UNIDAD 5. Ángulos en la circunferencia Relaciones métricas de la circunferencia Teorema de Euclides
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- José Ramón Marín Redondo
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1 Matemática UNI 5. Ángulos en la circunferencia Relaciones métricas de la circunferencia Teorema de Euclides 2 Medio GUÍ N 1 ÁNGULS EN L IRUNFERENI Recordemos algunas definiciones básicas necesarias para cumplir con los objetivos de esta unidad. La circunferencia es una línea curva cerrada, cuyos puntos equidistan (es decir están a la misma distancia) de otro punto llamado centro. La región interior de la circunferencia se denomina írculo. entro ircunferencia írculo Elementos de la circunferencia: Radio: Trazo que une el centro con un punto de la circunferencia. uerda: Trazo que une 2 puntos de la circunferencia. iámetro: uerda que pasa por el centro. Tangente: Recta que intersecta a la circunferencia en un punto. Secante: Recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos. RS Y ÁNGULS EN L IRUNFERENI Los puntos F y T de la circunferencia determinan dos arcos de circunferencia: el arco menor TF y el arco mayor FT. Los arcos se leen y anotan en sentido contrario de los punteros de un reloj. Los puntos F y T son llamados etremos de los arcos. F Tangente uerda T iámetro Radio Secante Se llama ángulo del centro o ángulo central a un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo. Un ángulo del centro determina dos arcos de circunferencia. Se dice que el ángulo subtiende el arco. En la figura, es un ángulo del centro que subtiende entre sus lados el arco. α r Se llama ángulo inscrito a un ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados son cuerdas. En la figura, es un ángulo inscrito que subtiende entre sus lados el arco. α 1 FUNIÓN HILE MEJR LIE
2 Se llama ángulo semi-inscrito a un ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados son una cuerda y una tangente a la circunferencia. En la figura, y son ángulos semi-inscritos que subtienden los arcos y respectivamente. TIVI 1. En la circunferencia de centro, es un diámetro: 1.a. Nombra cuatro ángulos inscritos. 1.b. Nombra los ángulos que subtienden al arco. 1.c. Nombra el o los ángulos inscritos que subtienden al arco. 1.d. Es E un ángulo central? Justifica. E Medición de arcos Una forma de medir un arco es considerar que el arco mide lo mismo que el ángulo del centro que lo subtiende. En la figura, la medida del arco de circunferencia es la medida del ángulo del centro correspondiente es decir la medida del ángulo. TIVI 1. ompleta: 1.a. Un ángulo de centro de subtiende un arco igual a un cuarto de circunferencia. 1.b. Un ángulo de centro de 180º subtiende un arco igual a. circunferencia. 1.c. Un ángulo de centro de subtiende un arco igual a un octavo de circunferencia 2. ado un arco cuántos ángulos del centro subtienden dicho arco? 3. ado un arco cuántos ángulos inscritos subtienden dicho arco? FUNIÓN HILE MEJR LIE 2
3 GUÍ N 2 RELIÓN ENTRE LS ÁNGULS EN L IRUNFERENI Y LS RS continuación veremos la relación que eiste entre la medida de un ángulo del centro y los ángulos inscritos y seminscritos que subtienden un mismo arco. TIVIES 1. En la figura, es centro de la circunferencia: 1.a Une con. 1.b Qué tipo de triángulo es? or qué? 1.c Mide con un transportador los ángulos y 1.d Qué relación eiste entre los ángulos anteriores? 2. En la figura, es centro de la circunferencia. Sin ayuda de tu transportador, podrías determinar cuánto mide? 30º 40º 3. En la figura, es centro de la circunferencia: 3.a Es E F? por qué? 3.b Qué puedes decir de los ángulos EF y FE? 3.c Qué relación puedes encontrar entre los ángulos anteriores y el ángulo EG? F G E omo lo habrás comprobado en la actividad anterior estamos en condiciones de enunciar el siguiente teorema Teorema La medida de un ángulo del centro es el doble de la medida del ángulo inscrito β α que subtiende el mismo arco. En la figura β α = 2 3 FUNIÓN HILE MEJR LIE
4 TIVIES 1. En las figuras, es centro de la circunferencia. En cada una calcula el ángulo pedido En la figura, centro de la circunferencia y diámetro. 1.a uánto mide el ángulo? or qué? 1.b Enuncia tu conclusión como un teorema 3. Qué puedes decir de todos los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco? Enuncia tu conclusión como un teorema. 4. uede un ángulo central medir más de 180º? Y un ángulo inscrito? 5. Eisten en el dibujo un par de ángulos inscritos que sean suplementarios? Si eisten nómbralos. E 6. El cuadrilátero está inscrito en una circunferencia de centro 6.1 Si el ángulo mide 65º cuánto mide el ángulo? Qué relación eiste entre estos ángulos? 6.2 Si el ángulo mide 120º cuánto mide el ángulo? Qué relación eiste entre estos ángulos? 6.3 odrías establecer una relación entre los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia? omenta con tus compañeros. 7. os diámetros de una circunferencia la cortan en cuatro puntos,, y. Qué tipo de cuadrilátero se forma? FUNIÓN HILE MEJR LIE 4
5 ara las siguientes actividades aplica el siguiente teorema. Teorema La tangente a la circunferencia en un punto F es perpendicular al radio F F G TIVIES 1. En la figura, T es tangente a la circunferencia. Si α = 50º uánto mide el ángulo T? 2. En la figura anterior, con T es tangente a la circunferencia, si ahora T= 35º, cuánto mide el ángulo α? T α 3. Qué relación puedes establecer entre los ángulos del centro y semi-inscrito que subtienden el mismo arco? Teorema La medida de un ángulo del centro es el doble de la medida del ángulo semi-inscrito que subtiende el mismo arco. En la figura β α = 2 α β TIVIES 1. En las figuras, T son tangentes y centro de circunferencia. Hallar el valor de los ángulos pedidos. T T 2. En la figura: 1.1 Llamemos α al. uánto mide el arco? 1.2 uánto mide el arco? 1.3 uánto mide el? 1.4 Qué relación eiste entre los ángulos y? 1.5 cuánto mide el? 5 FUNIÓN HILE MEJR LIE
6 1.6 Qué relación eiste entre los ángulos y? 3. En la figura, cuál es la medida de, si el arco es un seto de la circunferencia? NGULS INTERIRES Y NGULS EXTERIRES EN UN IRUNFERENI Se llama ángulo interior de una circunferencia a aquel que tiene su vértice en el interior de la circunferencia. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los ángulos del centro que subtienden los arcos correspondientes. arco + arco E = 2 TIVI emostraremos juntos esta propiedad 1. Unamos con. 2. Llamemos α al ángulo y β al ángulo 3. uánto mide el arco? 4. cuánto mide el arco? 5. uánto mide el ángulo E? 6. hora calcula arco + arco 2 6 FUNIÓN HILE MEJR LIE
7 Se llama ángulo eterior a una circunferencia a todo ángulo cuyo vértice es punto eterior y sus lados son secantes o tangentes a la circunferencia. La medida de un ángulo interior es igual a la semidiferencia de los ángulos del centro que subtienden los arcos correspondientes. = TIVI arco arco 2 emostraremos juntos esta propiedad 1. Unamos con y con. 2. Llamemos α al ángulo y β al ángulo 3. uánto mide el arco? 4. cuánto mide el arco? 5. uánto miden los ángulos y? 6. hora calcula arco arco 2 TIVIES 1. Si =80º y = 30º uál será la medida de β? β 2. Si =60º y = 70º uál será la medida de β? β 3. uánto mide el ángulo eterior E en la circunferencia de centro de la figura? 7 FUNIÓN HILE MEJR LIE
8 4. y son dos secantes a la circunferencia de centro de la figura. uánto mide el ángulo del centro? 8 FUNIÓN HILE MEJR LIE
9 GUÍ N 3 RELINES MÉTRIS EN L IRUNFERENI continuación veremos como al trazar cuerdas, secantes y tangentes, en una circunferencia, podemos obtener triángulos semejantes y establecer de esta forma, segmentos proporcionales. TIVIES ibujaremos una circunferencia y dos cuerdas y que se corten en un punto. Unimos con y con. btenemos así dos triángulos y Qué puedes decir de los triángulos? Son semejantes? usca ángulos congruentes en los triángulos. ompleta: or criterio..or lo tanto podemos deducir: = Usando la propiedad fundamental de las proporciones, escribimos =. Es decir: Teorema Los segmentos de dos cuerdas que se intersectan en el interior de una circunferencia son inversamente proporcionales, es decir = hora: 1. ibuja una circunferencia y un punto fuera de ella. 2. Traza por dos secantes a la circunferencia y nombra los puntos de intersección. 3. Une los puntos de tal forma que puedas determinar triángulos y verificar como lo hiciste anteriormente, si son semejantes. 4. Escribe un enunciado con las proporciones que obtuviste. Esperamos que obtengas algo como esto: = 9 FUNIÓN HILE MEJR LIE
10 Teorema os secantes trazadas desde un punto fuera de una circunferencia son inversamente proporcionales a sus segmentos eternos. Es decir = e la misma forma podemos llegar a un tercer teorema que establece: Teorema Si desde un punto eterior a una circunferencia se traza una secante y una tangente, entonces la tangente al cuadrado es igual al producto entre la secante y su segmento eterior. = 2 TIVIES 1. Resuelve basándote en la figura siguiente: a) = 3 cm, = 4 cm, = 6 cm, =? b), = 8 cm, = 10 cm, =? 2. Resuelve basándote en la figura siguiente: a) = 6 cm, = 2 cm, = 8 cm, =? b) = 20 m., = 16 m., = 6 m., =? 3. Resuelve basándote en la figura siguiente: T a) T = 5 cm, = 2, =? b) = 6 cm, = 2 cm, T =? 10 FUNIÓN HILE MEJR LIE
11 GUÍ N 4 TEREM E EULIES Recordemos que en un triángulo rectángulo en, llamamos catetos a los lados que forman el ángulo recto (b y a) e hipotenusa al lado opuesto al ángulo recto (c). La altura h del triángulo rectángulo determina dos segmentos p y q que llamaremos proyecciones de los catetos a y b sobre la hipotenusa, respectivamente. Qué tipo de triángulos son los triángulos y? Son semejantes al triángulo? Recuerdas qué necesitamos para demostrar que dos triángulos son semejantes? nalicemos primero los triángulos y. ompleta: 1..., porque ambos ángulos miden 2..., porque son ángulos comunes en ambos triángulos. 3. or criterio., Luego puedes establecer la proporción: =... a. Sustituyendo tenemos: = a... or la propiedad fundamental de las proporciones tenemos: a 2 = p c. TIVIES 1. emuestra que los triángulos y son semejantes. 2. Serán los triángulos y semejantes? 11 FUNIÓN HILE MEJR LIE
12 Teoremas de Euclides En todo triángulo rectángulo la medida de cada cateto al cuadrado es igual al producto de la hipotenusa y su proyección sobre ésta. En todo triángulo rectángulo la altura es igual al producto entre las proyecciones que determinan los catetos sobre la hipotenusa. TIVIES 1. El triángulo RST es rectángulo en T. 1.1 uántos triángulos rectángulos observas en la figura? 1.2. etermina si es cierto que: 1.2.a. UE 2 =ES ET 1.2.b. UT 2 =ES ET 1.2.c. TU 2 =RU US 1.2.d. US 2 =ES ST R F T U E S 2. ado el triángulo de la figura, calcula el trazo pedido 2.1 = 3,6 cm, = 6,4 cm, =? 2.2 = 3,2 m., = 5 m., =? 2.3 = 2 cm, = 4 cm, =? 2.4 = 16 cm, = 52 cm, =? 3. En un triángulo rectángulo, las proyecciones sobre la hipotenusa miden 3 cm y 2 cm. etermina: 3.1 El perímetro del triángulo. 3.2 El área del triángulo. 4. ibuja un triángulo rectángulo isósceles. 4.1 omo son las proyecciones de los catetos. 4.2 Qué relación eiste entre las proyecciones y la hipotenusa? 4.3 plica el teorema de Euclides y escribe las proporciones. R 5. El QR es recto en R, RE es altura, Q = 26 cm y R = 10 cm. etermina la razón entre las áreas de los triángulos ER, REQ y RQ. E Q 12 FUNIÓN HILE MEJR LIE
13 6. Los catetos de un triángulo rectángulo son 6 y 8 cm: 6.1 alcula la altura correspondiente a la hipotenusa. 6.2 alcula la hipotenusa. 6.3 alcula el producto de los catetos. 6.4 Eiste alguna relación entre la altura y los catetos e hipotenusa. omenta con tus compañeros, analicen el problema para otros triángulos rectángulos, verifiquen su conjetura y traten de demostrar la relación que encontraron. 7. ado el triángulo de la figura completa: 7.1 a 2 =p 7.2 b 2 =q 7.3 a 2 +b 2 = 7.4 a 2 +b 2 = c ( + ) 7.5 a 2 +b 2 = 7.6 Qué Teorema acabas de demostrar? 8. omo recordamos en el ejercicio anterior el Teorema de itágoras establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Eistirá un triángulo en el que la suma de los cuadrados de dos de sus lados sea igual al cuadrado del otro lado y no ser triángulo rectángulo? Recíproco del Teorema de itágoras: Si en un triángulo se tiene que la suma de los cuadrados de dos lados es igual al cuadrado del tercero entonces el triángulo es rectángulo. onsideremos un triángulo en el que se satisface a 2 +b 2 = c 2. ibujamos un triángulo adyacente recto en tal que =a. a b c omo el triángulo es rectángulo en podemos aplicar itágoras y tenemos también a 2 +b 2 = c 2 ómo son y? ómo son los triángulos y? Qué podemos decir de los ángulos y? Finalmente Qué tipo de triángulo es? a FUNIÓN HILE MEJR LIE 13
Además del centro y el radio, distinguen: 1. Cuerda: segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia. EF
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