TEMA I.6. Velocidad de una Onda Longitudinal. Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Transcripción

1 TEMA I.6 Velocidad de una Onda Longitudinal Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui Departamento de Astronomía Universidad de Guanajuato DA-UG (México) División de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta TEMA I.6: Velocidad de una Onda Longitudinal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 13

2 Consideramos un fluido de densidad ρ dentro de un tubo con área transversal A. En el estado de equilibrio, el fluido esta sometido a una presión uniforme p (ver Figura I.6.1a). Cuando un pistón se mueve a una velocidad ν y, se inicia un movimiento ondulatorio (onda de compresión) que se propaga a una velocidad ν. En el tiempo t, el pistón se ha movido hasta una posición ν y t y la frontera entre la masa en movimiento y la masa en reposo ha avanzado hasta una posición ν t (ver Figura I.6.1b). La cantidad de fluido en movimiento es: ρ ν t A Y la cantidad de movimiento longitudinal es: ρ ν t Aν y TEMA I.6: Velocidad de una Onda Longitudinal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 2 / 13

3 Figura I.6.1: Propagación de una onda longitudinal en un fluido confinado en un tubo. (a) Fluido en equilibrio. (b) Parte del fluido en movimiento. TEMA I.6: Velocidad de una Onda Longitudinal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 3 / 13

4 Para determinar el aumento de presión en el fluido en movimiento, consideramos el módulo de compresibilidad: B = p V /V El módulo de compresibilidad permite determinar cuanto aumento la presión debido a un cambio del volumen (es negativo porque una disminución de volumen = un aumento de la presión. Dicho de otro modo, si V < 0, p > 0). El volumen original del fluido en movimiento, V = νta, ha disminuido una cantidad V = -ν y ta B = p Aν y t/aνt p = B ν y ν TEMA I.6: Velocidad de una Onda Longitudinal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 4 / 13

5 La presión en el fluido en movimiento ha aumentado a p + p. La fuerza ejercida sobre esta parte del fluido es: (p + p)a. La fuerza neta es por tanto: A p = B νy ν A. Según el teorema de impulso = cantidad de movimiento: B ν y ν At = ρνtaν y de la ecuación anterior deducimos la velocidad de la onda de compresión: B ν = ρ La velocidad aumenta con el módulo de compresibilidad (la fuerza de regreso al equilibrio) y disminuye con la densidad (la inercia). TEMA I.6: Velocidad de una Onda Longitudinal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 5 / 13

6 Velocidad de una Onda Longitudinal Ejercicio: El sonido se propaga a 340 m/s en el aire y a 1500 m/s en el agua. Un sonido de frecuencia 256 Hz se produce bajo el agua. En el aire ν sera (a) la misma, pero λ sera ma s corta, (b) ma s elevada, pero λ sera la misma, (c) ma s baja, pero λ sera ma s larga, (d) ma s baja, y λ sera ma s corta, (e) la misma, y λ tambie n sera la misma. Ejercicio: Un helico ptero que vuela tal como se muestra en la figura registra la explosio n de una carga de profundidad bajo la superficie del agua Cua l de los tres caminos A, B, o C sera el camino por el cual el sonido llegara en menos tiempo? TEMA I.6: Velocidad de una Onda Longitudinal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 6 / 13

7 Esto se aplica también para sólidos y ĺıquidos. Para una onda en una barra sólida, por ejemplo, hay una expansión lateral. Esto cambia un poco la rapidez de la onda: Y ν = ρ donde Y es el módulo de Young. En todas estas ecuaciones, el numerador es una propiedad elástica del medio y el denominador es una propiedad proporcional a la inercia del medio. TEMA I.6: Velocidad de una Onda Longitudinal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 7 / 13

8 Figura I.6.2: Lista de la rapidez del sonido en varios medios materiales. TEMA I.6: Velocidad de una Onda Longitudinal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 8 / 13

9 Ejemplo: Sonido en varilla de plomo Módulo de Young: Y = Pa y la densidad: ρ = kg/m 3 La velocidad del sonido: Y ν = ρ = Pa kg/m 3 = 1.2 m 103 s TEMA I.6: Velocidad de una Onda Longitudinal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 9 / 13

10 Ejercicio: Se golpea un extremo de una varilla de cobre de m. Una persona en el otro extremo escucha dos sonidos causados por dos ondas longitudinales, una que viaja por la varilla y otra que viaja por el aire. Calcule el intervalo de tiempo entre los sonidos. Para el cobre Y = Pa y ρ = 8900 kg/m 3. La rapidez del sonido en el aire es de 344 m/s. Ejercicio: Una barra metálica de 60.0 m tiene una densidad de 5000 kg/m 3. Las ondas longitudinales tardan s en llegar de un extremo al otro. Calcule el módulo de Young del metal. TEMA I.6: Velocidad de una Onda Longitudinal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 10 / 13

11 Ejemplo: Longitud de onda de un SONAR SONAR: sistema para detectar objetos submarinos El sistema emite ondas sonoras y mide el tiempo que tarda la onda reflejada (eco) en regresar al detector. El módulo de volumen (o recíproco del módulo de compresibilidad) es: k = Pa 1 Nótese que [Pa] = fuerza/área = kg m/s Pa m 2 = kg La densidad del agua a 20 o C: ρ = kg/m 3 m s 2. Así que: B = TEMA I.6: Velocidad de una Onda Longitudinal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 11 / 13

12 Figura I.6.3: Un sistema de sonar usa ondas sonoras submarinas para detectar y encontrar objetos bajo el agua. TEMA I.6: Velocidad de una Onda Longitudinal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 12 / 13

13 La velocidad de una onda sonora en el agua es: ν = B ρ = Pa = 1480 m kg/m 3 s Esto es 4 veces la rapidez del sonido en el aire (a temperatura ordinaria). Para una frecuencia f = 262 Hz, la longitud de onda es λ = ν f = 5.65 m. En el aire, la longitud de onda será: λ = 1.31 m = 1480 m/s 262 s 1 Los delfines emiten ondas de alta frecuencias f = 0.1 MHz = Hz, que da una longitud de onda de λ = 1.48 cm. Con este sonar, los delfines pueden detectar objetos de tamaño de λ (pero no mucho menores). En la visualización ultrasónica, las ondas sonoras usadas tienen una frecuencia de f = 5 MHz = Hz, esto permite distinguir rasgos de tamaño con una λ = 0.3 mm. TEMA I.6: Velocidad de una Onda Longitudinal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 13 / 13