ÁLGEBRA BOOLEANA. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA DE BOOLE

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1 ÁLGEBRA BOOLEANA. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA DE BOOLE En 1854, George Boole publicó un libro titulado Investigación sobre las leyes del pensamiento, formulando un método simbólico para el estudio de las relaciones lógicas. Largo tiempo después, sus ideas tuvieron una repercusión muy importante en diversas áreas. En el esquema ideado por Boole, las proposiciones o sentencias solo pueden clasificarse en dos grupos: las verdaderas y las falsas. El resultado de combinar cierto número de sentencias es fácilmente deducible utilizando las propiedades de las operaciones del álgebra. En 1938 C. E. Shannon encontró una aplicación: los circuitos eléctricos con interruptores. Estos pueden será analizados y diseñados empleando el álgebra de Boole y han hallado aplicación en diversos campos como la automatización con PLC (Controladores lógicos programables) y con dispositivos lógicos programables como PLD, CPLD y FPGA, estos últimos pueden contener cientos y miles de compuertas lógicas Para la definición formal del álgebra booleana, se emplean los postulados formulados por E. V. Hungtington en Estos postulados o axiomas no son únicos para definir el álgebra booleana. Se han usado otros conjuntos de postulados. El álgebra booleana se parece en algunos aspectos al álgebra ordinaria. La elección de los símbolos + y. es intencional para facilitar las manipulaciones algebraicas booleanas por las personas que ya están familiarizadas con el álgebra ordinaria. Aunque puede utilizarse cierto conocimiento del álgebra ordinaria para tratar con el álgebra booleana, el principiante debe tener cuidado de no sustituir las reglas del álgebra ordinaria cuando no son aplicables. TABLAS DE VERDAD Y LAS TRES COMPUERTAS LÓGICAS BÁSICAS. Una tabla de verdad sirve para enumerar todas las combinaciones posibles de una operación lógica tanto de entrada con sus respectivas salidas. Por ejemplo la operación lógica Y (AND) para dos entradas se muestra a continuación: E N T R A D A S S A L I D A A B X En esta tabla observamos que la salida sólo es 1 cuando ambas entradas son 1 La operación lógica AND se simboliza mediante la compuerta. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA DE BOOLE M. C. Oswaldo García Sánchez Página 1

2 La compuerta AND es una de las compuertas básicas con la que se construyen funciones lógicas. Una compuerta AND puede tener dos o más entradas y realiza la operación que se conoce como multiplicación lógica. Otra compuerta básica es la que realiza la función lógica O (en inglés OR) la cual puede tener dos o más entradas y realiza la operación que se conoce como suma lógica. Su tabla de verdad es: E N T R A D A S S A L I D A A B X En esta tabla anterior observamos que la salida es 1 cuando cualquiera de las entradas es 1. La operación lógica OR se simboliza mediante la compuerta Una tercera tabla de verdad y compuerta lógica básica presenta la operación negación (en inglés NOT). ENTRADA A SALIDA X La operación negación está simbolizada por la compuerta: POSTULADOS Y TEOREMAS Las reglas del álgebra de Boole están compuestas por postulados y teoremas. Los postulados son axiomas básicos de la estructura algebraica y no necesitan prueba. Los teoremas deben probarse mediante los postulados. POSTULADOS BÁSICOS: Para manejarlos de manera intuitiva consideraremos el siguiente criterio: Un CERO lógico dibujarlo como una parte de circuito abierto UN UNO lógico dibujarlo como un puente de circuito cerrado La multiplicación en serie, la suma en paralelo. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA DE BOOLE M. C. Oswaldo García Sánchez Página 2

3 1) 0*0 =0 2) 0*1= 0 3) 1*0 =0 4) 1*1 = 1 5) = 0 6) = 1 7) = 1 8) = 1 9) 0 = 1 10) 1 = 0 Junto con las expresiones anteriores, también podemos enunciar expresiones con variables: CRITERIOS A MANEJAR: Las variables se representan con un interruptor que puede estar abierto o cerrado (es variable) La suma en paralelo. La multiplicación en serie Cuando aparezcan dos o más variables en la expresión deberán unirse con línea discontinua, entendiendo que se abren o cierran al instante, todas ellas de manera conjunta. Cuando aparezca una variable y la misma negada, deberán dibujarse como un interruptor abierto y el otro cerrado unidos con línea discontinua indicando que siempre estarán en posición mutuamente excluyente abierta o cerrada. Las variables negadas deben dibujarse como interruptores cerrados, sin embargo toda variable puede estar abierta o cerrada en el circuito. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA DE BOOLE M. C. Oswaldo García Sánchez Página 3

4 EJEMPLOS DE LAS TRES COMPUERTAS BÁSICAS: Dibuja los circuitos correspondientes a cada miembro de la ecuación o teorema, además escribe una frase que indique de que depende la conducción de corriente en el circuito: 11) x + 0 = x 12) x * 1 = x 13) x + y = y + x postulado conmutativo 14) xy = yx postulado conmutativo 15) x(y + z) = xy + xz postulado distributivo 16) x + yz = (x + y)(x + z) postulado distributivo 17) x + x = 1 INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA DE BOOLE M. C. Oswaldo García Sánchez Página 4

5 18) x* x = 0 19) x+ 1 = 20) x + y + z + 1 = 21) x * x = 22) w * w * w = TEOREMAS DEL ÁLGEBRA BOOLEANA. Los teoremas deben probarse mediante los postulados. A continuación se deducen algunos teoremas del álgebra de Boole con el conocimiento de los postulados vistos anteriormente. TEOREMA 1: x + x = x DEDUCCIÓN: x + x = (x + x)*1 por el postulado 12 = (x + x )(x + x) 17 = x + x*x 18 = x = x EJERCICIOS: Deducir los teoremas que se indican a continuación: TEOREMA 2: x*x = x DEDUCCIÓN: (sugerencia: sumar 0 al término x*x) INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA DE BOOLE M. C. Oswaldo García Sánchez Página 5

6 TEOREMA 3: x + 1 = 1 (sugerencia: multiplicar por 1 al binomio x + 1 ) DEDUCCIÓN: TEOREMA 4: x + xy = x (sugerencia multiplicar x por 1) DEDUCCIÓN: De una manera similar, se pueden deducir los siguientes teoremas: 6) x * 0 = 0 7) x = x involución 8) x + (y + z ) = (x + y) + z asociativo 9) x(yz) = (xy)z asociativo 10) x(x + y) = x(1 + y) = x redundancia 11) x + x y = x + y 12) x y + y z + y z = x y + z 13) x (x + y) = x y TEOREMAS DE DEMORGAN 1) (x + y) = x * y 2) x*y = x + y PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE INTERPRETADAS MEDIANTE INTERRUPTORES Los postulados y teoremas del álgebra de Boole los podemos agrupar como propiedades de ese sistema algebraico, y otra manera muy práctica de entender cada uno de ellos es mediante circuitos con interruptores eléctricos. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA DE BOOLE M. C. Oswaldo García Sánchez Página 6

7 EJERCICIO: Deduce la expresión del segundo miembro en cada ecuación o regla del álgebra booleana mediante interruptores realizando un circuito eléctrico equivalente. Nota el operador multiplicación está representado con asterisco (*). PROPIEDAD x + 0 = CIRCUITO EQUIVALENTE x + 1 = x + x = x + x = x * 0 = x * 1 = x * x = Ley de identidad x * x = x = x + y = Involución Ley conmutativa INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA DE BOOLE M. C. Oswaldo García Sánchez Página 7

8 x*y = Ley conmutativa x + (y + z ) = Ley asociativa x(yz) = Ley asociativa x(y + z) = Ley distributiva. x + xz = Redundancia x(x + y) = Absorción, redundancia (x + y)(x + z)= x + x y = x y + y z + y z = x y + z INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA DE BOOLE M. C. Oswaldo García Sánchez Página 8

9 x + (y * z) = (x + y )*(x + z) x (x + y) = x y OPERACIONES BÁSICAS I.- Simplifica las siguientes expresiones booleanas a un número mínimo de literales: 1.- x + x y = 2.- x( x + y ) = 3.- x y z + x y z + x y = II.- Utilizando los teoremas de DEMORGAN realiza lo que se indica en cada punto: 1.- Expresa como suma de productos, negando Z: Z = (A + C)*(B + D) 2.- Expresa como suma de productos, negando Z: Z = A + B*C 3.- Expresa como productos de sumas, negando f: f = abc + bcd INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA DE BOOLE M. C. Oswaldo García Sánchez Página 9