Anillos, ideales y el espectro primo

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1 Capítulo1 Anillos, ideales y el espectro primo Un anillo (conmutativo) con uno es un grupo abeliano (A, +) con un producto A A A que es asociativo, conmutativo, distribuye a la suma y tiene neutro multiplicativo. Ejemplos importantes de anillos conmutativos son el anillo de enteros Z, campos (tales como Q, R, C), el anillo de enteros módulo un entero dado, Z/nZ (éste es un campo si y sólo si n es primo), y si K es un campo el anillo de polinomios en n indeterminadas K[x 1,..., x n ]. Un morfismo de anillos es una función f : A B entre anillos que respecta la suma y producto de éstos, es decir, f(a + b) = f(a) + f(b) y f(ab) = f(a)f(b). La función identidad id A : A A es un morfismo de anillos y la composición de dos morfismos de anillos también lo es. Si B es un anillo, un subanillo de B es un subconjunto A B que es anillo con las operaciones de B restringidas a A. Así, la inclusión i : A B es un morfismo de anillos y es inyectivo. De ahora en adelante, a menos que se diga lo contrario, todos los anillos son conmutativos y los morfismos de anillos llevan el uno en el uno. Ideales. Si A es un anillo, un ideal I de A es un subgrupo aditivo I A tal que para todo a A y x I se tiene que ax I. Claramente la intersección de cualquier familia de ideales de A es de nuevo un ideal de A. Si S A es cualquier subconjunto, el ideal generado por S es la intersección de todos los ideales de A que contienen a S. Usaremos la notación S para el ideal generado por S. Así S = { i a is i : sumas finitas con a i A, s i S }. Cuando S = {s 1,..., s n } es finito, usaremos la notación s 1,..., s n para el ideal generado por S y diremos que éste es un ideal finitamente generado. En el caso particular cuando S = {s} consta de un único elemento, diremos que s es un ideal principal. El anillo cociente. Si A es un anillo e I A es un ideal, en el grupo abeliano (aditivo) A/I de clases laterales de A módulo I se define un producto mediante (a + I)(b + I) = ab + I. Es fácil ver que este producto está bien definido, i.e., no depende de la elección de los representantes de las clases laterales dadas y hace de A/I un anillo conmutativo con uno al que se llama el anillo cociente de A módulo 1

2 2 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO I. El cero de A/I es I y el uno es 1 + I. La función natural ρ : A A/I dada por ρ(a) := a + I es un morfismo suprayectivo de anillos al que se conoce como el epimorfismo canónico. Dominios de factorización única. En el anillo de enteros Z, todo entero no cero ni unidad se puede factorizar, en forma única, como producto de enteros primos. A continuación probaremos que lo mismo es cierto para el anillo más importante en geometría algebraica: el anillo de polinomios con coeficientes en un campo K[x 1,..., x n ]. Comenzamos recordando los conceptos pertinentes. En un dominio entero A un elemento irreducible o primo es un elemento π A no nulo ni unidad tal que siempre que π = ab con a, b A, se tiene que a o b es una unidad. Si todo elemento no nulo ni unidad de A se puede escribir en forma única (salvo unidades o el orden de los factores) como producto de irreducibles, se dice que A es un dominio de factorización única o DFU. Todo dominio de ideales principales (DIP) es un DFU, en particular todo dominio euclidiano es un DFU. Los ejemplos más importantes de dominios euclidianos son Z y K[x], con K un campo. Observe que si A es un DFU y π es un primo tal que π ab con a, b A, entonces π a o π b ya que escribiendo a y b como producto de primos, entonces la factorización en primos de ab se obtienen pegando las de a y b por lo que si π aparece como factor en ab es porque ya estaba en a o en b. Nuestro objetivo ahora es probar que, si K es un campo, el anillo de polinomios K[x 1,..., x n ] es un DFU. Note que ya sabemos que K[x 1 ] lo es (de hecho, es un dominio euclidiano y así es un DIP; sin embargo, el anillo K[x 1, x 2 ] no es un DIP ya que el ideal x 1, x 2 no es principal). La demostración será por inducción sobre el número n de variables y el paso principal es la demostración de que si A es un DFU entonces A[x] también es un DFU. Con este objetivo necesitaremos los resultados siguientes sobre la factorización de polinomios. Un polinomio f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n A[x] se dice que es primitivo si mcd(a 0,..., a n ) = 1 (o una unidad). El contenido de un polinomio g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m A[x] es c(g) := mcd(b 0,..., b m ), el cual está definido salvo unidades. Así g(x) A[x] es primitivo si y sólo si c(g) = 1 (o una unidad). Obsérvese que cualquier polinomio g(x) A[x] se puede escribir de la forma g(x) = df(x) con d = c(g) y f(x) primitivo simplemente factorizando el mcd de los coeficientes de g(x). Es claro que la suma de dos polinomios primitivos en general no es primitivo, sin embargo se tiene: LEMA 1.1 (Gauss). Si A es un DFU y f(x), g(x) en A[x] son primitivos, entonces su producto f(x)g(x) también es primitivo. Demostración. Si f(x) = a 0 + a 1 x + + a m x m y g(x) = b 0 + b 1 x + + b n x n, a i, b j A, supongamos que f(x) g(x) = c 0 + c 1 x + + c r x r no es primitivo. Entonces, mcd(c 0,..., c r ) 1, y así existe un primo π A tal que π c k para todos los k = 0,..., r. Ahora, como f(x) es primitivo, este primo π no divide a todos

3 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO 3 los coeficientes a i. Sea pues a s el primer coeficiente de f(x) no divisible por π. Similarmente, sea b t el primer coeficiente de g(x) no divisible por π. Consideremos ahora al coeficiente c s+t de f(x) g(x): c s+t = (a 0 b s+t + a 1 b s+t a s 1 b t+1 ) + a s b t +(a s+1 b t 1 + a s+2 b t a s+t b 0 ) y obsérvese que como π a i, 0 i s 1, entonces π divide al primer paréntesis en la ecuación de arriba, y similarmente π divide al segundo paréntesis. Y como por hipótesis π c s+t, entonces π debe dividir a a s b t, en contradicción con el hecho de que π no divide a a s ni a b t. COROLARIO 1.2. Si A es un DFU y f(x), g(x) en A[x], entonces c(fg) = c(f)c(g). Se sigue que todo factor de un polinomio primitivo en A[x] también es primitivo. Demostración. Escribamos f = c(f)f 1, g = c(g)g 1 con f 1, g 1 primitivos. Entonces, fg = c(f)c(g)f 1 g 1, donde f 1 g 1 es primitivo por el lema anterior. Se sigue que c(fg) = c(f)c(g). COROLARIO 1.3 (Lema de Gauss). Sea A un DFU con campo de fracciones K. Si un polinomio f(x) A[x] es irreducible, entonces considerado como polinomio en K[x] también es irreducible. Obsérvese que como, obviamente, si f(x) es irreducible en K[x] también es irreducible en A[x], entonces el lema de Gauss de hecho dice: f(x) A[x] es irreducible en A[x] si y sólo si f(x) es irreducible en K[x]. Demostración. Supongamos primero que f(x) A[x] es primitivo. Si f(x) = p(x) q(x), con p(x), q(x) K[x], escribamos con a i /b i K, y p(x) = a 0 /b 0 + (a 1 /b 1 )x + + (a m /b m )x m, q(x) = a 0/b 0 + (a 1/b 1)x + + (a n/b n)x n con a i /b i K. Si b = b 0 b 1 b m y b = b 0 b 1 b n, entonces p(x) = (1/b)b p(x) y q(x) = (1/b )b q(x), con b p(x) y b q(x) en A[x]. Más aún, si d es el contenido de b p(x) y d es el contenido de b q(x), entonces b p(x) = d u(x) y b q(x) = d v(x) con u(x), v(x) A[x] primitivos. Se sigue que f(x) = p(x)q(x) = 1 b (d u(x)) 1 b (d v(x)) = dd bb u(x)v(x) = s t u(x)v(x) y así t f(x) = s u(x)v(x)

4 4 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO y como f(x) es primitivo, entonces c(t f(x)) = t, y también, como u(x) y v(x) son primitivos, el producto u(x)v(x) es primitivo y así c(s u(x)v(x)) = s. Se sigue que t = c(t f(x)) = c(s u(x)v(x)) = s, i.e., s = t y por lo tanto f(x) = u(x) v(x) con u(x), v(x) A[x]. Finalmente, si f(x) A[x] no es primitivo, escribamos f(x) = d g(x) con g(x) A[x] primitivo. Si f(x) se factoriza en K[x] como f(x) = p(x)q(x), entonces d g(x) = f(x) = p(x)q(x) y así ( 1 ) g(x) = d p(x) q(x) con (1/d) p(x), q(x) K[x], y entonces por la primera parte de la demostración, como g(x) es primitivo, entonces g(x) = u(x)v(x) con u(x), v(x) A[x]. Se sigue que f(x) = d g(x) = (d u(x))v(x) con d u(x), v(x) A[x]. TEOREMA 1.4. Si A es un DFU, entonces A[x] también lo es. Demostración. De la factorización f = c(f)f 1 se sigue que los elementos irreducibles de A[x] deben buscarse entre los polinomios constantes y los polinomios primitivos. Ahora, un polinomio constante c es irreducible si y sólo si c es irreducible en A y un polinomio primitivo es irreducible si y sólo si no tiene un factor primitivo de grado menor por 1.2. Por lo tanto, todo polinomio no nulo ni unidad de A[x] es un producto de elementos irreducibles. Supongamos ahora que se tienen dos factorizaciones en irreducibles de f A[x]: f = c 1 c m f 1 f r = d 1 d n g 1 g s con los c i, d j constantes y f i, g j polinomios primitivos. Entonces c(f) = c 1 c m = d 1 d n (salvo unidades de A) y como A es un DFU se debe tener que m = n y, reordenando si hiciera falta, c i = d i salvo unidades de A. Cancelando se sigue que ( ) f 1 f r = g 1 g s (salvo unidades de A). Ahora, si K es el campo de cocientes de A, viendo a los polinomios anteriores en K[x], por el lema de Gauss los f i, g j son irreducibles en K[x], y como este anillo es un DFU, la igualdad ( ) implica que r = s y, reordenando si hiciera falta, f i = g i salvo unidades en K. Pero, si f i = (u i /v i )g i con u i /v i no cero (i.e., una unidad en K), entonces v i f i = u i g i y como f i y g i son primitivos, calculando contenidos la igualdad anterior implica que u i = v i salvo unidades en A; se sigue que u i /v i es una unidad de A. COROLARIO 1.5. Si K es un campo, entonces K[x 1,..., x n ] es un DFU.

5 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO 5 Operaciones con ideales. Si I, J son ideales de A, su suma es el ideal I + J = {a + b : a I, b J} es obvio que éste es un ideal y es el menor ideal de A que contiene a I y J. En general, si {I j } j Γ es una familia de ideales, la unión de ideales no es un ideal. Se define la suma de ideales j Γ I j como el ideal generado por la unión S = j Γ I j. Por lo tanto, I j = {a i1 x i1 + + a in x in : con los a ij A y los x ij I ij }. j Γ Es decir, j Γ I j es el ideal dado por las combinaciones lineales finitas de elementos de la unión de los ideales I j. El ideal generado por los productos {ab : a I, b J} se llama el producto de los ideales I y J, y se denota por IJ. Así, IJ = { i a ib i : sumas finitas con a i I, b i J }. Es claro que IJ I e IJ J y por lo tanto IJ I J. Por recursión se define el producto de un número finito de ideales I 1,..., I n y se denota por I 1 I n. La correspondencia entre ideales inducida por un epimorfismo. Si f : A B es un morfismo de anillos, el núcleo ker f = {a A : f(a) = 0} es un ideal de A y si I A es cualquier ideal, el epimorfismo canónico ρ : A A/I tiene como núcleo a I. De hecho, ρ induce una correspondencia biunívoca entre la familia de ideales del anillo cociente A/I y la familia de ideales de A que contienen a I {ideales de A que contienen a I} ρ {ideales de A/I} dada por J ρ(j) con inversa J ρ 1 J. El teorema chino del residuo. Dos ideales I, J de A se dice que son coprimos si I + J = 1 = A. Note que si I, J son coprimos entonces IJ = I J, lo cual es parte del teorema siguiente: TEOREMA 1.6 (Teorema chino del residuo). Si I 1,..., I n son ideales de A coprimos por pares, i.e., I i + I j = A, para i j, entonces la función ρ 1 φ : A A/I 1 A/I n dada por a (a + I 1,..., a + I n ) es un epimorfismo con núcleo I 1 I n = I 1 I n.

6 6 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO Demostración. Supongamos primero que n = 2. Como I 1 +I 2 = A, existen x i I i tales que 1 = x 1 +x 2. Entonces, dado el elemento (a 1 +I 1, a 2 +I 2 ) A/I 1 A/I 2, para x = a 1 x 2 + a 2 x 1 A escribiendo x 2 = 1 x 1 se tiene que x + I 1 = a 1 x 2 + a 2 x 1 + I 1 = a 1 a 1 x 1 + a 2 x 1 + I 1 = a 1 + I 1 y similarmente x + I 2 = a 2 + I 2 por lo que φ(x) = (x + I 1, x + I 2 ) = (a 1 + I 1, a 2 + I 2 ) y así φ es suprayectiva. También, en el caso n = 2, el núcleo de φ está formado por los x A tales que x + I 1 = I 1 y x + I 2 = I 2, es decir, tales que x I 1 I 2, como se quería. Resta probar que I 1 I 2 = I 1 I 2. Claramente I 1 I 2 I 1 I 2. Para la otra inclusión, como I 1 + I 2 = A escribamos 1 = x 1 + x 2 como antes. Si x I 1 I 2, entonces x = x 1 = x(x 1 + x 2 ) = xx 1 + xx 2 I 1 I 2. Supongamos ahora que n > 2. Mostraremos que los ideales I 1 e I 2 I n son coprimos. En efecto, como I 1 e I i son coprimos, para i 2, existen elementos a i I 1 y b i I i tales que a i + b i = 1 para i 2 y por lo tanto el producto i 2 (a i + b i ) = 1 y además está en el ideal I 1 + I 2 I n y por lo tanto I 1 + I 2 I n = A, como se quería. Podemos entonces aplicar el caso n = 2 a estos dos ideales, en particular para el elemento (1, 0) A/I 1 A/(I 2 I n ) por el caso n = 2 existe un y 1 A tal que (y 1 + I 1, y 1 + I 2 I n ) = (1 + I 1, 0 + I 2 I n = (1, 0) y así y 1 I 2 I n de donde se sigue que y 1 I i para todo i 2, es decir, φ(y 1 ) = (1, 0,..., 0). En forma análoga se encuentran elementos y 2,..., y n A tales que φ(y i ) = (0,..., 1,..., 0) (1 en el lugar i y 0 en las otras coordenadas). Así, dado (x 1 + I 1,..., x n + I n ), el elemento x = i x iy i A es tal que φ(x) = (x 1 + I 1,..., x n + I n ) lo cual muestra que φ es suprayectiva. Claramente el núcleo de φ es la intersección i I i y sólo resta probar que es igual a I 1 I n. Por inducción podemos suponer que i 2 I i = I 2 I n, y como mostramos antes, I 1 e I 2 I n son coprimos y así por el caso n = 2 se tiene que I 1 ( i 2 I i) = I1 (I 2 I n ), como se quería. Ideales primos y máximos. Un ideal propio p A se dice que es primo si siempre que ab p se tiene que a p ó b p. Equivalentemente, p es primo si y sólo si A/p no es el anillo cero y es un dominio entero. En un DFU los ideales primos son los ideales principales generados por un elemento irreducible: LEMA 1.7. Sean A un dominio entero y π un ideal principal no trivial de A. (1) Si π es primo, entonces π es irreducible. (2) Si A es un DFU, entonces π es primo si y sólo si π es irreducible.

7 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO 7 Demostración. Si π es primo, π = 0 y π = 1, entonces π no es cero ni unidad. Si π = ab, entonces ab π y como éste es un ideal primo, entonces a π o b π. Si a π escribiendo a = πc se tiene que π = ab = πcb y cancelando se tiene que 1 = cb, i.e., b sería una unidad y por lo tanto π es irreducible. Esto prueba (1) y una implicación de (2). Para la implicación faltante, si π es irreducible y ab π entonces π ab y como π es irreducible, por lo observado antes del lema se sigue que π a o π b, i.e., a π o b π y por lo tanto π es un ideal primo. COROLARIO 1.8. Si K es un campo, un ideal principal f en K[x 1,..., x n ] es primo si y sólo si f es irreducible. Un ideal propio m A se dice que es máximo si para todo ideal I de A tal que m I A se tiene que m = I ó I = A. Equivalentemente, m es máximo si y sólo si A/m es un campo. Como todo campo es dominio entero, se sigue que todo ideal máximo es primo. Sin embargo, no todo ideal primo es máximo, por ejemplo el ideal cero 0 Z es primo (porque Z es dominio entero) pero no es máximo. Todo anillo no trivial tiene al menos un ideal máximo como una consecuencia directa del lema de Zorn 1 ya que si A es el conjunto de todos los ideales propios de A (i.e., distintos de A), ordenando A mediante la inclusión de ideales, como 0 A, entonces A y si C A es una cadena, para cualesquiera I, J C se tiene que I J ó J I por lo que la unión M = I C I es un ideal de A. Claramente M es un ideal propio ya que si 1 M entonces 1 I para algún I C, en contradicción con el hecho de que los ideales de A son propios. Por el lema de Zorn se sigue que A tiene elementos máximos. Una forma equivalente de formular la afirmación anterior es: todo ideal propio I A está contenido en un ideal máximo de A, lo cual se sigue al considerar el anillo cociente A/I. El espectro primo de un anillo. Al conjunto de ideales primos de un anillo A se le denota por Spec A = {p A : p es un ideal primo de A} y se le llama el espectro primo de A. Si f : A B es un morfismo de anillos y si q B es un ideal primo, entonces su imagen inversa f 1 (q) es un ideal primo de A, ya que si ab f 1 (q) entonces 1 Si (A, ) es un conjunto parcialmente ordenado en el cual toda cadena C A (subconjunto totalmente ordenado) tiene una cota superior en A (i.e., existe un c A tal que u c para todo u C), entonces A tiene al menos un elemento máximo, i.e., un elemento m A para el cual no existe x A con x m y tal que m x,

8 8 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO f(a)f(b) = f(ab) q y así f(a) q ó f(b) q, es decir, a f 1 (q) ó b f 1 (q). Se tiene así la función a f : Spec B Spec A dada por a f(q) = f 1 (q). A continuación mostraremos que Spec A tiene una topología natural y con esta topología la función asociada a un morfismo de anillos f : A B es continua. La definición de Spec A generaliza lo que sucede en geometría algebraica, vea la página 18 o el capítulo 1 de [17], donde para una variedad afín sus puntos corresponden a ideales máximos en su anillo de coordenadas. El cambio de ideales máximos a ideales primos se debe, principalmente, al hecho de que, dado un morfismo de anillos, la imagen inversa de un ideal máximo no siempre es máximo, el ejemplo más sencillo es para la inclusión i : Z Q donde el ideal 0 es máximo en Q, pero i 1 (0) = 0 no es máximo en Z. Sin embargo, si I A es un ideal y ρ : A A/I es el epimorfismo canónico, entonces bajo la correspondencia biunívoca entre ideales de A/I e ideales de A que contienen a I se tiene que: COROLARIO 1.9. Si I A es un ideal y ρ : A A/I es el epimorfismo canónico, entonces (1) p es primo en A (que contiene a I) si y sólo si ρ(p) es primo de A/I. (2) m es máximo en A (que contiene a I) si y sólo si ρ(m) es máximo en A/I. La topología de Zariski en Spec A. Se introduce una topología en Spec A asociando a cada subconjunto E de A el conjunto V (E) = {p Spec A : p E} Spec A formado por los ideales primos de A que contienen a E. Comenzamos observando que si E E son dos subconjuntos de A, entonces V (E) V (E ). En particular, si I = E es el ideal generado por los elementos de E, entonces V (E) V (I), y de hecho se tiene que V (E) = V (I) ya que para la otra inclusión, si p E entonces el ideal primo p contiene a los generadores de I y por lo tanto contiene a I. Podemos entonces restringirnos a considerar sólo los conjuntos V (I) para I un ideal de A. Que estos conjuntos definen los cerrados en una topología de Spec A es parte del lema siguiente: LEMA Sea A un anillo conmutativo con uno. Entonces, (1) V (A) = y V (0) = Spec A. (2) Si I, J son ideales de A, entonces V (IJ) = V (I) V (J). ( ) ( ) (3) Si I j son ideales de A, entonces V I j = V I j = V (I j ). j j j (4) Si I J son ideales de A, entonces V (I) V (J).

9 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO 9 Demostración. (2): Si p V (I) V (J) entonces p I o p J y así p IJ por ser p ideal. Recíprocamente, si p V (IJ) y si p V (J), entonces existe un b J tal que b p, y como para todo a I se tiene que ab IJ p y p es primo con b p, entonces ab p implica que a p y por lo tanto I p. (3): Note que un ideal primo p contiene a la suma j I j si y sólo si p contiene a cada I j ya que la suma j I j es el menor ideal que contiene a todos los I j. La parte (1) es obvia y (4) se probó antes del enunciado del lema. A la topología definida por los cerrados V (I) anteriores, se le llama la topología de Zariski en Spec A. Se tiene la construcción recíproca de V (I): dado un subconjunto U Spec A se define I(U) := p U p. Las propiedades siguientes son inmediatas: LEMA Sea A un anillo conmutativo con uno. Entonces, (1) Si U U Spec A, entonces I(U) I(U ). (2) I( i U i) = i I(U i). (3) I({p}) = p. Mostraremos a continuación, que bajo ciertas condiciones, las correspondencias anteriores son inversas una de la otra, y para probar ésto necesitaremos las propiedades y conceptos adicionales siguientes: Radicales y el nilradical. Si I A es un ideal, su radical es el conjunto I := {a A : a t I para algún entero t 1}. Es fácil probar que I es un ideal de A que contiene a I y el ejercicio 1 lista las propiedades básicas de esta construcción. Para el caso particular del ideal 0 A el radical 0 se llama el nilradical del anillo A y algunas veces lo denotaremos por nil A. Note que 0 = nil A consta de los elementos a A para los cuales existe un entero t 1 tal que a t = 0, a estos elementos se les conoce como nilpotentes y por lo tanto nil A consiste de todos los elementos nilpotentes de A. PROPOSICIÓN Si I A es cualquier ideal, entonces I = p I p, la intersección de todos los ideales primos de A que contienen a I. En particular, el nilradical nil A es la intersección de todos los ideales primos de A.

10 10 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO Demostración. Si a I y p I es un ideal primo que contiene a I, entonces para algún entero n 1 se tiene que a n I p y como p es primo, entonces a p y así a p I p. Recíprocamente, si a p I p y si sucediera que a I, entonces a n I para todo n 1. Así, la familia F de ideales J de A que contienen a I pero tales que a n J para todo n 1 es no vacía ya que contiene a I, y si damos a F el orden inducido por la inclusión, para cualquier cadena C de ideales J i en F, su unión J = J i pertenece a F porque si no fuera así alguna potencia de a estaría en J y por lo tanto en algún J i, una contradicción. Claramente J es una cota superior de la cadena y así, por el lema de Zorn, F contiene un elemento máximo q para el orden dado por la inclusión. Mostraremos que q es un ideal primo. En efecto, si xy q y si sucediera que x q y y q, entonces los ideales q + x y q + y contienen propiamente a q y así, por la maximalidad de q, estos ideales no están en F y por lo tanto a m q + x y a n q + y, para algunos m, n 1. Escribiendo a m = q + rx y a n = q + sy, con q, q q se tiene que a m+n = a m a n = (q + rx)(q + sy) = qq + qsy + q rx + rsxy q porque xy q. Esto contradice el hecho de q F. Así, q es primo y a q porque a n q para todo n 1, lo cual de nuevo es una contradicción con el hecho de a se escogió en la intersección de todos los primos que contienen a I. LEMA Sea A un anillo conmutativo con uno. Entonces, (1) V (I) = V ( I). (2) Si I, J son ideales de A, entonces V (I) V (J) si y sólo si I J. (3) Si I A, entonces I(V (I)) = I. (4) Si U Spec A, entonces V (I(U)) = U (la cerradura de U). Demostración. Para (1), como I I, de (4) se sigue que V (I) V ( I). Para la otra inclusión recuerde que I es la intersección de todos los ideales primos que contienen a I y por lo tanto si p V (I) entonces p I y así p q I q = I, i.e., p V ( I). Para la parte (2), observe primero que J J I implica que V (I) = V ( I) V ( J) = V (J). Recíprocamente, si V (I) V (J), entonces p V (I) p p V (J) y por lo tanto J I. Para (3) observe que I = p I p = p V (I) p = I(V (I)). Para (4), como V (I(U)) es un cerrado que contiene a U entonces V (I(U)) U; recíprocamente, si V (I) es un cerrado que contiene a U, entonces para todo p U, I p y así I I(U) y por lo tanto V (I) V (I(U)). COROLARIO Las correspondencias siguientes invierten inclusiones y son inversas una de la otra:

11 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO 11 {subconjuntos cerrados de Spec A} I V {ideales radicales de A}. COROLARIO (1) Para todo p Spec A, la cerradura de {p} está dada por {p} = V (p). Se sigue que {p} es cerrado si y sólo si p es máximo. (2) El espacio Spec A es T 0. Demostración. Por definición, I{p} = p y así, por 1.13(4) y 1.11(3), {p} = V (I{p}) = V (p). Para la parte 2, si p, q Spec A son dos puntos distintos, entonces p q o q p y por la parte 1 esto quiere decir que q {p} = V (p) o p {q} = V (q). Algo. PROPOSICIÓN (1) Si p 1,..., p n son ideales primos de A y J es un ideal contenido en i p i, entonces J p i, para algún i. (2) Si I 1,..., I n son ideales de A y p es un primo que contiene a j I j, entonces p I j, para algún j. Más aún, si j I j = p, entonces p = I j, para algún j. Demostración. (1): Por inducción sobre n para la contrapositiva: Si J no está contenido en ningún p i, entonces J no está contenido en la unión de los p i. Para n = 1 no hay nada qué probar. Supongamos ahora que n > 1 y que el resultado es válido para n 1. Entonces, fijando cualquier i se tiene que si J p j, para todo j i, entonces J j i p j, por hipótesis de inducción. Por lo tanto, para este i, existe un elemento x i J tal que x i p j para todo j i. Si sucediera que uno de estos x i también satisface que x i p i, entonces x i i p i y ya acabamos. Supongamos entonces que para todo i estos x i p i, y consideremos el elemento n x = x 1 x i 1ˆx i x i+1 x n (donde ˆx i quiere decir omitir x i ) i=1 y note que como cada x j J, entonces x J, pero como x j p j para j i, entonces x p j para toda j, incluyendo j = i y por lo tanto x J i p i. (2): Supongamos que la afirmación es falsa, i.e., que p I i para todo i. Entonces, para cada i existe un x i I i p y así x 1 x n I 1 I n I 1 I n pero x 1 x n p porque éste es primo. Se sigue que p I 1 I n, una contradicción y por lo tanto p I i, para algún i. Finalmente, si p = i I i, entonces p I i para cada i y por el resultado del párrafo anterior p = I i, para algún i. El espectro de un anillo como funtor contravariante. A cada anillo conmutativo A le hemos asociado un espacio topológico Spec A y es fácil ver que esta asociación define un funtor contravariante de la categoría de anillos conmutativos a la categoría

12 12 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO de espacios topológicos, ya que si φ: A B es un morfismo de anillos (siempre pediremos que φ(1) = 1), sabemos que si q B es un ideal primo, su imagen inversa φ 1 (q) A también es un ideal primo de tal forma que se tiene la función asociada a φ : Spec B Spec A dada por a φ(q) := φ 1 (q) y resulta que ésta es continua en la topología de Zariski, ya que si I es un ideal de A, para V (I) Spec A se tiene que ( a φ) 1 (V (I)) = V (φ(i)). En efecto, p a φ 1 (V (I)) a φ(p) V (I) φ 1 (p) V (I) φ 1 p I p φ(i) p V (φ(i)). LEMA Sea φ : A B un morfismo de anillos tal que todo b B se puede escribir de la forma b = uφ(a) con u invertible en B (lo cual sucede, por ejemplo, si φ es suprayectiva). Entonces, a φ : Spec B Spec A es un homeomorfismo de Spec B en su imagen. Demostración. (1) Mostraremos primero que para todo subconjunto E B existe un subconjunto E A tal que V (E) = V (φ(e )). En efecto, para cada b E B por hipótesis existen u B y a A tales que b = uφ(a); sea E A el conjunto de todas esas a A obtenidas al variar b E. Note entonces que si p V (E), i.e., si p E, entonces p φ(e ) ya que todos los elementos φ(a) φ(e ) son tales que φ(a) = bu 1 con b p y u 1 B por lo que φ(a) p. La inclusión recíproca es similar. (2) Note ahora que como los espectros son espacios T 0 y como a φ 1 (V (E )) = V (φ(e )), se sigue que a φ es inyectiva. (3) Finalmente, por la parte (1) y la fórmula a φ 1 (V (E )) = V (φ(e )) = V (E), se sigue que a φ(v (E)) = V (E ) y por lo tanto a φ es cerrada y continua y así, como es inyectiva, es un homeomorfismo sobre su imagen. La consecuencia siguiente puede considerarse un ejemplo (obtener el espectro del cociente en términos del anillo dado): COROLARIO Sean A un anillo e I A un ideal. Entonces, el epimorfismo canónico ρ : A A/I induce un homeomorfismo de Spec A/I en el subespacio cerrado V (I) de Spec A. Demostración. El epimorfismo canónico da una correspondencia biyectiva entre los ideales (respectivamente, ideales primos) de A/I con los ideales (respectivamente, ideales primos) de A que contienen a I. COROLARIO Los espacios topológicos Spec A y Spec(A/ 0) son canónicamente homeomorfos.

13 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO 13 Demostración. El corolario anterior identifica Spec(A/ 0) con V ( 0) = V (0) = Spec A. Irreducibilidad. Si X es un espacio topológico, un subespacio no vacío Z de X se dice que es irreducible si no se puede escribir como la unión de dos subconjuntos cerrados propios de Z. LEMA Sea X un espacio topológico arbitrario. Son equivalentes: (1) X es irreducible. (2) Si U 1, U 2 son subconjuntos abiertos no vacíos de X, entonces U 1 U 2. (3) Todo subconjunto abierto no vacío de X es denso en X. Demostración. (1) (2): Si U 1 U 2 =, tomando complementos X = (X U 1 ) (X U 2 ) con X U i cerrados propios de X y así, por hipótesis, se debe tener que X = X U 1 o X = X U 2, i.e., U 1 = o U 2 =, una contradicción. (2) (1) es similar. (1) (3) es directo de la definición de densidad. COROLARIO Sea Y X un subconjunto de un espacio topológico X. Si Y es irreducible entonces su cerradura Y es irreducible. Demostración. Un abierto U intersecta a Y si y sólo si intersecta a Y. Una componente irreducible de un espacio topológico X es un subconjunto irreducible máximo de X. Por el corolario anterior, las componentes irreducibles son cerradas y así, en el caso del espectro primo, las componentes irreducibles son de la forma V (I), que por 1.18 son homeomorfas a Spec(A/I). PROPOSICIÓN Sea X un espacio topológico. Entonces, (1) Cada subconjunto irreducible de X está contenido en una componente irreducible. (2) X es la unión de sus componentes irreducibles. Demostración. La parte (2) se sigue de (1) ya que para todo x X el conjunto {x} es irreducible y así, por (1), está contenido en una componente irreducible de X. Para probar (1) usaremos el lema de Zorn. Sea W X un subconjunto irreducible y sea F la familia de subconjuntos irreducibles de X que contienen a W. Como W F, entonces F, y si {X i } i Λ es una cadena en F, entonces su unión Y = i Λ X i también está en F ya que X Y y Y es irreducible porque si U 1, U 2 son abiertos de X tales que U i Y, entonces existen índices i 1, i 2 Λ tales que U i X ik para j = 1, 2, y como {X i } es una cadena podemos suponer que X i2 X i1 y por lo tanto U i X ik, pero como X ik son irreducibles por 1.20 se sigue que U 1 U 2 X ik y por lo tanto U 1 U 2 Y que por 1.20 implica que Y es irreducible, y por lo tanto Y F. Claramente Y es cota superior

14 14 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO de esta cadena y así, por el lema de Zorn, F debe tener un elemento máximo, que es, por definición, una componente irreducible de X que contiene a W, como se quería. COROLARIO El espacio topológico Spec A es irreducible si y sólo si A/ 0 es un dominio entero, o equivalentemente si el nilradical 0 es un ideal primo. Demostración. Por el corolario anterior podemos asumir que 0 = 0. Ahora, si Spec A fuera reducible existirían cerrados X 1, X 2 contenidos propiamente en Spec A tales que Spec A = X 1 X 2 y por lo tanto I(X 1 ) I(X 2 ) = I(X 1 X 2 ) = I(Spec A) = nil(a) = 0 y los ideales I(X 1 ) e I(X 2 ) no serían 0 por la correspondencia 1.14 y porque I(Spec A) = 0. Entonces se tendrían elementos no nulos f I(X 1 ) y g I(X 2 ) y su producto fg I(X 1 ) I(X 2 ) = 0, i.e., A no sería un dominio entero. Recíprocamente, si A no fuera dominio entero existirían elementos f, g distintos de cero en A tales que fg = 0. Note que como f 0 entonces V (f) Spec A ya que de lo contrario I(V (f)) = I(Spec A) = 0 y por lo tanto se tendría que f = 0. Similarmente, V (g) Spec A. Ahora, como fg = 0 entonces Spec A = V (0) = V (fg) = V (f) V (g) y así Spec A sería reducible. COROLARIO (1) En la correspondencia entre subconjuntos cerrados de Spec A e ideales radicales de A, (ver 1.14), los subconjuntos cerrados irreducibles corresponden a los ideales primos de A. En particular, las componentes irreducibles de Spec A corresponden a ideales primos mínimos. (2) La aplicación x {x} establece una biyección entre los puntos de Spec A y los subconjuntos cerrados irreducibles de Spec A. En otras palabras, todo subconjunto cerrado irreducible de Spec A admite un único punto genérico. NOTA. Si X es cualquier espacio topológico y W X, un punto x W se dice que es un punto genérico de W si W = {x}. Observe que si W tiene un punto genérico, entonces W es irreducible ya que {x} es irreducible y así, por 1.21, {x} también lo es. Demostración. (1): Si p es ideal primo, por 1.18 V (p) = Spec A/p y como el nilradical de A/p es p = p, la última igualdad porque p es primo, entonces por 1.21, como A/p es dominio entero, se sigue que Spec A/p = V (p) es irreducible. (2) Si Y Spec A es un cerrado irreducible, entonces I(Y ) es un ideal primo p de A por la parte 1 y así, para p = I(Y ) se tiene que {p} = V (I{p}) = V (p) = Y la penúltima igualdad por 1.13(3) y la última porque p = I(Y ) y 1.13(4). Se sigue que p es un punto genérico de Y. Supongamos ahora que q es otro punto genérico de Y. Entonces, Y = {q} = V (I{q}) = V (q), la última igualdad por 1.11(3). Ahora, como I(Y ) = p, la igualdad anterior implica que p = I(Y ) = I(V (q)) = q.

15 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO 15 En ocasiones, es más fácil trabajar con una base sencilla de la topología de Zariski en Spec A y el lema siguiente nos da una tal base: LEMA Sea A un anillo conmutativo y para cualquier f A denotemos por D(f) al abierto dado por el complemento del cerrado V ( f ). A los abiertos D(f) := Spec A V f los llamaremos abiertos distinguidos. (1) Si f, g A, entonces D(fg) = D(f) D(g). En particular, D(f) = D(f n ). (2) D(f) D(g) si y sólo si g f =: f. (3) D(f) = D(g) si y sólo si f = g, lo cual equivale a que los ideales primos mínimos que contienen a f y g son iguales. En particular, esto sucede si f = ug con u A una unidad. (4) Los conjuntos D(f), variando f A, forman una base para la topología de Spec A. (5) Si {f i } i Λ es una familia de elementos de A, entonces Spec A = i Λ D(f i ) si y sólo si 1 f i : i Λ, i.e., si y sólo si el ideal generado por los f i es todo A. (6) Spec A es cuasicompacto. Demostración. (1): Por 1.10(2), V (fg) = V (f) V (g) y el resultado se sigue tomando complementos. Para (2), recordemos que f = f p p. Usando esta igualdad se tiene la primera equivalencia en: g f existe un ideal primo p con f p pero g p existe un ideal primo p tal que p D(f) pero p D(g) D(f) D(g). La parte (3) se sigue de la parte (2) o de 1.13(3) y 1.13(1). Para (4), si U = Spec A V (I) es cualquier abierto, note que p I f p para todo f I p V (f) para todo f I p f I V (f) i.e., V (I) = f I V (f) y por lo tanto al tomar complementos U = Spec A V (I) = Spec A V (f) = ( ) Spec A V (f) = D(f). f I f I f I

16 16 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO Para (5), observe que Spec A = i D(f i) si y sólo si todo punto p Spec A no contiene a algún f i, i.e., si y sólo si ningún ideal primo p contiene al ideal f i : i Λ, y esto sucede si y sólo si este ideal es todo A. Para (6), observe primero que basta probar que cualquier cubierta por abiertos básicos D(f) tiene una subcubierta finita. Para probar esto último, en la demostración previa observe que 1 f i : i Λ si y sólo si existe un subconjunto finito f j1,..., f jn de los f i y escalares a 1,..., a n A tales que n 1 = a i f ji i=1 y por lo tanto 1 f ji : 1 i n, que por la parte 5 implica que Spec A = D(f j1 ) D(f jn ). Ejemplos. Los ejemplos siguientes ilustran la correspondencia funtorial: Anillos conmutativos Espectros primos. Ejemplo 1. Si K es un campo, su único ideal primo es el 0 y así Spec K = {0}. Ejemplo 2. Sea K un campo y consideremos el anillo de polinomios K[x]. Éste es un DIP y sus primos son el ideal 0 y los ideales máximos de K[x]. Es claro que V (0) = Spec K[x], es decir, la cerradura de 0 es todo el espacio Spec K[x] por lo que 0 es un punto genérico de Spec K[x]. Los otros puntos de Spec K[x], correspondientes a ideales máximos (que son todos los primos porque K[x] es DIP) m i (con m i polinomio irreducible de K[x]) son puntos cerrados, ya que, como K[x] es dominio de factorización única, para cualquier ideal I = f 0 de K[x], se tiene que V (I) = V f = { m i Spec K[x] : m i f} es el conjunto de divisores primos de f(x) y así V (I) es un subconjunto finito de Spec K[x], en particular, si m i es irreducible, V ( m i ) = { m i }. En el caso cuando K es algebraicamente cerrado, los ideales máximos de K[x] corresponden a polinomios m i de grado 1, digamos m i = x a i con a i K y por lo tanto, los puntos cerrados de Spec K[x] corresponden biyectivamente a los elementos de K mediante x a i a i, que son los puntos de la recta (afín) K, de tal forma que Spec K[x] = K {punto genérico} : 0 a x x a Ejemplo 3. En el caso cuando K no es algebraicamente cerrado se tienen otros ideales primos en K[x] además de los de la forma x a. Por ejemplo, si K = R, 0

17 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO 17 por el teorema fundamental del álgebra hay dos tipos de ideales primos (máximos) en R[x]: De la forma x λ con λ R, como antes, y De la forma x 2 + bx + c con b, c R tales que b 2 4c < 0. Note que estos últimos ideales se pueden factorizar como x γ x γ, con γ C R. Así, los puntos cerrados de Spec R[x] corresponden a números reales o a pares conjugados de números complejos no reales. Observe también que Spec R[x] tiene un único punto no cerrado, correspondiente al ideal primo cero. El espectro máximo. Antes de tratar de generalizar el ejemplo anterior para considerar el espectro primo Spec K[x 1,..., x n ] de un anillo de polinomios en n variables con coeficientes en un campo K (algebraicamente cerrado), comenzamos observando que los ideales x 1 a 1,..., x n a n con a i K son ideales máximos de K[x 1,..., x n ] porque los cocientes K[x 1,..., x n ]/ x 1 a 1,..., x n a n K (el isomorfismo es f(x 1,..., x n ) f(a 1,..., a n )). Un tal ideal x 1 a 1,..., x n a n corresponde a una n-ada ordenada (a 1,..., a n ) K n, por lo que podemos indentificar al conjunto de ideales máximos anteriores con K n. Más adelante probaremos el teorema de los ceros de Hilbert que afirma que éstos son todos los ideales máximos de K[x 1,..., x n ] cuando K es algebraicamente cerrado. Aceptando lo anterior, e identificando el ideal máximo x 1 a 1,..., x n a n con la n-ada ordenada (a 1,..., a n ) K n, podemos visualizar a los ideales máximos en Spec K[x 1,..., x n ] como los puntos de K n. En otras palabras, podemos pensar que K n Spec K[x 1,..., x n ] y para hacerlo más formal conviene definir el espectro máximo de un anillo A como el conjunto de tal forma que Specm(A) = {m A : m es un ideal máximo de A}, K n = Specm K[x 1,..., x n ]. El paso siguiente es ver cómo la topología de Zariski de Spec K[x 1,....x n ] se restringe al subconjunto K n = Specm K[x 1,..., x n ]. Para ésto, considere un ideal I K[x 1,..., x n ] y el conjunto cerrado V (I) Spec K[x 1,..., x n ]. Su restricción a K n es V(I) := V (I) Specm K[x 1,..., x n = {m Specm K[x 1,..., x n ] : m I}.

18 18 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO El objetivo entonces es dilucidar lo que significa geométricamente el hecho de que m I. Para ésto, observe que si f = f(x 1,..., x n ) I es cualquier elemento, entonces f m = x 1 a 1,..., x n a n y por lo tanto el punto correspondiente (a 1,..., a n ) K n es un cero de f. Por lo tanto, identificando al ideal m = x 1 a 1,..., x n a n con el punto (a 1,..., a n ) K n, el que m I quiere decir que el punto (a 1,..., a n ) es un cero común a todos los polinomios de I. En otras palabras, podemos identificar V(I) := {m = x 1 a 1,..., x n a n Specm K[x 1,..., x n ] : m I} = {(a 1,..., a n ) K n : f(a 1,..., a n ) = 0 para todo f I}. Conjuntos algebraicos afines. Hemos mostrado que los cerrados del subespacio K n Spec K[x 1,..., x n ] son los conjuntos de la forma V(I) = {(a 1,..., a n ) K n : f(a 1,..., a n ) = 0 para todo f I} a los que se llama conjuntos algebraicos afines. La topología correspondiente en K n se llama la topología de Zariski y se dice que K n es el espacio afín de dimensión n sobre K. Cuando el conjunto algebraico afín V(I) K n es irreducible, diremos que V(I) es una variedad algebraica afín o variedad afín. Note que como todo ideal propio I K[x 1,..., x n ] está contenido en un ideal máximo m que, por el teorema de los ceros de Hilbert, es de la forma m = x 1 a 1,..., x n a n, se sigue que (a 1,..., a n ) V(I) y por lo tanto estos conjuntos no son vacíos para I K[x 1,..., x n ]. A la luz de la discusión anterior, no es de extrañar que en geometría algebraica se haya definido primero el espectro máximo Specm(A) de un anillo A, ya que ésto es lo natural y es un punto de vista que conviene usar, y se usa. Una desventaja, no pequeña, es que si f : A B es un morfismo de anillos, en general no se tiene la función asociada a f : Specm(B) Specm(A). Los ejemplos 4 al 9 siguientes, de conjuntos o variedades afines, ilustran la naturaleza geométrica del espectro máximo, considerando ideales del anillo de polinomios K[x 1,..., x n ] con K algebraicamente cerrado. Comenzamos retomando el caso de una variable del ejemplo 2: Ejemplo 4. Supongamos que K es algebraicamente cerrado. En la recta afín K 1, cuáles son sus conjuntos algebraicos? Para comenzar, como el anillo K[x] es un DIP, entonces todo conjunto algebraico V K 1 es de la forma V = V(f) para un polinomio f K[x], y como K es algebraicamente cerrado entonces f(x) se factoriza como f(x) = c(x a 1 ) (x a k ) con c, a i K y por lo tanto V(f) = {a 1,..., a n }, es decir, los conjuntos algebraicos de K 1 son los conjuntos finitos, el espacio total y el vacío.

19 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO 19 Lo anterior sirve para mostrar que la topología de Zariski en K 1 es muy débil y bastante diferente de la topología usual en K 1 = K, por ejemplo si K = C, ya que en C 1 = C se tienen más cerrados en la topología métrica usual que en la topología de Zariski. Note también que los cerrados en la topología de Zariski son cerrados en la topología métrica ya que los polinomios son funciones continuas en la topología usual. Ejemplo 5. Si E K[x 1,..., x n ] es un conjunto finito de polinomios lineales, la variedad V(E) K n se llama una K-variedad lineal que, esencialmente es estudiada por el álgebra lineal. Ejemplo 6. Si E K[x 1,..., x n ] consiste de un único polinomio no constante f K[x 1,..., x n ], a la variedad V(E) =: V(f) K n se le llama una hipersuperficie. Si f es de grado 1, se dice que V(f) es un hiperplano afín en K n. En el caso particular cuando n = 2, V(f) es una curva en K 2 y es una recta si f es lineal. Ejemplo 7. Si K es un campo, dada a una matriz m n con entradas en K, desplegando sus renglones la podemos pensar como un elemento de K mn. Entonces, si m = n, el grupo lineal especial SL n (K) K n2 de matrices cuadradas n n con determinante 1, es un conjunto algebraico afín porque el determinante es un polinomio, es decir, para (x ij ) n n, su determinante det(x ij ) K[x 11, x 12,..., x nn ]. En forma similar se muestra que el grupo ortogonal O n (K) de matrices cuadradas A tales que A T A = id n es un conjunto algebraico afín. Conjuntos algebraicos afines e ideales radicales. Antes de ver otros ejemplos, veamos cómo se restringe la función I : {subconjuntos de Spec A} {ideales radicales de A}, en el caso cuando A = K[x 1,..., x n ] con K algebraicamente cerrado, al subespacio Specm A. Denotemos esta restricción por I. Así, por definición, para cualquier subconjunto U Specm K[x 1,..., x n ] se tiene que I(U) = m U m K[x 1,..., x n ]. Note ahora que, identificando U Specm K[x 1,..., x n ] = K n con un subconjunto de K n, se tiene que f I(U) = m U m f m para todo m U f m = x 1 a 1,..., x n a n para todo m U f(a 1,..., a n ) = 0 para todo (a 1,..., a n ) U. Es decir, para U Specm K[x 1,..., x n ] = K n, el ideal I(U) está dado por todos los polinomios en K[x 1,..., x n ] que se anulan en los puntos de U. Observe ahora que I(U) es un ideal radical, ya que si f I(U), entonces f r I(U) para

20 20 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO algún r 1, y por lo tanto para todo punto a = (a 1,..., a n ) U se tiene que f r (a) = 0, es decir, (f(a)) r = 0 y consecuentemente f(a) = 0, es decir, f I(U). Hemos mostrado así que I(U) I(U), y la otra inclusión siempre se tiene. Veamos algunos ejemplos de cómo se calcula el ideal I(U), para algunos U K n = Specm K[x 1,..., x n ]. Ejemplo 8. Para K algebraicamente cerrado, I(K n ) = 0. Antes de probar este resultado, note que no es trivial. Por ejemplo, si K es un campo finito, digamos K = F q, el polinomio de Frobenius f(x) = x q x F q [x] se anula en todos los puntos de U = F 1 q, pero no es el polinomio cero, es decir, I(F 1 q) 0. Sin embargo, si K es un campo infinito (cuando K es algebraicamente cerrado, claramente es infinito) se tiene que I(K n ) = 0. Note que lo anterior equivale a demostrar que si K es un campo infinito, entonces I(K n ) = I(Specm K[x 1,..., x n ]) = m = 0, m ideal máximo es decir, que la intersección de todos los ideales máximos del anillo K[x 1,..., x n ] es cero. A la intersección de todos los ideales máximos de un anillo A se le llama el radical de Jacobson del anillo A. Demostraremos el resultado deseado por inducción sobre n 1. El caso n = 1 es porque si f I(K 1 ) K[x] no fuera cero, como el número de raíces de f es que su grado, esto contradice el que K es infinito. Supongamos ahora que el lema es válido para n 1 y sea f I(K n ). Supongamos que f 0. Observe primero que K n 1 K n identificando (α 1,..., α n 1 ) K n 1 con (α 1,..., α n 1, 0) K n. Factorizando las potencias x k en los monomios de f, escribamos ( ) f = a k (x 1,..., x n 1 )x k n + y note que no puede suceder que k = 0 (i.e., que no aparezca la variable x n en f) porque entonces f K[x 1,..., x n 1 ] se anula en todo K n, en particular en K n 1 y así f = 0, por hipótesis de inducción. Podemos entonces suponer que k 1 y que a k (x 1,..., x n 1 ) 0 (no es el polinomio cero). Entonces, por hipótesis de inducción se tiene que a k I(K n 1 ) y por lo tanto existe un punto (α 1,..., α n 1 ) K n 1 tal que a k (α 1,..., α n 1 ) 0. Substituyendo el punto (α 1,..., α n 1 ) en todos los coeficientes a i en ( ) se obtiene el polinomio en una variable: f = a k (α 1,..., α n 1 )x k n + K[x n ] donde el coeficiente a k (α 1,..., α n 1 ) 0 y por lo tanto f tiene gr( f) raíces, i.e., no se puede anular en todo K 1, i.e., existe α n K = K 1 tal que 0 f(α n ) = f(α 1,..., α n 1, α n ), i.e., no se anula en todo K n.

21 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO 21 Parte de la importancia del ideal I(U), para U K n = Specm K[x 1,..., x n ] radica en que detecta cuándo el subespacio U es irreducible, para U un conjunto algebraico (i.e., cerrado) de K n : PROPOSICIÓN Un conjunto algebraico V K n es irreducible si y sólo si su ideal asociado I(V ) es un ideal primo. Demostración. Si V es irreducible y si f, g K[x 1,..., x n ] son tales que fg I(V ), entonces poniendo W 1 = V(f), W 2 = V(g), se tiene que V = (V W 1 ) (V W 2 ), con los espacios de la derecha cerrados y por lo tanto, ya que V es irreducible, se sigue que V = V W 1 o V = V W 2, es decir, V W 1 o V W 2, por lo que f I(W 1 ) I(V ) o g I(W 2 ) I(V ), i.e., I(V ) es ideal primo. Recíprocamente, si I(V ) es un ideal primo, supongamos que existen cerrados (i.e., conjuntos algebraicos afines) W 1, W 2 tales que V = W 1 W 2 con W i V. Por 1.2 se tiene que I(V ) = I(W 1 ) I(W 2 ) y además, por la inyectividad de I, I(V ) I(W i ). Por lo tanto, existen polinomios f i I(W i ) I(V ) y como los I(W i ) son ideales, entonces f 1 f 2 I(W i ) y consecuentemente f 1 f 2 I(W 1 ) I(W 2 ) = I(V ), una contradicción con la hipótesis de que I(V ) es primo. Ejemplo 9. K n es irreducible ya que, por el ejemplo 8, su ideal I(K n ) = 0, que es primo. Ejemplo 10. Si f K[x, y] es un polinomio irreducible, entonces p = f es un ideal primo y por lo tanto X = V(f) K 2 es irreducible. Note que esta variedad algebraica es la curva afín definida por f(x, y) = 0. Las figuras siguientes son algunas curvas en R 2, todas ellas irreducibles excepto la última: V y 2 x 3 V y 2 x 2 (x + 1)

22 22 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO V x 2 + y 2 1 V (y x 2 )(y x) El resultado siguiente, y su corolario, son los análogos para el especto máximo de 1.13 y 1.14, pero la parte medular requiere el teorema de los ceros de Hilbert cuya demostración se hará más adelante. TEOREMA Sea K un campo algebraicamente cerrado. (1) Si V es un subconjunto arbitrario de K n, entonces V V(I(V )), y la igualdad se tiene si y sólo si V es un subconjunto algebraico afín. (2) Si J es un ideal de K[x 1,..., x n ], entonces J I(V(J)). Más aún, IV(J) = J y por lo tanto la igualdad IV(J) = J se tiene si y sólo si J es un ideal radical. Demostración. Para (1), si P V, entonces para todo f I(V ) se tiene que f(p ) = 0 y por lo tanto f V(I(V )) y así V V(I(V )). Supongamos ahora que V = V(J) es algebraico afín. Entonces, J I(V ) y como la función V invierte inclusiones 1.10 se sigue que V = V(J) V(I(V )) y por lo tanto se tiene la igualdad V = V(I(V )). Recíprocamente, si V = V(I(V )), entonces V es algebraico, por definición. Para (2), si f J, entonces para todo P V(J) se tiene que f(p ) = 0 y por lo tanto J IV(J). La segunda afirmación de la parte (2) es (una parte de) el contenido del teorema de los ceros de Hilbert y su demostración se pospondrá hasta la sección sobre este teorema. Un consecuencia inmediata del teorema anterior es que las correspondencias {subconjuntos algebraicos de K n } I V {ideales radicales de K[x 1,..., x n ]}

23 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO 23 invierten inclusiones y son inversas una de la otra. Esta es una perfecta correspondencia que traduce la geometría de los conjuntos algebraicos afines a una situación algebraica. Ahora, aprovechando que ya se tiene una visión geométrica de los subconjuntos cerrados del espectro máximo Specm K[x 1,..., x n ] con K algebraicamente cerrado, podemos ilustrar geométricamente lo que sucede cuando se toma el espacio más grande, el espectro primo Spec K[x 1,..., x n ], en los ejemplos que siguen: Ejemplo 11. Sea K un campo y consideremos Spec K[x, y]. De nuevo, como K[x, y] es dominio entero, 0 es ideal primo, su cerradura es todo Spec K[x, y] y así 0 es un punto genérico. Ahora, desafortunadamente K[x, y] no es un DIP (por ejemplo, el ideal x, y no es principal). Para ver algunos ejemplos de puntos en Spec K[x, y], por el ejemplo 4 para n = 2, los ideales x a, y b, con a, b K, son máximos. Pero además de los ideales máximos anteriores, hay otros ideales primos, a saber los ideales f(x, y) con f K[x, y] irreducible (por ejemplo, f(x, y) = y x 2 o f(x, y) = y 2 x 3 ). Más adelante probaremos que estos son todos los ideales primos de K[x, y]: la idea geométrica es que los primos (máximos) x a, x b corresponden a puntos (a, b) K 2, i.e., de dimensión cero; los primos f(x, y) con f irreducible son curvas f(x, y) = 0, i.e., de dimensión 1; al ideal 0 de alguna manera lo pensaremos de dimensión 2 (aunque en toda esta discusión no hemos definido el concepto de dimensión) y esto cubre todas las posibilidades geométricas en Spec K[x, y]. Resumiento, los ideales máximos en Spec K[x, y] corresponden a los puntos en K 2 y además Spec K[x, y] contiene al punto genérico 0 y a los puntos correspondientes a curvas f(x, y) = 0 asociadas a polinomios irreducibles f: Spec K[x, y] = K 2 { 0 } { f(x, y) : f(x, y) irreducible} : punto genérico en el eje Y 0 x punto genérico de K 2 y x a, y b punto cerrado punto genérico en el eje X punto genérico en la curva f(x, y)

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