla con el cálculo de las frecuencias relativas. En la experiencia que acabamos de ver se observa que según avanzamos en la tabla, la frecuencia relativa del 5 tiende a estabilizarse en torno a un número que denominamos probabilidad. De esta forma, si denominamos A al suceso «salir 5», podemos escribir: P(A) = P( salir 5 ) = 6 1 = 0, % La gráfica que mostramos a continuación refleja la variación de la frecuencia relativa del suceso «salir 5» a medida que de incrementan el número de lanzamientos del dado. Asegúrate de comprender e interpretar bien el gráfico. La Regla de Laplace establece el cálculo de las probabilidades cuando trabajamos con un experimento aleatorio donde todos los sucesos elementales son equiprobables. Sin embargo, cuando en un experimento no todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir, sólo se podrá determinar ésta realizando un elevado número de pruebas u observaciones. Este procedimiento es el que se utiliza, por ejemplo, para determinar la probabilidad de que un jugador de fútbol meta un penalti, o la probabilidad de contraer una determinada enfermedad cuando se reside en una ciudad concreta, o la probabilidad de encontrar trabajo al estudiar una determinada carrera universitaria, o la probabilidad de éxito de una operación en cirugía, o la probabilidad de que llueva en el mes de julio en un cierto lugar, etc. b) Encuentra otros tres ejemplos en lo que la probabilidad sólo pueda determinarse después de realizadas muchas observaciones. TEXTO 3: Cómic: Datos y dados. (Direcció General d Economia. Govern de les Illes Balears, Pp 11-14). El tercer texto que usamos en el desarrollo de esta actividad es parte de un cómic editado en el año 2000 por el Institut Balear d Estadística (http://ibestat.caib.es/ibestat/inici), que depende de la Dirección General de Economía del Gobierno Autónomo. Han editado tres cómics, todos ellos disponibles gratuitamente, en formato pdf, a través de la web. El texto que les proponemos son cuatro páginas (de la 11 a la 14) del primero de los tres cómics y forman parte de su primer capítulo, dedicado a Pierre de Fermat. En él se hace referencia a la relación entre estadística y probabilidad, sus inicios en el estudio de los juegos de azar, se fundamenta la Ley de los Grandes Números y se proponen un par de ejercicios sencillos (tirar monedas y dados). En la bibliografía se puede encontrar el enlace para descargar directamente este cócmic. 172 Vol. 87 noviembre de 2012 NÚMEROS

19 TEXTO 4: JUEGOS JUSTOS Y EQUILIBRADOS 2 En los distintos juegos de azar que existen en nuestro país (loterías, quinielas, sorteo de la ONCE, bingos, máquinas tragaperras, ruleta, etc.), bien sean gestionados por el Estado o por otros estamentos, el jugador que participa lo hace con una clara desventaja, pues tanto unos como otros se quedan de entrada con un notable porcentaje de la recaudación que se destina en parte al mantenimiento de la infraestructura del juego, y el resto al pago de impuestos, en el caso de empresas privadas, y a obras sociales y otros fines en el caso del Estado. Para que en un juego no exista ventaja para nadie, es decir, lo que llamamos un juego justo o equilibrado, ha de verificarse que si la probabilidad de perder es n veces superior a la de ganar, entonces por cada euro que apostemos debemos recibir n euros en el caso de que ganemos. Por ejemplo, en el caso de que hagamos una extracción de una bola al azar de una urna que contiene 2 bolas blancas y 8 negras, si apostamos porque dicha bola extraída sea blanca, tenemos: 2 8 P ( ganar) 0,20 20% P ( perder ) 0,80 80% Como la probabilidad de perder es 4 veces superior a la de ganar, para que el juego sea justo o equilibrado, por cada euro apostado deben darnos 4 euros, además del apostado, en el caso de que saliese una bola blanca. Esto no ocurre evidentemente en los juegos anteriores organizados por el Estado, empresas privadas o casinos, en los que siempre existe ventaja para dichos estamentos. En los juegos que no son puramente aleatorios, como el de las quinielas futbolísticas, el apostante puede compensar esa desventaja a base de estudiar las características de los equipos, la influencia del factor campo, así como aplicar métodos y estrategias que puedan conseguir inclinar la balanza a su favor. Existen peñas futbolísticas que demuestran, temporada tras temporada, que se puede convertir la desventaja inicial en ventaja en ese juego. Con más motivo, en otros juegos aleatorios sólo en parte y que no existe desventaja inicial, como puede ser una partida de póquer entre amigos, siempre existirá ventaja para aquél que sepa aprovechar la parte no aleatoria del juego, en base a su inteligencia, psicología, decisión, etc. Si el juego es plenamente aleatorio (loterías, ONCE, bingos, ruleta ) no existe ningún método que nos asegure ganar. Jugamos con una cierta probabilidad de ganar que no podemos aumentar de ningún modo, por lo que siempre jugaremos en desventaja, debido a que esos juegos citados no son justos o equilibrados. Evidentemente, eso no nos indica que en determinados momentos no podamos ganar y en algunos casos mucho, a pesar de la injusticia del juego. 2 Este texto es parte de un documento alojado en la web de la Consejería de Educación, Cultura y Universidades de la Región de Murcia. No figura quién es su autor, ni sabemos dentro de qué apartado de la web se encuentra. El documento completo (dos páginas en formato pdf) se puede obtener aquí: nidos/9286/juegos.pdf Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 87 noviembre de

20 Anexo 5 Plantilla para la evaluación y calificación del trabajo realizado 174 Vol. 87 noviembre de 2012 NÚMEROS

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