Propiedades de la Transformada de Laplace

Transcripción

1 Propiedade de la Tranformada de Laplace W. Colmenare Univeridad Simón Bolívar, Departamento de Proceo y Sitema Reumen En eto apunte demotramo alguna de la propiedade de la tranformada de Laplace y hacemo alguno ejemplo de u aplicación. 1. Definición de la tranformada de Laplace Uno de lo elemento importante cuando e habla de la Tranformada de Laplace e definir claramente de cuál de ella e etá hablando. La propiedade y, obre todo, la aplicacione dependen de ello. Exiten do tipo de tranformada, la bilateral y la unilateral. Eta última e ua, cai excluivamente, para el análii de itema lineale e invariante en el tiempo, en la que e particularmente útil, y e a la que no referiremo en eta nota. Otro elemento importante, cuando trabajamo con la tranformada unilateral e que, en general, la eñale de entrada a lo itema on eñale que on cero para t <. La definición de la Tranformada de Laplace unilateral e: X() = L{x(t)} = x(t)e t donde = σ + jω, σ e una contante (que puedo elegir para hacer que la integral de Laplace converja) y ω e la variable de tranformación. Preprint ubmitted to PS de junio de 28

2 1.1. Alguno ejemplo de tranformada Calculemo la tranformada de Laplace de una exponencial que comienza en t = (x(t) = e at u(t)). L{e at u(t)} = e at u(t)e t = e ( a)t = 1 ( a). Oberve que no hemo colocado ninguna retricción en el valor de a y, en particular, podría aumir valore reale poitivo, negativo, valore complejo o er implemente cero. Como corolario, e inmediato que la tranformada de Laplace del ecalón u(t) e (a = ): L{u(t)} = 1 Apliquemo ahora el reultado anterior al cálculo de la tranformada del coeno que comienza en t = (x(t) = co(ωt)u(t)) Recordemo que por la identidad de Euler: entonce L{co(ωt)} = 1 2 co(ωt) = ejωt + e jωt 2 (e jωt + e jωt )u(t)e t = 1 2 ( 1 jω jω ) = 2 + ω 2. E fácil derivar la del eno recordando la identidad de Euler: in(ωt) = ejωt e jωt 2j lo que reulta en: L{in(ωt)} = ω 2 + ω 2. Oberve que hemo uado la propiedad de linealidad de la tranformada de Laplace, que aún no hemo demotrado. 2

3 2. Propiedade de la Tranformada de Laplace En eta ección preentamo alguna de la propiedade de la Tranformada de Laplace (TL) Linealidad Si X() = L{x(t)} y Y () = L{y(t)} entonce: L{ax(t) + by(t)} = ax() + by () Prueba: L{ax(t)+by(t)} = (ax(t)+by(t))e t = a x(t)e t +b y(t)e t = ax()+by (). Un ejemplo de la aplicación de la linealidad fue el cálculo de la tranformada del coeno Cambio de ecala Si X() = L{x(t)} entonce, con a > : L{x(at)} = 1 a X( a ) Prueba: L{x(at)} = i cambiamo de variable λ = at entonce: L{x(at)} = x(at)e t = 1 a x(at)e t x(λ)e a λ dλ = 1 a X( a ). Ejemplo: Supongamo que queremo la tranformada invera de: L 1 1 { } = 1 L 1 { ( ) ( ) + 1 }

4 oberve que: y entonce por lo que = ( )2 + ( 3 2 )2 L 1 1 { } = 2 e t in( 3 2 t)u(t) L 1 1 { ( ) ( ) + 1 } = e 2 t in( 2 t)u(t) Multiplicación por exponencial. Deplazamiento en frecuencia Si X() = L{x(t)} entonce, L{e λt x(t)} = X( λ) Prueba: L{e λt x(t)} = e λt x(t)e t = x(t)e ( λ)t = X( λ). Oberve que no hemo impueto ninguna retricción a λ Ejemplo: Tal como vimo ante en el ejemplo del coeno, L{e jωt u(t)} = 1 jω Otro Ejemplo: Se deea la expreión en el tiempo de la función de tranferencia: Oberve que: = ( )2 + ( 3 2 ) ( )2 + ( 3 2 )2 En el primer término reconocemo a un coeno multiplicado por una exponencial y, en el egundo, e encuentra un eno multiplicado por la mima exponencial. 4

5 En reumen L { } = 1 3 e 2 t co( 2 t) + 1 e t in( 3 2 t) 2.4. Deplazamiento en el tiempo. Multiplicación exponencial en frecuencia Si X() = L{x(t)u(t)} entonce (a > ), L{x(t a)u(t a)} = e a X() Prueba: L{x(t a)u(t a)} = i cambiamo la variable λ = t a reulta x(t a)e t = a x(t a)u(t a)e t = a x(λ)e (λ+a) dλ = e a X(). x(t a)e t Ejemplo: Calculemo la tranformada de Laplace de la función pulo unitario: 1 < t < 1 p(t) = todo lo demá Note que p(t) = u(t) u(t 1) luego: P() = 1 e = 1 e Nota: Oberve que hemo definido eta propiedad ólo para retrao de la eñal original. Pudiéramo uar eta propiedad para adelanto de la función iempre que el adelanto no implique que la eñal e deplaza má allá del origen (hacia lo tiempo negativo). En ee cao, a la parte de tiempo negativo no e le haría la tranformada y, por ende, no tendríamo la equivalencia. 5

6 2.5. Multiplicación por t Sea X() = L{x(t)} entonce, L{tx(t)} = dx() d Prueba: Si X() = x(t)e t entonce: dx() d = d x(t)e t d como la derivada e en la variable podemo meterla dentro de la integral reultando d d x(t)e t = x(t) d { } e t = d tx(t) }{{} e t = L{tx(t)}. El reultado anterior puede generalizare: L{t n x(t)} = ( 1) ndn X() d n Ejemplo: Calculemo la tranformada de Laplace de t 2 e 2t co(3t)u(t). Si vamo por etapa: L{co(3t)u(t)} = L{e 2t co(3t)u(t)} = +2 (+2) L{t 2 e 2t co(3t)u(t)} = d2 { } +2 d 2 (+2) 2 +3 = 2(+2)( ) 2 ( ) Tranformada de la derivada Sea X() = L{x(t)} entonce, L{ dx(t) } = X() x() 6

7 Prueba: Uaremo la integración por parte para reolver la integral de Laplace. L{ dx(t) } = dx(t) }{{} dx e}{{} t y = x(t)e t + x(t)e t = x() + X(). El reultado obtenido e puede generalizar a cualquier derivada de la forma: L{ dn x(t) n } = n X() n 1 x() n 2 x ()... x n 2 () x n 1 () 2.7. Tranformada de la integral Sea X() = L{x(t)} entonce, t L{ x(τ)dτ} = X() Prueba: De nuevo uaremo la integración por parte para reolver la integral de Laplace. L{ t x(τ)dτ} = t x(τ)dτ } {{ } y e}{{} t dx t = x(τ)dτ e t + 1 x(t)e t = X(). Tenemo que hacer do obervacione, la primera que hemo upueto que la función x(t) no tiene impulo en t =, la egunda e que i en lugar de integrar la función dede t = la hubiéemo integrado dede t = el reultado final hubiee ido: L{ t x(τ)dτ} = X() + q() donde q() = x(τ)dτ Teorema del valor inicial y final A partir del reultado de la derivada podemo extraer la tendencia de la funcione en t = y t = cuando eo límite exiten. 7

8 De la tranformada de la derivada abemo que: i tomamo el límite con : lím dx(t) e t = X() x() dx(t) e t = x( ) x() lím x(t) = lím X() t i, por el contrario, tomamo el límite con : lím dx(t) e t = límx(t) = lím t X() 8