Teoría de la Medida. Recopilación

Transcripción

1 Teoría de la Medida. Recopilació Ua magitud física es u atributo de u cuerpo, u feómeo o ua sustacia, que puede determiarse cuatitativamete, es decir, es u atributo susceptible de ser medido. De acuerdo a Baird e el libro: Experimetació. Ua itroducció a la teoría de medicioes y al diseño de experimetos : La experimetació comprede el proceso completo de idetificar ua porció del mudo que os rodea (sistema), para obteer iformació de ella e iterpretarla. E este proceso tiee u papel importate el observador, e especial el/los modelos teórico/s que posee para iterpretar dicha realidad. Qué es medir? Es el proceso de cuatificar uestra experiecia del mudo exterior. Medir es comparar ua catidad de ua magitud co otra catidad de la misma magitud fijada arbitrariamete como uidad. Factores que iterviee e ua medició MEDIO OBJETO INSTRU MENTO OPERA DOR ) Objeto ) Aparato o istrumeto 3) Uidad o patró de comparació 4) Operador 5) Medio Protocolo de medició Para qué se mide? Objetivo de la medició. Qué se mide? Elecció de las magitudes ivolucradas e acuerdo al objetivo. Co qué se mide? Selecció del o de los istrumetos. Cómo se mide? Pasos a seguir para la determiació de la magitud correspodiete. Cuátas veces se mide? No se medirá ua sola vez ya que puede deslizarse errores groseros. Cómo se expresa el resultado de la medició? Expresar físicamete El resultado del experimeto se expresa como <x>± x y la uidad de medida <x> valor represetativo de la magitud x icerteza absoluta de la magitud

2 Clasificació de las medicioes Se puede clasificar e directas e idirectas. Medició directa: a la operació de lectura e u istrumeto aplicado a medir cierta catidad de ua magitud. Ej. : logitud co ua regla, corriete co u amperímetro, temperatura co u termómetro,... Medició idirecta: es la que resulta de vicular medicioes directas a través de relacioes matemáticas. Ej.: cálculo de la desidad de u cuerpo coocidas su masa y volume, de la resistecia eléctrica teiedo los valores de la itesidad de corriete y de la diferecia de potecial. Clasificació de icertezas Sistemáticas: so los que proviee de ua imperfecció o ajuste iadecuado del istrumeto de medició, de la acció permaete de ua causa extera, etc. Ejemplo: desigualdad e la logitud de los brazos de ua balaza, paralaje, desplazamieto del cero. Afecta a todas las medicioes prácticamete por igual y so del mismo sigo. Si bie o puede hacerse ua teoría geeral para ellos, e casos particulares existe métodos para poerlos de maifiesto o efectuar correccioes para elimiarlos. Accidetales o casuales: si ua misma catidad de ua magitud se mide cierto úmero de veces co el mismo istrumeto y e las mismas codicioes los valores difiere etre sí. Alguas de estas diferecias proviee del error de apreciació, pero otras se puede atribuir a pequeñas variacioes e las codicioes ambietales (temperatura, presió,...), cambios e el observador y e el istrumeto. Para medicioes de alta precisió es idispesable, para su poderació, utilizar la teoría estadística. Valor represetativo e icertezas Cuado se mide ua variable cotiua sólo se puede determiar u cojuto de valores o fraja de idetermiació, etre los cuales se asegura se ecuetra el verdadero valor de esa magitud. Por ejemplo, al medir ua cierta distacia hemos obteido (97±) mm. De este modo, etedemos que la medida de dicha magitud está e algua parte etre 95 mm y 99 mm. E realidad, la expresió aterior o sigifica que se está seguro de que el valor verdadero esté etre los límites idicados, sio que hay cierta probabilidad de que esté ahí Todo resultado experimetal o medida hecha e el laboratorio debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida y a cotiuació, las uidades empleadas. Medicioes comparables Se dice que so comparables cuado al represetar sus badas de icertezas tiee ua fraja de itersecció comú

3 Sólo se puede comparar medidas de la misma magitud Cifras sigificativas Como los cálculos tiee tedecia a producir resultados que cosiste e largas filas de úmeros, debemos de teer cuidado de citar el resultado fial co sesatez. Por ejemplo: si medimos u voltaje etre los extremos de ua eléctrica como (5,4±0,)V y la corriete como (,7±0,)A. podemos calcular el valor de la resistecia co la relació V R = = 9, Ω que es lo que da la calculadora I Esta respuesta o tiee setido pues se puede, tras u breve cálculo (que veremos cómo realiza más adelate), ecotrar que su icerteza es R= 0,59...Ω así que las primeras dos cifras decimales del valor calculado de resistecia so iciertas, es claro que el resto carece de setido. Pero la icerteza de las medidas directas V e I tiee ua sola cifra sigificativa u resultado cosistete para la resistecia sería expresarla respetado ua sola cifra sigificativa. Sólo si tuviéramos razoes para creer que uestra icerteza era exacta hasta al seguda cifra sigificativa, podríamos tomar dos cifras sigificativas e la icerteza fial. E térmios geerales debemos estar seguros que los valores dados a la icerteza sea cosistetes co las icertezas de las medicioes básicas. Cuado realizamos ua medició co ua regla graduada e milímetros, está claro que, si somos cuidadosos, podremos asegurar uestro resultado hasta la cifra de los milímetros o, e el mejor de los casos, co ua fracció del milímetro, pero o más. De este modo uestro resultado podría ser L = (95, ± 0.5) mm, o bie L = (95 ± ) mm. E el primer caso decimos que uestra medició tiee tres cifras sigificativas y e el segudo caso la medició tiee sólo dos, pero e ambos casos la icerteza tiee sólo ua cifra sigificativa. El úmero de cifras sigificativas de la medició es igual al úmero de dígitos coteidos e el resultado de la medició que está a la izquierda del primer dígito afectado por el error, icluyedo este dígito. El primer dígito, o sea el que está más a la izquierda, es el más sigificativo (9 e uestro caso) y el último (más a la derecha) el meos sigificativo, ya que es e el que teemos meos seguridad. Nótese que carece de setido icluir e uestro resultado de L más cifras que aquellas e dode teemos icertidumbres (dode cae el error). No es correcto expresar el resultado como L = (95,3 ±) mm, ya que si teemos icertidumbre del orde de mm, mal podemos asegurar el valor de las décimas, cetésimas y milésimas del milímetro. Si el valor de L proviee de u promedio y el error es del orde del milímetro, se debe redodear el dígito dode primero cae el error. Es usual expresar las icertezas co ua sola cifra sigificativa, y sólo e casos excepcioales y cuado existe fudameto para ello, se puede usar más. Tambié es usual cosiderar que la icertidumbre e u resultado de medició afecta a la última cifra si es que o se la idica explícitamete. Por ejemplo, si sólo dispoemos de la iformació que ua logitud es L = 95 mm, podemos supoer que la icertidumbre es del orde del milímetro y, como dijimos ates, el resultado de L tiee dos cifras sigificativas, co ua icerteza de ua cifra sigificativa. Los errores o icertezas se dará co ua úica cifra sigificativa (salvo que el método justifique más cifras). Esto determiará la catidad de cifras sigificativas que tomamos e la magitud 3

4 Reglas para cotar el úmero de cifras sigificativas ) Todos los dígitos distitos de cero so cifras sigificativas. Ejemplo:,76 g tiee 3 cifras sigificativas. ) Los ceros que está etre dos dígitos distitos de cero so cifras sigificativas. Ejemplos:,078 g tiee 4 cifras sigificativas 400,47 g tiee 5 cifras sigificativas. 3) Los ceros situados a la derecha de la coma y después de u dígito distito de cero so cifras sigificativas. Ejemplo: g. tiee 3 cifras sigificativas. 4)Los ceros situados a la izquierda de la primera cifra distita de cero, o so cifras sigificativas, sólo idica la posició del puto decimal. Ejemplos: 0,006 m tiee ua cifra sigificativa 0,008 g tiee 4 cifras sigificativas. 5) Para úmeros eteros, si decimales, los ceros situados a la derecha del último dígito distito de cero puede o o ser cifras sigificativas. Si se utiliza otació expoecial se evita esta ambigüedad. Las potecias de 0 se usa para marcar las cifras sigificativas. Ejemplos: a) 300 cm puede teer ua (úmero 3), dos (30) o tres (300) cifras sigificativas. Si se escribe 3 x 0 sigifica que tiee ua cifra sigificativa; 3,0 x 0 dos cifras sigificativas y 3,00 x 0, tres cifras sigificativas. b) Si se dice que la distacia de la tierra al sol es km esto sigificaría que se cooce este dato co ua icertidumbre km. Si embargo supógase que realmete el dato se cooce es co ua icertidumbre de 0000 km; esto obliga a escribir esta distacia como 9.960x0 4 km. c) Si el úmero de Avogadro se escribe como 6,037x0 3 sigifica que la medida experimetal da u úmero co 7 cifras sigificativas y o co 4 que es lo que sigificaría si se escribiera como que sería ua medició co egañosa exactitud e la medida. 6) Las coversioes de uidades o puede modificar el úmero de cifras sigificativas. Ejemplo:,4 m =,4 dm =4 cm =4x0 mm =0.004 km =4x0 4 µm = 4x0 7 m. Nota: µm sigifica micras o micrómetros y m sigifica aómetros. Expresioes icorrectas Expresioes correctas co ua cifra sigificativa e la icerteza 4567±98 m (4000±3000) m o más correctamete 4567±3000 m (,4±3)0 3 m 345,0±3,0 mm (345±3) m 345,±3 m 43±0,06 m (43,00±0,06) m La última cifra sigificativa e el valor de ua magitud física y e su error, expresados e las mismas uidades, debe de correspoder al mismo orde de magitud (ceteas, deceas, uidades, décimas, cetésimas). 4

5 Precisió y exactitud Precisió o es lo mismo que exactitud. Otra fuete de error que se origia e los istrumetos además de la precisió es la exactitud de los mismos. La precisió de u istrumeto o u método de medició está asociada a la sesibilidad o meor variació de la magitud que se pueda detectar co dicho istrumeto o método. Así, decimos que u torillo micrométrico (co ua apreciació omial de 0-3 mm =µm) es más preciso que ua regla graduada e milímetros; o que u croómetro es más preciso que u reloj comú, etc. La exactitud de u istrumeto o método de medició está asociada a la calidad de la calibració del mismo. Imagiemos que el croómetro que usamos es capaz de determiar la cetésima de segudo pero adelata dos miutos por hora, mietras que u reloj de pulsera comú o lo hace. E este caso decimos que el croómetro es todavía más preciso que el reloj comú, pero meos exacto. La exactitud es ua medida de la calidad de la calibració de uestro istrumeto respecto de patroes de medida aceptados iteracioalmete. E geeral los istrumetos viee calibrados, pero detro de ciertos limites. Es deseable que la calibració de u istrumeto sea ta buea como la apreciació del mismo. Precisió da la calidad de la lectura e el istrumeto, la exactitud compara a la lectura co u patró de referecia. Ua medició de alta calidad, como las que se utiliza para defiir los estádares, es precisa y exacta. Icertidumbre relativa y relativa porcetual. Los errores o icertezas de los que hemos estado hablado hasta ahora so los errores absolutos. El error relativo se defie como el cociete etre el error absoluto y X la magitud. Es decir ε =, dode X se toma e valor absoluto, de forma que ε es X siempre positivo. El error relativo es u ídice de la precisió de la medida. NO tiee uidades La icerteza absoluta o muestra si ua medició fue realizada co buea precisió o o, pues compara al valor represetativo co su icerteza. Se tiee así los coceptos de icerteza o error relativo ε ( el error por cada uidad) o el error relativo porcetual ε % (el error por cada cie uidades). Decimos que cuato meor es el error relativo mayor es la precisió de la medició, es decir defiimos la precisió K = /ε. Podemos comparar errores relativos de distitas magitudes. Resumiedo Toda medida debe de ir seguida por la uidad, obligatoriamete del Sistema Iteracioal de Uidades de medida. Cuado se mide algo debe teer gra cuidado para o producir ua perturbació e el sistema que está bajo observació. Todas las medidas está afectadas e algú grado por u error o icerteza experimetal debido a las imperfeccioes ievitables del istrumeto de medida, o las limitacioes impuestas por uestros setidos que debe de registrar la iformació. 5

6 Medidas directas Cómo asigar icertezas a ua magitud? Error o icerteza de ua magitud que se mide ua úica vez E este caso el mejor valor será simplemete el valor medido y el error se estimará como la míima divisió del istrumeto (o la mitad de ella segú sea la medició e cuestió) Error o icerteza de ua magitud que se mide directamete veces U experimetador que haga la misma medida varias veces o obtedrá, e geeral, el mismo resultado, o sólo por causas impoderables como variacioes imprevistas de las codicioes de medida: temperatura, presió, humedad, etc., sio tambié, por las variacioes e las codicioes de observació del experimetador. Si la medida se repite (cuado la sesibilidad del método o de los aparatos utilizados es pequeña comparada co la magitud de los errores aleatorios), solamete será ecesario e este caso hacer ua sola medida Si al tratar de determiar ua magitud por medida directa realizamos varias medidas co el fi de corregir los errores aleatorios, los resultados obteidos so x, x,... x se adopta como mejor estimació del valor verdadero, el valor medio <x>, que viee se calcula como De acuerdo co la teoría de Gauss de los errores, que supoe que estos se produce por causas aleatorias, se toma como la mejor estimació del error, el llamado error cuadrático defiido por Nótese que a mayor úmero de medicioes meor será la icerteza del promedio. Veamos dos criterios de aproximacioes de estas expresioes e dos ejemplos: Se ha obteido cuatro medidas, de las cuales tres está repetidas. Por ejemplo, e la medició del diámetro de ua pieza, los valores so 4 cm, 5 cm, 4 cm, 4 cm co u error de apreciació de cm. El resultado de la medició se expresará como (4 + ) cm. Es decir se toma la medida que más se repite y se descarta la que es diferete. De las medidas realizadas igua está repetida. Por ejemplo, e la medició de ua itesidad de corriete se obtuviero los siguietes resultados:,5 A,,4 A,,3 A y,5 A co ua icerteza de 0, A. Se asigará al valor represetativo la semisuma de las cotas X extremas y su itervalo de icerteza max + X X mi X = max X X = mi Se adoptará como valor represetativo X 0 = (,6 A +, A)/ =,4 A co ua icerteza de X = (,6 A, A)/ = 0, A. Dode X = (,5 0, ) A es la cota máxima y X = (,3 0, ) A es la cota míima max + mi 6

7 El resultado se expresará como X = (,4 + 0,) A. Medidas idirectas E muchos casos, el valor experimetal de ua magitud se obtiee, de acuerdo a ua determiada expresió matemática, a partir de la medida de otras magitudes de las que depede. Se trata de coocer el error e la magitud derivada a partir de los errores de las magitudes medidas directamete. Fucioes de ua sola variable Supogamos que la magitud y cuyo valor queremos hallar, depede solamete de otra magitud x, mediate la relació fucioal y=f(x). El error de y ( y) cuado se cooce el error de x ( x) se puede calcular mediate la df expresió. y = f '( x) dx = dx dx de uevo x es el valor medido y f' idica la derivada de la fució f(x) respecto de x, o sea df f ( x) =. dx Ejemplo : Supogamos que queremos medir el periodo T de u oscilador, es decir, el tiempo que tarda e efectuar ua oscilació completa, y dispoemos de u croómetro que aprecia las décimas de segudo, 0,s. Medimos el tiempo que tarda e hacer 0 oscilacioes, por ejemplo 4,6 s, dividiedo este t t tiempo etre 0 resulta T=0,46 s, T =, T = 0 0 Obteemos para el error T=0,0 s. Por tato, la medida la podemos expresar como T=(0.46±0.0) s Podríamos aumetar idefiidamete la resolució istrumetal para medir T aumetado el úmero de periodos que icluimos e la medida directa de t. U límite está e uestra paciecia y la creciete probabilidad de cometer errores cuado cotamos el úmero de oscilacioes. Otro límite es que el oscilador o se matiee co la misma amplitud idefiidamete, sio que se para al cabo de u cierto tiempo, por lo tato deja de valer el modelo físico utilizado. Fució de varias variables La magitud y está determiada por la medida de varias magitudes p, q, r, etc., co la que está ligada por la fució. La magitud y es la variable depediete y las magitudes p, q, r so las variables idepedietes. y=f(p, q, r...). Para evaluar y se utiliza, como se dijo precedetemete, el dy. Pero al depeder de más de ua variable se realiza la derivació respecto de ua sola de las variables, cosiderado las otras como costates (cocepto de derivada parcial). El error de la magitud y se puede calcular por medio de la siguiete expresió. 7

8 Casos más frecuetes ( ) ( ) y = p ± q y = p + q ( ) ( ) y = p q y = p q + q p p p p q y = y = + q q q E forma aproximada se puede calcular, como cota superior y = f p p + f q q + f r r +... E los casos más frecuetes y = p ± q y = p + q y = p q y = p q + q p y = p q y = q p + q p q De maera que se puede co esto obteer que Icerteza absoluta de a : a Icerteza relativa de a : ε(a) = a/a, porcetual : ε(a) % = a/a. 00 Icerteza absoluta de (a±b) : (a±b) = a + b Icerteza relativa de a.b : ε(a.b) = a/a + b/b = ε(a) + ε(b) Icerteza relativa de a : ε(a ) =. a/a =. ε(a) Icerteza relativa de a:b : ε(a:b) = a/a + b/b = ε(a) + ε(b) Ejemplos: ) Se midió ua determiada logitud, para la que se ecesitó utilizar dos veces ua regla milimetrada. Las medidas directas fuero a =0 mm y b =5 mm. Etoces la medida de la logitud total será: a + b= (a + a) + (b + b) = (0 mm + mm) + (5 mm +mm) = 5 mm + mm. ) E el caso de la sustracció se procede de igual modo: a - b= (a + a) - (b + b)= (a - b ) + ( a + b ). 3) Hallar el área del rectágulo y el error de la medida idirecta. Si los lados mide a=(,53±0,06) cm, y b=(0,±0,) cm El área es A =a. b=.53 0,=5.606 cm 8

9 El error absoluto del área A se obtiee co: ( ) ( ) ( ) A = a b + b a = (,53 0,) + 0, 0,06 = 0,630835cm y e forma aproximada A = a b + b a = 0,765cm El error absoluto co ua sola cifra sigificativa es, para el primer caso 0,6cm, (o 0,7cm si elegimos mayorar el trucamieto de la icerteza). Co lo que A=(5.6±0.6)cm, o a lo sumo A=(5.6±0.7)cm Para el caso aproximado 0,8cm, co lo que A= (5.6±0.8)cm Cifras apropiadas para ua costate. Cuado e ua medició idirecta aparece ua costate se puede despreciar la ifluecia de su icerteza e el resultado, eligiedo u úmero adecuado de cifras. El criterio que se seguirá es el siguiete: será despreciado cuado su error relativo multiplicado por 0 sea meor o igual que la suma de los otros errores relativos. Ejemplo: Co cuátas cifras se expresará π para despreciar su error e el cálculo del volume de u cilidro?. Las dimesioes medidas fuero el diámetro y la altura de la pieza. De la fórmula correspodiete V = ¼ π.d.h, haciedo propagació de errores, el ε (V) = ε (π) +. ε (d) + ε (h). Se despreciará el error de π siempre que 0. ε (π). ε (d) +ε (h). Para ello es coveiete cofeccioar u cuadro como el siguiete: π π ε (π) 0. ε (π) 3 /3 0. /3 3, 0, 0, /3, 0. 0,/3, 3,4 0,0 0,0/3,4 0. 0,0/3, El resultado de la última columa se compara co la suma de los otros errores. Para el primer valor que da meor o igual se observa la primera columa. Ese valor de π es el que hay que tomar. Criterio de equivalecia etre dos series de medicioes Si ua magitud física se mide co dos (o más) métodos o por distitos observadores, es posible (y muy probable) que los resultados o coicida. E este caso decimos que existe ua discrepacia e los resultados. Si embargo, lo importate es saber si la discrepacia es sigificativa o o. U criterio que se aplica e el caso especial pero frecuete, e el que las medicioes se pueda supoer que sigue ua distribució ormal, es el siguiete. Si los resultados de las dos observacioes que se compara so idepedietes (caso usual) y diero como resultados: Medició : X =X ± X Éste, como muchos otros coceptos utilizados e esta recopilació se estudiará más ampliamete e cursos de estadística. 9

10 Medició : X =X ± X Defiimos al promedio de las icertezas como: X =( X + X )/ Decimos que co u limite de cofiaza del 68% las medicioes so distitas si: X X < X y que co u limite de cofiaza del 96% las medicioes so distitas si: X X <. X Esto quiere decir que la diferecia etre las medicioes es sigificativa si está fuera de estos itervalos, segú el límite de cofiaza adoptado e cada caso, por lo0 tato las medicioes o so comparables. Tambié se aplica cuado se compara valores obteidos e el laboratorio co valores tabulados o publicados. Nótese la diferecia etre discrepacia y error o icerteza, que e alguos textos poco cuidadosos se cofude. El error está relacioado co la icertidumbre e la determiació del valor de ua magitud. La discrepacia está asociada a la falta de coicidecia o superposició de dos itervalos de dos resultados Represetacioes gráficas La presetació y aálisis de los resultados experimetales debe cosiderarse como parte itegral de los experimetos. Muchas veces es útil que los datos obteidos se presete e u gráfico, dode quede resumida la iformació para su apreciació y aálisis. Por ejemplo e los casos e que: Los experimetos se lleva a cabo midiedo ua variable Y e fució de otra X que se varía idepedietemete y se quiere iterpretar la relació fucioal etre ellas Cuado iteresa estudiar si dos variables matiee ua correlació (causal o o) y cómo es esta viculació o grado de iterdepedecia Para detecció de posibles errores sistemáticos Como elemeto ordeador de la iformació colectada e u experimeto, u gráfico debe costruirse sobre la base de ua elecció adecuada tato de las variables como de las escalas, Los programas de represetació gráfica dispoibles e las computadoras icluye etre sus opcioes el diseño de gráficos usado los distitos tipos de escalas mecioadas e este capítulo. Pero, ya sea que el gráfico vaya a realizarse usado estos programas o a mao, es coveiete cosiderar alguas pautas para que la iformació coteida e el dibujo adquiera la relevacia que le correspode. La correcta elecció de las variables y de las escalas Idetificació de los ejes co rótulos bie ubicados que diga qué variables se represeta y e qué uidades se mide. Uso de símbolos que ubique los datos, e lo posible (siempre que la escala utilizada lo permita) co sus icertidumbre (barras o rectágulos); que haya ua difereciació de distitas series de datos cuado se presete varios resultados, para lo que es recomedable el uso de diferetes símbolos (putos, cuadrados, rombos, etc.). E los gráficos experimetales siempre tiee que estar represados los putos correspodietes a las medicioes que le diero orige. Iclusió de u epígrafe, que es u texto descriptivo de lo que está represetado e el gráfico y que además puede maifestar iformació adicioal importate. 0

11 Ua clara difereciació etre lo que es propio del resultado experimetal del trabajo y lo que correspode a ua comparació co ua teoría o modelo propuesto (por ejemplo, usar líeas cotiuas y puteadas) o a resultados extraídos de otras fuetes. Ejemplo: El siguietes gráfico correspode a ua experiecia co los que se quiere determiar la velocidad de u móvil. La pediete de la recta obteida, e relació a las respectivas escalas usadas e cada uo de los ejes, os da el módulo de dicha velocidad. X = X + o V t Se obtuviero como medicioes y su respectivo gráfico X(m) X(t) t (s) t(segudos) X(m) 0 0,30 4 3,70 7 5,5 0 7,99 5 7,99 6 0,39 0,43 3 3,86 5 5,46 8 7,3 Al represetar los valores de posició y tiempo, co sus respectivas icertezas, se obtiee u rectágulo (para cada medició). Cómo trazar la mejor curva por dichos putos? U método aalítico riguroso es el de los cuadrados míimos. Otro es el gráfico, o ta riguroso pero práctico. Método gráfico Se traza dos rectas la de máxima pediete a max y míima pediete a mi que pase por todos los rectágulos trazados, pivoteado e u puto seguro (esto es u puto coocido que podrá ser, por ejemplo el valor medio de las variables graficadas). Se calcula gráficamete cada ua de esa pedietes y represetamos como mejor recta a aquella cuya pediete (a) es la media aritmética de ambas, es decir: a max + a a mi a = co u itervalo de icerteza max a a = mi X(m) X(t) Max Mi t (s) Método de cuadrados míimos Sea dos magitudes x e y relacioadas liealmete: Y= ax+b

12 Si se desea determiar experimetalmete los coeficietes a (pediete) y b (ordeada al orige), será ecesario obteer u cojuto de pares de valores (x i,y i ), como e el caso del ejemplo del gráfico x(t) de la secció aterior, Segú el método de cuadrados míimos, la recta que ajuste mejor todos los pares de putos a ua fució lieal, se puede calcular co los valores de pediete y ordeada al orige calculados a través de b a = xi yi ( yixi ) xi i = i = i = i = xi ( xi ) i = i = a b = ( y x ) x y i i i i i = i= i = xi ( xi ) i= i= Si bie estos coeficietes correspode a la recta que ajusta mejor los datos experimetales, como los datos posee error, o so úicos, sio que está icluidos e u itervalo. Es por esto que existe otras rectas que tambié ajusta los datos. Si se cosidera todas las rectas posibles, es decir, todas aquellas que tiee pedietes icluidas e el itervalo a+ a y ordeadas b+ b y, además, se supoe que: i) ε (x i ) << ε (y i ), dode ε (z) = z/z es el error relativo de ua magitud z. ii) los valores y i está medidos co el la misma icerteza se obtiee que: b = Δ 0 (x ) i = i x ( x ) i i i = i = co Δa = Δ 0 x ( x ) i i i = i = Δ 0 = (y i ax i b) i = E el caso e que o todos los valores de y i tega el mismo error relativo, se utiliza Cuadrados Míimos poderados. E el caso que los errores relativos de las dos magitudes sea comparables se utiliza u método más geeral de cuadrados míimos para ese caso. Debe teerse e cueta que el método de cuadrados míimos puede utilizarse aú para relacioes o lieales, como por ejemplo y = y = be ax a x + b Para ello es ecesario trasformarlas e lieales a través de cambios de variables. E estos casos:

13 ly = lb + ax = y b a + x a a partir de lo cual se puede trabajar co las uevas variables ly, /y, que depede e forma lieal co x. Cómo mejorar la calidad de ua medida? a) Cambiar de método. b) Cambiar de istrumeto. c) Distribuir la icertidumbre Bibliografía Baird, D.C., Experimetació. Ua itroducció a la teoría de medicioes y al diseño de experimetos.. Editorial Pretice Hall. Módulo de Física. Volume : Teoría de la Medida, Ciemática y Diámica GDME. (63.0.) CEI, FI UBA 99. Adam, R. ; Bella, A. ; Cicerchia, E. - Errores de medició e el laboratorio. Facultad de Cs Bioquímicas y Farmaceúticas. U.N.R. Simo, J.M., Simo M.C. y Perez, L.I. Laboratorio - Guía para alumos- Laboratorio de Óptica Dto. Física FCEN UBA Balseiro, J.. Medicioes Físicas. Hachette. Guía de Trabajos Prácticos : Física I (6.0). CEI, FI UBA 996. Sears,Zemasky,Youg,Freedma Física Uiversitaria- - Pearsos Educatio Gil, S. y Rodríguez, E.. Física re-creativa, 3