Sistemas Aleatorios: Axiomas de Probabilidad

Transcripción

1 MA2006

2 Axiomas de probabilidad Dados un experimento y su espacio muestral S, el objetivo de la Probabilidad es asignar a cada evento A un número P(A) llamado la probabilidad del evento A el cual dará una medida precisa de la oportunidad de que el evento A ocurra.

3 Axiomas de probabilidad Dados un experimento y su espacio muestral S, el objetivo de la Probabilidad es asignar a cada evento A un número P(A) llamado la probabilidad del evento A el cual dará una medida precisa de la oportunidad de que el evento A ocurra. 1 Para cualquier evento A, P(A) 0.

4 Axiomas de probabilidad Dados un experimento y su espacio muestral S, el objetivo de la Probabilidad es asignar a cada evento A un número P(A) llamado la probabilidad del evento A el cual dará una medida precisa de la oportunidad de que el evento A ocurra. 1 Para cualquier evento A, P(A) 0. 2 P(S) = 1.

5 Axiomas de probabilidad Dados un experimento y su espacio muestral S, el objetivo de la Probabilidad es asignar a cada evento A un número P(A) llamado la probabilidad del evento A el cual dará una medida precisa de la oportunidad de que el evento A ocurra. 1 Para cualquier evento A, P(A) 0. 2 P(S) = 1. 3 Si A1, A 2,... es un conjunto de eventos mutuamente excluyentes (es decir A i A j = para i j), entonces P(A 1 A 2 ) = P(A i ) i=1

6 Proposición 1 P( ) = 0. Es decir, no hay oportunidad de que no ocurra ningún resultado. Recuerde que la definición del espacio muestral consideraba todas las alternativas posibles de nuestro experimento.

7 Proposición 1 P( ) = 0. Es decir, no hay oportunidad de que no ocurra ningún resultado. Recuerde que la definición del espacio muestral consideraba todas las alternativas posibles de nuestro experimento. Demostración Tome cada A i =, así nuestra colección de conjuntos es mutuamente excluyente. Por tanto,

8 Proposición 1 P( ) = 0. Es decir, no hay oportunidad de que no ocurra ningún resultado. Recuerde que la definición del espacio muestral consideraba todas las alternativas posibles de nuestro experimento. Demostración Tome cada A i =, así nuestra colección de conjuntos es mutuamente excluyente. Por tanto, P( ) = P( i=1 A i)

9 Proposición 1 P( ) = 0. Es decir, no hay oportunidad de que no ocurra ningún resultado. Recuerde que la definición del espacio muestral consideraba todas las alternativas posibles de nuestro experimento. Demostración Tome cada A i =, así nuestra colección de conjuntos es mutuamente excluyente. Por tanto, P( ) = P( i=1 A i) = i=1 P(A i)

10 Proposición 1 P( ) = 0. Es decir, no hay oportunidad de que no ocurra ningún resultado. Recuerde que la definición del espacio muestral consideraba todas las alternativas posibles de nuestro experimento. Demostración Tome cada A i =, así nuestra colección de conjuntos es mutuamente excluyente. Por tanto, P( ) = P( i=1 A i) = i=1 P(A i) = i=1 P( )

11 Proposición 1 P( ) = 0. Es decir, no hay oportunidad de que no ocurra ningún resultado. Recuerde que la definición del espacio muestral consideraba todas las alternativas posibles de nuestro experimento. Demostración Tome cada A i =, así nuestra colección de conjuntos es mutuamente excluyente. Por tanto, P( ) = P( i=1 A i) = i=1 P(A i) = i=1 P( ) Esto sólo ocurre cuando P( ) = 0.

12 Proposición 2 El axioma 3 se cumple para una colección finita de conjuntos mutuamente excluyentes y no sólo para una colección infinita de conjuntos mutuamente excluyentes.

13 Proposición 2 El axioma 3 se cumple para una colección finita de conjuntos mutuamente excluyentes y no sólo para una colección infinita de conjuntos mutuamente excluyentes. Demostración Sea B 1, B 2,...,B n una colección finita de eventos mutuamente excluyentes cualquiera. Definamos la colección de eventos A i = B i para 1 i n y A i = para i > n. Así A 1, A 2, A 3,... es una colección mutuamente excluyente de eventos y podemos aplicar el axioma 3:

14 Continuación P(B 1 B n ) = P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 A 2 A n A n+1 ) = P( i=1 A i) = i=1 P(A i) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + = P(A 1 ) + + P(A n ) + P(A n+1 ) + P(A n+2 ) + = P(A 1 ) + + P(A n ) + P( ) + P( ) + = P(A 1 ) + + P(A n ) = P(A 1 ) + + P(A n ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) + + P(B n )

15 Ejemplo Considere el experimento de lanzar una moneda al aire. En este caso, S = {C, X }. Todos los eventos posibles son: {, {C}, {X }, S}

16 Ejemplo Considere el experimento de lanzar una moneda al aire. En este caso, S = {C, X }. Todos los eventos posibles son: {, {C}, {X }, S} Y sabemos que cualquier función de probabilidad sobre Sdebe cumplir P( ) = 0 y P(S) = 1. Así, la función o asignación de probabilidad P en este experimento queda caracterizada por P({C}) y por P({X }). Además, siendo {C} y {X } mutuamente excluyentes y cuya unión es S, se debe cumplir 1 = P(S) = P({C} {X }) = P({C}) + P({X }) de donde P({X }) = 1 P({C}).

17 Ejemplo Considere el experimento de lanzar una moneda al aire. En este caso, S = {C, X }. Todos los eventos posibles son: {, {C}, {X }, S} Y sabemos que cualquier función de probabilidad sobre Sdebe cumplir P( ) = 0 y P(S) = 1. Así, la función o asignación de probabilidad P en este experimento queda caracterizada por P({C}) y por P({X }). Además, siendo {C} y {X } mutuamente excluyentes y cuya unión es S, se debe cumplir 1 = P(S) = P({C} {X }) = P({C}) + P({X }) de donde P({X }) = 1 P({C}). Así, se tienen toda una colección de asignaciones o funciones de probabilidad para este experimento: Se elije un número entre 0 y 1, llamémosle p a este número y definimos P({C}) = p y así P({X }) = 1 p y esto define una asignación que cumple con los axiomas de probabilidad.

18 Proposición 3 Para cualquier evento A, P(A) + P(A ) = 1.

19 Proposición 3 Para cualquier evento A, P(A) + P(A ) = 1. Demostración Tome A 1 = A y A 2 = A, así nuestra colección de eventos es disjunta y su unión es S. Por tanto,

20 Proposición 3 Para cualquier evento A, P(A) + P(A ) = 1. Demostración Tome A 1 = A y A 2 = A, así nuestra colección de eventos es disjunta y su unión es S. Por tanto, 1 = P(S) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) = P(A) + P(A )

21 Ejemplo Considere el experimento de estar en una ĺınea de producción de baterias en la cual se van probando una por una hasta que se encuentra una bateria cuyo voltaje se encuentra en un cierto rango predefinido. Los eventos simples son A 1 = {E} A 2 = {FE} A 3 = {FFE} A 4 = {FFFE} Suponga que la probabilidad de una bateria resulte satisfactoria es 0.99; entonces P(A 1 ) = 0.99 P(A 2 ) = (0.01)(0.99) P(A 3 ) = (0.01) 2 (0.99) P(A 4 ) = (0.01) 3 (0.99)

22 Ejemplo Considere un sistema de cinco componentes idénticos conectados en serie. Suponga que la propabilidad de que un componente no falle es 0.9. Determine la probabilidad de que el sistema falle.

23 Proposición 4 Para cualquier evento A, P(A) 1.

24 Proposición 5 Para dos eventos A y B cualquiera, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B).

25 Ejemplo En un cierto suburbio residencial, 60% de las familias están suscritas al periódico de una ciudad cercana, el 80% lo hacen al periódico local y 50% de todas las familias lo hacen a ambos periódicos. Si se elige una familia al azar, cuál es la probabilidad de que esté suscrita a al menos un periódico? cuál es la probabilidad de que esté suscrita exactamente a un periódico?

26 Determinación de probabilidades: caso finito o numerable Suponga que el espacio muestral es finito o numerable. Si el evento A se compone de los eventos simples E 1, E 2,... entonces P(A) = E i A P(E i )

27 Resultados igualmente probables Suponga que el espacio muestral Stiene N elementos o eventos simples E i y todos ellos son igualmente probables. Entonces P(E i ) = 1 N

28 Ejemplo Suponga el experimento donde se arrojan dos dados legales o imparciales y se anota el resultado. Calcule la probabilidad de que los dados sumen 4.