M G g R M R M M g M 16 M G R. g 0,75g 7,35 G R h 7,37 10 m h 10 m

Transcripción

1 0. Sabiendo que el diámetro de la tierra es cuatro veces el de la una y que la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre es seis veces la de la superficie lunar, cuántas veces es mayor la masa de la ierra que la de la una? elacionando los valores de la gravedad, G g g G 0. Hasta qué altura sobre a superficie terrestre hay que subir para que la intensidad del campo gravitatorio se reduzca en un 5%?. Hasta qué profundidad hay que descender para que ocurra lo mismo? A esa altura,7 0 5,8 0 4 g 0,75g 7,5 G h 7,7 0 m h 0 m ( 7,5 h) Dentro de la esfera terrestre la gravedad varía linealmente con la altura, luego habrá que descender hasta que el radio de la esfera sea 0,75 es decir 5,5 km 0. Júpiter tiene un diámetro veces mayor que el terrestre y su masa es 0 veces mayor. Calcular: a) a relación entre las densidades b) a relación entre las velocidades de escape J J J 0 J J 0,85 G G 0 J J vj 5, v 5, v J 04. Consideremos los puntos extremos de una órbita elíptica alrededor del Sol. Una de las distancias es el doble de la otra. Calcular la excentricidad de la elipse y la relación entre sus velocidades. EIHEIO v d s d a d; c d a excentricidad de la elipse es el momento angular se mantiene constante A A A A A r mv v v v r mv v v c e 0, a 05. Si la densidad de la ierra es de 5500 kg/m, calcular el valor de su radio sabiendo que la gravedad media al nivel del mar vale,8 m/s. Calcular el valor de la gravedad a una altura sobre la ierra equivalente a la longitud del radio encontrado. v A AFEIO 4 4 g g G G G 77,5km 4G la masa es 4 4 5,7 0 kg a esa altura la gravedad vale g G G,45ms h 4 Fco Javier Corral 0-04

2 0. Desde el suelo se dispara verticalmente un proyectil de 0 kg de masa con una velocidad de 5,0 km s -. a) epresenta gráficamente en función de la distancia r al centro de la ierra las energías cinética y potencial gravitatoria del proyectil si no hay perdidas de energía por rozamiento, para r mayor que el radio terrestre. Escalar el eje de energías en J y el eje de distancias en km. b) Si el rozamiento del aire consume el % de la energía cinética inicial del proyectil, qué altura máxima alcanzará? Datos: G =,7 0 - N m kg - asa de la ierra = 5,8 0 4 kg radio ierra = 7 km. El trabajo necesario para subirlo hasta el punto más alto es la diferencia de energía potencial, que es igual a la energía cinética inicial m m W EFIN EINI G G Gm mv h h v h G 8, 0 h,58 0 m Si pierde un % en rozamiento, solo se utiliza el 78% para hacer subir el cuerpo por lo que subirá hasta 0,78 veces la altura anterior, hoz 0,78h,4 0 m 07. a masa de la una es de.5. 0 kg, y su radio. 0 5 m. Qué distancia recorrerá un cuerpo en un segundo en caída libre hacia la una, si se le abandona en un punto próximo a su superficie? a gravedad lunar es g G,ms y el espacio recorrido es e gt 0,85m 08. Consideramos la ierra como una esfera homogénea (densidad constante) en cuya superficie g 0 =,8 m/s. Debido a una explosión nuclear, desaparece un tercio de la masa del planeta situada en la parte más externa, manteniendo la homogeneidad. Calcular el valor de g en la nueva superficie. 4 4 a masa del nuevo planeta es N N de donde 0,87 N y la gravedad en la nueva superficie es 0,7 0,7 gn G G g 8,7 ms 0,87 0,87 N N 0. Determina la variación de la energía potencial de la una, correspondiente a su interacción gravitatoria con el Sol y la ierra, entre las posiciones del eclipse de Sol y eclipse de una. Suponer circulares tanto la órbita de la ierra alrededor del Sol como la de la una alrededor de la ierra. Datos: -S=,5 0 m ; =,8 0 8 m ; = 7,5 0 kg ; S =, 0 0 kg; G=,7 0 - N m kg -. Eclipse de una SO SO Eclipse de Sol EECUNA ES E G G S S EECSO ES E G G ECUNA S S y sustituyendo, tenemos los valores E,45 0 J E,57 0 J ECSO Fco Javier Corral 0-04

3 0. Un astronauta de 00 kg de masa está en la superficie de un asteroide de forma esférica, de,4 km de diámetro y de densidad media, g cm -. Determinar con qué velocidad debe impulsarse el astronauta para abandonar el asteroide. El astronauta carga ahora con una mochila de 40 kg le será más fácil salir ahora del asteroide? or qué? Se trata de la velocidad de escape 4 G G 4 y no depende de la masa del individuo v G 0,4 ms. Dos masas puntuales de 5 kg y 0 kg, se encuentran en los puntos de coordenadas (0, ) y (0, 7). Calcular: a) la intensidad del campo gravitatorio en el punto (4, 4) b) el trabajo necesario para trasladar una masa de kg desde el punto (0, 4) hasta el punto (4, 4), indicando la interpretación física que tiene el signo del trabajo calculado. g 0 g 5 m 5 g G,7 0, 0 Nkg 5 5 r5 4 m 0 g G,7 0, 0 Nkg 0 0 r0 4 as dos forman un ángulo de,87º, luego g g cos,87º g cos,87º, 0 Nkg x 0 5 y 0 5 g g sen,87º g sen,87º 7,8 0 Nkg El trabajo es la diferencia de energía potencial entre los dos puntos g, 0 i 7,8 0 j W E(4,4) E(0,4) G G G G G 5G G, 0 J. Dos planetas esféricos tienen la misma masa, =, pero la aceleración de la gravedad en la superficie del primero es cuatro veces mayor que en la del segundo. Calcula la relación entre los radios de los dos planetas, /, y entre sus densidades medias. elacionamos los valores de g g G g 4 g g G a relación entre las densidades será: 4 V V 4 8. hea y itán son dos satélites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,5 y 5, días terrestres en recorrer sus órbitas en torno a dicho planeta. Sabiendo que el radio medio de la órbita de hea es 5,7 0 8 m, calcula el radio medio de la órbita de itán y la masa de Saturno. Fco Javier Corral 0-04

4 F A F CF Aplicando la tercera ley de Kepler: 4,5 5, ; 8, 0 m (5,7 0 ) as dos fuerzas son iguales: FA F CF m 4 4 G m m ; 5,74 0 kg G S S 4. Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la ierra, siendo sus órbitas de distinto radio. Cuál de los dos se moverá con mayor velocidad? or qué? a velocidad con la que se mueve un satélite en su órbita es: m v G F A F CF G m v v si, entonces v v v lo que quiere decir que el de órbita de más radio se mueve más despacio. 5. a ierra describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de,5 0 m y su velocidad orbital es, 0 4 m/s. Calcular: a) El momento angular de la ierra respecto al Sol. b) a velocidad orbital en el perihelio. (distancia al Sol,47 0 m). El momento angular es r mv,5 0 5,8 0, 0,5 0 kgm s El momento angular es constante en todos los puntos. En el perihelio: r mv,47 0 5,8 0 v,5 0 kgm s 4 40 v,0 0 ms 4. Un satélite de comunicaciones está situado en órbita geoestacionaria circular en torno al ecuador terrestre. Calcular: a) adio de la trayectoria, aceleración tangencial del satélite y trabajo realizado por la fuerza gravitatoria durante un semiperiodo. b) Campo gravitatorio y aceleración de la gravedad en cualquier punto de la órbita. a) a fuerza de atracción es la fuerza centrípeta: O F A m v 4 G F F G m G 45km O A C O O O O 4 a velocidad del satélite es constante, luego a =0 m s - El trabajo es cero porque los dos puntos están en la misma superficie equipotencial. b) la gravedad en la órbita es: 5,8 0 g G,7 0 0,m s (4,5 0 ) 4 O 7. a nave espacial Discovery describía en torno a la ierra una órbita con una velocidad de 7, km s - a) A qué altitud se encontraba? b) Cuál era su período? Cuántos amaneceres contemplaban cada 4 horas los astronautas que viajaban en el interior de la nave? 4 Fco Javier Corral 0-04

5 a velocidad de un satélite en su órbita es 4 G G,7 0 5,8 0 v,87 0 m s v (7, 0 ) y la altura es 5 h,87 0,7 0,7 0 m el periodo es,87 0 5,s, como el día tiene 8400 s verían 5, amaneceres (unos v 7, 0 días 5 y otros ) 8. Dos satélites, A y B, giran alrededor de un planeta siguiendo órbitas circulares de radios 0 8 m y m respectivamente. Calcula la relación entre sus velocidades (tangenciales) respectivas. a velocidad de cada satélite en su órbita es v G v v A B B A. Fobos (, 0 kg) es un satélite de arte que gira en una órbita circular de 80 km de radio, respecto al centro del planeta, con un periodo de revolución de 7,5 horas. El otro satélite de arte, Deimos (,4 0 5 kg), gira en una órbita de 40 km de radio. Calcular: a) a masa de arte. b) El período de revolución de Deimos. c) El módulo del momento angular de Fobos respecto al centro de arte. asa Fobos =, 0 kg; asa Deimos =,4 0 5 kg a) b) 4 4 m v FA FC G m G,4 0 kg G 40 7,5 0,h 80 F D D D F F D F F F c) el momento angular es F F F v F, 0 kg m s F 0. Sabiendo que la aceleración de la gravedad en un movimiento de caída libre en la superficie de la una es un sexto de la aceleración de la gravedad en la superficie de la ierra y que el radio de la una es 0,7, calcular: a) a relación entre las densidades medias b) a relación entre las velocidades de escape de un objeto desde sus respectivas superficies a gravedad es g g G 0,0 g 0,7 0,7 G g a relación de densidades 4 V (0,7 ) 0,7,4 4,4 V 0,0 0,0 G G0,0 0,0 G a velocidad de escape es v 0,v 0,7 0,7 5 Fco Javier Corral 0-04

6 . epresenta gráficamente en función de la distancia r al centro de la ierra las energías cinética y potencial gravitatoria de un proyectil si no hay pérdidas de energía por rozamiento, para r mayor que el radio terrestre. E C a energía potencial es m E G r E E la energía cinética E C G m mv r G m y la total E EC E r. a masa de un planeta se puede calcular si, mediante observaciones astronómicas, se conoce el radio de la órbita y período de rotación de alguno de sus satélites. azonar físicamente por qué (suponer órbitas circulares y utilizar las leyes de la mecánica). ANEA m 4 4 ANEA G m m ; G. Una de las lunas de Júpiter describe una órbita prácticamente circular con un radio de 4, 0 8 m y un período de,5 0 5 s. Deducir los valores de: a) el radio de la órbita de otra de la lunas de Júpiter cuyo período es de,44 0 s. b) la masa de Júpiter. a) Aplicamos Kepler, 8 4, 0,88 0 m 5,44 0,5 0 b) Ver problema anterior, 8 4 (4, 0 ),7 0 (,5 0 ) JUIE 5 7,88 0 kg 4. En una galaxia lejana, se detecta un planeta que recorre una órbita de radio semejante al de lutón en un tiempo equivalente a un año terrestre, por lo que los astrónomos deducen que gira alrededor de una estrella más masiva que el Sol. Es correcta esta deducción? azona por qué. ara cualquier planeta, m 4 4 v G m m G ara lutón, 4 y para el planeta X, SO Gp 4 ESEA G Dividiendo: ESEA SO y como ESEA SO 5. Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El describe una órbita circular de radio 0 m con un período de años, mientras que el describe una órbita elíptica cuya distancia más próxima es 0 m y la más alejada es,8 0 8 Km. a) Obtener el período de rotación del planeta y la masa de la estrella b) Calcular el cociente entre la velocidad lineal del planeta en los puntos Afelio y erihelio. Fco Javier Corral 0-04

7 ara el paneta utilizamos la media de las distancias y aplicamos Kepler ara el planeta En los dos puntos el momento angular es el mismo (,4 0 ),años ( 0 ) 8 8 G m v v 4 E m E 5,50 0 kg G G G AF mv AF raf ve raf,8 mv r v r E E E AF E. Un sistema estelar binario está constituido por dos estrellas de igual masa que se mueven describiendo una órbita circular alrededor de un punto que se encuentra a medio camino entre ellas ( se mueven con la misma velocidad y en todo instante se encuentran en posiciones diametralmente opuestas). Si la distancia entre las estrellas es de 0 millones de kilómetros y tardan el equivalente a 5 años terrestres en describir una órbita completa, calcular la masa de las estrellas. as estrellas dan vueltas alrededor de su centro de masas con un radio de 80 0 m G m v v 4 4 (80 0 ) G G G ( ) G CD m CD,40 0 kg uego la masa de cada estrella es la mitad, 8 ESEA 7,0 0 kg 7. lutón describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Indique para cada una de las siguientes magnitudes si su valor es mayor, menor o igual en el afelio (punto más alejado del Sol) comparado con el perihelio (punto más próximo al Sol): r a) momento angular respecto a la posición del Sol b) momento lineal c) energía potencial d) energía mecánica. r A El momento angular es constante, no hay fuerzas exteriores. A mva ra mv r luego a energía potencial A mv mv r A ra p p m G E r ra E E E m A r G r a energía mecánica es la misma en todos los puntos de la trayectoria, se trata de un campo conservativo. A A 7 Fco Javier Corral 0-04

8 8. a ierra tarda 5 días en dar una vuelta completa alrededor del Sol. a masa del Sol es,8 0 0 kg y su radio es 08 veces el terrestre. Calcular: a) a distancia entre la ierra y el Sol suponiendo la órbita circular. 4 G S S F F G,4 0 m A CF 4 b) a velocidad con la que llegaría al Sol un objeto que cayese desde la ierra.. Un satélite artificial de 00 kg de masa se encuentra girando alrededor de la ierra en una órbita circular de 700 km de radio. Calcular: a) El periodo de revolución del satélite. Velocidad del satélite en su órbita: 4 G,7 0 5,8 0 v 745,m s 7, 0 7, 0 el tiempo que tarda en dar una vuelta es 548,87 s v 745, b) El momento lineal y el momento angular respecto al centro de la ierra. el momento lineal es p mv , 7450kg m s y el angular r mv 5, 0 kg m s c) a variación de energía potencial para subirlo a esa altura desde la superficie terrestre. la energía en la superficie es 4 m 5, E0 G,7 0 5, 0 J,7 0 y en la órbita 4 m 5, EF G,7 0 5, 0 J 7, 0 luego la variación de energía es E EF E0, 0 J d) as energías cinética y total del satélite. a energía cinética es EC mv ,,8 0 J y la total E E E,8 0 5, 0,8 0 J C 0. Calcular el trabajo necesario para trasladar un satélite de 500 kg desde una órbita de radio hasta otra de radio. Si lo que queremos es pasarlo desde la órbita inferior a la superior y que el satélite describa la órbita superior, el trabajo es la diferencia entre las energías totales: 4 G m G m G m,7 0 5, W E EF E0, 0 J,7 0. Una masa de 000 kg se desplaza desde un punto en el que el potencial es -5 J/kg a otro en el que es - 7 J/kg. Calcular el trabajo de las fuerzas gravitatorias e indicar si se trata de una transformación espontánea. epetir los cálculos si el cuerpo se aleja desde el punto en que el potencial vale -5 J/kg hasta otro en el que el potencial es nulo. a masa se desplaza desde un punto en el que E 5000J hasta otro en el que E 7000 J. Supongamos que se trata de la ierra. Nos movemos acercándonos hacia la ierra. El trabajo es realizado por las fuerzas del campo gravitatorio, luego es espontáneo (es una atracción). 8 Fco Javier Corral 0-04

9 En el otro caso hay que desplazarse en contra del campo gravitatorio (hay que vencer una fuerza) y la transformación no es espontánea.. Dos satélites artificiales de masa m y m describen órbitas circulares del mismo radio r=, siendo el radio de la ierra. Calcular la diferencia y el cociente entre las energías mecánicas de ambos satélites. Gm a energía mecánica de un satélite es EO r E E Gm O r Gm EO O O G m r EO O r E E. Cuánto tendría que durar un día terrestre para que los objetos situados en el Ecuador de la ierra pesasen aparentemente la mitad? Y para que no pesasen nada aparentemente? Si no hay peso m 4 4 4,7 0 FA FCF G m 5055s h4m5s 4 G,7 0 5,8 0 Si el peso se reduce a la mitad 4 F F h5m8s A CF G 4. Dos masas puntuales de 0 kg se encuentran en los puntos de coordenadas (0,0) (4,0). En el punto (,) abandonamos una masa puntual de 0 kg. Calcular la velocidad de esa masa cuando pasa por el punto (,0). Calcular la aceleración media del recorrido. a energía total es la misma en los dos puntos: 0 F Si la aceleración fuera constante, m m m m m m m m d d d d G G 0 G G mv 0 0 F F m m m m G v d0 d0 df df ,7 0 v v,5 0 ms (,5 0 ) v v a e a,7 0 m s F 0 5. El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol con un periodo de 7 años. En el perihelio el cometa está a 8, km del Sol y en el afelio está a 5, 0 km del Sol. En cuál de los dos puntos tiene el cometa mayor velocidad?. Y mayor aceleración?. En qué punto tiene mayor energía potencial? Y mayor energía mecánica?. AF raf mvaf 5, 0 vaf vaf 0,08 r mv 8,75 0 v v 7 E E E E E a relación entre aceleraciones centrípetas es Fco Javier Corral 0-04

10 v m a r v r 8,75 0 AF 7 AF AF AF E 4 0,08 4,75 0 E ve E AF 5, 0 a v r m r E a energía potencial es E m G es mayor en el perihelio r E r 8, AF E E AF E r 5, 0 0,08 a energía mecánica es la misma en todos los puntos.. a órbita de lutón en torno al Sol es notablemente excéntrica. a relación de distancias máxima y mínima entre su centro y el del Sol es 5/. azonando tus respuestas, calcula la relación entre los valores en el afelio y en el perihelio de las siguientes magnitudes de lutón: momento angular respecto al Sol, energía cinética y energía potencial gravitatoria. El momento angular vale lo mismo en todos los puntos de la trayectoria AF E a relación entre las velocidades es AF raf mvaf 5vAF vaf r mv v v 5 E E E E E as energías cinéticas serán E mv C AF AF v AF C E mve E E v 5 E AF GmrE re E Gmr r 5 E AF AF 7. Un planeta esférico sin atmósfera tiene masa, 0 kg y radio, 0 m. Desde su superficie se lanza verticalmente un proyectil que llega a alcanzar una altura máxima igual a la mitad de su radio antes de volver a caer hacia la superficie. Con qué velocidad inicial se ha lanzado el proyectil? A qué altura está cuando la velocidad se reduce a la mitad? a energía en la superficie del planeta y en el punto más alto es la misma: m m EA EB G mv G 0 G v G v G v G 05ms Cuando la velocidad se reduce a la mitad, también lo hacemos por energías: m m v 0ms E E G mv G mv h 8,0 0 5, 0,05 0 5, 0, 0 h F A D 0 F 4, 0 h 8,0 0, 0 h 5 4, 0 m 8. El Imperio del al pretende utilizar como almacén de munición un objeto estelar esférico de 0 km de radio y una masa de 0 kg. Calcular: a) el valor de g en su superficie. b) la velocidad de escape en dicho objeto estelar. Se puede utilizar el valor de g=,8 ms -. 0 Fco Javier Corral 0-04

11 c) Interpretar los resultados anteriores, en relación con los objetivos del Imperio del al. Campo Gravitatorio I a) g G,7 0 0,4 0 m s X X 4 X (0 ) b) v G, ,7 0 m s X ESC 4 X 0 8 c) os del Imperio del al tendrían problemas a la hora de sacar la munición puesto que la velocidad de escape es superior a la velocidad de la luz. Fco Javier Corral 0-04