Algunas propiedades de los Números reales. Números reales (R) c d

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1 Profesoro e Nivel Meio y Superior e Biologí Mtemáti º Cutrimestre Año 0 Prof. Mrí Ele Ruiz Algus propiees e los Números reles (Este mteril tiee omo ojeto presetr u seleió e oeptos orrespoietes l Ui, pr rirle l lumo l posiili e revisr efiiioes, propiees, et. e úmeros rioles e irrioles. Tmié ormos quí uestioes relios o ls propiees e l potei y riió, l otió ietífi y el vlor soluto e u úmero). Números reles (R) El ojuto e los úmeros reles está formo por el ojuto e los úmeros rioles e irrioles. Números rioles (Q) Dos os úmeros eteros ulesquier, y, o 0, el oiete etre y,, es u úmero riol. Operioes: Too úmero riol se puee expresr e form eiml e l siguiete mer: - Como u expresió eiml fiit si l iviir por se lleg u resto ero. Por ejemplo: 0, ; 0, 75 ; 0, Como u expresió eiml periói si l iviir por o se otiee u u resto ero, pues los suesivos restos so toos meores que, lleg u mometo e que uo se repite y prtir e él se repite ls ifrs el oiete. Por ejemplo: 4,..., ; 0, , So etoes úmeros rioles: ; 0,5 ; 0,75 ;,5 ; 0, ; U úmero riol se puee expresr omo oiete e istitos pres e úmeros eteros e tl mer que:.. sieo,,, Z y 0 y 0 Ejemplo: 4 7 4

2 Profesoro e Nivel Meio y Superior e Biologí Mtemáti º Cutrimestre Año 0 Prof. Mrí Ele Ruiz Números irrioles (I) Existe úmeros tles omo,,, e que o puee expresrse omo oiete etre os úmeros eteros. A ihos úmeros se los eomi úmeros irrioles. Too úmero rel puee expresrse e form eiml: ) Si el úmero rel es riol, su expresió eiml tiee u úmero fiito e ifrs eimles o tiee ifiits ifrs eimles perióis. ) Si el úmero rel es irriol, su expresió eiml tiee ifiits ifrs eimles o perióis. Expresió proxim e u úmero rel E lguos sos, l operr o úmeros que tiee expresioes eimles ifiits, se utiliz proximioes e los mismos. Por ejemplo, l utilizr el úmero π=,45965, se puee osierr proximioes l iezmilésimo, es eir o utro ifrs eimles, por trumieto o por reoeo. Aproximioes por trumieto: se elimi tos ls ifrs eimles prtir e l quit, y se otiee sí: π=,45. Aproximioes por reoeo: se elimi tos ls ifrs prtir e l quit, pero omo l sext ifr es 9 y 9 es myor que 5, se umet e u ui l últim ifr oserv: 5+=6; luego se otiee π=,46. Colusió: Aproximió por trumieto: u ifr etermi osiste e elimir ls ifrs que le sigue. Aproximió por reoeo: Cosiste e umetr e u ui l últim ifr oserv, si l primer ifr elimir es igul o myor que 5. Cosiste e trur iretmete el úmero l ti e ifrs eses, si l primer ifr elimi es meor que 5. Poteiió Pr u úmero rel y u úmero turl, se efie l potei -ésim e que iiremos omo sigue: =..., ftores, oe es l se y el expoete e l potei. L efiiió se extiee expoete etero e l siguiete form: 0 si 0 si R, 0, Z, 0 Se verifi emás que: ( - ) = ( ) - o N

3 Profesoro e Nivel Meio y Superior e Biologí Mtemáti º Cutrimestre Año 0 Prof. Mrí Ele Ruiz Ejemplos - = ( ) - = Oservió 0 = 0 si 0 pues 0 0 Propiees: Distriutiv respeto el prouto: (. ) =. Distriutiv respeto el oiete: Prouto e poteis e igul se:. m Coiete e poteis e igul se:. m Potei e potei: m = + m 6 o está efiio., 0 m, 0 m Oservió: L potei o es istriutiv respeto e l sum i e l rest: E geerl:,r Ejemplos 7 5 ). = + = 5 5 = 4 ) ) ( ) = 6 = 64 7 Se u úmero rel y u turl, >. Si 0, etoes es el úmero positivo 0 0 Si 0 y es impr, etoes Riió tl que es el úmero egtivo Si 0 y es pr, etoes o es u úmero rel Simólimete: =, N oe es el íie, el rio, l ríz, y tl que el sigo ril. Si = Si =, e uero o l efiiió, el rio oiie o l ríz, por lo tto sólo os referiremos riles e íie.

4 Profesoro e Nivel Meio y Superior e Biologí Mtemáti º Cutrimestre Año 0 Prof. Mrí Ele Ruiz Ls ríes e íie se llm urs, ls e íie úis, ls e íie 4 urts, et. Ejemplos -8 pues (-) = -8,,, e pues = pues 4 =6 Surge hor l siguiete pregut: Es siempre posile l riió e R? L respuest es que o y lo veremos meite u ejemplo: Pr lulr -6 eemos eotrr u úmero rel que elevo l uro e 6. Pero o existe igú úmero rel que elevo l uro e u úmero egtivo, por lo tto - 6 o tiee soluió e R. Esto os llev l siguiete olusió: To ríz e íie pr y rio egtivo o tiee soluió e R. E otrs plrs l riió o es err e R. Oservió ) Si es u úmero turl impr, siempre se puee lulr. ) Si es u úmero turl pr se puee lulr siempre que 0. Propiees Distriutiv respeto el prouto: Distriutiv respeto el oiete:. :. : Ríz e ríz : m. m Oservió L riió o es istriutiv respeto e l sum o l rest, es eir: Poteiió e expoete riol: Do R, p, q Z, q 0 iremos que p/q = q p Ejemplos: 4 / = 4 = 8 6 / = 6 = 4 6 -/ = (6 / ) - = ( 6 ) - = 4 4

5 Profesoro e Nivel Meio y Superior e Biologí Mtemáti º Cutrimestre Año 0 Prof. Mrí Ele Ruiz Notió ietífi E mtemátis y ieis, meuo eemos utilizr úmeros muy gres o muy pequeños, uy expresió terí muhos ígitos. Esto porí osior lguos prolems, omo por ejemplo itrouirlos e ls lulors, operr o ellos, l posiili e etermir el ore e mgitu, et. Pr evitr estos prolems, oviee expresr estos úmeros e otió ietífi. U úmero esrito e otió ietífi está expreso omo el prouto e u úmero eiml myor o igul que y meor que 0, y u potei e iez. Por ejemplo:. L e el uiverso se lul e =,5 x 0 0 ños. El iámetro el eletró es proximmete 0, mm=0 - mm Cómo expresr u úmero e otió ietífi? Se esrie l úmero e form eiml tl que l prte eter oste e u solo ígito istito e ero. Como expoete e l potei 0, se esrie el úmero que orrespoe l ti e lugres que he orrio l om pr oteer el eiml. Si pr oteer el eiml he orrio l om l izquier el expoete es positivo Si pr oteer el eiml he orrio l om l ereh el expoete es egtivo Ejemplos: - Poer e otió ietífi el úmero Form eiml:,897 Expoete e l potei e iez: +5 El úmero e otió ietífi serí:,897 x Poer e otió ietífi el úmero 0, Form eiml:,897 Expoete e l potei e iez: - El úmero e otió ietífi serí:,897 x 0 - Cómo psr e l otió ietífi l esritur el úmero? De l prte eiml se orre l om hi l ereh ttos lugres omo ii el expoete positivo e l potei e iez. Cuo ls ifrs se se ñe eros. Si el expoete e l potei e iez egtivo se orre l om hi l izquier ttos lugres omo ii el vlor soluto el expoete. Ejemplos: - Qué úmero represet 4,567 x 0? Poemos 4,567 Corremos l om hi l ereh lugres El úmero que que es: Qué úmero represet 4,567 x 0 -? Poemos 4,567 Movemos l om hi l izquier lugres El úmero que que es: 0,

6 Profesoro e Nivel Meio y Superior e Biologí Mtemáti º Cutrimestre Año 0 Prof. Mrí Ele Ruiz Vlor soluto e u úmero rel El vlor soluto e u úmero se efie omo el úmero o egtivo, que otmos que está etermio por: si 0 si 0 El vlor soluto es siempre u vlor positivo Ejemplos: - = -(-) = ; 4 = 4; -8 = 8 Iterpretió gráfi e l oió e vlor soluto El oepto e vlor soluto se puee relior o l oió e isti iieo que el vlor soluto e u úmero es l isti e ese úmero l ero, e l ret uméri. Lo otmos: x = (x, 0) Ejemplos: ) x = Serí quellos x uy isti ero es es eir x = y x = ) x <, ii el ojuto e los úmeros reles uy isti l ero es meor que. Gráfimete So los x (-, ) ( ) - 0 ) x, ii el ojuto e los úmeros reles que está u isti l ero myor o igul que. Gráfimete: ] [ - 0 So los x (-,-] [, +) Pr l elorió e este texto se utilizro los siguietes mteriles: Detzel, P. y Ruiz, Mrí Ele (009). Fih teóri e l áter Istrumetos utittivos e l rrer Lieitur Comerio Exterior, UNRN. Suhit, G. (00) Semirio e igreso Mtemáti. UTN Regiol Bhí Bl. Agrsr, M. y otros. (00). Mtemáti 9: Aexo teório. E. Logeseller. Bs. As. 6